Washington Franco Mathias José Maria Gomes
Matemática Financeira Com + de 600 exercícios resolvidos e propostos 5ª Edição
Capítulo 4
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS Mathias Gomes
Equivalência de Capitais
EXEMPLO
• Data Focal: é a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes. • Equação de Valor: é a equação que torna possível igualar capitais diferentes, referidos a datas diferentes, para uma mesma data focal, fixada uma certa taxa de juros. • Capitais equivalentes: dois ou mais capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes quando, levados para uma mesma data focal à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais nesta data. Mathias Gomes
Exemplo Certa pessoa tem um nota promissória a receber com valor nominal de $ 15.000,00, que vencerá em dois anos. Além disso, possui $ 20.000,00 hoje, que irá aplicar à taxa de 2% a.m., durante dois anos. Considerando que o custo de oportunidade do capital hoje, ou seja, a taxa de juros vigente no mercado, é de 2% a.m., pergunta-se: a) Quanto possui hoje ? b) Quanto possuirá daqui a um ano ? c) Quanto possuirá daqui a dois anos ? Resolução: Representamos o problema graficamente:
20.000
Z
Y
X
(Meses) 0 Mathias Gomes
12
24
Exemplo Sejam: Temos então: a) Hoje: Portanto:
x = quantia que possui na data zero. y = quantia que possuirá na data 12 meses. z = quantia que possuirá na data 24 meses.
x = 20.000 + 15.000/(1,02)24 = 20.000 + 9.325,82 x = 29.325,82
b) Daqui a 1 ano: y = 20.000 (1,02)12 + 15.000/(1,02)12 y = 25.364,84 + 11.827,40 y = 37.192,24
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Exemplo c) Daqui a 2 anos: z = 20.000 (1,02)24 + 15.000 z = 32.168,74 + 15.000 z = 47.168,74 Assim, à taxa considerada, podemos dizer que a pessoa possui hoje $ 29.325,82. Ela possuirá $ 37.192,24 daqui a um ano e $ 47.168,74 daqui a 2 anos.
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Exemplo Considere-se o exercício resolvido anteriormente. As expressões de primeiro grau em x, y e z são equações de valor.
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Assim, o valor y = 37.192,24, calculado na data focal 12, é composto de duas parcelas: $ 25.364,84, que é o montante de $ 20.000,00 à taxa de juros compostos de 2% a.m. e $ 11.827,40, que é o valor atual ou valor presente de $ 15.000,00 à taxa de juros compostos de 2% a.m. O valor z = 47.168,74 foi obtido através de uma equação de valor, com a qual amos diretamente da data focal 0 para a data 24. Podemos pensar em uma nova equação de valor, em que usemos o valor y = 37.192,44 referido à data focal 12 e, daí, emos à data focal 24. Nestas condições, temos: z´= 37.192,24 (1,02)12 z’ = 47.168,74
Exemplo Podemos concluir que, usando a taxa de juros compostos a que se referem as aplicações de capital, as equações de valor em z e z’ dão resultados iguais. Logo, a solução deste problema de comparação de capitais no regime de juros compostos não depende da data focal considerada.
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Exemplo Consideremos os valores nominais seguintes: Capital ($) 1.100,00 1.210,00 1.331,00 1.464,10 1.610,51
Datas de vencimento (anos) 1 2 3 4 5
itindo-se uma taxa de juros compostos de 10% a.a., verificar se os capitais são equivalentes na data focal zero. Resolução: Calculemos os valores atuais na data zero:
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Exemplo C1 1.100,00 V1 = = = 1.000,00 1 1 (1 + i ) (1,10) C2 1.210,00 V2 = = = 1.000,00 2 2 (1 + i ) (1,10) V3 =
C3 1.331,00 = = 1.000,00 3 3 (1 + i ) (1,10)
C4 1.464,10 V4 = = = 1.000,00 4 4 (1 + i ) (1,10) C5 1.610,51 V5 = = = 1.000,00 5 5 (1 + i ) (1,10) Mathias Gomes
Exemplo Logo, podemos concluir que: V1 = V2 = V3 = V4 = V5 Como os capitais são equivalentes a esta taxa de juros, isto quer dizer que o possuidor de dois ou mais destes capitais, ficará indiferente quanto aos valores nominais. Em outras palavras, a pessoa fica indiferente a possuir $ 1.100,00 em 1 ano ou $ 1.464,10 daqui a 4 anos, desde que a taxa de juros seja de 10% a.a.
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Valor Atual de um Conjunto de Capitais EXEMPLO Conjunto de Capitais: é uma carteira de aplicações. Pode ser caracterizada pelo valor nominal do título e por sua data de vencimento. CAPITAL C1
DATA DE VENCIMENTO 1
C2
2
Cn
n
Valor da carteira na data “zero” à taxa de juros “i”: V= Mathias Gomes
c1 c2 cn + + ... + (1+ i)1 (1+ i)2 (1+ i)n
Exemplo Consideremos os valores nominais seguintes: Capital ($) 1.000,00 2.000,00 5.000,00
Data de Vencimento (Mês) 6 12 15
itindo-se taxa de juros de 3% a.m., pergunta-se qual o valor atual deste conjunto na data focal zero. Resolução: A situação é a seguinte: V 5.000 2.000 1.000 (Meses) Mathias Gomes
0
6
12
15
Exemplo Temos, então: 1.000 2.000 5.000 + + (1,03)6 (1,03)12 (1,03)15 V = 837,48 + 1.402,76 + 3.209,31 V = 5.449,55 V =
Podemos concluir que $ 5.449,55 é o valor da carteira na data zero, à taxa de 3% a.m. Ou seja, se a pessoa vender a carteira hoje (data zero) por $ 5.449,55, o comprador estará ganhando uma taxa de 3% a.m.
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Conjuntos Equivalentes de Capitais
EXEMPLO
Dados dois conjuntos de valores nominais com seus prazos contados a partir da mesma data de ori1º Conjunto 2º Conjunto gem: Capital
Capital
C1
Data de vencimento m1
C'1
Data de vencimento m'1
C2 ... Cn
m2 ... mn
C'2 ... C'n
m'2 ... m'n
Dada uma taxa de juros “i”, os conjuntos são equivalentes em uma data focal se os seus valores atuais forem iguais: c2 cn c '1 c' n c1 + + + = + + ... ... (1 + i ) m 1 (1 + i ) m 2 (1 + i ) m n (1 + i ) m '1 (1 + i ) m '1 Mathias Gomes
Exemplo Verificar se os conjuntos de valores nominais, referidos à data zero, são equivalentes à taxa de juros de 10% a.a. 1º Conjunto Capital Data de ($) vencimento 1.100,00 1º ano 2.420,00 2º ano 1.996,50 3º ano 732,05 4º ano
2º Conjunto Capital Data de ($) vencimento 2.200,00 1º ano 1.210,00 2º ano 665,5 3º ano 2.196,15 4º ano
Resolução: Para fazer a comparação dos valores atuais à taxa dada, escolhemos a data focal zero: a) 1º conjunto de capitais:
V1 = Mathias Gomes
1.100 2.420 1.996,50 732,05 + + + 1 2 3 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) 4
Exemplo V 1 = 1.000,00 + 2.000,00 + 1.500,00 + 500,00 V 1 = 5.000,00 b) 2º conjunto de capitais:
2.200 1.210 665,50 2196,15 V2 = + + + 1 2 3 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) 4 V 2 = 2.000,00 + 1.000,00 + 500,00 + 1.500,00 V 2 = 5.000,00 Como V1 = V2, concluímos que, à taxa de 10% a.a., os dois conjuntos são equivalentes. Isto quer dizer que uma pessoa ficará indiferente entre possuir uma carteira de títulos igual ao 1º ou ao 2º conjunto, desde que a taxa de juros vigentes no mercado seja 10% a.a. Mathias Gomes