Cinematica Cuerpo Rigido 6a2v6t

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA – FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

Departamento Académico de Estructuras Curso: DINÁMICA Tema: CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO Profesor: Ing. Luis Fernando Lázares La Rosa E-mail: [email protected] Curso: DINÁMICA – EC114

Profesor: Ing. Luis Fernando Lázares La Rosa

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Índice:

-Introducción. - Movimiento de Traslación: a) Propiedades b) Ecuaciones de movimiento. - Movimiento de Rotación alrededor de un eje: a) Propiedades b) Ecuaciones de movimiento.

- Aplicaciones Curso: DINÁMICA – EC114

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Bibliografía: -Mecánica Vectorial para Ingenieros - DINÁMICA Autores: Beer F., Johnston R., Clausen W. Mc Graw Hill - Ingeniería Mecánica - DINÁMICA Autor: Hibbeler R. C. Pearson Educación - Mecánica para Ingenieros - DINÁMICA Autores: Merian J. L., Kraige L. G. Editorial Reverté

Curso: DINÁMICA – EC114

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INTRODUCCIÓN La CINEMÁTICA es el estudio de la geometría del movimiento aplicado a una partícula o a un cuerpo rígido y se usa para relacionar el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo sin hacer referencia a la causa del movimiento. Se estudiará la cinemática en el plano, o estudio de la geometría del movimiento en un plano de un cuerpo rígido. Su estudio es importante para el diseño de engranes, levas y mecanismos empleados para muchas operaciones de máquinas. En ingeniería civil es importante para interpretar el comportamiento y análisis de elementos que por ejemplo integran una estructura.

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Cuerpo rígido: Es un sistema de partículas que mantienen invariables sus distancias mutuas. Esta formulación es ideal ya que todos los materiales sólidos cambian algo de forma cuando se les aplican fuerzas. Si los movimientos asociados a los cambios de forma son muy pequeños frente a los movimientos globales del cuerpo, el concepto ideal de rigidez es aceptable.

-El diafragma rígido y la losa o placa al desplazarse rígidamente (sin deformación) puede trasmitir el desplazamiento a otros elementos como muros, haciéndolos todos a la vez y de igual forma. Curso: DINÁMICA – EC114

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CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS Se investigará las relaciones que existen entre el tiempo, las posiciones, las velocidades y las aceleraciones de las distintas partículas que forman un cuerpo rígido.

Es posible someter un cuerpo rígido a tres tipos de movimiento en el plano, específicamente traslación, rotación en torno de un eje fijo y movimiento plano en general. TRASLACIÓN: Un movimiento es de traslación si cualquier línea recta de un cuerpo permanece en la misma dirección durante el movimiento. Todas las partículas que forman el cuerpo se mueven a lo largo de trayectorias paralelas. Si estas trayectorias son líneas rectas se dice que el movimiento es una traslación rectilínea, si las trayectorias son líneas curvas, el movimiento es una traslación curvilínea. Curso: DINÁMICA – EC114

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CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS A’

A’

s

s A

A B’

s

B

Traslación rectilínea

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B’ B

s

Traslación curvilínea

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CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS A’

s A B’

s

B

Traslación rectilínea

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Trineo para ensayo de cohetes

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CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS A’

s A

B’ B

s

Traslación curvilínea

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Placa oscilante sujeta con barras paralelas

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CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS y

Considérese un cuerpo rígido en traslación (rectilínea o curvilínea) y sean A y B cualesquiera de sus partículas. Representando por rA y rB los vectores de posición de A y B con respecto a un sistema de referencia fijo y por rB/A al vector que une A y B

B

rB

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A

rA

rB = rA + r B/A Si se deriva esta expresión con respecto al tiempo, por la definición de traslación el vector rB/A debe mantener su dirección y magnitud constante, ya que A y B corresponden al mismo cuerpo rígido.

rB/A

x

O z Entonces la derivada de rB/A es cero: VA = VB

aA = aB

Ecuaciones de movimiento

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PROPIEDADES DE LA TRASLACIÓN Cuando un cuerpo rígido está en traslación, todos los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad y la misma aceleración en cualquier instante

y

y B

a B

v a

A

v

A x

x z

z

Traslación curvilínea: velocidad y aceleración cambian de dirección y en cada instante. Traslación rectilínea: velocidad y aceleración mantienen la misma dirección durante todo el movimiento. Curso: DINÁMICA – EC114

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CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS ROTACIÓN CON RESPECTO A UN EJE FIJO: En este movimiento las partículas que forman el cuerpo rígido se mueven en planos paralelos, a lo largo de círculos centrados sobre el mismo eje fijo. Si este eje, llamado eje de rotación, intersecta al cuerpo rígido, las partículas localizadas sobre el eje tienen velocidad y aceleración cero.

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B

A

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CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS La rotación no debe confundirse con ciertos tipos de traslación curvilínea. Por ejemplo la placa izquierda está en traslación curvilínea con todas sus partículas en movimiento a lo largo de círculos paralelos, mientras que la placa derecha está en rotación con todas sus partículas en movimiento a lo largo de círculos concéntricos B2 B2

A2 A1 C2 C1

A1

B1

B1

A2 D2 D1

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C1

D2

C2

D1

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CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS z

El cuerpo rígido gira con respecto a un eje fijo AA’. Sea P un punto del cuerpo y r su vector de posición con respecto a un sistema de referencia fijo. Sea B la proyección de P sobre AA’, como P debe permanecer a una distancia constante de B, describirá un círculo de centro B y radio rsen , donde el ángulo formado por r y AA’.

A’

B

es

P

La posición de P y de todo el cuerpo x está definida por el ángulo que forma la línea BP con el plano zx. El ángulo se conoce como la coordenada angular del cuerpo. 1 rev = 2 rad = 360° Curso: DINÁMICA – EC114

O

A

r

y

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CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS z

La velocidad de la partícula P es un vector tangente a la trayectoria de P.

V = d r /dt S = (BP) S

BP

V = ds/dt = (r sen

°k

)

Dividiendo entre t y obteniendo el límite cuando t 0 ° V = ds/dt = r sen

como :

°

=

V = ds/dt = r °

V = d r /dt = r = Curso: DINÁMICA – EC114

B P k i

v

r

O j

sen

xr Profesor: Ing. Luis Fernando Lázares La Rosa

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CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS El vector k k se llama velocidad angular del cuerpo. Está dirigida a lo largo del eje de rotación y es igual en magnitud a la rapidez de cambio

z

de la coordenada angular.

°k

Hallando la aceleración:

a = dV/dt d ( x r ) /dt a = (d /dt) x r x (dr/dt) a= xr xV

a=

xr

B P k i

v

r

O j

x ( x r)

= aceleración angular del cuerpo Curso: DINÁMICA – EC114

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CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS z

k

k xr

k

componente tangencial de la aceleración.

°k

x(

xr)

B

componente normal de la aceleración.

P k i

x(

v

r

O j

xr) xr

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y

ROTACION DE UNA PLACA REPRESENTATIVA

La rotación de un cuerpo rígido con respecto a un eje fijo puede definirse por el movimiento de una placa representativa en un plano de referencia perpendicular al eje de rotación

V=

xr

Dirección:

k

=

r gira 90°

V=

v= kxr

P r

0

r

x

= k

sentido rotación de la placa

y

a= a=

xr

x(

kxr at =

xr)

r r

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an =

at = k x r

k

at = k x r an = r r

an = 0

2r

P x = k

= k Profesor: Ing. Luis Fernando Lázares La Rosa