Capitulo 4 Matematica Financiera 2s2842

MATEMATICAS FINANCIERAS Hace algunos años éste era un tema al que poca ímportancia se le daba no sólo en el ámbito de las empresas (sobre todo las medianas y pequeñas), sino también en las uníversídades donde en el mejor de los casos era una materia electiva. Hoy podemos ver cómo se le consíder¿t materia básica no solamente en los programcts de istración

de

Empresas, Contctduría

y

Economía, sino

también en programas cle Ingeniería.

Las Matemáticas Financieras (MF),

también

denominadas "Ingeniería Económ.ica", recogen una serie de técnicas que penniten al ejecutivo manipular un concepto que está presente en lct mayoría de las decisiones cotidianas: la tasa de Interés.

El propósito de este capítulo es permitir el aprendizaje de las técnicas de Matemtíticus Financieras que mds aplican en la toma de decisiones, a través de la explicación de los conceptos fundamentales que las soportan y de la solución de abundantes ej ercicios prrícticos.

Esto ayudartí al lector a enfrentar sin temores los problemas cotidianos cuya solucíón requiere de lct

aplícación de dichcts técnicas y podrd, igualmente,

consultar

sin ningún temor cualquier

texto

avanzado sobre Ia materia.*

-

ISTRACION FINANCIERA-FUNDAMENTOS Y APLICACIONES Oscar León García S.

[email protected]

{ 92

Capítulo 4

El dominio de las matemáticas financieras permite a quien las utiliza realizat infinidad de análisis de tipo financiero, entre los cuales podemos mencionar los siguientes:

o o o o . o

Determinar el verdadero costo de una altemativa de financiación, o la verdadera rentabilidad de una inversión. Diseñar una política de descuentos. Establecer planes de financiamiento a los clientes cuando se vende a crédito. Seleccionar e1 mejor plan para amortizar deudas, según los criterios de liquidez y rentabilidad que tenga la empresa. Calcular el costo de capital. Escoger las alternativas de inversión a corto o largo plazo que sean más favorables

*.ntma -:erés

Seleccionar entre alternativas de costos. Evaluar un proyecto de inversión

a a

requeritl,

::l propíetario ':ia.

e.

de

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO, EQTIIVALENCIA Y TASA DE INTERES posible que no, ¿,Preferiría usted recibir $100.000 dentro de un año a recibirlos hoy? Es debido, entre otros, a factores tales como:

¡ c o

La inflación, que hace que dentro de un año el poder adquisitivo de ese dinero

sea

menor, es decir, que se desvalorice. La oportunidad que usted tendría de invertirlos en alguna actividad, haciendo que no solamente se protejan de la inflación, sino también que generen una utilidad adicional. El riesgo de que quien se los debe entregar ya no esté en condiciones de hacerlo.

Por 1o tanto, si la opción fuera recibirlos dentro de un año, usted la aceptaría solamente si le entregaran una cantidad adicional que compensara los tres factores mencionados aniba.

CANCEPTO CLA'u"i Valor d.el dinero en rt fi El dinero en el tiett:. t* capacidadde gene'-. fi dinero, es decir, de . nü riqueTa o mtís valc'

I ompuevo suDonp ]. ación de los ) usados y no

De lo anterior surge el concepto del Valor del Dinero en eI Tiempo que sugiere que en nuestras manos y nosotros tomando decisiones con é1, el dinero tiene la capacidad de generar más dinero, es decir, de generar más valor. Si, por ejemplo, usted aceptara=ól*igiera recibir $140.000 dentro de un año a cambio de

aceptar no recibir $100.000 hoy, quiere decir que para usted esos dos valores son Equivalentes, es decir indiferentes, en el sentido de que cualquiera de las dos opciones

lo deiaría

a usted satisfecho.

De lo anterior surge a su vez otro concepto, el de Equivalencía, que sugiere que para un inversionista particular dos valores (diferentes), ubicados en diferentes momentos del tiempo pueden serle indiferentes.

Cuando la riqueza obtenida en un período se relaciona con el capital inicialmente comprometido para producirla, obtenemos lo que universalmente se denomina Tasa de Interés. En nuestro ejemplo la riqueza generada fue de $40.000, que representat el 407o de interés sobre el valor original de $100.000.

y para efectos comerciales, la Tasa de Interés se expresa en términos anuales, aunque no hay ningún inconveniente en que se exprese para períodos menores (mes, trimestre, semestre, etc.), de acuerdo con a1gún propósito particular.

Generalmente

r

l

si

Matemáticas Financieras

rlll li

,.

'

.. il1ce

: st'glores ,.' :dos en ,t - '¿ntos del

¡lnrL,il]rii rr

t::::

t ^..; '.:uerida de rlliirrll - .: -¡rio es su rflllllilr] :: m¡

93

Quiere decir, por lo tanto, que lo que un inversionista exige como cantidad
El concepto de Equivalencia, aunque sencillo, es extremadamente importante ya que no se puede hablar de equivalencia sin hacer mención de la tasa de interés que satisface dicha condición. Por ejemplo, $100.000 hoy son equivalenres a $140.000 denrro de un año a una tasa del 40Vo. Iglalmente, al 357o, $13,5.000 dentro de un año son equivalentes a $100.000 hoy. O también, $160.000 dentro de un año son equivalentes a $100.000 hoy a una tasa del 60Vo, etc.

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO Cuando sobre un préstamo el interés que se reconoce es igual a la tasa que se cobra por período multiplicada por el número de períodos, se dice que se está cobrando interés simple.

Por ejemplo, si una empresa toma un préstamo de $500.000 por 3 meses al Z.5Vo mensual bajo la modalidad simple, al final tendrá que pagar el capital más unos intereses acumulados de $37.500 que se obtienen así: 500.000 x 2.5Vo x 3. euiere decir esto que los intereses que se causaron cada mes y que no fueron pagados no acumularon ningún tipo de interés adicional.

Bajo la modalidad de interés compuesto se supone que los intereses causaclos cada período pasan a conformar un nuevo capital sobre el cual se causarán los intereses del período siguiente. Si en el ejemplo ésta fuera Ia condición, el pago al final del tercer mes sería, además del capital inicial, unos intereses acumulados de $38.445,3 I que se calculan como aparece en el Crrl-dro 4-l que se muestra adelante.

Allí el lector podrá observar, que el valor de $538.445,31 obtenido al final equivale a multiplicar 500.000 x 1,025 tres veces consecutivas. Igualmente, el valor de los intereses acumulados se obtiene restando al monto total acumulado, el valor inicial del préstamo.

2 3

500.000,00 512.500,00 525.312,50

12.500.00 12.812.50 13.132,81

512.500 525.312.50 538.445.31

Cuadro 4-1. Acumulación de intereses compuestos

No sobra aclarar que además de la condición simple o compuesta para el

interés,

también podrá pactarse el momento de pago de éstos (mensuales, trimestrales, etc.), y si son anticipados o vencidos. Las implicacianes de estas condiciones serán discutidas más adelante en el presente capítulo.

,\lucha gente discute si es lógico y justo cobrar intereses compuestos. Pensemos en la sieuiente situación.

I 94

Capítulo 4

Suponga que usted deposita un millón de pesos en una entidad que ofrece pagar el 307o anual, liquidables cada mes, es decir, el 2,5Vo mensual vencido. Usted desea rcalizar esta transacción sólo durante un mes con la esperanza de que los $25.000 que recibirá al

final los destinará al pago de la última cuota de un bien que igualmente compró a crédito hace algún tiempo. Cuando va a reclamar sus intereses, en la entidad financiera le dicen que ha habido unos problemas que impiden pagárselos y por lo tanto le piden que por favor regrese dentro de 30 días, al cabo de los cuales le devolverán su capital y los intereses de los dos meses. Para usted no incumplir con la cuota de $25.000 que debía pagar, le solicita a un amigo que se los preste, e1 cual lo hace cobrándole, igualmente, el 2,5Vo, para 1o cual usted le firma un documento por $25.625 con vencimiento a 30 días. Cuando al cabo de un mes usted va a la entidad financiera por su dinero, le entregan un cheque por $1.050.000. ¿Estaría usted de acuerdo con este pago?

Lo más lógico es que no 1o esté, ya que dicha entidad al no cumplirle con el pago en el primer mes, hizo que usted incurriera en un costo de oportunidad de $625 que es precisamente el interés que deberá reconocerle a su amigo por el préstamo de los $25.000. De forma que usted reclamará sus derechos y exigirá que le paguen dicha suma. En otras palabras, que le reconozcan intereses sobre los intereses causados y no pagados en el momento acordado, es decir, que le respeten su criterio de "Equivalencia" ya que para usted son equivalentes $ I .000.000 hoy a $ I .050.625 dentro de dos meses y no $1.000.000 hoy a $1.050.000 en el mismo lapso.

O sea que sí es lógico y justo que se cobren intereses compuestos ya que éstos tienen en cuenta el valor del dinero en el tiempo, es decir, reconocen el hecho de que quien presta y no recibe los intereses en el momento de su causación tiene el derecho de cobrar intereses sobre éstos, para compensar el costo de oportunidad en el que incurre por no haberlos podido disfrutar antes.

El cobro de inferés t es lógico.

Además, eso de los intereses compuestos no es nada nuevo. Si usted lleva su dinero a una entidad financiera, lo coloca a una determinada tasa y cada mes cuando va a reclamar los intereses los deposita de nuevo a esa misma tasa, ésta se los recibirá. Es más, si usted les dice que para no tener que ir todos los meses, más bien se los capitalicen automáticamente, más cómodo para ellos. ¿Y eso cómo se llama? Sencillamente "Interés Compuesto". Luego, si las entidades financieras pagan interés compuesto es porque ésta es una práctica normal y por lo tanto es lógico que también lo puedan cobrar.

Surge ahora otro elemento de discusión: ¿Cuál es peíodo de causación de los intereses? ¿Quién dice que es un mes? ¿Por qué no un trimestre o un semestre? Comercialmente se supone que un servicio se paga cuando se presta y que hay un límite de tiempo en el cual éste debe ser pagado para poder seguir disfrutándolo. Si analizamos algunos de los más importantes servicios de terceros a los que la empresa recure para su normal funcionamiento nos encontramos que generalmente su período de causación es un mes. Por ejemplo, la energía, el arrendamiento, el teléfono, el seguro social, etc. Para el servicio que se paga por el préstamo de dinero, o sea el interés, también se ha establecido como costumbre su liquidación mensual. Que tanto el interés como los demás servicios no se paguen en ese lapso es otro problema. El hecho es que cada mes se contrae la obligación de pagarlos, es decir, se causan, y si esto no se hace habrá lugar al reconocimiento de una compensación al acreedor por el costo de oportunidad asumido por éste.

Ahora bien, es posible que entre acreedor mayores que un mes. Veamos.

y deudor se pacten

períodos de causación

EI período de causacic, ínterés es, generalmeri:t mes,

pero cualt¡uier or,

de condición puede ser pactada entre prestani;

prestatario.

Matemáticas Financieras

95

Si volvemos a nuestro ejemplo y suponemos que tanto usted como la entidad financiera estuvieron de acuerdo en que el dinero se prestaría por dos meses, ¿aceptaría usted los $50.000 de intereses por el mencionado período? De nuevo. debemos responder que no, pues si así se hiciera la tasa de interés mensual recibida ya no sería del 2,57o sino una menor. Piense el lector en este problema, trate de determinar cuál sería la tasa que realmente ganaría si aceptara el mencionado valor y cuál sería la tasa que debería cobrar para prestar su dinero por los dos meses, es decir, la tasa bimestral, para que fuera equivalente al 2,5Vo mensual. En el ejercicio ilustrativo No.18, más adelante en este capítulo aparece resuelta esta situación. Remítase el lector al mencionado ejercicio una vezhaya comprendido el concepto de interés efectivo que se explica más adelante. Como al cabo de dos meses se deberían acumular $1.050.625, la tasa de interés a cobrar si los intereses se liquidaran cada dos meses sería del 5,0625Vo bimestral.

Si usted aceptara que le liquiden los intereses cada trimestre la tasa de interés a cobrar sería del 1,689IVo trimestral que se deduce del valor equivalente acumulado al cabo de tres meses tal como aparece en el cuadro 4-2

l 2 3

1.000.000 1.025.000 1.050.625

25.000 25.625 26.266

1.025.000 2.5Va mensual 1.050.625 5.0625Va bimestral .076.891 ,6891Va trimestral 1

7

Cuad¡o 4-2. Cálculo de la tasa de interés para diferentes tipos de período de liquidación

FORMULAS DE MATEMATICAS FINANCIERAS Si en vez de solicitarle a usted la liquidación trimestral de intereses, se le pidiera que permitiera liquidarlos cada año. ¿Qué tasa de interés exigiría para aceptar dicha propuesta?

Una opció,p sería completar el Cuadro 4-2, 1o cual implicaría calcular el valor acumulado mes tras mes (obteniendo un cuadro de 12 renglones), lo cual sería muy dispendioso. O lo que es 1o mismo, deberíamos multiplicar 1.000.000 x 1,025 doce veces consecutivas con el fin de hallar el valor equivalente que se acumularía en este lapso y a partir esta cifra deducir la tasa de interés que buscamos, lo que igualmente es un pfoceso engoffoso. :'Tnulas de matemtíticas :eras

, . tllr

a

permiten calcular

; equivalentes ubicados r ent e s mome nt o s de I

Pensando en la problemática planteada por esta alternativa y otras que plantearemos más adelante. hace muchos años. académicos estudiosos de las Matemáticas Financieras

(MF), diseñaron una serie de fórmulas denominadas "fórmulas de matemáticas financieras" cuyo propósito es permitir el cálculo de valores equivalentes en diferentes momentos del tiempo, por lo que también se les denomina "fórmulas de equivalencia".

Las alternativas que se pueden presentar y las respectivas fórmulas a utilizar para su manejo se ilustrarán a continuación, teniendo en cuenta que sólo demostraremos la primera fórmu1a que es justamente la que soluciona nuestro problema del millón de pesos y que es a la vez la más sencilla y la más impoftante. Si el lector desea profundizar en la forma como se obtienen las demás fórmulas, deberá remitirse a cualquier texto de ingeniería económica. Para expresar las fórmulas utilizaremos los siguientes símbolos y criterios:

Capítulo 4

96

PAFl= Jl=

Valor presente o principal de un préstamo o inversión' Se supone ubicadf al principio, o momento cero (0), con respecto a los demás períodos cons iderados. ^cuota

uniforme y periódica. Está ubicada al final de cada período. val0r futuro o valor acumulado al final de un determinado número de períodos. Tasa de interés

decir, iguales.

2. 3.

Número de períodos (meses, trimestres, semestres, años' etc')'

Acumulación de un valor Presente. o sea hallar una cantidad F' durante n períodos' producto de acumular una cantidad inicial P, a la tasa de interés i, dado P' y la Encontrar " opción bn adelante seguiremos llamando esta _F, P"' La forma F dado "Encontrar lee se F/P donde simbolizaremos así: (F/P, iTa, n.),

Fórmala

Las cuotas deben Poseer características: l. Deben ser uniform,.

No.l

Deben ser Periódíc decir, darse en tori períodos. Deben estar ubica¡;" final del período

Lafórmula

No.1

F=P(]+i)'eslamás, y a Ia vez la mtís imPo' de todas.

gráfica de ilustrarla es la siguiente:

F=? n

El gráfico supone que

se invierte una cantidad P en el momento cero (0) con

el fin

de

un inversionista' El retiraf una cantidad F en el momento n. Esta sería la situación para una cantidad P recibir y significaría gráfi.copara quien recibe el dinero sería el contrario n' o sea: momento el F en cantidad una momento cero, con el fin de devolver

ilil tl

en el

P

.iiil

n

E-.' puede concluirse que la ilustración gráfica de un problema dependerá de la parte irelevante el implicada para la cual quiere resolverse. En adelante consideraremos hecho de elaborar el gráfico en un sentido u otro' del préstamo Para desarrollar la fórmula de esta primera alternativa retomemos el caso final de los doce al acumulado del millón de pesos en el que se requería conocer el valor meses a una tasa del2,57o mensual' veamos primero cual sería el valor acumulado al final del primer mes, o sea Fr. F1

= 1.000.000 + 1.000'000 (0'025) = 1'025'000

reemplazando 1os valores por los símbolos tenemos que:

Fr=P+P(i) y sacando factor común P obtenemos

Fr=P(1+i)=1.025.000 Al final del segundo mes el monto acumulado Fz será: F" = 1.025.000 + i.025.000 (0,025) = 1.050'625

r

l

Matemáticas Financieras

Utilizando los símbolos y obteniendo el respectivo factor común obtenemos:

Fz=P(1+i) +P(1+i)(i) =P(1 +i) tl +il =P(1 +i):

= 1.050.625

Al final del tercer mes el valor acumrllado F3 será: F¡ = 1.050.625+ 1.050.625 (0,025) = L076.891

F:=P(l+i)2 +P(1+i)(i) = P(1 +i¡2 ¡l +il = P(1 +i)3

= 1.076.891

Analizando las expresiones de los valores acumulados mes tras mes nos encontramos ante la presencia de una serie del tipo:

F"=P(1+i)" Lo que sugiere que el valor acumulado al final del mes 12 seú:. Frz = 1.000.000 (1 + 0,025)12 = 1.000.000 (1,344889) = 1.344.889

Que implica que la tasa de interés que debería exigirse en el evento de aceptar la liquidación anual, sería del 34,48897o anual.

Al valor 1,344889 que aparece entre paréntesis

riili.,-.':ultiplicador r'"'! a'. e rtír unT ulr

-

--,

- , ..

equivalente,

-.:4adas

r, :. :.riodoy

tasa

se

le denomina " Factor"

.

En este caso, 1,344889 que es la cifra que se obtiene de desarrollar la parte algebraica de la fórmula, es un valor que sólo sirve para una cosa: Encontrar, a partir de cualquier monto, un valor que se acumula al cabo de 12 períodos si la tasa es del 2,5Vo por período. Expresado como símbolo se escribe (FIP.2.57o. i2), y se leería "encontrar F dado P, al2,S7o en 12 períodos". O sea que FiP no significa "F sobre P".

El simbolismo general de la situación planteada en (FlP,

i%o,

esta primera fórmula se escribiría n), que se lee "encontrar F dado P, a la tasa de interés !, en n períodos".

Para simplificar y siempre y cuando no sea necesario para la explicación pertinente, en el futuro continuaremos aproximando los decimales en las respuestas, más no en los

ni en las tasas de interés. Para los factores siempre utilizaremos 6 cifras decimales.-€üando se trate de deducir o manipular tasas de interés utilizaremos cuatro cifras decimales. factores

En general diremos que: \i

F=P(1+i)" Fórmula No.1 F = P (FIP, i"/o, n)

MANEJO DE LA CALCULADORA FINANCIERA iilrl ." -,,

tladora -;itorro

lllllrllll'

"

,

nirio.

Es posible que el lector nunca tenga que recurir a las fórmulas para solucionar un problema específico, y mucho menos que deba aprenderlas de memoria, pues para ello existe la Calculadora Financiera cuya utilidad es el ahorro de tiempo que implica su uso, en aras de que quien la úlliza disponga de más tiempo para pensar, plantear alternativas y evaluar los resultados.

I 98

Capítulo 4

Las Calculadora Financiera debe considerarse como un mero instrumento para facilita¡ los cálculos pues su manejo, más que un proceso mecánico, es un proceso racional en el sentido de que la clave estó en plantear adecuadamente el problema que se quiere resolver, para luego plasmarlo en forma de instrucciones en la máquina.

Lo anterior sugiere que para poderlas aprovechar al máximo, el debe conocer ktclatepararesolverun muy bien todos los elementos teóricos involucrados en las operaciones. Por eso se problema de MF está en aconseja que cada que se tenga que resolver un problema siempre se elabore primero

gráfico de

la

un

situación planteada, para luego poder introducir los datos en ia

calculadora, la cual es de muy fácil manejo.

Los modelos máfropulares en el mercado son la

lzc, IIB-II y t9B-n

de Hewlett

Packard (HP) y la FC100 y FC200 de Casio.

Las operaciones básicas se hacen utilizando cinco teclas que representan, a su vez, las cinco variables utilizadas en las fórmulas. Ellas son:

Donde:

N IVo

PV PMT

FV

N M t?v lfMil kv

I

Número de períodos Tasa de interés del período Valor presente (P), por sus iniciales en Inglés (present value) Pago o cuota (A), por su abreviatura en Inglés (payment). Valor futuro (F), por sus iniciales en Inglés (future value)

Los modelos 178-II y 198-II de HP ofrecen la posibilidad de manejar las variables en varios idiomas, entre ellos el Español. En ellas, las teclas aparecen como se ilustra a continuación, donde IToA significa tasa de interés anual.

tr @ |vA-l fPAGol [v-l Dado que la gran mayoría de s, por su menor costo, poseen modelos de la marca Casio que sólo maneja el idioma Inglés, en este texto adoptaremos las variables en este

idioma Una vez definidas las variables que'tntran en juego, producto de la elaboración del gráfico, se introduce el valor de cada una de ellas digitando su valor en el teclado numérico y luego oprimiendo la tecla respectiva. Para pedir el valor de la variable desconocida, simplemente se oprime la tecla correspondiente después de introducir la última variable conocida y la calculadora mostrará el resultado. Así tenemos que el ejemplo del millón de pesos que utilizamos para explicar la primera fórmula se resolvería en la siguiente forma:

N MTPV_I fPMrl I FV I E@ 12 2,5 1.000.000

- 1.344.889

Con respecto a esta secuencia y el resultado obtenido en nuestro ejemplo, sugerimos al lector que antes de comenzar a digitar en su calculadora, si no conoce su forma de uso, tenga en cuenta lo siguiente: Secuencias según el modelo de calculador¿. La secuencia no es siempre la misma para todas las calculadoras. Dependiendo de la marca y el modelo hay pequeñas diferencias, que aparecen claramente especificadas en el respectivo manual del .

planrearlo adecuadamente'

Matemáticas Financieras

99

Por ejemplo, en las calculadoras Casio antes de oprimir la tecla correspondiente a la variable desconocida debe oprimirse una adicional, denominada COMP, abreviatura de la palabra inglesa compute, que significa computar o calcular y que aparece a la izquierda de la tecla n. Igualmente, en el modelo FC200, además de que para pedir un resultado hay que digitar la mencionada tecla, debe igualmente digitarse ia tecla EXE, abreviatura de la palabra inglesa Execute, que significa ejecutar y que aparece en el extremo inferior derecho de la calculadora. Igualmente, las calculadora Casio deben estar configuradas en moclo financiero, el cual se activa digitando la tecla MODE y en número l. En la pantalla aparecerá la palabra FIN que significa Financiero.

El resumen de las secuencias aparece en el cuadro 4-3. Se invita al lector a intentarlas de acuerdo con el modelo de calculadora que posea.

17",

PV

l-"ly Cuadro

__ 4-3

__

PMT _i"go:vrL

_

Iy^.

""-_

l_c-.*o_¡a.e nv EXE'--

I I

I

-l

I

Secuencia de digitación en la calculadora financiera

En las calculadoras HP 178-II y 198-II, para encontrar las teclas que representan las variables de las fórmulas debe ingresarse al menú correspondiente siguiendo estas instrucciones.

Situarse en el menú principal de la calculadora. Digitando la tecla amarilla y luego la tecla que dice EXIT (salir). Digitar la tecla amarilla se hace con el fin de activir opciones que en el tablero de la calculadora aparecen escritas con dicho color. En nuestro caso, encima de la tecla EXIT aparece en color amarillo la palabra MAIN (principal), 1o que significa que haber digitado ra anterior secuencia no implicó "salir" del menú sino ir al menú "principal". 2. Entrar al Menú Financiero. Al digitar las teclas propuestas en el numeral anterior aparecen en la pantalla de la calculadora, y en orden de izquierda a derecha, cinco opcianes a saber: FIN - BUS - suM - TIME - soLVE, suponiendo el uso del idioma Inglés. Estas opciones se activan con las teclas blancas de la primera fila, que están debajo de la pantalla. La opción FIN que significa "Menú Financiero', se activaría digitando la primera tecla blanca de la izquierda que es Ia que está justo debajo de dicha opción. 3. Entrar al Menú del Valor del Dinerc,¡ en el Tiempo. Al entrar al menú financiero aparecen en la pantalla, de izquierda a derecha, las cinco opciones siguientes: TVM - ICONV - cFLo - BOND - DEPRC. La primera opción corresponde a las iniciales de las palabras en Inglés Tíme value Money, o sea valor del Dinero en el Tiempo que es al menú que debemos entrar digitando la primera tecla blanca de la priméra fila, que es la que aparece justo debajo de dicha opción. Al hacerlo aparecérán los cinco campos básicos. 4. Configurar I Pago por Año. Al aparecer los cinco campos después de seguir la instrucción anterior también aparecerá en el costado izquierdo de la panálla el mensaje "l2 P/YR" que en Español significa "12 pagos por Año,' (li payments per Year). Este mensaje supone que la calculadora está configurada de forma que los intereses se liquidan 12 veces al año, es decir, mensualmente, con lo que 1a tása de interés a digitar en el campo r7o debería ser una tasa anual, que la máquina divide automáticamente por 12. A juicio del autor esta situación representa un inconveniente (aunque no grave ni insalvable), que poseen estos dos modeios de calculadora financiera. Ello en virtud de que si tenemos que desarrollar r.an¡: 1.

I Capítulo 4

100

operaciones en las que los intereses se liquidan en forma diferente en cuanto ai tiénpo, habría que configurar ia calcuiadora para cada operación. Por ejempio. si los intereses se pagan cada bimestre, habría que colocarla en seis pagos por año (6 P/YR), si se pagan trimestralmente se colocaría en cuatro pagos por año (4 P/YR). etc., io cual es supremamente engorroso ya que para realizar cada configuración hay que digitar la opción "OTHER" (Otro menú), que aparece al extremo derecho de la pantalia al lado de FV.

para evitar esta engorrosidad se sugiere mantener siempre

la

calculadora

configurada en un pago por año, "1 P/YR",1o cual signilicará que la tasa de interés que se introduzca no será propiamente una tasa anual sino más bien la Tosa del PeríorJo en Cuestión y así, a pesar de que en el menú el campo para el interés aparece como IToYR (Tasa de Interés Anual ó IToA), deberá seguirse leyendo como lá tasa de interés del período, de forma que ei valor a introducir no sería la tasa anual silo la que corresponda de acuerdo con el ejercicio que se esté resolviendo' que es la forma que corresponde con la secuencia sugerida en el cuadro 4-3.

Pttl u

(\'ilar

Itt (ngorro5¡G.

qu. ¡ntpli(lt cl modo da pagos por año" en los tnod''los HP ITBll y HP,

-

-

se sugíere mantener la

calculadora en año".

" 1 ¡trLgo

.

ri ,t

Para colocar la calculadora en "1 P/YR", después de digitar la opción "OTHER".

f

luego la tecla del extremo izquierdo de la primera fila, qr" .oo"uponcle a la opción P/YR y por último 1a tecla EXIT para regresar al menú digitar el número uno

(l),

de los campos básicos.

Resultudos con signo negativo. Para cualquiera de los modelos de ias marcas mencionadas, si el lector ha seguido la secuencia del Cuadro 4-3 ha obtenido como resultado un valor ne-qativo de $1.344.889 (aproximando los decimales), lo cual no debe preocuparnos. Sucede que para ia calculadora cada problema es un flujo de caja, tal como 1o ilustra el gráfico de la fórmula No.1, y por lo tanto, si un valor se introduce positivo, ella arroja el restlltado con signo contrario y viceversa. Es decir, que el signo negativo no significa un desembolso, ni una pérdida, ni una cifra ¿lgebraicamente negativa. Só1o significa que el flujo obtenido es de sentido contrario al introducido originalmente para la solución del problema.

En nuestro ejemplo, si queremos que el valor futuro obtenido de $1.344.889 nos

dé

El restiltado con sigt negatívo sólo signiJí éste es un.t'lujo de ct sentido contrario tli introdujo inicialme¡

positivo, debemos introducir el millón de pesos de valor presente con signo negativo, lo cual se hace cambiándole de signo con la tecla +/- antes de grabar dicho valor en el campo corespondiente. En algunas calculadoras como la Casio FC200 y la HP 12C el cambio de signo se realiza con tec.las diferentes. Sírvase el lector consultar el manual para verificar esta rutina.

Si en este punto de la explicación el lector no ha obtenido el resultado correcto, concéntrese en lo que explicaremos a continuación.

Memorias Substitutivas. Las cinco teclas que representan las variables de las fórmulas de MF operan a su vez como memorias, que no son acumulativas como las que estamos acostumbrados a operar en las calculadoras convencionales, sino que son memorias s¡bstitutivas, es decir, que cuando introducimos un dato en algún campo éste reemplaza e1

que había allí de alguna operación anterior.

En la mayoría de los manuales de las calculadoras la primera instrucción en la secuencia es borar la información que haya en los cinco campos mencionados con el fin de evitar

que en caso de que haya información en un campo no utilizado,

el resultado

sea

incomecto. e1 ejemplo, si de operaciones anteriores hubiera algún dato en el campo PMT, la calculadora Io procesaría y arrojaría un dato incorrecto, lo cual se evita grabando el valor cero (0) en dicho campo.

En

Los campos básícos calcttladoras finanti a su rez, memorías .¡ub.ttitutivas.

Matemáticas ill,,iliillti

;;" .i

comando 'borrar

á: metnorias", no es lo ;.: :

--:ejable en la

-.; ie

los casos.

Financieras

101

Borrar la información de todos los campos, como lo sugieren los manuales, puede ser contraproducente cuando hay que hacer varias operaciones con datos comunes. por ejemplo, si en el ejercicio ilustrado requiriéramos él valor que se acumula no en l2 sino

en 24 meses, borrar los campos supondía tener quJ digitar de nuevo toda la información.

con la digitación del cero (0) en el campo pMT no utilizado en nuestro ejemplo, sólo basta con introducir el nuevo valor de N y pedir el resultado, tal como se ilustra a continuación.

NEI-PV_I lPMrl l-FV_l @ 12

2,5 1.000.000

? ?

0

24

*.lción puede '-.-;e en cualquier ':

i:epto la variable

;1,'...,.tit que

siempre se

-.;,: .a tecla RCL,

t '" luego eI campo ;* ,s el dato que allí se

- 1.344.889

- 1.808.726

Ias cifras

se pueden introducir en cualquier orden. Pero siempre digitando al final la tecla para pedir el valor de la variable desconocida, que es la que aparece con el signo de interrogación (?) en el gráfico que ilustra la secueniia. obsérvese, igualmente, qué la tasa de interés entra como una cifra entera y no como un decimal.

Si a pesar de las instrucciones dadas, el lector aún no obtiene el resultado correcto, una buena forma de encontrar el error es monitorear los contenidos de los diferentes campos lo cual se hace digitando la tecla RCL (Recall), que significa recordar algo que está en

alguna memoria y luego la tecla del campo por ejempro, si digitamos "oo"spondi"nte. RCL n deberá aparecer el varor 24, que correspónde al segundo probl"-u plánteado arriba, es decir, encontrar el valor acumulado al cabo de 24 meses.

Se invita al lectgr a rcalizar a continuación los siguientes dos cálculos adicionales a partir del resultado obtenido para 24 meses, para lo cual se sugiere que escriba abajo, primero los valores que deben digitarse y luego proceda a hacerl,o en la calculadora. No olvidar que por haber datos comunes, no hay necesidad de repetir su digitación.

' o

Si envez de 24 meses, quisiéramos saber el valor que se acumularía en 48 meses. ¿Qué valor se acumularía en 48 meses no al 2,5Vo sino al3Vo?

EMfP-vl i' J"'-' *

*-,.

Utilizar este espacio :a¡a realizar el

'?''L

i.

*.i

' ' "'" ' t, - lt¡y:, tJ)

ml -'

i-

I FVI

rtt ..¡,1¿¿_].-, .t

¡

;_jercicio propuesto

{d9más de que el presente capítulo contiene bastantes ejercicios ilustrativos resueltos, al final del capítulo se ofrecen al lector dos extensos talleres para resolver.

Fórmulu No.2 vqlor Presente de un Monto Futuro. o sea hallar una cantidad p, que la tasa de interés i, equivale a otra cantidad F ubicada un determinado número

a

de

períodos más adelante. La seguiremos denominando "Encontrar p, Dado F,, y la simbolizaremos (P/F, ivo,n). Despejando p en la fórmula No.l obtenemos la fórmula para esta alternativo que junto con el gráfico corespondiente se ilustra a continuación:

0

P=?

P= F x

1

(1 + i)n

P = F (PIF,

i/", n)

Fórmula No.2

)D2'

Capiru-to 4

Por ejemplo, ¿si una empresa tiene una factura por $5.000.000 que se vence dentro de 90 días y por requerir dicho dinero con urgencia decide descontarla o venderla a una compañía financiera que cobra el 2,'77o mensual de interés, ¿cuánto recibirá hoy por dicha factura?

Resolviendo con la fórmula tendríamos: I (1 + 0,027)3 = 5.000.000 / (1,083207) = 4.615.924

P = 5.000.000

Lo anterior quiere decir que si se colocan $4.6t5.924 al 2,7Vo mensual, al cabo de 3 meses se tendrá acumulada una cantidad similar al valor de la factura que la empresa le cobraría a su cliente en caso de decidir el no descuento de ésta.

Sin embargo, se drjo que \a forma más ráprda de rea\izar esta operaclón es uti\izando \a calculadora financiera, en 1a que las teclas a digitar siguen la secuencia que aparece a continuación:

FV I Gtññ ñ@t PVltPMrlf 5.000.000 2,7

4.615.924

-

el valor futuro ha sido introducido con signo negativo, lo cual es opcional, pára obtener la respuesta con signo positivo. En adelante adoptaremos la

Obsérvese que

costumbre de digitar el valor con signo negativo, cuando sólo se utiliza un campo para introducir la variable conocida. como en este caso' Debe existir coittc:: En este punto es importante destacar un aspecto de gran importancia eir el manejo de la entre el tipo de per. calculadora financiera y es la coincidencia que debe existir entre la tasa de interés y el Íasa de interés. tipo de período. Si bien el planteamiento del ejercicio dice que la factura se veñce en 90 días y la tasa de descuento es mensual, en el campo N no podemos colocar un valor de 90 puesto que no habría la requerida coincidencia. Si la tasa es mensual, entonces el tipo de período debe ser el mes, en este caso tres.

Si en el ejercicio anterior la tasa de interés fuera el 3,2Vo merÉtJal, ¿cuánto se recibiría por la factura? Veamos la solución y analicémosla.

tr@früFMT]f_l @ 3,2

5.000.000

4.549.157

Obsérvese que el valor a recibir es menor. ¿Por qué? Porque a una mayor tasa de interés, para tener acumulados los $5 millones al cabo de tres meses se requeriría

invertir menos dinero hoy. Otro ejemplo sencillo aclara la anterior afirmación. Si queremos tener acumulados dentro de un año $150 millones y 1a tasa es del 207o anual, hoy requeriíamos invertir $125 millones (porque $125' x 1,2 = $150'); pero si la tasa

de interés no fuera el 207a sino el 507o,hoy sólo habría que invertir $100 millones (porque $100' x 1,5 = $150') 1o anterior podemos concluir que a medida que se utiliza una mayor tasa de interés para traer un monto futuro a valor presente, este último va siendo menor. Es decir, que a mayor tasa. menor valor presente y viceversa.

De

Para continuar con la práctica y a parlir del resultado obtenido, resuelva el lector las dos siguientes opciones:

¡

Si

1a tasa

factura?

de interés fuera el 2,37o mensual ¿cuánto recibiría la empresa por la

CONCEPTO Efecto de la taic sobre el valor ¡ A mayor tasa :, descuento. tt',¿" presente obt¿". ¡:'

,:t:

M atemáticas Financieras

l,

i-i

mismo 2,3% Si el vencimiento fuera dentro 75 días en vez de 90, y suponiendo el de interés, ¿,cuánto se recibiría?

trMTl rFVl M! tr flL' I l.-l 7- @tPVl ", T

'1.:1

Utilizar este esPaclo

\

'1)7'.'-:':i

l

para realizar ei

ejercicio propuesto

su digitación' Para No olvidar que por haber datos comunes no hay necesidad de repetir n=2,5. decir es fraccionario. período puede utilizar el caso ¿e toi Zi días se

Fórmulu

l¡1o.3 Acumulación de unT serie de cuotas.

a la tasa de interés

i, equivale o

se paga

o

sea

hallar una cantidad F' que

con una serie de n cuotas A, que deben cumplir

tres condiciones:

1. 2. 3.

Son Uniformes, es decir, todas son iguales' sin interrupción alguna. San Periódicas, es decir, que se dan período tras período Vencida's' Cuotas que son Están ubicadas al final defperíodo, es decir,

i7o' n) y Llamaremos a esta altemativa "Encontrar F, Dado A", se simbolízatá(FlA' la siguiente: es ilustración gráfica y fórmula correspondiente

su

E _.,

(1+i)n-1 F

n

A

Ai

A

A

=At

Fórmula No.3

¡

F = A (F/A, i%, n)

A

que el lector La obtención de la fórmula anterior implica una demostración matemática tal propósitos, nuestros para y que podrá consultar en cualquier texto de ésta materia mismo Lo enuncia. se que simplemente lo .o-o yu se dijo, no se requiere ilustrar, por se hará con las fórmulas de las restantes alternativas'

Por ejemplo, ¿cuánto tendremos acumulado al cabo ^de dos año^s si depositamos paga en 27o mensual? StOO.óOO at final de cada mes en una cuenta que F = r00.000 [(l + 0,02)24-11 / 0,02 = 100.000 (1,608437 - l) / 0,02 = 100.000 (30,421862) = 3.042.186

Y resolviendo en la calculaclora, que

trtrfPV_l 'io.3 supone que no devenga o \A q\e estó . ntismo momento :11

rvE ? if'l¿

Étjit

:!S

:¿ o retira el .-ido.

es 1o más

lT-Mrl

apropiado, tendríamos:

fFVl f@

- 100.000

3.042.1 86

la última Observe el lector cómo, de acuerdo con el gráfico que ilustra esta situación' (junto con deposita que se día mismo el cuota no gana intereses y teóricamente se retira ya que práctica, la en sucede ni lógico muy es no el resto del dinero u"o.uludo;, 1o cual decir, es inmediatamente, lo hace depósito primer el cuando una persona decide ahorrar como lo muestra el gráfico en el momento cero (0), y no al final del primer período tal de esta fórmula. Digamos en principio que sencillarnente porqlle lo que la ¿Por qué se da esta situación? planteó en

fórmula resuelve es esa situación

y no otra.

Es decir, que

su diseño se

r

Capítulo 4

104

función de esa situación, que supone cuotas vencidas'

Sin embargo esto no quiere decir que no podamos calcular el valor acumulado si la deposita en el momento cero, o sea al principio del primer período, y la último, que es 1o que ocufre en la realidad cuando se trata de últi*u de resolver pioblemas que involucrán ahorros. De hecho este es un prohlema muy fácil

prinera

,"

principio del al"u-oro

resolver tal cc¡ino vsfernos a continuación.

si los clepósitos cle $100.000 se hacen al principio

de cada mes el gráfico sería:

24

100.000

'100.000 100.000

apiicamos la fórmula No.3 a 24 cuotas de $100'000 el dinero y obtendremos un valor futuro que estaría ubicado al final del mes 23 como que buscamos F el valor para obtener que clecir quiere g¿1na un :interés óel Za/c mensual multiplicando sókt basta con agfegaf un período adicional de interés, 1o ctlal se obtiene

Lo que significa que si

el VF obtenido pori,02 paraun resultaclo de $3.103.030 ($3.04-2.186

x

1,02)

financiera Cuando las cuotas son anticipadas y no vencidas la solución en la calculadora las calculadoras se obtiene conflgr,rránciola en el denomjnado "Mr¡¿lo Antici¡toclo"' En Inglesa Casio ello se hace cligitando la tecla BGN que es la abreviatt¡ra de la palabra operando activa se FC200 Begin. que tracluce comienzo o comenzaf. En modelo Casio priirero-la teel¿r amarilla que dice SHIFT y iuego 1a tecla MODF, encima de la cual en color am¡irillo ap¿trece la abreviatura BGN. En Ia HPI2C el modo anticipado se activa donde operanCo prirneio la tecl¿r cle color azul -V luego el número 7 que es ia tecla el vez activado una modelos' estos Para BEG. .n ,ii.ho color. Ia abreviatura

oi"r..",

el ¡locio de cuota anticipada. en la pantalla aparecerá la abreviatula BGN (BEGIN en nuevo de sido haya que la calculadora hasta ilo se borará caso de ia HPl2C), la cual

cclnfigurada en modo de cuota I'encida. Para las calcuiadoras HP 17B-II

y 19B-II el modo anticipado

se activa entr¿rndo al menú

OTHER (el mismo por donde configuramos la calculadora en un pago por año). y cuya tecla aparece en ia pantalla al extremo clerecho. después de FV. Al entrar en dicho ia segunda opción dice BEC, que rii activarse y luego regresando a las teclas

'renú, básicas digitando AXff

Al

ae¡a la calculadora configurada en modo anticipado.

pedir FV para las 24 cuotas anticipadas de $100.000, obtendremos el siguiente

resuitado:

@ N@tf"_ltrMrlF] -100.000 0 24 2 ?

3.1

03.030

Con la calculadora en modo de cuota anticipada

No olvidar reconfigurar la calcuiadora en modo de cuota vencida cuando ya no se requiera tenerla en modo anticipado, con el fin de evitar errores en cálculos posteriores. En las calculadoras casio se hice digitando de nuevo la opción BGN. En la HP 12C operando la tecla azul y el número 8 en cuya tecla aparece la palabra END. En los modelos I7B-II y I9B-II entrando al menú OTHER (el mismo que se activo para y se digita la conf igurarla en modo anticipado), se activa la tercera opción qlle es END tecla EXIT para regresar al menú de las teclas básicas'

=__-_

Matemáticas Financieras

ril]lllulti

rilillll l

.

-.,.!icipado sólo ,:-.: cuotas

::.

.. tlunca

para

,:-:ícipados.

105

Es muy importante que el lector tenga en cuenta que la opción anticipada es sólo para Cuotas Anticipadas y no para Intereses Anticipados, los cuales estudiaremos en sección

posterior.

A partir del último resultado obtenido para cuota anticipada, resuelva el lector las dos siguientes opciones:

.

Si el depósito, enyez de ser $100.000 es de $150.000 ¿Cuál será el nuevo valor

.

A partir del resultado anterior ¿Cuál será el valor acumulado si la cuota

acumulado? es vencida

y no anticipada?

tr@TPVItPMrl ,::

tla-. -l 'J 11.¡ tt'

eSte eSpaCiO

:¡lizar el : r propuesto

No olvidar que por haber datos comunes no hay necesidad de repetir su digitación. Tenga en cuenta el cambio de modo anticipado a modo vencido.

Fórmul& No.4 Serie de Cuotus que Paga un Vulor Futuro. Es el caso contrario al planteado en la fórmula No.3, es decir, encontrar el valor de una serie de n cuotas A que colocadas a la tasa de interés i equivalen o pagan un valor futuro conocido F. Lo denominaremos "Encontrar A, Dado F" y los símbolos que 1o identificarán serán éstos: (A/F, iTo, n). El gráfico y la fórmula, que se obtiene despejando A en la fórmula No.3, se

ilustran a continuación:

A=F*

|

(1+i)n-1

Fórmula i.lo.A

A = F (A/F, i%, n)

A=?

Por ejemplo, una persona está pensando en viajar a los próximos juegos olímpicos que se celebrarán dentro de 25 meses. Se estima que para esa fecha el costo del programa, que incluye pasajes, alojamiento y tiquetes para entrar a los diferentes espectáculos deportivos será de $18.500.000. El desea ahorrar una cantidad fija mensual en una entidad financiera que reconoce el 2,17o mensual de forma que dentro de 25 meses tenga el dinero requerido para el viaje. ¿De cuánto será el valor de cada una de las 25 cuotas?

N @TPVI tPMr--l tFV-l @ 25

18.500.000

2,4

548.655

Con la situación planteada por la fórmula No.4 ocurre lo mismo que en el caso de la fórmula No.3 en el sentido en que su aplicación supone que las cuotas son vencidas y lo lógico es que si deseamos comenzar a ahorrar, la idea es depositar la primera cuota hoy mismo (o sea en el momento cero). Configurando la calculadora en modo anticipado obtendría el siguiente resultado:

fEv-l [P-M}l l-FV ] EE@ tr25 @ ? 18.500.000 2,4 0

-

535.796

Con la calculadora en modo de cuota anticipada

se

106

Capítulo 4

Resuelva el lector 1as siguientes dos opciones: ¡ caicular el valor de la cuota si el valor del plan es de 20 millones de pesos. o Con este nuevo valor del plan recalcular la cuota para un plazo de 20 meses y una tasa de interés del 2,6Vo mensual'

Utilizar este espacli para realizar el ejercicio propuesto

repetir su digitación'

No olvidar que por haber datos comunes, no hay necesidad de_ T.ngu"n.,"ntoqu"lacalculadoradebeestarconfiguradaenmodoanticipado.

en hallar el Fórmula No.S serie de cuotas que Paga un vulor Presente. consiste un valor pagan o i, equivalen interés de la tasa valor de una serie de n cuotas A, que a denominará Se período' primer del principio presente P conocido, ubicado ai (AIP, i%o, n). Su representación ',Encontrar A, Dado p,, y la identificaremos como gráfica y fórmula se presenta a continuación'

A

Fórmula No.5

\=P (NP,i/",

A A=?

AA

=Pxi-11!)'(1+i)n-1

pagarse en 3 años en Por ejemplo, si se compra una máquina por $5Q'000'000 que debe cada cuota? de valor el será trimestral, 8olo ¿cuál .uotu, tri-"rtrales a la tasa del

tr12 EfE"-l I

- 50.000.000

lF-Mrl

l-F"_l @ 6.634.751

interés y el tipo de Recordemos que como debe haber coincidencia entre la tasa de sobre esta base' período, si la cuota es trimestral, el plazo de tres años debe expresarse es decir, l2 trimestres Resuelva el lector las siguientes dos opciones: . Si la cuota ,oenJual y la tasa de interés es el 2,'157a, ¿Cuál será el valor de las

"s

cuotas?

.

A partir del resultado anterior ¿cuál sería el nuevo valor de la cuota si esta fuera anticipada?

f FVl @ f PVl tr-Mrl E E -1 i' 3-as b'i* a-l

\ .,,

.

digitación' No olvidar que por haber datos comunes no hay necesidad de repetir su para la anticipado modo en configurada Tenga en cuÉnta que la calculadora debe estar

el plazo se reduce a ,.gu"ndu pfegunta, en la cual se observa que si la cuota es anticipada las MF, no se conoce no si deudor, incauto el veces :ir'r.sei. hecho del que muchas por lo tanto, y hace cero el momento paga en se cuota primera percata. En dicho .uro lu las veces de una cuota inicial.

Matemáticas Financieras

101

Fórmula No.6 Valor Presente de unq Serie de Cuotas. Es la última alternativa y consiste en hallar un valor P ubicado al principio del primer período, que equivale o se paga con una serie de n cuotas A conocidas, a la tasa de interés i. Se denomina "EncontrarP, Dado A" y su símbolo es (P/A, iTo,n). su fórmula se deduce despejando P en la anterior, o sea en la número 5. Veámosla junto con su gráfico.

P=? p

0

P

+ i)n -

=¡,(1i(1+¡)" =

A (P/A, i%,

1

Fórmula No.6 n

Por ejemplo, usted desea comprar un apaftamento sobre planos, cuya fecha estimada de terminación es un año a partir de la fecha. El precio del apartamento es de 100 millones de pesos que usted pagaú en la siguiente forma: 8 millones de entrada para garantizar el

negocio. Un crédito por 50 millones con una entidad hipotecaria al momento de la entrega. El resto, o sea 42 millones, se pagarán en 12 cuotas iguales de 3,5 miilones. Sin embargo, usted dispone del dinero para evitar tener que realizar los pagos mensuales y le propone al constructor que podría anticiparlos a cambio de que éste le conceda un descuento. Si la tasa de interés que negocian es el 3vo mensual. ¿Cuánto deberá pagar hoy junto con los 8 millones iniciales? La secuencia para resolver este ejercicio en la calculadora financiera sería la siguiente:

N

@ tPVl tFMrl

12

frvl @

- 3.500.000

34.839.014

Resuelva el lector las dos siguientes opciones;

Si el constructor del apartamento decidiera aceptarle pagar el valor obtenido de $34.839.014 junto con los 8 millones iniciáles, en 6 cuotas mensuales anticipadas, ¿cuál sena el valor de éstas?

Y si aceptara 5 millones

iniciales

y

quedarían?

L

tilizar este espacio

::ia

realizar el :,'ercicio propuesto

-E@' 42i6a¿ )1-'; '

5

'

'-

15 cuotas mensuales vencidas, ¿de cuánto

'

-7'6i15'5 t

+f,q'r;i-

'

r, ;

,

No olvidar que por haber algunos datos comunes, no hay necesidad de repetir su digitación. Tenga en cuenta que para la primera pregunta la calculadora debe estar configurada en modo anticipado.

EJ ERCIC IOS I LU STRATIVOS

A continuación

se presentan abundantes ejercicios adicionales ilustrativos de las seis altemativas planteadas, que considerarán otras situaciones adicionales que se pueclen presentar, tales como la-forma de calcular un factor, una tasa de interés y el número de períodos, entre otras.

Eiercicio ilustr(ttivo No.1 Un futuro comprador de un automóvil va a una concesionaria con el fin de comprar uno financiado. AI llegar, el vendedor le pregunta que en cuá1 modelo estaía interesado a lo que él contesta que ello depende del precio del r'ehícul¡ ,. su presupuesto. Deciden entonces comenzar el negocio partiendo de la capaci,i.; :. comprador quien dice que para destinar a tal fin tiene disponible una CUorá ntii.:** -:

Capítulo 4

108

e igualmente una cuota inicial de $5'000'000' $500.000 durante los próximos 18 meses los vehículos es del 2,87o mensual. La tasa de interés que cobra la empresa que financia puede adquirir con dicho comprador que el

¿Cuál será

el valor áet u"ttituto

presupuesto'i a su mejor comprensiór''

El gráfico que explica esta situación nos ayuda

o-1 0

500.000

500 000

DondePseríaelvalorquesepagacon18cuotasmensualesde$500'000a]t2,8vode que se le financiara al comprador' Por interés mensual y por lo tanto equivale al monto a P + $5'000'000 valor del vehículo que podría comprariería igual lo tanto, el

f FVl

E@fr"l l'*l 1B

2,8

El valor del vehículo es, por lo tanto:

@ 6.994.490

- 500.000

5.000.000 + 6.994.490 = 71.994.490

que se ajusta al precio obtenido Ejercicio ilustrqtivo No.2 Supongamos que- el modelo quien muestfa preferencia por en el ejercicio anterior no es del'agrado del comprador, otro cuyo precio es de $15'000'000'

inicial de $8'005'510 (o sea el El vendedor le dice que entonces debe dar una cuota valorclelvehículomenoselvalorafinanciarde$6.994.490,yacalculado),aloqueel y que más bien

dinero por el momento comprador contesta qu" no tiene disponible más la mitad para pagarlo en dos cuotas por dividan lo ," *od"to ese mayor valor del ,ru"uo

extrasasí:unaenelmes6ylaotraenelmes12.¿Clá|seráelvalordedichascuotas? El gráfico del problema es ahora el siguiente: 10.000.000

rl ++ F''=?

500.000 500.000 5oo'000

500'000

F'=?

O

sea que deben hallarse dos valores,

Fr Y Fu ubicado.s en los

meses

6y

y que es igual ,"rp""tio:o-.nte, equivalentes al mayor valor que debe financiarse

12

a:

15.000.000 - 5.000.000 - 6.994.190 = 3.005.510

nos da un valor valor del vehículo que al restarle la cuota inicial o sea lo que presente' es el valor rotal a financiar de l0 *liion"* de pesos, y b6.994.490 hoy se pagaría con las 18 cuotas de $500'000'

Doncie 15.000.000 es

e1

o sea $1'502'755' de cada cuota extra F es la mitad de $3.005'510, en 6 y 12 meses valor último este 10s dos valores futuros se obtendrán acumulando resultados: respectivamente, obteniéndose los siguientes

si el valor presente

Matemáticas Financieras

109

tr6 E2,8 l-PVl tr-Mil f-FVl E@ - 1.502.755

12

',,,

i , -:t extras se ; ',;r. pagos adicionales ¡ :': normaL

,n:

?

1.773.564

,

2.093.175

Es importante agregar que las cuotas extras son pagos adicionales a las cuotas normales calculadas de acuerdo con las características del crédito. por ejemplo, en el mes seis se pagaríanen total $2.2'/3.564 y en el mes doce $2.593.175.

Ejercicio ilustrutivo No.3 Al conocer el valor de las cuotas extras, el comprador dice que, por un lado, no le agrada que sean desiguales y por el otro, que realmente en 12 meses no ve posible pagar tanto dinero, por 1o que le pide al vendedor que le calcule más bien dos pagos que sean iguales, una en el mes seis y la otra en el mes 18 y que le aumente la cuota normal a $550.000. El gráfico de esta nueva alternativa sería el siguiente: 1

0.000.000 0

550.000

550.000

550.000 I

t E

-a

F,

ce

matemáticas Todo gráfico de Matemáticas Financieras ilustra una situación de equivalencia. EI gráfico anterior sugiere, por 1o tanto, que 10 millones de hoy son equivalentes a 18

-lsresenta.un

:':',:'!,':!o.lno

. Jur|alcnct0.

pagos de $550.000 en los próximos 18 meses y dos pagos extras iguales, uno en el mes 6 y otro en el 18.

O sea que si calculamos qué parte de los 10 millones de pesos se paga con las 18 cuotas

de $550.000, la diferencia será lo que se cancelaría con las dos cuotas

extras.

Resolvamos esta primera parte trayendo a valor presente las 18 cuotas, para continuar con la explicación.

t-PVl |e't¡r I f FV-l E!@ tr18 @ 2,8 ? o -550.000

7.693.939

El valor presente de los pagos extras iguales sería:

Y el problema que estamos resolviendo z.soo.ool

se reduce

I

I r

10.000.000 - 7 .693.939 = $2.306.06 I a

6

la siguiente situación:

tt

18

- ---\AAr--T-V\A/----1 F1

Fz=

?

Pareciera que F1 y F2 podrían considerarse como cuotas A, pero no es así, pues no cumplen una de las tres condiciones que se requieren para ello: Son uniformes, están ubicadas al final de un período, pero no son periódicas. La primera esta definida para un período de seis meses, es decir, un semestre y la segunda está definida para 12 meses. es decir, un año. ¿Qué hacer, entonces, para resolver el problema? El gráfico nos permite plantear ia siguiente

ecuación:

2.306.061 = VP(Fr) + VP(F;

Que se leería como que $2.306.061 es igual al valor presente de F1 ntás ei presente de F2.

r

Capítulo 4

ElVPdeFlesigualaFlmultiplicadoporelfactorquelotraeav¿lorpresenteal2,STo 18 meses' Es decir: para F2 cónsiderando en 6 meses. E1 mismo planteamiento up1i"u

18) 2.306.061= F1 (PlF' 2'87a' 6) + F2 (P/F' 2'8Vo'

como el factor

es

algebraica de la fórmula' ni más ni menos que la solución de la parle financiera

r"u i¡tr*ll', para obtenerlo en la calculadora en nuesrro caso la ",i*;;;^;,-; para la.vaiiable conocida (en nuestro caso' F)' bastaría con asumir rn uuioti" $1

Porlotanto'elfacfotEncon/rarPDacloFsedigitaríaenlasiguienteformaenla calculadora:

l''*I f'"-l E@

tr@fPV-l

Para calcular factores operar Ia calculadora financiera con un Pes( Lo que se Ya a encontr:' incógnitaY Io dado es 5)

-1

así: Los factores que estamos buscando se obtendrían

fPM-r_l fFV-l @ tr6 @fE"_l '1 0 ? 2,8

0',847308

0'608309

18

Nuestra ecuación quedaría

2'306'061= Fr (0'847308) + Fz (0'608309)

así:

factor común obteniendo: Y como Fr = Fz podemos considerarlos como un 2.306.061 = F (0,847308 + 0,608309)

'

t 1'4s56t7

=

?33Í 3Í1

plan de financiación a presentar al cliente es: Quiere decir que el nuevo - Valor del vehículo

- Cuota inicial - Valor a tinanciar 18 cuotas mensuaJes de - Cuota extra enéi mes 6 - Cuota extra en el mes 18

-

$r5.000.000 5.000.000 10.000.000 550.000 1.584.250

1.s84.250

EjercicioilustrutivoNo.4Peronuestroclienteaunnosedecide.Todavíadudadesu obtenida y más bien pide que se le capacidad de pagar cuotas extras de la magnitud concedalaposibilidaddepagar3cuotasextrasenlosmeses6,12y18,de$800.000 cadaunaaloqueetuen¿e¿o-.lerespondequeellopodríahacer'que-lacuotainicialse el áisponibie, entonces habría que aumentar aumente y si el cliente .ro ,i.n. más dinero quedarían le pregunta que de cuánto valor de la cuota mensual, por lo que el comprador en este caso dichas cuotas.

primero calcular cuánto se paga' en Iu,u poo", encontrar .i no"uo valor de A debemos el valor extras de $800.00ó. Es decir, hay que hallar pesos de hoy, con ru, t financiar a total "oorus valor ", del se restaría presenre de estos tr", p;;;;. Ei valor así obtenido pagará con 18 parte de la financiación que se de $10.000.000 para e.rcántrar entonces la cuotas.

Matemáticas Financieras

El valor presente de las tres cuotas extras

tr6 @ trvl 2,8

se

obtiene así:

tPMr-l

12

?

1B

')

frv I - 800.000

?

La suma de los tres valores presentes

es

@ 677.846 574.345 486.647

de $1.738.838 y por lo tanto, el valor que

se

pagará con las 18 cuotas es: 10.000.000 -

l. 738.838 = 8.261.162

Por último hallemos el valor de cada una de las 18 cuotas que pagan el restante valor financiar.

E@ 18 2,8

a

590.548

" 8.261.162

Quiere decir que el nuevo plan de financiación para el cliente es: - Valor del vehículo

$

- Cuota inicial - Valor a financiar - 18 cuotas mensuales de - Cuota extra en el mes 6 - Cuota extra en el mes 12 - Cuota extra en el mes 18

5.000.000 5.000.000 r 0.000.000 590.548 800.000 800.000 800.000

1

Ejercicio ilustrqtivo No.5 Obtenido el nuevo valor de las cuotas mensuales, el comprador dice que para tener un mejor control de sus egresos, por favor le redondeen las cuotas a $600.000 cada una y que la diferencia se la deduzcan de la cuota extra en el mes 18.

El ajuste areaTizar en la últrma cuota extra se obtendría acumulando 18 porciones de 59.452 correspondientes a la diferencia entre la cuota obtenida de $590.548 y la que él desea ajustar de $600.000.

N@ 18

2,8

- 9.452

217.363

Así, el nuevo plan de pago es el siguiente: - Valor del vehículo - Cuota inicial - Valor a financiar - 18 cuotas mensuales de - Cuota extra en el mes 6 - Cuota extra en el mes 12 - Cuota extra en el mes 18

$15.000.000 s.000.000 10.000.000 600.000 800.000 800.000 s82.637

Ejercicio ilustrutivo No.ó Después de haber comprado el automóvil acogiéndose a la alternativa planteada en el problema anterior, el comprador comienza a pagar sus cuotas. En el mes 6, cuando paga la cuota normal de $600.000 y la primera cuota e\trii de $800.000, decide que puede aumentar considerablemente el valor de las prórintas 6 cuotas mensuales de forma que no tenga que pagar la cuota extra del mes 11. -tr: cuánto se Ie incrementaráLa cuota durante los meses 1 a 12?

l12

Capítulo 4

cuotas que equivalgan a $800'000' La respuesta se obtiene hallando el valor de 6 ubicados al final del mes 12, o sea:

f

@fE"_l

IT-MTI

f *l

@

- 800.000

2,8

entre los meses 1 Con lo que las 6 cuotas comprendidas

y l2le

124,301

quedarán de:

124.301+ 600 000 =124'301

interés mensual se paga un préstamo Ejercicio ilustrativo No'7 ¿A qué tasa de SOOO.OOO

de

en 12 cuotas de $59'500?

El gráfico de este problema

es

de resolverlo la mejor ayuda para comprender la forma

en la calculadora financiera' 600.000

59.500

59.500

MF reflejaba una condición de equivalencia' Dijimos anteriormente que todo gráfico de a 12 la tasa que háce equivalentes-$600.000 hoy de forma que lo que nos preguntan es y $600'000 invirtiéramos ejemqlo. po' qu" cuotas mensuales de SSq'SOó, es decir' 'i recibiéramos 12 pagos

á.

obtenida de dicha inversión' SSq.ioO cuál ser?a ta rentauitidad

y La forma de plantearlo en la calculadora

1a

solución correspondiente seía:

lr*1 f *lo E@fPVl 12 ? 600.000 500 -

59

@ 2',7833%

La clave esta en comprender por qué los Es claro que la variable desconocida es iTa. planteada en se logra analizando la situación valores deben tene*ig* "o;t urio, lo cual t"nti¿J.ontrario al flujo de $59'500 v por ello el gráfico. Los $600.00ó]jf;;tiüi; J. los negativo puede colocarse a cualquiera de debe tener signo contrario a éste. Ei signo dos valores.

EjercícioilustrutivoNo.S¿Encuántosañosseduplicaráunainversiónhechahoycon un interés de7207a7a anual?

El gráfico

hoy (por ejemplo sugiere que si inveftimos cualquier cantidad

$l

para

simplificar),dentrodeunnúmeroindeterminadodeañostendríamoseldoblededicha que en el ejercicio anterior' 20ok anual, y en la misma forma cantidad si la tasa

y salida tienen sentid" tgtt*i1:^p^:l: calculadora con signo negatrvo' qu. .,iurqul.ru ¿. tor'áos deberá digrlarse en la

", dicho gráfico muestra Veamos:

"lq* f"t l"¡"s á" "ntrada

Cuando se ::,caja de seri::-. de ellos dei, con signo c

calculador.''

Matemáticas Financieras

N @ l-pv I 2A

lTMrl f-FV I

-1

ll3

E@i 3,8

Resuelva el lector los dos siguientes problemas: . ¿A qué tasa de interés mensual $150.000 se convierten en $1.000.000 en 6 años?

o

¿En cuántos años se dará la misma conversión anterior si la tasa es eI 7-5i7a trimestral?

try'l N l3- Et*_l r- */1.:r.-'. E-

:.,rzar este espacio

.:,

|

reaiizar el propuesto

::;icio

, r,.

lrvl . 3-, : @il ,. I

ir:r.*

' 't i'') 1'

;¿,,--

Tenga en cuenta la conversión del tipo de período de acuerdo .on lu toru de interés.

Eiercicio ilustrstivo No.9 Calcular el valor presente de una serie de infinitas cuotas de $ '.-:,1de

a infinito el

'::e de una seríe de ,.r.tl al valor de la ' i !1 por la tasa de .

100.000 a la tasa del 2,5Va mensual

.

Matemáticamente se puede demostrar que en la fórmula No.5, que permite encontrar un valor presente dada una serie de cuotas, cuando n tiende a infiniio, it es igual al valor de la cuota dividido por la tasa de interés, es decir, A/i. (Dicha demostráción escapa al propósito de este texto). En nuestro ejemplo la respuesta sería:

54.00r).000 r $ I u0.000/0,025

I

La lógica de lo anterior se puede apreciar considerando las mismas cifras de nuestro

ejemplo pero asumiendo que éste consiste en la compra de un bono del tesoro nacional por $4.000.000 que paga el 2,57o mensual, el cual supuestamente nunca se redime. Ello implicará que nosotros y nuestros herederos recibirán a perpetuidad los intereses

correspondientes de $100.000. Si alguien quisiera comprar dicho bono, sea a nosotros o a nuestros herederos, tendría que pagar, igualmente, cuatro millones, situación que se repetiría por siempre. Pero, ¿cómo se plantea una situación como ésta en la calculadora financiera?

consideremos, por ejemplo. 50 años, o sea 600 meses, para calcular el valor presente buscadol

tr @ t-PVl 600 2,5 ?

100.000

$3.999.99e

La cifra obtenida es cuatro millones ya que la diferencia de un peso es irrelevante considerando el valor de Ia transacción^

El resultado sugiere que cuando se consideran períodos como 50 años, es como si estuviéramos asumiendo una n infinita. Ello debido a que el flujo de caja del mes 601, por ejemplo, no representa un valor significativo en pesos de hóy. Calculemos el valor presente de los 9100.000 que estarían ubicados en el citado mes 6bl.

N@l-PV_l 601

2,5

2

100.000

$0,0359

Es decir, 3,59 centavos, que no afectan para nada la decisión que se esté tomando

114

Capítulo 4

cle los intereses el ralor Presente Calculemos ahora 20 años respectivamente' considerando 40, 30 Y

a

mensuales' recibir de $100'000

E@r"rryry w 480

100.000

?

2,5

3.999"449 3.989.325

,)

360

240?-

'ffl,riilt;;

'J:,jJ:'"fi:1T;""J,1;ffi;-.ru¡'iiiT:rffiJTT#J:*'"'"'J*:'Ji'fiTH artu:' uLruv v' ' como hablar de /u de dicho lupso es ";;;i;; ffi#;i;"t finun.i.r"t'

rle taia ubic't' ttó de ese tapso es

Iuios

':;í:í';:::'ii;:i;:"

en

magnitud un ¿t"u"nto de esa ,"J,::il;:'#:J;:ü'i.l¿,1'::il":il1*.*1liH"i''"ifii{$,fri;"tTiff"?ii:il: irr"l."u."ü ,*J.on..d..iu'u1t¿

con:iderarse.oro un n.go.io de $4'000'000?

ffi':l:d: ,*"1iT:i;$T":::"f f Eiercic.io,t",::!::-::;1g:ffiil:TJll"ffi ahorro t9,Vo hacer un entidad que reconoce ,e\ aLrinar de

11u:].i:rt:::T;,'tt'"t", caiilTi:Ti;,i;.1';;';. lii"''"'1;;';';;"' I grá co de

li*ioffio

ri

e

::nrt"t3tlr',:'ll;

á-

v

e sr

e p robr

"^]Trinar dinero se tendrá ar

"ños ¿i"r"';

e

ma

Pdmeroencontremoselvaloracunuladoalfinaidelañoseis,queeslasumadelas

EtrEryry#

u.rrmul"tiooes Parciales'

o

así:

*1'000000 0

19

4

-2oo

'

ooo

1

0

6

Recordemo

;I:::

?

968 295

TOTAL

s que ros "'p u"io'' "^!t:1":,';;i:nil Jffi sin cambio' CoT: '

campos permanecen ganando el

- 100 000

;

l9@o

J;'i:i "'i"t

año 9 tt","'-'"'ado al final det

19 - 4'447 '124

o

.

4'447 '124

oj"'1T'n'::""::t#'

"J?:

sera:

tr@r__'irryry g

'

'

m h"H';:

I 1[::: ll"iot:1'-':;rlo'J:Tlñ.il'li,J:^ i*F,

-':' lr-:,-,*,01,X,: i i -: ff ,,Hf :'J L:il : píeoe adqulr'' Lu ir'i^''l'oigrnao ,, ru?o pasader^ 0., rOqo del P,"l1l'"-l---.0

Ei e r c i c i o,,

opción de compra ,le inrerés

"t "'

'il"*t"t"li'

ti"ut

ol valor uajcx del canon men será el

ailelante' la situación y que aparece En el grárico que ilusrra

;J'riii"iJ:"ii1:i *¡6': :n;Ll,:'T[:a+:TJt; de 1os casos' mayoría 1a en t*t'otu'tt la empresa'

':;"j: ;:ST#t"J"t:rt; ffi i' i"i ^'i ' decide ''

ott'lt't"

Comoeivalordelaopcióndecompraesdeln-risnrosentidoqueeldelascuotas,ypof

Matemáticas Financieras

115

lo tanto, contrario al del valor inicial.

debe digitarse en la calculadora con slsno contrario al utilizado para introducir el valor de la máquina. Veamos: 25.0 00.000

trz4748 'Tl*TT1 A

A A= I

ü 2 _5

trEl 48

2,8

PVI

- 25.000.000

00.0

l*il trv I @q 2.500.000

927.916

Observe el lector cómo, a diferencia de los ejercicios anteriores, en este caso se utilizan todos los campos.

Ejercicio íIustrativo No.12 El precio de lista de una nevera en un almacén es

de

$l'300.000. Si se compra de contado nos conceden un descuento del I5Vo. A crédito la podemos pagar en 24 cuotas de $72.681 calculadas sobre el precio de lista y con el 2,57a de interés de financiación, ¿Cuál es la tasa de interés que verdaderamente nos están cobrando?

' . tlor económico ..-.:ia es el precio ^-:.!nn si la

:.

:ontado.

Aquí debe quedarnos muy claro que si de contado nos conceden el l5Ta de descuento es porque el verdadero valor económico del bien es de $1.105.000 de forma que el gráfico que explica el problema sería: 1

.1

05.000

0

72.687

72.687

Y por lo tanto el verdadero costo financiero sería el 4,02887o mensual que se obtiene de la siguiente manera:

tr@l-PV-l I 24

1 .1

05.000

l*M-'_l

l-FVl

72.687

@il 4,0288"/. mensual

No.l3 una empresa fabricante de ropa contrata con otra, fabricante a su vez de una acreditada marca de zapatos, los derechos de fabricación de prendas con la misma marca de los zapatos durante 6 años. Dicho contrato estipula un pago anual de $200.000 más $20 por cada prenda vendida. Al cabo del primei año la empresa dueña de la marca le propone a la empresa confeccionista de ropa que por un pago único de un millón de pesos podrá continuar explotando los derechos duranté los 5 años restantes sin lugar a pagos adicionales. ¿Cuántas prendas tendrá que vender la compañía confeccionista para optar por la propuesta si su tasa de intérés esperada (TMRR) es del40Vo anual? Ejercicio ilustrativo

El gráfico ilustrativo de esta situación es el siguiente:

I l16

Capítulo 4 '1.000.000

I

'ifi

rÍl

200.000 + 20X

decidir es desembolsar hoy $1.000.000 a cambio de no desembolsar en los próximos 5 años $200.000 más $20 por el número de prendas

Y lo que la empresa debe

vendidas cada año, cantidad ésta que se representa por la incógnita X.

El número de prendas que deberían venderse para que sea indiferente cualquiera de

las

dos alternativas se obtiene resolviendo la siguiente ecuación:

L000.000 = (200.000 + 20X) (P/A, 407o,5)

El factor en la calculadora

se

obtiene de la siguiente forma:

tr @ fTvl l-PMr I tFV-l @ -1

40 1.000.000

=

= X= X=

40.70328x

2,035164

200.000 (2,035164) + 20X (2,035164) 1.000.000 -401033 592.967140,7033 14.568 prendas anuales

sea, que si las ventas futuras esperadas no sobrepasan esa cantidad es preferible continuar con el contrato. Probemos esto calclllando el valor presente de los pagos

O

,

lllll,uuru¡r

futuros si solamente se vendieran 12.000 prendas cada año.

P=

= =

200.000 (2,035164) + 20 (12.000)(2,035164) 407.033 + 488.439 895.4'72

Por lo tanto, si ante dicha expectativa la empresa paga el millón de pesos perdería en pesos de hoy $104.528, (1.000.000 - 895.412). Calcule el lector el valor presente

iL

la utilidad que se obtendría si se vendieran 18.000

prendas anuales.

,,iillfir¡lli¡lti"

Uttlizar este espacio para realizar el ejercic

propuesto

EL INTERES EFECTIVO Remitámonos de nuevo al ejemplo que utilizamos al final de la explicación del interés simple y compuesto al principio del capítulo, concretamente en 1o referente a la posibilidad de pactar períodos de causación mayores a un mes. En dicho ejemplo se

depositaba $1.000.000 en una entidad financiera

y

se calculó la tasa que debía

reconocer Ia entidad financiera en caso de que los intereses se liquidaran cada año y no cada mes.

itnr

Matemáticas Financieras

Ello se hizo aplicando la fórmula No. I y obtuvimos una tasa del 34,4gg9zo anual. Esta tasa de interés es la denominad,a Tasct Efectiva, que se define como la vercladera tctsa de interés que se incurre por un préstamo o se obtiene de tma inversión. Recordemos el procedimiento que utilizamos para llegar a la tasa del 34,4gg9Vo anual

en el ejemplo del millón de pesos.

Lo primero que hicimos fue capitalizar este monto al 2,5vo durante 12 meses, así:

tr tr [pvl lTMrl fr" I @ 12

tq

1.000.000

1.344.889

Por simple observación nos dimos cuenta que el millón de pesos producía intereses por $344'889 que representan el 34,4889vo anial sobre el valoi in'uertldo al principio, que como dijimos, se denomina Tasa Efectiva, en este caso anual.

, :.

..-.ctiyo puede ser

':

_:-;ra cualquier tipo ::ierente a un año-

Para la compañía financiera que pagó el interés, esta tasa es, igualmente, la tasa efectiva

que incurrió, que en su caso se llamará "costo efectivo lel préstamo,'. para el prestamista se llamaría "rendimiento efectivo", que para el caso del ejemplo fue calculado sobre base anual, es decir, interés efectivo anual, lo que no significa que éste es- el único lapso para el cual se calcula dicha tasa efectiva. Como veremos más adelante, puede calcularse el interés efectivo para cuarquier tipo de período, por ejemplo, mes, bimestre, trimestre, semestre, etc. por ello és que iambién se habra de

Interés Periódico o Tasa Perióclica, para resaltar el hecho ae que las tasas ef'ectivas no necesariamente se calculan para periodos de un año.

Recordemos que la tasa de interés que ofiecía la entidad financiera era del 307a amtal, liquidables cada mes, es decir, eli,5Eo mensual. Esta tasa del 30vo es la denominada Tasa Nominal que definiremos como una simple tasa de interés a partir ele la cual, y dependiendo de la Condición cre Capitarización, se obtiene ra Tasa É¡e.tivo.

El hecho de denominarla una "simple tasa cJe interés,,sugiere que esta no es una cifra trascendental en ningún anárisis. Es más bien un valor -con qu" muchas veces se distrae a ahorradores incautos como 1o explicaremos más adelante. "i gt rrecho es que esta

tasa es un valor que generalmente se requiere para poder encontrar la efectiva que sí es la tasa que nos impofa, pues es la cifra que refleja la realidad de la situación analizada.

r a Condición de Capitalización o Períod.o de Capitaliz.acíón, define el momento en que los intereses se liquidan o causan, independientemente de que se paguen o no.

Así tenemos que para haber podido calcular la tasa efectiva requerimos de dos datos: la y la condición de capitalización. Es decir,'que cuando la entidad financiera anuncia que reconoce er 30vo anual y lo liquida, .s decir, lo capitaliza cada mes' implícitamente está sugiriendo que la base de liquidación es el i,52, mensual y es sobre esta tasa que debe calcurarsé cualquier tasa efectiva para tipos de período

nominal anual

diferentes al mes. En nuestro caso estamos hablando del año. !1, .'"-;r Ia tastt ,

: '. rIlÍnente

se

. '. ,:er la tasa :. -,,¡¡tdicíón de "'.. Hay casos en

' : "equiere tal

La costumbre

comercial es expresar la tasa de interés en forma anual, y si expresamente no se dice que ésta es efectiva es porque es nominal, que se calcuia multiplicando la

tasa de interés del subperíodo por el número de subperíoáo, ¿"r uno, que en este caso es el Período en Cuestión, que definiremos como el péríodo para el quiere calcular la tasa efectiva. "uul'.. Para desarrollar la fórmula del interés efectivo utilizaremos la siguiente simbología:

'f

r 118

Capítulo 4

[" = Tasa de Interés

Efectivo

r = Tasa Nominal del período en cuestión t = Número de subperíodos de capitalización del período en cuestión Del ejemplo del millón de pesos colocado al 2,57o mensual durante un año se puede piantear la siguiente igualdad: 1.344.889

=

1.000.000(1 +0,025)'2

si expresamenÍe no se ..

la cual podemos descomponer en

que utla tasa es efectit'. porque es nominal. 1.000.000 (1 + 0,30/12)12

=

1.000.000 + 344.889

Donde $344.889 es el resultado de multiplicar $1.000.000 por la tasa obtenida del 34,497o anual, es decir, la tasa efectiva, o sea: 1.000 000 + 1.000'000 (34,48897o)

=

1'000 000

(l

+ 0'30/12)'2

Si reemplazamos estos valores por los símbolos que definimos tenemos que:

P+P(I.)=P(l +r/t)' Sacando factor común P se obtiene que:

P(1+I")=P(1+r/t)' Dividiendo por P en ambos lados de la ecuación y despejando Ie, que es la incógnita que queremos despejzr, nos queda la fórrnula definitiva

l"=(1+r/t)t-1

Fórmula No.7

Donde r/t es el interés de cada subperíodo de capitalización expresado en forma decimal; en nuestro ejemplo 0,025 o 2,5Vo, como resultado de dividir 0,30112. Esta fórmula, como el lector podrá observar es ni más ni n,enos que la fórmula No.l de acumulación de un valor preseltte, en la cual iTo ha sido descompuesta como una fracción que es igual a la tasa nominal del período dividida por el número de subperíodos de capitalización.

Estudiemos ahora las tres principales variantes que se pueden presentar en el cálculo del interés efectivo. Ello 1o haremos en los siguientes tres ejercicios ilustrativos, en ios cuales realizaremos las operaciones utilizando tanto la fórmula como la calculadora financiera.

No.t4 Hallar el interés efectivo anual, a partir del 367o anual nominal si la capitalización es mensual, bimestral, trimestral, semestral y anual.

Ejercicio ilustrativo

I" base mensual

= (1 + 0,36112)t2 = 1l + 0,03)'2 - I

=

1,425761

=

0,425761

= 42,5161Vo

I. base bimestral

La costumbre cotnercia expresar las tasas de iti enJbrma anual.

-

1

1

EA (Ef-ectivo Anual)

= (1 + 0,36/6)6 = 1t + 0,06)6 - 1

= 1.4185i9 = 0.418519 = 41.8519ok

1

1

EL

Matemáticas Financieras I" base trimestral

= (1 + 0,36/4)1 = (l + 0,09)1 - 1

= l,4r r582 -

r19

1

1

= 0,41 1582 = 41,1582Ea EA

I" base semestral

= =

(l

+ 0,36t2)2 (t + 0,18)2 - I

= 1,3924 -

|

1

= 0,3924 =39,24Va EA = (l + 0,36ll)1 = (1 + 0,36)1 - 1

I. base anual

= 1,3600 -

1

I

= 0,36 = 36Vo EA

.:ión de -..¡ción determína el ,;e superados de -

-;¡ión. -le tasas efectivas

,,.adora, a parlir de

..tirali,ación . leríodo en

. '--

rectliza

Obsérvese en estas soluciones cómo la condición de capitalización determina el valor de t con respecto al período total de un año, es decir, que si la capitalización es mensual

habrá 12 subperíodos de capitalización, si ésta es bimestral habrá capitalización (porque 6 bimestres tiene el año), y así sucasivamente.

6 subperíodos

de

Para obtener tasas efectivas en la calculadora financiera, y en la misma forma utilizada para los factores, se realiza la operación con un peso ($1), es decir, acumulando un peso, lo cual affoja como resultado un factor de acumulación del cual se deduce el peso originalmente invertido para así obtener la tasa efectiva, como se ilustra a continuación.

. un peso.

tr123tr tFvl 66 49 218 tJb

-1 -1 -1 -t -1

42,5761% 41,8519%

0

?

1,425761

0

?

1

n

?

1,411582

41J582%

0

?

1,3924

0

2

1,36

39,24/" 36%

,418519

Del ejercicio podemos concluir que r/t es la tasa nominal y a la vez Ia efectiva de cada "! , ,:,:,,'"";;;r,;,:.^"'' tipo de subperíodo de capitalización. Así por ejemplo, 0,36/2 = 0,18 = l8olo es la tasa

-.: '1.:':::,': et cuat se autere

nominal y efectiva para el semestre cuando Ia capitalización es semestral.

Sin embargo, el anterior ejemplo no se presenta en la realidad ya que si nos ofrecieran escoger entre las alternativas propuestas. todos escogeríamos pagar el 367o anual,vencido Io que significa que en Ia realidad si solicitáramos períodos de liquidación de los intereses mayores a un mes, por ejemplo cada tres meses, nos calcularían una tasa mayor que la que resultaría de multiplicar la mensual por tres, o sea una mayor que el 9Vo.La forma de obtener dicha tasa se ilustra en el ejercicio No.12.

Pero a pesar de 1o anterior. este ejercicio nos permitirá comprender el verdadero significado del interés efectivo. Observemos los resultados obtenidos tanto con la aplicación de Ia fórmula como con la calculadora financiera. ¿Qué comportamiento

reflejan?

Como puede verse, la tasa efectiva va disminuyendo a medida que el período

de

capitalización aumenta, es decir, mientras más tarde se cobran los intereses; y esto es así porque mientras más plazo nos den para pagarlos, más dinero tendremos disponible en la mano para realizar operaciones y por lo tanto incurriremos en un menor costo de oportunidad que si tuviéramos que pagarlos antes. Ampliemos esta explicación.

Si los intereses se liquidaran mensualmente, cuando pagamos los intereses

de-:r:-.:

l2O

CaPítulo 4

durante los de no poder utilizar estos dineros oportunidad de costo el en mes incurrimos ¿i^id" pug:i:.1',t::" L-uduuu t-"iilu,ifiru. l:,:::1'":.:::ir"^t"i:i:' once meses restantes del ano' estos dineros durante los diez po no de oportunidad de costo el en i;;;**"t meses restantes y así sucesivamente'

alr;;'

il:;

Silosinteresesseliquidaranbimestralmente,cuandopagamos.loscorrespondientesal be"no-poder.utrlizar estos dineros

el costo a" oporirrnlaaA primer bimestre ln"urri*o, "n de pago mensual pero ,on ,"rf""ro a la alierlativa restantes, meses diez los intereses durante menor ya que los supuestos estamos incurriendo .11 ,"

."ri"'¿;, oportunidJd

;;;;;;"*"tr'*iH:igtf #:{tf*{'"*LTi?.*J'J:ii'1^:::1"'1: Permlten t.J". Á"t y qu" sólo pagan al final del mes, nos inrereses que se cuarto.

d1s[

a"u"n'ffii- á

se

rinur ¿"r

cuando pagamos.los conespondientes

al

Lafrecuenciade'

dineros si los intereses se riquidaran trimestralmente, el cosro o. opori.iiüJ q;;:ry9::-Ttrit"t"ttt in"ooiiro, mens-yll rrimesrre ptg" primer át "n ,.rp"". a las alternati"tt que pero los supuestos durante los nueve meses restantes, menor,ya lportunidad ;n'un .orto de estamos el iinal bimestral hasta v ul no ,.. pagados prir", supuestos y los In,"..r., que se ¿.u.n iiqui¿ar en el ¿"'.r. ál""to durante dos meses'hasta el final del tercer mes no, ,"gonO;;t, ;i ser pagados inrereses que se d.b.; hq;ií";'"-n "i durante un mes' ;;;;";., nós permiten disponer de ese dinero

*"

ir;.;;J"

del

r.!.

n"r-ii"ti";*"*.

in,tereses impticr;

d"ir::r#H:;,"q:,:,,:; hecho de tener

,lii,,,'u

clecisiones'

;;

las formas de liquidación semestral

y

anual'

para dos elementos utilizando la misma argumentación efectiva está conformada por tisa ; llegamos a la conclusi#ü;

o

pafies, a saber:

oLapartenominal,queesla.quedeterminaelvalordelosinteresesapagar'esdecir'

:u'ffi o.pagarros'1"i"::.,"oadeterminado "-uyot el costo de oportunidad ."),;:)::"';::i:i:":nnT'":ffi es f'uyu qu" p"litfJt tiempo. Mientras más rápido tanto mayor en el que se incurre y poiio

es

la tasa efectiva'

Porlotanto,delosresultadosobtenidosenlacalculadorafinancieradiríamosquela determina el monto de los en dos ptn"l' n :OZ que tasa del 42,5'76l'ose descompone implica pagar los loh que"' h t"ti" ¿" ápotioniaud'quepartes: El 367o que intereses a pagar' *á';;';t? .n el il,ss tsE, iá'á"r.o-pon. 9:r el costo de intereses cada mes. ,g*r-""*'. qu" intereses u nu'ui';;t ;i 5'85197o "t los de monto el determina y que es un costo menor los intereses cada dos meses l'''ptito qu" lagat oportunidad con él' at más dinero en mano para trabajar que el anterio. yu qo"

'"Jdffit

el Elmismoplanteamientosehaceparalasdemástasasobtenidashastallegaralaúltima, partes: El 367o que determina

se descompo;;;;;t es decir er 36vo,que también por haber tenido todo má¡ cgro fOl t"tit át óortunidad pagar' a intereses los monto de eldinerodelosinteresesdisponibleduranteelaño,puiuop".urconellos'Porejemplo' de liquidación de interés

las ¿ir"."ni.r--uii"ilutiuát un préstamo ¿" $roo¡oó'tajo los siguientes pagos: pt"'""ná""¡"-pf" implicaría tealizat propuestas .n "t l2Dasosde 51.000 = $36'000 Interés Mensual: r. n"oo, de $0.000 = $16.000 lnterés Bimestral: 4 na"eo. de Sq.000 = 536 000 Interés Trimestral: 000 Z oooo* de $1 8.000 = 516 Interés Semestral: d" $36 000 = $i6'000 pugo f Anual: Interés

hace obsérvesecómoapesardequeenelE'stadodeResultadossiempreaparecerían$36.000 pugar con diferente frecuencia

lu" n"t".los de tasas como gasro inrerés, .t q,t"" implican la obtención diferenies ofortoniauO .orroi"UJ que se incur-ra

;*;J;;

"n

t"niao

'n

motlo

1i1,,

i

I2t

Matemáticas Financieras efectivas diferentes.

La tasa efectiva está conformada, por 1o tanto, por una pane explícita que es la parte nominal y una parte implícita que es el costo de oportunidad que, tal como se explicó, surge del hecho de tener que pagar los intereses cada determinado tiempo.

Ejercicio ilustrstivo No.t5 Calcular el interés efectivo mensual. bimestral, trimestral, semestral y anual equivalente al 30Vo anual capitalizado mensuaimente.

Obsérvese como, a diferencia del ejercicio anterior en el que se planteaban varias alternativas de capitalización, en éste sólo hay una y por 1o tanto, con base en ella deberán expresarse las tasas efectivas de los demás períodos solicitados. La tasa de capitalización, por lo tanto, siempre será única: eI 2,57o mensual, lo que implica que la tasa efectiva del mes es el mismo 2.57o. Obsérvese también cómo no se ha especificado si la tasa del 307o anual es nominal o efectiva. Cuando esto sucede, y tal como ya dijimos, se presume que es la nominal y por lo tanto, cuando sea la efectiva, ello se dirá expresamente en el problema en cuestión tal como veremos en el próximo ejercicio ilustrativo.

La solución utilizando la fórmula I" bimestral

I" trimestral

=

es

la siguiente:

(l + 0,025)2 - I -I

=

1.050625

= =

0.050625 5,06257obimestral

= (1 + 0,025)3 = 1.076891 - 1

1

= 0.076891 = 1 .68917o trimestral

I" semestral

= 11 + 0,025)6 -

= 1.159693 -

I

I

= 0,159693 = 15,9693Va semestral

= 1t + 0,025)12 -

I" anual

=

1.344889

-

= 0.344889 = 34.4889Vo

1

I

antal

Como observará el lector, este ejercicio es justamente el que utilizamos al principio del capítulo para comenzar la explicación de las fórmulas de Matemáticas Financieras, en el que depositábamos un millón de pesos para los cuales se proponían diferentes formas de liquidación de los intereses. Se ha agregado en esta opoftunidad la altemativa de Iiquidación semestral, no considerada inicialmente. .', .tn período de ' -. -és diferente al

"

'" el prestamista o .-.-iera, se calcula

.:..iiralente para

,:

solicítado.

En la calculadora financiera, y teniendo claridad con respecto a que la tasa capitalización es única, el 2,57o, este ejercicio se resolvería en la siguiente forma:

l*rl trtrtrvl 2 2,5 -1

tFV ? ? ? ?

0

.J

12

Todas las anteriores tasas poseen

dos

I @= 1,050625 1,076891 1,159693 1,344889

=

5,0625% bimestral 7

,6891% trimestral

= = 34,4889%

15,9693%semestral anual

características: son efectivas

l a 1"

de

Capítulo 4

122

equivalentes. lo que significa que es Io mismo prestar (o invertir), al 2,57o mensual, o al 5,0625Vc bimestral, o all,689lTo trimestral, o al 15,969370 semestral, o al 34,48897o anual.

Ejercicio ilustrativo No.16 Encontrar la tasa efectiva mensual, bimestral, trimestral y semestral equivalente a una tasa efectiva anual del 49,35ok.

Observe el lector cómo en los dos ejercicios anteriores se partía de una tasa expresada para un período determinado, la cual servía de base para encontrar otra para un período n1uyor, és decir, íbamos de tasas más pequeñas a encontrar tasas más grandes tal como ilustra el gráfico 4-1 El caso que plantea este ejemplo es diferente ya que se parte de una tasa efectiva mayor para encontraf una menor, de forma que la ecuación que se puede plantear es la siguiente: 0.4935

=

(1

+r/t)t-

I

f-r--_-l

ffi-zg*+\F+! t\

i+-

@@

[a¡mestr.l

frrimestr]

Ejercicio No. 15

Ejercicio No. 14

Cr¡tico +-t Situación planteada en los ejercicios ilustrativos 1:l y l5

en el senticlo de que la tasa a buscar es r/t, o se¡ el interés del dificultad para resolver cualquier problema de este tipo. ninguna subperíodo, no habrá planteado en este ejercicio. problema el gráfico ilustra 4-2 El

Y si se tiene claridail

[[-l r\r

fJ

l"

^ltanual lMensuall ,\

I

Femestr.l

Ejercicio No. 16 Gráfico

¿1-2

Situación planteada en el ejercicio ilustrativo ló

Aunque la ecuación contiene dos incógnitas, no tenemos porque preocuparnos ya que el mismo enunciado del problema nos determina una de ellas. Así, si queremos encontrar la tasa mensual, quiere decir que t = 12, con lo que tendríamos: 0,493-5

qt

+r/t)r2

_

I

(1,4935)ttt) = I +rlt 1.033992_1 = 0,0339c12= rtt

o sea qlle,

y por io tanto,

=

rlf =

3,3992o/c mensual

será la tasa nominal anual que corresponde a una ef'ectiva mensual del 3,39927c la cual es i-eual a 0,033992 x 12=0,407901 =10,1904Vo cifra que no nos interesa pues no es la incógnita que se Pide.

El valor ¡

Matemáticas Financieras

123

La tasa bimestral (para Ia cual t será igual a 6), se calculará así: 0,,1935 = (l +r/t)b - t 11.49.i.s1r'' = l+r/t 1,069139 0.0691

y por lo t¿rnto,

r/t =

-1

= rlt

39 = r/t

6,91397c bimestral

Resuelva el lector el resto del ejercicio y confronte con los siguientes resultados: r/t trimestral

=

I0.5481c/o

r/t semestral = 22.2088cf,

La solución en la calculadora financiera implica la obtención de la tasa de interés de un subperíodo determinado, dada una efectiva anual, para lo cual podemos apoyamos en el siguiente planteamiento: Si la tasa ef'ectiva anual es el 49,35Vo es porque si invertimos un peso al principio del año al final este se convertirá en $1,493-5 independientemente del tipo de capitalización que se utilice, y esto se "escribe" en la calculadora financiera en la siguiente fbrma:

Ntr

1,4935

Entendido el planteamiento se sugiere, entonces, que en el caso de la tasa ef'ectiva mensual debemos encontrar la tasa mensual que hace que en doce meses un peso se convierta en $ I ,493-5 y así sucesivamente para las demás alternativas del ejercicio, tal como apurece a conlinuación.

tr@ 12 ?

1,4935

-1

6? 4? 2?

3,3992Y"mensual 6,9139% bimestral 10,5481"/" trimestral 22.2088% semestral

Las anteriores tasas también poseen dos características: son efectivas y a la vez equivalentes, lo que significa qlle es lo mismo prestar (o invertir). al 3,39927o mensual, o aI 6,91397a bimestral, o al 10.54817o trimestral, o al 22,2088Va semestral, o al 19,35Vr¡ anual.

¿Y cuál sería la tasa diaria equivalente? Dependiendo del propósito, se pueden utilizar 360

o 365 días, lo que arrojaría

los

siguientes resultados:

trE 360 ? 365 ?

-1

1,4935

0,11 15% diario 0.1 100% diario

A diferencia de los dos ejercicios anteriores en los que se desarrollaba un proceso de ¿rcumulación de un peso realizando un cjercicio algebraico de potenciación, lo que hemos hecho en este ha sido desamollar un proceso de "desacumulación", para lo cual se ha realizado un ejercicio algebraico cle re.dicación.

r Se puede emitir ahora

;i',T¿T'*

el siguiente Drocedimicnr^ ññ^ñ^+<^,-: ^

j: jiifs]iÉT:ii:,',".TillT:tüT,T;Jllt't?;iTtl,t"HTff;

iamos rasas efecrivas u ojlli..d. rasas más decir. desacumulamos ;r;;;"r, radicamos, es en ra carcñradora rinancie.a los ,on

que;1il;;;;i"ru::it:J i:'Ji::'ot'ientos

Cuando se quiera enct tasa efectiva a partir a efectiva que es mavor . primera, lo que se le p. cu I t r I a d o ra finan(. ¡ e t,t. tasa cle interés que perse dé una deferminaclo t

Eiercicio ilustrativo Hay infinidad de alternativas adicionares a ras pranteadas tos ejercicios r5 v !9'17 en r6. roi

o;;';;;;r;;r", ,-.r,.",rr',r"rll''.or,"arenres. En los gráfico' 4-r y 4-3 puede.verseo* "n como

"il#: i::"il'ffiXil ,1*l.X,,3,Ti'..,fl;j:Íi}

. r r

.

harar unu,uru r.n,,"rrrur a parrirde una semesrrar, no rueron consideradas

Hallar Ia tasa efecti

Ha,,ar," o,"

*n.,ill ;:il::ilXl

ü:illfli:

Hallar la tasa efecriva bimestrat Hallar la tasa ef'ectiva mensual "q;i";#;; equivalente

:^1'r1^1;i1ff

,,Ti

11,8% semesh.al

allo/c trimestral

En las dos primeras opciones estamos yendo

de. una tasa pequeña a buscar una ;.rJfffl,hTil"*,:io;, ro q;",i;riu'q," debemos .áiüu. un proceso de

No'15 lo cual se resolvería en la

siguienrei;,.;;;1";.ffiil:::"d;,:,t";:'"t"o

tr@ryr[*'L-Fvr 2 53 _1 1,5 2,4

o

-1

o

3Xl:il::iiit:'""J ffi,T":H:gundo

' ?

@

1o'B8og%semestral 3,6215% trimestrat

ejempro se uriliza período decimar ya que un

En las dos últimas opciones estamos buscando unas. tasas equivalentes más pequeñas que las propuestas como ¿" .a1."i", l" que significa que debemos realizar un .ba-se proceso de "desacumuración" como er propu.r,o en el ejercicio No.t6.

tr@r-F"rT"rr*r 3 ? _1 3

O 0

_1

?

i,l,lffi::: ff*.:i",ifiJJ,,:es

1,118 1,07

@

veamos.

3,7880%bimestral 2,2809%mensuat

en ambos casos ya que tres bimesrres tiene er semestre y

Ejercicio ilustrafivo No.l8 Al principio del capírulo, cuando hablábamos del interés simple y compuesto planteamos el caso de un depósito de $1.000.000 en una compañía

financiera qué reconocía el 2,5Vo mensual de intirés. Si usted aceptara recibir al cabo de dos meses $1.050.000 ¿cuál sería el verdadero interés mensual qué estaría ganando?

N tr t * I lFnlr I \-T" I 1.000.000

Valor que es inferior

a

GñlllRFil

1.050.000

2,4695"/.

la tasa ofrecida del2,57o mensual

y $1.500.000 dentro de cuatro años al 207o anual capitalizado semestralmente, ¿cuánto se tendrá acumulado

Ejercicio ilustrativo No.19 Si se depositan $500.000 hoy dentro de 10 años?

acumulacíón de un pe:

Matemáticas Financieras

500.000

1

125

.500.000

Para resolver en la calculadora debemos primero determinar la tasa de interés efectivo

anual equivalente a una capitalización semestral del l07o y luego, con dicha tasa realizar las acumulaciones corespondientes tal como se ilustra a continuación:

tr2 tr10 |-PVl -1 10 21 - 500.000 - 1.500.000 6

0

?

21 ,0"/.

0

?

3.363.750 4.707.643

2

La suma de las dos acumulaciones parciales, que es de $8.071 .393 es la cifra buscada.

pagos Lo que hemos hecho aquí ha sido manipular la tasa de interés en el sentido de hallar una :le.nnnipular .tanto que se ajuste al período de pago de un año. Pero si no deseamos hacer esto y dado que :rés como el tipo son cuotas únicás, podemos manipular más bien el período de pago y considerar más bien períodos de un semestre para los cuales el interés efectivo es el 107o, con lo que la acumulación se haría para un total de 20 semestres y así el gráfico sería: ';rtejan

500.000

1.500.000

La siguiente tabla ilustra la forma de resolver en Ia calculadora financiera.

trEfrvltrMr--ltFVl @ 10 -500.000 0 20

-

12

1.500.000

?

3.363.750

?

4.707.643

Eiercicio ilustrativo No.20 Si se depositan $500.000 cada seis meses durante 5

años,

¿cuánto dinero se tendrá al final si la tasa es el 26Vo anual capitalizado trimestralmente? 'tejctn cuotas sólo tasa de

:ula la

Por tratarse de una serie de pagos, la única alternativa es manipular la tasa de interés teniendo que calcularse, por lo tanto, una tasa semestral efectiva equivalente al 6,57a trimestral (.0,2614), para luego proceder a calcular el valor acumulado correspondiente, así:

tr-1

10 semestres

500.000

500.000

tr[4tPVltPMrlfrvl EE@ 2 -1

6,5

10

13,42

Ej ercicio ilustrutiv o N o.2

0

l

n

?

13,4225%

- 500.000

2

9"400.801

Resolvamos el ejercicio ilustrativo número tres

!u::r'

126

Capítulo 4

que las cuotas extras fueran en los meses 8

y 16'

en cuyo caso el gráfico del problema

sería:

poseer las cuotas para Donde los dos pagos extras cumplen las características que debe periódicas y al final Uniformes, Recordémoslas: poder ser pro..iuáu, en la calcuüdora. calcular Ia que debemos por 1o meses, ocho de es período del período. En este caso el extras, asi: tasa equivalente para éste y luego obtener el valor de las dos cuotas

f

@f 'Llfñ'-1 2.8 -1

B 2

con

fr"l @

24,7225"k cada 8 meses

0

24,7225

1o que el

-2.306.061

1.596.298

0

?

nuevo plan de financiación a presentar al cliente es: - Valor del vehículo

$

15.000.000

5.000.00i)

- Cuota inicial - Valor a financiar

10.000.000

s50.000 r.596.298

-

I 8 cuotas mensuales de - Cuota extra en el mes 8 - Cuota extra en el mes 16

1.596.298

Ejercicio ilustrativo No.22 Para la compra de un automóvil nos ofrecen dos 16 ptsibilidades de pago: 24 cuotas mensuales calculadas con el factor 0,055975 o efectiva interés de tasa 0,114125. factor el con ¿Qué tuotas trimestrales calculadas anual nos están cobrando en cada una de las opciones?

la siguiente Utilizando la simbología de los factores podemos expresar el problema en forma:

(A/P, '1, 2¿l) = 0'055975 .(AIP, ?, t6i) = 0,1 t 4425

en la Las tasas de interés mensual y trimestral y sus equivalentes anuales se obtendrían calculadora financiera siguiendo este procedimiento:

tPMrl t-F"l @ E @fFv-l ? 24

12 16

4

2,51 ? 8,2

-1

0,055975

ñ

-1

0

?

34,6464% EA

2,51% mensual

-1

0,114425

0

8,2% trimestral

-1

0

?

37,0595% EA

FOBMAS DE AMORTIZAR PRESTAMOS que deudores Prestunti'tÍtts t ¡' Teóricanrente existen inflnitas formas de amortizar un préstamo debido a p.ueden¡tactat tt: y acreedores pueden pactar libremente las condiciones. Con el fin de profundizar un de ontortilr tttt un para poco más en el concepto de equivalencia, analizaremos cuatro alternátivas préstamo de $100.000 aI 24% anual durante 4 años'

I