Clase2 Endogeneidad De Los Regresores 6w414c

Endogeneidad

Endogeneidad de los regresores Patricia Lengua Lafosse Curso: Econometría intermedia - Escuela de Posgrado PU

Mayo 2017

Patricia Lengua Lafosse

Endogeneidad (Econometría Intermedia: M2)

Endogeneidad

Causas y consecuencias Variables instrumentales MC2E Test de endogeneidad Veri…cación de las condiciones de relevancia y exogeneidad

Supuesto de exogeneidad de los regresores Dentro de los supuestos del MRLC se tenía que la esperanza condicional del término de perturbación (ui ) es igual a 0:

3 E ( u1 j X) 6E ( u2 j X) 7 7 6 E [ uj X] = 6 7=0 .. 5 4 . 2

E ( un j X)

El valor esperado del término de perturbación de la observación i no es función de las variables exógenas. No solo se condiciona a la i -ésima observación sino a todas las observaciones. Este supuesto implica que cov (u, X ) = 0. Patricia Lengua Lafosse


Endogeneidad


Endogeneidad: causas Problema: ocurre en modelos con regresores estocásticos cuando existe algún tipo de correlación entre alguno de los regresores y el término de perturbación. Problema de endogeneidad: cov (ui , Xi ) 6= 0 e implica que E ( ui j Xi ) 6= 01 .

Incumplimiento del supuesto de exogeneidad de los regresores: 3 2 E ( u1 j X) 6E ( u2 j X) 7 7 6 E [ uj X] = 6 7 6= 0 .. 5 4 . E ( un j X)

1 Por

lógica, si se niega la conclusión esto implica que se negará la premisa. Patricia Lengua Lafosse


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Endogeneidad: causas

Causas más comunes asociadas a la violación de este supuesto son: Error en la medición de las variables Causalidad simultánea Variables omitidas correlacionadas con X



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Endogeneidad: causas Error en la medición de las variables

Ocurre cuando nos encontramos interesados en el efecto parcial de una variable Xi , pero solo nos es posible observar una medida imperfecta de ella, Xi , lo que, en determinadas ocasiones, deriva en problemas de endogeneidad. Ejemplo de Greene (2003). Supongamos que queremos estimar un modelo sin intercepto: Yi = βXi + vi donde: Xi es una variable …ja que no podemos observar o medir perfectamente. Ejemplo: Yi es el salario y Xi es la habilidad del individuo i. Se asume vi i.i.d N (0, σ2v ) y que no está correlacionada con Xi . Patricia Lengua Lafosse


(1)

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Puesto que Xi no es observable, se utiliza variable proxy Xi (ejm: años de educación) que se relaciona con la variable original Xi mediante: Xi = Xi + ei donde ei es un error de medición y se asume ei independiente de vi y Xi .

(2) N (0, σ2e ) e

Variable proxy Xi no es una medida perfecta de la habilidad pues los años de educación dependen también de otros factores como: nivel socioeconómico, a la educación, calidad de la educación recibida, etc. Patricia Lengua Lafosse


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Modelo a estimar ((2) en (1)): Yi

= = = =

βXi + vi β(Xi

(3)

ei ) + vi

βXi + (vi

βei )

βXi + ui

con ui = vi βei y ui N (0, σ2v + β2 σ2e ) ya que E (ui ) = E (vi βei ) = 0 y var (ui ) = var (vi βei ) = σ2v + β2 σ2e . Se puede demostrar que existe el problema de endogeneidad en el modelo (3) ya que cov (Xi , ui ) = βσ2e 6= 0. Esto implica que E ( ui j Xi ) 6= 0. Patricia Lengua Lafosse


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Endogeneidad: causas Causalidad simultánea

Ocurre cuando un subconjunto de las variables en X no solo causan a y, sino que éstas también son causadas por y. Dado que y es causada por u, entonces X y u están usualmente correlacionados. Ejemplo: Modelo macroeconómico de la función de consumo en una economía cerrada y sin gobierno Yt Ct

= Ct + It = β1 + β2 Yt + ut

donde Yt es el ingreso nacional, Ct es el consumo e It es la inversión. Asumimos que It no está correlacionada con ut . Si estimamos la ecuación del consumo por MCO tendremos 2 problemas de endogeneidad pues cov (Yt , ut ) = 1 σ β 6= 0. 2



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Endogeneidad: causas Variables omitidas correlacionadas con X

Estamos interesados en estudiar la relación de las variables X1 , X2 , X3 , X4 , ..., XK sobre y . Supongamos además que no contamos con datos sobre X3 . Es decir, solo nos es posible estimar la relación entre y y X1 , X2 , X4 , ..., XK .

Esta relación entre y y X1 , X2 , X4 , ..., XK no es necesariamente la misma que la relación de y y X1 , X2 , X3 , X4 , ..., XK si X3 se encuentra correlacionada con alguna de las variables X1 , X2 , X4 , ..., XK .



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Ejemplo: Consideremos el siguiente modelo Yi = β1 + β2 X2i + β3 X3i + ui , donde los regresores X2 y X3 son estocásticos y no correlacionados con la perturbación ui . Además, ui cumple con todos los supuestos clásicos. Si no contamos con datos sobre X3 digamos porque no es observable y omitimos a X3 de la regresión: Yi Yi

= β1 + β2 X2i + ( β3 X3i + ui ) = β1 + β2 X2i + wi

con wi = β3 X3i + ui . Patricia Lengua Lafosse


(4)

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Problema de endogeneidad al estimar (4) si la variable omitida X3i está correlacionada con la incluida X2i .

Obtenemos que cov (X2i , wi ) = β3 cov (X2i , X3i ) 6= 0 si cov (X2i , X3i ) 6= 0.



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Endogeneidad: consecuencias

b Cuando cov (Xi , ui ) 6= 0, los estimadores MCO ( β MCO ) son sesgados e inconsistentes.

Buscar otro método de estimación:

Estimadores de variables instrumentales (VI) Mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E).



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Endogeneidad: consecuencias Sesgo e inconsistencia del estimador MCO

Siguiendo el ejemplo dado en la sección Error en la medición de las variables (Greene, 2003). Estimador MCO de la ecuación (3) Yi = βXi + ui con ui = vi βei : ∑ Xi Yi ∑ Xi ( βXi + ui ) ∑ Xi ui b βMCO = = = β+ 2 2 ∑ Xi ∑ Xi ∑ Xi2

(5)

Tomando el valor esperado a (5) pues X no es …jo: h i ∑ Xi ui E (b βMCO ) = E E ( b βMCO Xi ) = E E ( β + Xi ) ∑ Xi2 ∑ Xi E ( ui j Xi ) ∑ Xi ui Xi ) = β + E ( ) = E β + E( 2 X ∑ i ∑ Xi2 Patricia Lengua Lafosse



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En el ejemplo (3) encontramos que cov (Xi , ui ) = βσ2e 6= 0 e X E(u X ) implicaba que E ( ui j Xi ) 6= 0, en general E ( ∑ i∑ X 2i j i ) 6= 0. i Entonces, E (b β ) 6= β y b β es un estimador sesgado. MCO

MCO

Caso general:

h i b b E (β ) = E E ( β X ) MCO MCO

= E E ( (X0 X ) 1 (X0 y ) X ) = E E ( β + (X0 X ) = E β + (X0 X ) 1 X0 E (u X ) = β +E (X0 X ) 1 X0 E ( u j X )

1

X0 u X )

b Puesto que E ( uj X) 6= 0, β MCO es un estimador insesgado ya que b E (β ) 6 = β. MCO Patricia Lengua Lafosse


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Consistencia del estimador MCO: De (5):

Tomando Plim a (6):

b βMCO = β +

1 n ∑ Xi ui 1 2 n ∑ Xi

P lim( n1 ∑ Xi ui ) P lim(b βMCO ) = β + P lim( n1 ∑ Xi2 )



(6)

(7)

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Consistencia del estimador MCO: Por la ley de los grandes números: P lim( n1 ∑ Xi ui ) = E (Xi ui ) = cov (Xi , ui ) =

βσ2e

P lim( n1 ∑ Xi2 ) = P lim( n1 ∑(Xi + ei )2 ) = P lim( n1 ∑(Xi 2 + 2Xi ei + e2i )) = P lim( n1 ∑ Xi 2 ) + P lim(2 n1 ∑ Xi ei ) + P lim( n1 ∑ e2i ) = lim n1 ∑ Xi 2 + 2E (Xi ei ) + E (e2i ) = Q + σ2e . n !∞

Se asume que

1 n

∑ Xi

2

converge a la constante …nita Q .




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Consistencia del estimador MCO: Regresando a (7): P lim(b βMCO ) = β

βσ2e Q = β( ) 2 Q + σe Q + σ2e

Por lo tanto b βMCO es inconsistente. P lim(b βMCO ) < j βj , con lo cual existe un sesgo de los estimadores MCO hacia valores más pequeños en magnitud (conocido como sesgo de atenuación).




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Estimadores consistentes ante problema de endogeneidad En el ejemplo usado en el caso de error en la medición de variables, supongamos que contamos con una variable Zi que cumple: Condición de exogeneidad: cov (Zi , ui ) = 0. Condición de relevancia: cov (Zi , Xi ) 6= 0. Calculamos cov (Zi , Yi ) : cov (Zi , Yi ) = cov (Zi , βXi + ui ) = βcov (Zi , Xi ) + cov (Zi , ui )

= βcov (Zi , Xi ) Despejando β tenemos: β=

cov (Zi , Yi ) cov (Zi , Xi )

El verdadero parámetro poblacional β es la división de las covarianzas poblacionales de la variables y Z . Patricia Lengua Lafosse


(8)

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Estimadores consistentes ante problema de endogeneidad Si contamos con dos estimadores consistentes de esas covarianzas poblacionales, luego la división de esos estimadores será un estimador consistente de β, pues la aplicación de Plim a tal división producirá la ecuación (8). Los estimadores consistentes de las covarianzas poblacionales más simples de encontrar son sus análogos muestrales, es decir las covarianzas muestrales de…nidas como: SXZ

=

SYZ

=

1 n 1 n


n

1 i∑ =1

(Xi

X )(Zi

Z)

(Yi

Y )(Zi

Z)

n

1 i∑ =1


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Estimadores consistentes ante problema de endogeneidad p

Se puede demostrar que SXZ ! cov (Xi , Zi ) y p SYZ ! cov (Yi , Zi ). Finalmente, se propone el siguiente estimador de variables instrumentales construido en base a análogos muestrales: SYZ b βVI = SXZ

(9)

el cual es un estimador consistente de β pues tomando P lim a (9): cov (Zi , Yi ) P lim SYZ =β (10) P lim b βVI = = P lim SXZ cov (Zi , Xi ) Patricia Lengua Lafosse


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Variables instrumentales en el modelo de K variables Modelo de k variables: y = Xβ + u donde algunos de los regresores están correlacionados con u (regresores endógenos) mientras que otros no lo están (regresores exógenos). Supongamos que contamos con l variables instrumentales Z = [Z1 , Z2 , , , , Zl ]n l , donde algunas de las variables en Z podrían ser las mismas que los regresores exógenos. Además cumplen las condiciones de relevancia y exogeneidad. Las condiciones de validez que tienen que cumplir las variables instrumentales son: Condición de Relevancia: Las variables en Z están correlacionadas con los regresores en X. Condición de Exogeneidad: Las variables en Z no están correlacionadas con los términos de perturbación en u. Patricia Lengua Lafosse



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Variables instrumentales en el modelo de K variables Multiplicando por Z0 , dividiendo entre n y tomando P lim 2 al modelo lineal: 1 1 1 P lim( Z0 y) = P lim( Z0 X) β + P lim( Z0 u) n n n 1 P lim( Z0 y)l n

1

1 = P lim( Z0 X)l n

k βk 1

Si l = k (# de variables instrumentales=# de regresores del modelo), entonces P lim( n1 Z0 X) sería una matriz cuadrada de dimensión k k y de rango completo en ausencia de multicolinealidad perfecta en Z y X. Entonces, β se puede despejar sin problemas (ser invertible): 1 β = P lim( Z0 X)k n Lafosse Patricia Lengua

1

k

1 P lim( Z0 y)k 1 (11) n Endogeneidad (Econometría Intermedia: M2)

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Variables instrumentales en el modelo de K variables El estimador de variables instrumentales, estimador consistente de β, esa : b = (Z0 X ) 1 Z0 y β (12) VI a La

aplicación de Plim a (12) reproduce a (11).

(12) es un estimador consistente (por de…nición) aunque sesgado en muestras pequeñas. Cuando l = k (caso exactamente identi…cado), la distribución b es β b a N ( β,σ2 Q 1 QZZ Q 1 ) donde asintótica de β VI VI ZX XZ QZX1 = P lim( n1 Z0 X) y QZZ1 = P lim( n1 Z0 Z). Nos encontraremos en el caso excatamente identi…cado cuando solo sea posible obtener una única estimación de los parámetros β. Patricia Lengua Lafosse


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Variables instrumentales en el modelo de K variables

b se estima con En la práctica, la varianza asintótica de β VI 2 0 X) 1 (Z0 Z)(X0 Z) 1 con σ b )=σ [ (β b b2 = u0 u/n. AVar ( Z VI

El estimador MCO es un caso particular de VI cuando Z = X.



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Endogeneidad Mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E)

VI como un procedimiento en dos etapas. Modelo lineal con k variables: Yi = β1 + β2 X2i + ... + βk1 Xk1 i + β(k1 +1 ) X(k1 +1 )i + ... + βk Xki + ui | {z } | {z } (no correlacionados con u i )

(correlacionados con u i )

(13) donde las primeras k1 variables no están correlacionadas con ui pero las siguientes k2 = k k1 sí presentan correlación con ui . Matricialmente: y = X1 β1 +X2 β2 +u donde X1 es de dimensión n k1 , X2 de dimensión n k2 , donde cov (X1 , u) = 0 y cov (X2 , u) 6= 0. Patricia Lengua Lafosse


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Supongamos que contamos con l variables instrumentales Z, . las que se dividen en dos tipos: Z = X ..W donde X son 1

1

llamadas instrumentos incluidos en la regresión3 y W es un nuevo grupo de m variables que cumple las condiciones de exogeneidad y relevancia (llamadas instrumentos excluidos de la regresión). X tiene k = k1 + k2 variables y Z tiene l = k1 + m variables. Se requiere que l k, esto es: m k2 (el # de instrumentos excluidos de la regresión tiene que ser mayor o igual al # de regresores endógenos). 3 Se están considerando a las variables X no correlacionadas con los 1 términos de perturbación. Patricia Lengua Lafosse


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Procedimiento de estimación de MC2E: Primera etapa: regresionar por MCO cada uno de los regresores . endógenos, X2 , contra todas las variables en Z = X1 ..W (se realizan k2 regresiones). X(k 1 +1 )i X(k 1 +2 )i X(k 1 +k 2 )i

= θ 1 + θ 2 X2i + ... + θ k1 Xk1 i + θ (k1 +1 ) W1i + ... + ξ 1i = θ 1 + θ 2 X2i + ... + θ k1 Xk1 i + θ (k1 +1 ) W1i + ... + ξ 2i .. . = θ 1 + θ 2 X2i + ... + θ k1 Xk1 i + θ (k1 +1 ) W1i + ... + ξ k2 i

b(k +1 )i , X b(k +2 )i , ..., X b(k +k )i . luego se calculan las predicciones X 1 1 1 2 Patricia Lengua Lafosse


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En forma matricial, las regresiones se escriben como: X2 = X1 θ1 +Wθ2 +v = Zθ + v

(14)

1 0 ZX

y se calculan las

El estimador de este modelo es b θ = (Z0 Z ) b predicciones X2 .

Las predicciones se resumen en la matriz b 2 = Z(Z0 Z) 1 Z0 X2 = PZ X2 con PZ = Z(Z0 Z) X proyección.

2

1

Z0 la matriz de

b 2 en lugar de X2 en la Segunda etapa: Utilizar las predicciones X ecuación (13) y estimar por MCO la ecuación: b 2 β +η y = X1 β 1 + X 2



(15)

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. b = X1 ..X b 2 , entonces (15) puede ser representado Si llamamos X

b + η y el estimador MCO del vector de parámetros como: y = Xβ β en (15) es el estimador MC2E: b b0 b β MC 2E = (X X)

1 b0

Xy

el cual es un estimador sesgado pero consistente.



(16)

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. . b = X1 ..X b2 = X b 1 ..X b 2 donde Notar que X

b 1 = Z(Z0 Z) 1 Z0 X1 = PZ X1 = X1 es la proyección de la X regresiones de X1 contra Z, y que es igual a X1 pues Z 0 1 contiene estas variables (con PZ = Z(Z Z) Z0 ).

Como resultado de lo anterior y que b 2 = Z(Z0 Z) 1 Z0 X2 = PZ X2 se tiene que X . b = P X ..P X = P X. X Z

1

Z

2

Z




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Luego reemplazando en (16), tenemos: b β MC 2E

= (X0 PZ X) 0

0

1

= (X Z(Z Z)

X0 PZ y 1

0

Z X)

(17) 1

0

0

X Z(Z Z)

1

b Z y =β VI 0

Notar que (17) es más general que lo presentado en la sección anterior pues es válido para l k. Si l = k, (17) se reduce a (12).



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Cabe mencionar que la estimación por MCO de la 2da etapa no entrega los errores estándar correctas del estimador MC2E. La matriz de varianzas y covarianzas correcta es: 0 2 0 b Var ( β MC 2E X) = σ (X Z(Z Z)

1

Z0 X )

1

donde σ2 puede ser estimado mediante: b2 = σ

(y

0 b Xβ MC 2E ) (y n

b Xβ MC 2E )

La consistencia del estimador de MC2E está garantizada por lo presentado en la sección anterior. Patricia Lengua Lafosse


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Endogeneidad Test de endogeneidad

Test de Hausman (1978): Compara estimadores alternativos: MCO y MC2E(VI): Si todos los regresores son exógenos, entonces MCO como MC2E son consistentes pero MCO es más e…ciente (Gauss-Markov). Si hay regresores endógenos, solamente MC2E será consistente.

Hipótesis nula: No endogeneidad. Estadístico H de Hausman: H=n

b (β VI

0 b b β MCO ) D ( βVI

b β MCO )

b ) Var ( β b donde D = Var ( β VI MCO ), y D es la inversa generalizada de D (Aquella matriz D que cumple DD D = D ). Patricia Lengua Lafosse


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a

Bajo la hipótesis nula, H χ2 (k2 ) donde k2 es el número de regresores endógenos en la estimación por VI. Si H > χ21 α (k2 ), entonces se rechaza la hipótesis nula de exogeneidad. Valores pequeños de H nos llevarían a pensar que no hay mucha variación entre ambos estimadores, y por ello, sería conveniente usar MCO en vez de MC2E.



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Test de Wu-Hausman: Asintóticamente equivalente a test de Hausman. Tiene tres pasos: Estimar la 1era etapa del MCO y calcular los residuos b ξ 1i , b b ξ 2i , ... ,ξ k2 i . Incluir estos residuos en la ecuación principal (13) y estimar por MCO. Realizar una prueba F de la signi…cancia de los coe…cientes de b ξ 1i , b ξ 2i , ... ,b ξ k2 i . La hipotesis nula es que los regresores son exógenos. El estadístico F se distribuye como una F (k2 , n (k + k2 )).



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Veri…cación de las condiciones de relevancia y exogeneidad La efectividaad del método de VI recae en el cumplimiento de las condiciones de relevancia y exogeneidad, sin las cuales sus resultados serían sesgados e inconsistentes, inclusive con sesgos más grandes que los de MCO. El problema de instrumentos débiles Se ha elegido instrumentos que tienen una correlación muy débil con el regresor endógeno. Si tal correlación es baja, no se obtendrá b 2 a utilizarse en el paso 2, lo cual invalidaría una buena predicción X los resultados. Si la covarianza de los instrumentos y la variables endógenas es b podría no tender al cercana a cero ocurrirá que P lim β IV parámetros poblacionales que se pretenden estimar. b se incrementa notablemnte Además, la varianza del estimador β IV en muestras …nitas, haciendo que se pierda precisión en la estimación. Patricia Lengua Lafosse Endogeneidad (Econometría Intermedia: M2)

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El problema de instrumentos débiles Ver si los instrumentos están correlacionados con el regresor endógeno a través de la prueba F en la 1era etapa del procedimiento de 2 etapas. Método propuesto por Staiger y Stock (1997): caso de un solo regresor endógeno (k2 = 1) Regla de oro: si el estadístico F de signi…cancia conjunta que prueba la hipótesis H0 : θ2 = 0 en la ecuación (14) es mayor a 10, entonces los intrumentos W son relevantes. Método propuesto por Stock y Yogo (2002): caso de un varios regresores endógenos (k2 > 1) La regla de oro anterior no es apropiada. Patricia Lengua Lafosse


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El problema de instrumentos débiles Método propuesto por Stock y Yogo (2002): Generalización del test F elaborado por Stock y Yogo (2002) que consiste en el menor valor propio de la matriz m m de Cragg y Donald (1993): Gn =

1 b 1/2 b0 ?0 ? b b 1/2 ° θ2 Z Z θ2 ° ZZ n ZZ

donde Z? = Mx1 Z, Mx1 = I X1 (X10 X1 ) 1 X10 , °b ZZ = n 1m X2?0 MZ? X2? , X2? = Mx1 X2 . Cuando el mínimo valor propio es mayor que los valores críticos calculados por los autores, la hipótesis nula de instrumentos débiles se rechaza en favor de que los intrumentos W son relevantes. Patricia Lengua Lafosse


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Validez de la exogeneidad de los instrumentos

Se requiere tener instrumentos W que no estén correlacionados con los términos de perturbación. Como vimos anteriormente, si P lim( n1 Z0 u) 6= 0, el estimador de variables instrumentales es inconsistente. Test de Sargan y test J de Hansen



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Validez de la exogeneidad de los instrumentos El test de Sargan (1958) y su generalización para errores robustos en el test de J de Hansen (1982) pueden aplicarse al caso en que el número de instrumentos excluidos de la regresión es mayor al múmero de regresores endógenos (m > k2 , caso sobreidenti…cado).

La única diferencia entre ambos test es que el de Sargan asume homocedasticidad condicional.



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Validez de la exogeneidad de los instrumentos Los pasos de los test son: 1

2

Estimar la ecuación (13) por MC2E utilizando los instrumentos bi . propuestos y capturar los residuos u bi = Yi Y

Regresionar por MCO los residuos u bi contra todos los instrumentos X2i , X3i , ..., Xki , Wi 1 , W2i , ..., Wmi .

3

Hallar el estadístico F que contrasta la hipótesis que los coe…cientes de Wi 1 , W2i , ..., Wmi son iguales a cero.

4

Bajo la hipótesis nula de instrumentos exógenos, el valor J = mF se disribuye asintóticamente como una χ2 (m k2 ).



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