Bunga, Pertumbuhan Dan Peluruhan 95q33

Apa sih sebenarnya pengertian bunga dalam matematika keuangan? Perhatikan ilustrasi berikut ini. Mengapa banyak orang yang berbondong-bondong menyimpan atau mendepositokan uangnya di Bank. Di samping karena masalah keamanan, juga karena mendapatkan jasa dari simpanan tersebut, yang dinamakan bunga. Mengapa banyak dealer mobil maupun motor menawarkan kredit kepada konsumen. Karena dengan kredit, dealer akan mendapatkan tambahan modal dari sejumlah modal yang telah ditanamkan. Tambahan modal tersebut dinamakan bunga. Jadi, Bunga adalah jasa dari pinjaman atau simpanan yang dibayarkan pada akhir jangka waktu yang telah disepakati bersama.

Jika besarnya bunga suatu pinjaman atau simpanan dinyatakan dengan persen (%), maka persen tersebut dinamakan suku bunga atau persentase bunga yang biasa disimbolkan ii .

Rumus Penentuan Besarnya Bunga (B), Suku Bunga ( ii) , dan Tabungan Akhir (MnMn) Misalkan seseorang menyimpan atau meminjam uang di lembaga keuangan sebesar MMdengan suku bunga ii dan besar tabungan akhir atau pinjaman akhir adalah MnMn , maka dapat kita rumuskan :

Mn=M+BMn=M+B sehingga B=Mn−MB=Mn−M i=BM×100%i=BM×100% sehingga B=i×MB=i×M Keterangan :

B=B= Bunga (dalam rupiah) i=i= Suku Bunga (dalam persentase) M=M= Tabungan awal atau pinjaman awal Mn=Mn= Tabungan akhir atau modal yang harus dikembalikan

Contoh Soal : 1). Budi meminjam uang dari Koperasi sebesar Rp1.000.000,00. Setelah satu bulan, maka Budi harus mengembalikan modal beserta bunganya sebesar Rp1.030.000,00. Tentukan besarnya bunga dan suku bunganya? Penyelesaian : *). Pada soal diketahui : M=1.000.000,M=1.000.000, dan Mn=1.030.000Mn=1.030.000 *). Menentukan besar bunga (BB) :

B=Mn−M=1.030.000−1.000.000=30.000B=Mn−M=1.030.000−1.000.000=30.000 *). Menentukan suku bunga/persentase bunga (ii) :

i=BM×100%=30.0001.000.000×100%=3%i=BM×100%=30.0001.000.000×100%=3% Jadi, kita peroleh bunga Rp30.000 dan suku bunga 3%.

2). Iwan menyimpan uangnya di Bank ABC sebesar Rp500.000,00. Bank memberikan bunga 2% tiap bulan. Tentukan jumlah simpanan Iwan setelah satu bulan! Penyelesaian : *). Diketahui : M=500.000,M=500.000, dan i=2%i=2% Ditanyakan : Mn=...?Mn=...? *). Menentukan besarnya bunga (BB) :

B=i×M=2%×500.000=2100×500.000=10.000B=i×M=2%×500.000=2100×500.000=10.000 *). Menentukan besarnya simpanan akhir (MnMn) :

Mn=M+B=500.000+10.000=510.000Mn=M+B=500.000+10.000=510.000 Jadi, jumlah simpanan Iwan setelah satu bulan adalah Rp510.000,00. 3). Fulan menyimpan uangnya di Bank Segar Indah sebesar Rp400.000,00. Bank memberikan bunga 1.5% tiap bulan. Jika bank membebankan biaya istrasi Rp1.000,00 setiap bulan, tentukan jumlah simpanan Fulan setelah satu bulan! Penyelesaian : *). Diketahui : M=400.000,i=1,5%M=400.000,i=1,5% dan istrasi = 1.000. Ditanya : Mn=....?Mn=....? *). Menentukan MnMn :

Mn=M+B−istrasi=M+i×M−istrasi=400.000+1,5%×400.000−1.000=400.00 0+6.000−1.000=405.000Mn=M+B−istrasi=M+i×M−istrasi=400.000+1,5%×400.000−1.000 =400.000+6.000−1.000=405.000 Jadi, besar tabungan akhirnya adalah Rp405.000,00. 4). Indra meminjam uang di bank sebesar Rp40.000.000,00 untuk keperluan membangun rumah. Jika bank memberikan pinjaman dengan syarat dikenakan suku bunga 5% setahun, maka uang yang harus dikembalikan Indra adalah sebesar .... ? Penyelesaian : Penyelesaian : *). Diketahui : M=40.000.000,M=40.000.000, dan i=5%i=5% Ditanyakan : Mn=...?Mn=...? *). Menentukan besarnya bunga (BB) :

B=i×M=5%×40.000.000=5100×40.000.000=2.000.000B=i×M=5%×40.000.000=5100×40.000.000 =2.000.000 *). Menentukan besarnya pinjaman akhir (MnMn) :

Mn=M+B=40.000.000+2.000.000=42.000.000Mn=M+B=40.000.000+2.000.000=42.000.000 Jadi, Indra harus mengembalikan uang sebesar Rp42.000.000,00. Demikian pembahasan materi Pengertian Bunga dalam Matematika Keuangan beserta contohcontohnya. Bunga yang dibahas pada artikel ini bersifat umum karena hanya dihitung pada satu periode saja (satu bulan saja atau satu tahun saja). Ketika kita berbicara untuk lebih dari satu periode (misalkan 2 atau 3 bulan atau lebih), maka perhitungan bunga yang dilakukan harus sudah dibedakan yang biasanya dibagi menjadi dua jenis yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk.

Bunga tunggal merupakan salah satu jenis perhitungan bunga dalam matematika keuangan dimana bunga dibagi menjadi dua yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. Sebelumnya juga telah dibahas pengenai "pengertian bunga dan contohnya", silahkan dibaca untuk pemahaman awal dalam mempelajari bunga tunggal. Bunga tunggal adalah bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam. Perhitungan bunga setiap periode selalu dihitung berdasarkan besarnya modal yang tetap. Perhatikan ilustrasi kasus berikut ini! Iwan mendapatkan dana pinjaman dari yayasan pendidikan "Indonesia Pintar Berkarya" untuk melanjutkan pendidikan ke jenjang yang lebih tinggi dengan pinjaman Rp20.000.000,00 dengan bunga tunggal 5% per tahun selama 4 tahun. Adi membayar lunas pinjamannya setelah 4 tahun sebesar Rp24.000.000,00 dengan rincian pinjaman sebagai berikut:

Keterangan : Pada tabel di atas, terlihat bahwa besarnya bunga selalu sama setiap tahun yaitu sebesar Rp1.000.000 dengan perhitungan 5% dikalikan besarnya modal awal (Rp20.000.000) yaitu : 5%×20.000.000=1.000.0005%×20.000.000=1.000.000. Besarnya bunga yang tetap setiap periode inilah disebut bunga tunggal.

Rumus Menghitung Bunga Tunggal

Misalkan kita menabung atau meminjam uang dengan modal awal MM dengan suku ii per periode selama nn periode, besarnya bunga tunggal (BB) dapat dihitung dengan rumus : Bunga = banyaknya periode ×× suku bunga tiap periode ×× modal awal.

B=n×i×MB=n×i×M.

Contoh Soal : 1). Suatu modal sebesar Rp1.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga tunggal 2%/bulan. Tentukan bunga setelah 1 bulan, 2 bulan, dan 5 bulan! Penyelesaian : *). Diketahui : M=1.000.000M=1.000.000 dan i=2%=2100i=2%=2100 *). Menentukan bunga setelah 1 bulan (n=1n=1)

B=n×i×M=1×2100×1.000.000=20.000B=n×i×M=1×2100×1.000.000=20.000 *). Menentukan bunga setelah 2 bulan (n=2n=2)

B=n×i×M=2×2100×1.000.000=40.000B=n×i×M=2×2100×1.000.000=40.000 *). Menentukan bunga setelah 5 bulan (n=5n=5)

B=n×i×M=5×2100×1.000.000=100.000B=n×i×M=5×2100×1.000.000=100.000 Catatan Penting : *). Dari rumus B=n×i×MB=n×i×M , syarat utamanya adalah periodenya harus sama (satuan waktunya sama). *). Yang diubah boleh satuan ii nya atau satuan nn sehingga sama. *). Misalkan beberapa kasus di bawah ini : i). Diketahui suku bunga (ii) per tahun dan tt dalam tahun, maka B=t×i×MB=t×i×M ii). Diketahui suku bunga (ii) per tahun dan tt dalam bulan, maka n=t12n=t12 tahun, sehingga B=t12×i×MB=t12×i×M iii). Diketahui suku bunga (ii) per tahun dan tt dalam hari, maka n=t360n=t360 tahun (anggap 1 tahun = 360 hari), sehingga B=t360×i×MB=t360×i×M iv). Diketahui suku bunga (ii) per bulan dan tt dalam tahun, maka n=12×tn=12×t bulan, sehingga B=12×t×i×MB=12×t×i×M v). Diketahui suku bunga (ii) per bulan dan tt dalam bulan, maka n=tn=t bulan, sehingga B=t×i×MB=t×i×M vi). Diketahui suku bunga (ii) per bulan dan tt dalam hari, maka n=t30n=t30 bulan (anggap 1 bulan = 30 hari), sehingga B=t30×i×MB=t30×i×M

Contoh soal : 2). Budi menabung di bank sebesar Rp1.000.000 dengan suku bunga tunggal 6% per tahun. Tentukan besarnya bunga setelah menabung sebesar 3 tahun, 3 bulan, dan 36 hari (anggap 1 tahun = 360 hari)! Penyelesaian : *). Diketahui : M=1.000.000M=1.000.000 dan i=6%=6100i=6%=6100 per tahun. *). Bunga setelah 3 tahun :

n=3n=3 tahun dan satuan sudah sama dengan ii yaitu suku bunga pertahun. B=n×i×M=3×6100×1.000.000=180.000B=n×i×M=3×6100×1.000.000=180.000 *). Bunga setelah 3 bulan :

n=n= 3 bulan =312=14=312=14 tahun . B=n×i×M=14×6100×1.000.000=15.000B=n×i×M=14×6100×1.000.000=15.000 *). Bunga setelah 36 hari :

n=n= 36 hari =36360=110=36360=110 tahun . B=n×i×M=110×6100×1.000.000=6.000B=n×i×M=110×6100×1.000.000=6.000 Rumus Menghitung Modal Akhir Bunga Tunggal Setelah kita bisa mencari besarnya bunga dalam bunga tunggal, berikutnya kita akan menghitung modal akhir (MnMn) dari modal awal (MM) setelah dibungankan selama nn periode dengan suku bunga ii setiap periodenya yaitu : Modal akhir = modal awal + bunga

Mn=M+BMn=M+B dengan B=n×i×MB=n×i×M sehingga :

Mn=M+B=M+n×i×M=M(1+n×i)Mn=M+B=M+n×i×M=M(1+n×i) Jadi, rumus modal akhir adalah Mn=M(1+ni)Mn=M(1+ni) . Contoh soal : 3). Suatu modal sebesar Rp1.000.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal selama 3 tahun dengan suku bunga 18%/tahun. Tentukan bunga yang diperoleh dan modal akhir setelah dibungakan! Penyelesaian : *). Diketahui : M = 1.000.000, n=3n=3 , dan i=18%=18100i=18%=18100 *). Menentukan besarnya bungan (B) :

B=n×i×M=3×18100×1.000.000=540.000B=n×i×M=3×18100×1.000.000=540.000 *). Menentukan modal akhir (MnMn) :

Mn=M+B=1.000.000+540.000=1.540.000Mn=M+B=1.000.000+540.000=1.540.000 Jadi, besarnya bungan Rp540.000 dan modal akhirnya Rp1.540.000. *). Untuk menghitung besarnya modal akhir pada contoh soal nomor 3 ini bisa langsung dengan rumus Mn=M(1+ni)Mn=M(1+ni).

Mn=M(1+ni)=1.000.000×(1+3×18100)=1.000.000×(1+54100)=1.000.000×(100100+541 00)=1.000.000×(154100)=1.540.000Mn=M(1+ni)=1.000.000×(1+3×18100)=1.000.000×(1+54100)= 1.000.000×(100100+54100)=1.000.000×(154100)=1.540.000 Jadi, kita peroleh hasil yang untuk besarnya modal akhir yaitu Rp1.540.000. 4). Budi menabung di bank A sebesar Rp2.500.000 dengan suku bunga 3%/cawu. Jika ia menabung selama 1 tahun 7 bulan, maka berapa besar bunga dan tabungan akhir yang diperoleh Budi? Penyelesaian : *). Karena satuan ii dan nn belum sama, maka kita samakan terlebih dahulu menjadi bulan semua. 1 cawu = 4 bulan, sehingga :

i=3%i=3% tiap cawu =3%4=34%=3400=3%4=34%=3400 tiap bulan. n=n= 1 tahun 7 bulan = 12 + 7 = 19 bulan. *). Menentukan besarnya bunga (B) :

B=n×i×M=19×3400×2.500.000=356.250B=n×i×M=19×3400×2.500.000=356.250 . *). Menentukan tabungan akhir/modal akhir (MnMn) :

Mn=M+B=2.500.000+356.250=2.856.250Mn=M+B=2.500.000+356.250=2.856.250 Jadi, besarnya bungan Rp356.250 dan tabungan akhirnya Rp2.856.250. 5). Suatu pinjaman sebesar Rp2.500.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal selama 2 tahun 3 bulan. Ternyata bunga yang diperoleh Rp450.000,00. Tentukan suku bunganya tiap tahun dan tiap triwulan! Penyelesaian : *). Diketahui : M = 2.500.000, B = 450.000, dan

n=27n=27 bln.

*). Menentukan suku bunga (ii) tiap bulan :

B450.000i=n×i×M=27×i×2.500.000=450.00027×i×2.500.000=450.00027×2.500.000=45 27×250=4527×250=1150=1150×100%=23%B=n×i×M450.000=27×i×2.500.000i=450.00027×i×2. 500.000=450.00027×2.500.000=4527×250=4527×250=1150=1150×100%=23% artinya suku bunga setiap bulannya adalah 23%23%. *). Suku bunga setiap tahun dan tiap triwulan : Suku bunga tiap tahun =

12×23%=8%12×23%=8% .

Suku bunga tiap triwulan = 3×23%=2%3×23%=2% . Jadi, kita peroleh suku bunga 8%/tahun dan 2%/triwulan. 6). Suatu pinjaman sebesar Rp1.500.000,00 dibungakan dengan suku bunga tunggal 7.5%/semester. Ternyata modal tersebut menjadi Rp1.800.000,00. Setelah berapa bulan bunga tersebut dibungakan? Penyelesaian :

*). Diketahui : M = 1.500.000 dan Mn=1.800.000Mn=1.800.000. *). suku bunga kita ubah dulu menjadi tiap bulan, 1 semester = 6 bulan, sehingga suku bunga tiap bulan = 7,5%6=15200×16=1807,5%6=15200×16=180 artinya i=180i=180 tiap bulan. *). Menentukan besarnya bunga (B) :

Mn=B+M→B=Mn−M=1.800.000−1.500.000=300.000Mn=B+M→B=Mn−M=1.800.000−1.500.0 00=300.000. *). Menentukan lama dibungakan (nn) :

B300.00011n=n×i×M=n×180×1.500.000(bagi 300.000)=n×180×5=n×116=16B=n×i×M300.000=n×180×1.500.000(bagi 300.000)1=n×180×51=n×116n=16 Jadi, lamanya dibungakan selama 16 bulan. 7). Suatu modal setelah dibungakan dengan bunga tunggal 15%/tahun selama 2 tahun modal tersebut menjadi Rp6.110.000,00. Tentukan Modal mula-mula! Penyelesaian : *). Diketahui : i=15%=15100=320i=15%=15100=320 , Mn=6.110.000Mn=6.110.000 dan n=2n=2. *). Menentukan modal awal/mula-mula (M) :

MnM=M(1+ni)=Mn1+ni=6.110.0001+2×320=6.110.0001+310=6.110.0001310=6.110.000× 1013=4.700.000Mn=M(1+ni)M=Mn1+ni=6.110.0001+2×320=6.110.0001+310=6.110.0001310=6.110.00 0×1013=4.700.000 Jadi, modal awalnya adalah Rp4.700.000,00.

Jika seseorang menyimpan uang di bank kemudian setiap akhir periode, bunga yang diperoleh tersebut tidak diambil, maka bunga itu akan bersama-sama modal menjadi modal baru yang akan berbunga pada periode berikutnya. Bunga yang diperoleh nilainya menjadi lebih besar dari bunga pada periode sebelumnya. Proses bunga berbunga pada ilustrasi ini dinamakan Bunga Majemuk. Pada artikel ini kita akan membahas materi Bunga Majemuk dan Contohnya. Perhatikan ilustrasi berikut ini : Sinta meminjam uang di koperasi untuk membeli mobil sebesar Rp75.000.000,00 dengan bunga majemuk 3% selama 3 tahun. Sinta mendapatkan rincian pinjamannya yang harus dibayarkan di akhir tahun ketiga sebagai berikut.

Dari tabel di atas, terlihat bahwa besarnya bunga terus berubah setiap periodenya yang diperoleh dari mengalikan suku bunga (i=3%i=3%) dengan besarnya modal pada periode sebelumnya. Perhitungannya : Modal sebelumnya = 75.000.000 bunga periode I = 3%×75.000.000=2.250.0003%×75.000.000=2.250.000 Modal periode I = 75.000.000 + 2.250.000 = 77.250.000 bunga periode II = 3%×77.250.000=2.317.5003%×77.250.000=2.317.500 , begitu seterusnya. Contoh soal : 1). Dani menyimpan uang di bank sebesar Rp1.000.000.00 dan bank memberikan bunga 10%/tahun. Jika bunga tidak pernah diambil dan dianggap tidak ada biaya istrasi bank. Tentukan besarnya bunga pada akhir tahun pertama, akhir tahun kedua, dan akhir tahun ketiga ? Penyelesaian : *). Diketahui : Suku bunga majemuk : i=10%=10100=0,1i=10%=10100=0,1 Modal awal : M = 1.000.000 *). Bunga akhir tahun pertama/periode pertama (B1B1) :

B1=i×M=0,1×1.000.000=100.000B1=i×M=0,1×1.000.000=100.000. *). Besar modal akhir tahun pertama (M1M1) : M1=M+B1=1.000.000+100.000=1.100.000M1=M+B1=1.000.000+100.000=1.100.000. *). Bunga akhir tahun kedua/periode kedua (B2B2) : B2=i×M1=0,1×1.100.000=110.000B2=i×M1=0,1×1.100.000=110.000. *). Besar modal akhir tahun kedua (M2M2) : M2=M1+B2=1.100.000+110.000=1.210.000M2=M1+B2=1.100.000+110.000=1.210.000. *). Bunga akhir tahun ketiga/periode ketiga ( B3B3) : B3=i×M2=0,1×1.210.000=121.000B3=i×M2=0,1×1.210.000=121.000. *). Besar modal akhir tahun ketiga (M3M3) : M3=M2+B3=1.210.000+121.000=1.331.000M3=M2+B3=1.210.000+121.000=1.331.000. Jadi, besarnya bunga dari periode pertama sampai ketiga berturut-turut Rp100.000, Rp110.000, dan

Rp121.000.

Rumus besarnya bunga pada akhir periode ke-nn (BnBn) Besarnya bunga setiap periode tertentu langsung bisa kita hitung dengan rumus berikut ini :

Bn=i×(1+i)n−1×MBn=i×(1+i)n−1×M Keterangan :

Bn=Bn= bunga periode ke-nn (akhir periode ke-nn) i=i= suku bunga per periode M=M= modal awal yang ditabung atau yang dipinjam

Contoh : 2). Kita akan coba menghitung kembali besarnya bunga pada contoh soal nomor (1) di atas dengan rumus bunga. Pada soal nomor (1) diketahui i=10%=0,1i=10%=0,1 dan modal awal M = 1.000.000. *). Menentukan besarnya bunga periode pertama, kedua dan ketiga dengan rumus

Bn=i×(1+i)n−1×MBn=i×(1+i)n−1×M Besar bunga akhir tahun pertama/periode pertama (n=1n=1) :

BnB1=i×(1+i)n−1×M=i×(1+i)1−1×M=i×(1+i)0×M=i×1×M=i×M=0,1×1.000.000=100. 000Bn=i×(1+i)n−1×MB1=i×(1+i)1−1×M=i×(1+i)0×M=i×1×M=i×M=0,1×1.000.000=100.000 Besar bunga akhir tahun kedua/periode kedua (n=2n=2) :

BnB2=i×(1+i)n−1×M=i×(1+i)2−1×M=i×(1+i)1×M=i×(1+i)×M=0,1×(1+0,1)×1.000.00 0=110.000Bn=i×(1+i)n−1×MB2=i×(1+i)2−1×M=i×(1+i)1×M=i×(1+i)×M=0,1×(1+0,1)×1.000.000=110.000 Besar bunga akhir tahun ketiga/periode ketiga ( n=3n=3) :

BnB3=i×(1+i)n−1×M=i×(1+i)3−1×M=i×(1+i)2×M=0,1×(1+0,1)2×1.000.000=121.000B n=i×(1+i)n−1×MB3=i×(1+i)3−1×M=i×(1+i)2×M=0,1×(1+0,1)2×1.000.000=121.000 Kita peroleh hasil yang sama dengan perhitungan pada contoh soal nomor (1) di atas.

Rumus Modal akhir pada periode ke-nn (MnMn) Besarnya modal akhir periode ke-nn dapat langsung kita hitung dengan rumus berikut ini :

Mn=M(1+i)nMn=M(1+i)n Keterangan :

Mn=Mn= modal akhir stelah periode ke-nn (akhir periode ke-nn) Catatan : *). ii dan nn harus dalam satuan/periode yang sama. *). Jika satuan ii dan nn tidak sama, maka satuan nn yang diubah menjadi bentuk satuan ii .

Contoh soal : 3). Modal sebesar Rp5.000.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk 10%/tahun. Tentukan modal akhir dan bunga yang diperoleh setelah 6 tahun! Penyelesaian : *). Diketahui : M = 5.000.000, i=10%=0,1i=10%=0,1 , dan n=6n=6 *). Menentukan modal akhir (MnMn) :

Mn=M(1+i)n=5.000.000×(1+0,1)6=5.000.000×(1,1)6=5.000.000×1,771561=8.857.805Mn= M(1+i)n=5.000.000×(1+0,1)6=5.000.000×(1,1)6=5.000.000×1,771561=8.857.805 Jadi, besar modal akhir setelah dibungakan selama 6 tahun adalah Rp8.857.805,00. *). Menentukan jumlah semua bunga yang diperoleh selama 6 tahun : Total bunga = 8.857.805 - 5.000.000 = 3.857.805 Jadi, jumlah semua bunga selama 6 tahun adalah Rp3.857.805,00. 4). Modal sebesar Rp2.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 5%/semester selama 5 tahun. Tentukan modal akhir! Penyelesaian : *). Diketahui : M = 2.000.000 , i=5%=0,05i=5%=0,05/semester (6 bulan). Satuan ii dan nn harus sama dengan tanpa merubah satuan dari ii , sehingga kita ubah nn menjadi satu periode = 1 semester = 6 bulan. Sementara 1 tahun = 2 semester, sehingga kita peroleh :

n=n= 5 tahun = 5 ×× 2 semester = 10 semester. *). Menentukan modal akhir (MnMn) : Mn=M(1+i)n=2.000.000×(1+0,05)10=2.000.000×(1,05)10=2.000.000×1,628894627=3.257. 789,25Mn=M(1+i)n=2.000.000×(1+0,05)10=2.000.000×(1,05)10=2.000.000×1,628894627=3.257.789,25 Jadi, besar modal akhir setelah dibungakan selama 5 tahun adalah Rp3.257.789,25. 5). Radit menyimpang uangnya di bank sebesar Rp1.500.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk 4%/triwulan. Tentukan besar tabungan akhirnya setelah tabungannya berjalan selama 3 tahun 9 bulan.? Penyelesaian : *). Diketahui : M = 1.500.000 dan i=4%=0,04i=4%=0,04 /triwulan (3 bulan). Kita samakan satuan ii dan nn yaitu sama-sama dalam triwulan. 1 triwulan = 3 bulan, dan 3 tahun 9 bulan = 3×12+9=453×12+9=45 bulan. Sehingga n=453=15n=453=15 triwulan. *). Menentukan modal akhir (MnMn) :

Mn=M(1+i)n=1.500.000×(1+0,04)15=1.500.000×(1,04)15=1.500.000×1,800943506=2.701. 415,26Mn=M(1+i)n=1.500.000×(1+0,04)15=1.500.000×(1,04)15=1.500.000×1,800943506=2.701.415,26 Jadi, besar tabungan akhir Radit setelah dibungakan selama 3 tahun 9 bulan adalah Rp2.701.415,26. 6). Modal sebesar Rp3.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 4%/semester, setelah berapa tahun modal akhir menjadi = Rp4.440.732,87?

Penyelesaian : *). Diketahui : M = 3.000.000, Mn=4.440.732,87Mn=4.440.732,87 dan i=4%=0,04i=4%=0,04 /semester. *). Sifat logaritma yang digunakan :

logan=n×logalog⁡an=n×log⁡a.

*). Menentukan lama menabung (nn) :

Mn4.440.732,87(1+0,04)n(1,04)nlog(1,04)nn×log(1,04)nn=M(1+i)n=3.000.000(1+0,04)n =4.440.732,873.000.000=1.48024429(gunakan sifat logaritma)=log(1.48024429)=log(1.48024429)=log(1.48024429)log(1,04)(gunakan kalkulator)=10Mn=M(1+i)n4.440.732,87=3.000.000(1+0,04)n(1+0,04)n=4.440.732,873.000.000(1,04) n=1.48024429(gunakan sifat logaritma)log⁡(1,04)n=log⁡(1.48024429)n×log⁡(1,04)=log⁡(1.48024429)n=log⁡(1.48024429)log⁡(1,04)(gunakan kalkulator)n=10 Karena ii dan nn satuannya sama, maka n=n= 10 semester = 5 tahun. Jadi, modal tersebut dibungakan selama 5 tahun. 7). Rita meminjam uang di koperasi sebesar Rp2.500.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk tiap bulan. Setelah 2 tahun modal menjadi Rp4.021.093,12. Tentukan suku bunganya! Penyelesaian : *). Diketahui : M = 2.500.000, Mn=4.021.093,12Mn=4.021.093,12 dan

n=n= 2 tahun = 24 bulan ( satuan ii dan nn sama-sama dalam bulan). *). Sifat eksponen yang digunakan : an=b→a=b√nan=b→a=bn *). Menentukan suku bunga (ii) :

Mn4.021.093,12(1+i)24(1+i)24(1+i) (1+i)iiii=M(1+i)n=2.500.000×(1+i)24=4.021.093,122.500.000=1,608437249(gunakan sifat eksponen)=1,608437249−−−−−−−−−−√24(gunakan kalkulator)=1.02=1.02−1=0,02=0,02×100%=2%Mn=M(1+i)n4.021.093,12=2.500.000×(1+i)24(1 +i)24=4.021.093,122.500.000(1+i)24=1,608437249(gunakan sifat eksponen) (1+i)=1,60843724924(gunakan kalkulator)(1+i)=1.02i=1.02−1i=0,02i=0,02×100%i=2% Jadi, suku bunganya adalah sebesar 2%/bulan.

Modal Akhir (MnMn) Bunga Majemuk Dengan Masa Bunga Pecahan ( nn) Jangka waktu (nn) proses berbunganya suatu modal tidak hanya merupakan bilangan bulat. Jika jangka waktu bukan merupakan bilangan bulat, maka cara menentukan nilai (1+i)n(1+i)n dapat dilakukan dengan beberapa cara, antara lain: i). Dengan menghitung langsung bentuk (1+i)n(1+i)n menggunakan kalkulator, ii). Sisa masa bunga yang belum dihitung, digunakan untuk menghitung bunga berdasarkan bunga tunggal dari nilai akhir masa bunga yang bulat. Jika disederhanakan dalam rumus adalah sebagai berikut:

Mn=M(1+i)n(1+p.i)Mn=M(1+i)n(1+p.i) Dengan pp masa bunga pecahan Catatan : Terdapat perbedaan sedikit modal akhir yang diperoleh dari dua cara di atas. Cotoh soal : 8). Modal sebesar Rp4.500.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 3%/bulan. Tentukanlah modal akhir setelah berbunga selama 5,75 bulan! Penyelesaian : *). Diketahui : M = 4.500.000, i=3%=0,03i=3%=0,03 /bulan, dan n=5,75n=5,75 bulan. Cara I, langsung menggunakan rumus : Mn=M(1+i)nMn=M(1+i)n

Mn=M(1+i)n=4.500.000×(1+0,03)5,75=4.500.000×(1,03)5,75=4.500.000×1,18526113=5.33 3.675,08Mn=M(1+i)n=4.500.000×(1+0,03)5,75=4.500.000×(1,03)5,75=4.500.000×1,18526113=5.333.67 5,08 Jadi, besar modal akhir setelah dibungakan 5,75 bulan adalah Rp5.333.675,08. Cara II, menggunakan rumus Mn=M(1+i)n(1+p.i)Mn=M(1+i)n(1+p.i) : lama menabung 5,75 bulan, artinya

n=5n=5 (bagian bulat) dan p=0,75p=0,75 (bagian pecahan).

Mn=M(1+i)n(1+p.i)=4.500.000(1+0,03)5(1+0,75×0,03)=4.500.000(1,03)5×(1+0,0225)= 4.500.000×1,159274074×(1,0225)=4.500.000×1,185357741=5.334.109,84Mn=M(1+i)n(1+p.i)= 4.500.000(1+0,03)5(1+0,75×0,03)=4.500.000(1,03)5×(1+0,0225)=4.500.000×1,159274074×(1,0225)=4.5 00.000×1,185357741=5.334.109,84 Jadi, besar modal akhir setelah dibungakan 5,75 bulan adalah Rp5.334.109,84. Catatan : Terjadi perbedaan hasil antara cara I dan cara II yaitu sebesar Rp434,76 dimana perbedaannya hanya kecil saja. Artinya kita boleh menggunakan salah satu dari cara yang ada, dan disarankan menggunakan cara kedua yaitu menggunakan rumus Mn=M(1+i)n(1+p.i)Mn=M(1+i)n(1+p.i). 9). Modal sebesar Rp5.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 10%/tahun. Tentukanlah modal akhir setelah berbunga selama 6 tahun 3 bulan. Penyelesaian : *). Diketahui : M = 5.000.000, i=10%=0,1i=10%=0,1 /tahun. Karena satuan ii dalam tahun, maka 6 tahun 3 bulan kita ubah menjadi dalam tahun. 6 tahun 3 bulan = 6+312=6+0,25=6,256+312=6+0,25=6,25 tahun.

artinya n=6n=6 dan p=0,25p=0,25. *). Menentukan modal akhir (MnMn) :

Mn=M(1+i)n(1+p.i)=5.000.000(1+0,1)6(1+0,25×0,1)=5.000.000(1,1)6×(1+0,025)=5.000 .000×1,771561×(1,025)=5.000.000×1,815850025=9.079.250,125Mn=M(1+i)n(1+p.i)=5.000.000 (1+0,1)6(1+0,25×0,1)=5.000.000(1,1)6×(1+0,025)=5.000.000×1,771561×(1,025)=5.000.000×1,81585002 5=9.079.250,125 Jadi, besar modal akhir setelah dibungakan 6,25 tahun adalah Rp9.079.250,125.

Apakah Nilai Tunai dan Nilai Akhir itu? Untuk memahami keduanya, perhatikan ilustrasi berikut ini. Ilustrasi , misalkan seseorang akan menerima uang dari sebuah lembaga (entah bank, koperasi, atau lainnya) sebesar Rp25.000.000,00 pada 2 tahun yang akan datang (mungkin dia mendapat bantuan dana). Jika orang tersebut meminta uang tersebut sekarang, maka uang yang diterima pasti nilainya akan lebih kecil dari Rp25.000.000 yang seharusnya dia terima 2 tahun yang akan datang. Uang yang diterima sekarang inilah yang disebut Nilai Tunai atau harga tunai. Nilai tunai juga biasanya ada kaitannya dengan suatu pinjaman (berhutang). Misalkan seseorang meminjam uang di bank sebesar Rp1.000.000 yang akan dikembalikan setelah 6 bulan. Artinya setelah 6 bulan dia akan mengembalikan Rp1.000.000. Dengan sistem bunga tertentu (bunga tunggal atau bunga majemuk), sekarang dia menerima uang sebesar Rp950.000. Uang sekarang (Rp950.000) ini disebut nilai tunai dan uang yang akan dibayarkan sebesar Rp1.000.000 setelah 6 bulan yang akan datang disebut nilai akhir atau harga akhir.

Berdasarkan bunga tunggal dan bunga majemuk, kita telah mengenal istilah modal awal (M) dan modal akhir(MnMn). Sebenarnya modal awal ini sama saja dengan nilai tunai (NT) dan modal akhir sama saja dengan nilai akhir (NA). Artinya untuk menentukan Nilai Tunai dan Nilai Akhir kita akan menggunakan rumus bunga tunggal dan bunga majemuk.

Rumus Menentukan nilai tunai dan nilai akhir Berikut adalah rumus menentukan nilai tunai (NT) dan nilai akhir (NA) : *). Bunga tunggal :

Mn=M(1+ni)→M=Mn1+niMn=M(1+ni)→M=Mn1+ni atau

NA=NT×(1+ni)→NT=NA1+niNA=NT×(1+ni)→NT=NA1+ni *). Bunga majemuk :

Mn=M(1+i)n→M=Mn(1+i)nMn=M(1+i)n→M=Mn(1+i)n atau

NA=NT×(1+i)n→NT=NA(1+i)nNA=NT×(1+i)n→NT=NA(1+i)n Keterangan :

NA = nilai akhir, NT = nilai tunai, NA = MnMn dan NT = M.

n=n= lama periode (waktu), i=i= suku bunga (tunggal atau majemuk) Contoh soal nilai tunai dan nilai akhir: 1). Tentukan nilai tunai dari pinjaman sebesar Rp1.000.000 dengan pengembalian 9 bulan dengan suku bunga tunggal 6% per tahun ? Penyelesaian : *). Diketahui : NA = Rp1.000.000, i=6%=0,06i=6%=0,06 , dan

n=n= 9 bulan = 912=34912=34 tahun. *). Menentukan nilai tunai (NT)

NT=NA1+ni=1.000.0001+34×0,06=1.000.0001+0,045=1.000.0001,045=956.937,79NT=NA 1+ni=1.000.0001+34×0,06=1.000.0001+0,045=1.000.0001,045=956.937,79 Jadi, besarnya nilai tunai adalah Rp956.937,79.

2). Ratih menabung di bank yang memberikan suku bunga majemuk 1,5% sebulan. Ternyata setelah 7 bulan tabungan Ratih menjadi Rp1.109.844,91. Berapakah besar uang yang ditabung oleh Ratih di awal? Penyelesaian : *). Diketahui : NA = 1.109.844,91, i=1,5%=0,015,i=1,5%=0,015, dan n=7n=7. *). Ditanya modal awal/nilai tunai : *). Menentukan modal awal/nilai tunai (NT) :

NT=NA(1+i)n=1.109.844,91(1+0,015)7=1.109.844,91(1,015)7=1.109.844,911,10984491=1 .000.000NT=NA(1+i)n=1.109.844,91(1+0,015)7=1.109.844,91(1,015)7=1.109.844,911,10984491=1.000. 000 Jadi, Ratih di awal menabung sebesar Rp1.000.000,00. 3). Tentukan modal mula-mula (Nilai Tunai dari suatu modal) jika nilai akhir modal sebesar Rp17.262.804,24 setelah dibungakan 4 tahun 9 bulan dengan suku bunga 8%/kwartal? Penyelesaian : *). Diketahui : NA = 17.262.804,24, i=8%=0,08i=8%=0,08 /kwartal. 1 tahun = 4 kwartal , sehigga 1 kwartal = 3 bulan. 4 tahun 9 bulan = 48 + 9 = 57 bulan, sehingga :

n=573=19n=573=19 kwartal. *). Menentukan modal awal/nilai tunai (NT) :

NT=NA(1+i)n=17.262.804,24(1+0,08)19=17.262.804,24(1,08)19=17.262.804,244,31570105 9=4.000.000NT=NA(1+i)n=17.262.804,24(1+0,08)19=17.262.804,24(1,08)19=17.262.804,244,3157010 59=4.000.000 Jadi, nilai tunainya adalah Rp4.000.000,00.

Nilai Tunai Bunga Majemuk Dengan Masa Bunga Pecahan Berikut adalah rumus menentukan nilai tunai (NT) Bunga Majemuk Dengan Masa Bunga Pecahan : *). Bunga majemuk :

Mn=M(1+i)n×(1+p×i)→M=Mn(1+i)n×(1+p×i)Mn=M(1+i)n×(1+p×i)→M=Mn(1+i)n×(1+p× i) atau

NA=NT(1+i)n×(1+p×i)→NT=NA(1+i)n×(1+p×i)NA=NT(1+i)n×(1+p×i)→NT=NA(1+i)n× (1+p×i) Keterangan : NA = nilai akhir, NT = nilai tunai, NA = MnMn dan NT = M.

n=n= lama periode (waktu), i=i= suku bunga (tunggal atau majemuk) p=p= bagian waktu pecahan. Contoh soal : 4). Tentukan nilai tunai setelah berbunga selama 6,5 bulan. Modal menjadi Rp3.500.000,00 jika dibungakan dengan suku bunga majemuk 3%/bulan? Penyelesaian : *). Diketahui : NA = 3.500.000, i=3%=0,03i=3%=0,03 /bulan. waktu 6,5 bulan artinya n=6n=6 dan p=0,5p=0,5. *). Menentukan nilai tunai (NT) :

NT=NA(1+i)n×(1+p×i)=3.500.000(1+0,03)6×(1+0,5×0,03)=3.500.000(1,03)6×(1,015)= 3.500.0001,194052297×(1,015)=3.500.0001,211963081=2.887.876,75NT=NA(1+i)n×(1+p×i)=3. 500.000(1+0,03)6×(1+0,5×0,03)=3.500.000(1,03)6×(1,015)=3.500.0001,194052297×(1,015)=3.500.0001, 211963081=2.887.876,75 Jadi, besarnya nilai tunai adalah Rp2.887.876,75. Diskonto adalah bunga yang dibayarkan oleh peminjam pada saat menerima pinjaman. Proses perhitungan diskonto menggunakan sistem bunga tunggal, sehingga untuk menghitung besarnya diskonto hampir sama dengan perhitungan besarnya bunga tunggal jika besarnya pinjaman dan % diskonto diketahui. Besarnya nilai pinjaman pada sistem diskonto nilainya sama dengan jumlah modal yang harus dibayar saat jatuh tempo.

Perhatikan ilustrasi berikut ini: Misalkan seorang meminjam Rp100.000,00 dengan diskonto 2% tiap

bulan, maka diskontonya = 2% ×× Rp100.000,00 tiap bulan = Rp2.000,00. Jika pinjaman akan dikembalikan 1 bulan yang akan datang, maka di awal pinjaman orang tersebut hanya menerima = Rp100.000,00 - Rp2.000,00 = Rp98.000,00 dan 1 bulan yang akan datang ia harus membayar Rp100.000,00. Nilai Rp100.000 kita sebut sebagai nilai akhir (NA) dan nilai yang diterima di awal yaitu Rp98.000 kita sebut sebagai nilai tunai (NT). Jika pinjaman akan dikembalikan 3 bulan yang akan datang, maka di awal pinjaman orang tersebut hanya menerima = Rp100.000,00 - 3

×× Rp2.000,00 =

Rp94.000,00 (NT) dan 3 bulan yang akan datang ia harus membayar Rp100.000,00 (NA).

Rumus menentukan Diskonto dari NA dan NT Misalkan seseorang meminjam uang sebesar NA (yang akan dikembalikan diakhir periode peminjaman), suku bunga ii per periode selama nn periode, dan akan menerima sebesar NT, maka besarnya diskonto (D) dapat ditentukan dengan rumus :

D=NA−NTD=NA−NT sehingga NT=NA−DNT=NA−D *).

Menentukan

besarnya

D

jika

diketahui

NA

:

besarnya

D

jika

diketahui

NT

:

D=n×i×NAD=n×i×NA *).

Menentukan

D=p100−p×NTD=p100−p×NT, dengan suku bunga total periode =p%=p%.

Keterangan : NA = nilai akhir (besar yang harus dikembalikan) NT = nilai tunai (besar yang diterima di awal) D = diskonto (bunga yang dibayarkan di awal)

i=i= suku bunga tunggal n=n= lama waktu peminjaman. Catatan : *). Satuan ii dan nn harus sama. *). Perhitungan nilai diskonto sama dengan menghitung besarnya bunga pada bunga tunggal. Contoh soal Diskonto : 1). Pinjaman sebesar Rp2.000.000,00 dengan sistem diskonto 3%/bulan dan akan dikembalikan setelah 5 bulan. Tentukan: a. Nilai diskonto b. Modal yang diterima peminjam (NT)! Penyelesaian : *). Diketahui : NA = 2.000.000, i=3%=3100i=3%=3100 /bulan, dan n=5n=5 bulan. a). Menentukan besarnya diskonto (D) :

D=n×i×NA=5×3100×2.000.000=300.000D=n×i×NA=5×3100×2.000.000=300.000. b). Menentukan modal yang diterima peminjam/nilai tunai.

NT=NA−D=2.000.000−300.000=1.700.000NT=NA−D=2.000.000−300.000=1.700.000. Jadi, kita peroleh besarnya diskonto adalah Rp300.000,00 dan besarnya nilai tunai adalah Rp1.700.000,00. Dimana setelah 5 bulan sipeminjam akan mengembalikan uang pinjamannya sebesar Rp2.000.000,00. 2). Pinjaman sebesar Rp5.000.000,00 dengan sistem diskonto 18%/tahun dan akan dikembalikan setelah 9 bulan. Tentukan: a. Nilai diskonto b. Modal yang diterima peminjam! Penyelesaian : *). Diketahui : NA = 5.000.000, i=18%=18100i=18%=18100 /tahun, dan n=9n=9 bulan = 912=34912=34 tahun. a). Menentukan besarnya diskonto (D) :

D=n×i×NA=34×18100×5.000.000=675.000D=n×i×NA=34×18100×5.000.000=675.000. b). Menentukan modal yang diterima peminjam/nilai tunai.

NT=NA−D=5.000.000−675.000=4.325.000NT=NA−D=5.000.000−675.000=4.325.000. Jadi, kita peroleh besarnya diskonto adalah Rp675.000,00 dan besarnya nilai tunai adalah Rp4.325.000,00. 3). Suatu pinjaman akan dilunasi dengan sistem diskonto 14%/tahun dan akan dikembalikan dalam waktu 1.5 tahun. Jika modal yang diterima peminjam di awal periode sebesar Rp5.135.000,00. Tentukan: a. Nilai diskonto b. Besarnya pinjaman yang harus dikembalikan saat jatuh tempo (NA)! Penyelesaian : *). Diketahui : NT = 5.135.000 dan

n=1,5n=1,5 tahun.

total suku bunga, 14%×1,5=21%14%×1,5=21% artinya p%=21%p%=21% , sehingga p=21p=21. a). Menentukan besarnya diskonto (D) :

D=p100−p×NT=21100−21×5.135.000=2179×5.135.000=1.365.000D=p100−p×NT=21100−21×5.135 .000=2179×5.135.000=1.365.000. b). Menentukan pinjaman yang harus dikembalikan saat jatuh tempo/nilai akhir.

NA=NT+D=5.135.000+1.365.000=6.500.000NA=NT+D=5.135.000+1.365.000=6.500.000.

Jadi, kita peroleh besarnya diskonto adalah Rp1.365.000,00 dan besarnya nilai akhir adalah Rp6.500.000,00. 4). Suatu pinjaman akan dilunasi dengan sistem diskonto 6%/cawu dan akan dikembalikan dalam waktu 10 bulan. Jika Modal yang diterima peminjam di awal periode sebesar Rp5.312.500,00. Tentukan: a. Nilai diskonto? b. Besarnya pinjaman yang harus dikembalikan saat jatuh tempo! Penyelesaian : *). Diketahui : NT = 5.312.500 dan

n=10n=10 bulan.

1 cawu = 4 bulan, sehingga suku bunga, i=6%i=6%/cawu = 64%=1,5%64%=1,5% /bulan. total suku bunga, 1,5%×10=15%1,5%×10=15% artinya p%=15%p%=15% , sehingga p=15p=15. a). Menentukan besarnya diskonto (D) :

D=p100−p×NT=15100−15×5.312.500=1585×5.312.500=937.500D=p100−p×NT=15100−15×5.312.5 00=1585×5.312.500=937.500. b). Menentukan pinjaman yang harus dikembalikan saat jatuh tempo/nilai akhir.

NA=NT+D=5.312.500+937.500=6.250.000NA=NT+D=5.312.500+937.500=6.250.000. Jadi, kita peroleh besarnya diskonto adalah Rp937.500,00 dan besarnya nilai akhir adalah Rp6.250.000,00.

Apa sih yang dimaksud dengan pertumbuhan khususnya dalam matematika? Baik, secara garis besar, Pertumbuhan dalam Matematika adalah perubahan secara kuantitas (jumlah) suatu objek (baik benda mati maupun benda hidup) yang semakin lama semakin meningkat (semakin banyak) dari periode pertama, periode kedua, dan seterusnya dalam rentang waktu tertentu. Pertumbuhan yang akan dibahas lebih banyak pada pertumbuhan mahluk hidup seperti pertumbuhan pada manusia, bakteri, dan lainnya. Peningkatan yang terjadi pada Pertumbuhan dalam Matematikamengikuti pola atau aturan tertentu yang biasanya sesuai dengan barisan atau deret aritmatika dan barisan atau deret geometri. Untuk memudahkan mempelajari materi pertumbuhan ini, sebaiknya teman-teman kuasai dulu materi "barisan dan deret aritmatika" dan "barisan dan deret geometri". Adapun Ilustrasi pertumbuhan misalnya terjadi pada model multilevel marketing dimana setiap anggota harus merekrut dua anggota. Misalkan seseorang berhasil merekrut dua anggota, maka kedua anggota tersebut berada pada tingkat 1. Selanjutnya jika kedua anggota pada tingkat 1 masing-masing berhasil merekrut dua anggota, maka keempat anggota dari tingkat 1 berada pada tingkat 2 dan anggota yang Anda memiliki sebanyak 6 orang. Selanjutnya, jika keempat anggota pada level 2 masing-masing merekrut 2 anggota, maka anggota pada tingkat 3 sebanyak 8 orang dan anggota Anda mencapai 14 orang. Tentunya Anda bisa menghitung banyak anggota yang Anda miliki jika tingkat Anda semakin tinggi.

Adapun Ilustrasi lain pertumbuhan misalkan terjadi pada pembelahan bakteri, dimana satu bakteri dapat membelah menjadi dua bakteri dan untuk membelah diri dibutuhkan waktu 1 jam. Dengan kata lain dari satu bakteri setelah 1 jam akan diperoleh dua bakteri. Selanjutnya, jika setiap bakteri dapat membelah diri menjadi dua bakteri baru, maka setelah 2 jam akan diperoleh empat bakteri, dan seterusnya.

Rumus pada Barisan dan deret aritmatika serta geometri

Untuk mengingatkan kembali, kami akan mereview sedikit rumus suku ke- nn dan jumlah nnsuku pertama (snsn) barisan dan deret artimatika serta geometri : *). Barisan dan deret aritmatika,

un=a+(n−1)bun=a+(n−1)b dan sn=n2(2a+(n−1)b)sn=n2(2a+(n−1)b) *).

Barisan

dan

deret

geometri,

un=arn−1un=arn−1 dan sn=a(rn−1)r−1sn=a(rn−1)r−1 Keterangan

:

a=a= suku

pertama.

b=b= beda

= u2−u1=u3−u2=...=un−un−1u2−u1=u3−u2=...=un−un−1 .

r=r= rasio = u2u1=u3u2=...=unun−1u2u1=u3u2=...=unun−1 . Contoh soal pertumbuhan dalam matematika : 1). Sebuah penitipan kucing peliharaan mengalami peningkatan penitipan ketika mendekati hari raya besar yang terjadi biasanya 10 hari sebelum hari H. Jika peningkatan setiap harinya selalu tetap, diketahui pada hari kedua ada 4 kucing yang dititipkan oleh pelanggan dan pada hari keenam ada 16 kucing yang dititipkan, maka tentukan : a). banyak kucing yang dititipkan pada hari kesepeluh. b). banyak kucing perhari yang dititipkan setiap harinya.

c). jumlah total kucing yang dititipkan selama 10 hari. Penyelesaian : *). Karena peningkatan selalu tetap, maka pertumbuhan pada kasus ini mengikuti aturan barisan dan deret aritmatika. *). Diketahui : u2=4u2=4 dan u6=16u6=16. *). Menentukan nilai aa dan bb

u2=4→a+b=4u2=4→a+b=4 ....pers(i) u6=16→a+5b=16u6=16→a+5b=16 ....pers(ii) Eleiminasi pers(i) dan pers(ii) :

a+5b=16a+b=44b=12b=3−a+5b=16a+b=4−4b=12b=3 pers(i) : a+b=4→a+3=4→a=1a+b=4→a+3=4→a=1. *). Menyelesaikan soal : a). banyak kucing yang dititipkan pada hari kesepeluh ( u10u10).

u10=a+9b=1+9×3=1+27=28u10=a+9b=1+9×3=1+27=28 ekor kucing. b). banyak kucing perhari yang dititipkan setiap harinya. hari pertama = 1 , hari kedua = 1 + 3 = 4 ekor kucing, hari ke-3 = 4 + 3 = 7 ekor kucing, hari ke-4 = 7 + 3 = 10 ekor kucing, hari ke-5 = 10 + 3 = 13 ekor kucing, hari ke-6 = 13 + 3 = 16 ekor kucing, hari ke-7 = 16 + 3 = 19 ekor kucing, hari ke-8 = 19 + 3 = 22 ekor kucing, hari ke-9 = 22 + 3 = 25 ekor kucing, hari ke-10 = 25 + 3 = 28 ekor kucing. c). jumlah total kucing yang dititipkan selama 10 hari ( s10s10).

sns10=n2(2a+ (n−1)b)=102(2a+(10−1)b)=5(2a+(9)b)=5(2×1+9×3)=5(2+27)=5×(29)=145sn=n2(2a +(n−1)b)s10=102(2a+(10−1)b)=5(2a+(9)b)=5(2×1+9×3)=5(2+27)=5×(29)=145 Artinya selama 10 hari pertama ada 145 ekor kucing yang dititipkan pelanggan ke penitipan kucing tersebut.

Bagaimana dengan pertumbuhan yang melibatkan persentase atau kelipatan tertentu dari periode sebelumnya? bentuk pertumbuhan ini biasanya menggunakan pola atau barisan geometri. Misalkan pertumbuhan penduduk suatu tempat setiap tahunnya meningkat sebesar ii (dimana ii dalam %), dan banyak penduduk di awal sebanyak A0A0 serta banyak penduduk setelah nn tahun kita misalkan AnAn , maka dapat kita susun model perhitungan setiap periodenya sebagai berikut ini: setelah tahun pertama (A1A1):

A1=A0+i×A0=A0(1+i)A1=A0+i×A0=A0(1+i) setelah tahun kedua (A2A2): A2=A1+i×A1=A1(1+i)=A0(1+i)(1+i)=A0(1+i)2A2=A1+i×A1=A1(1+i)=A0(1+i)(1+i)=A0(1+i)2

setelah tahun ke-3 (A3A3):

A3=A2+i×A2=A2(1+i)=A0(1+i)2(1+i)=A0(1+i)3A3=A2+i×A2=A2(1+i)=A0(1+i)2(1+i)=A0(1+i)3 dan seterusnya sampai setelah tahun ke-nn (AnAn):

An=An−1+i×An−1=An−1(1+i)=A0(1+i)n−1(1+i)=A0(1+i)nAn=An−1+i×An−1=An−1(1+i)=A0(1+ i)n−1(1+i)=A0(1+i)n Dari bentuk An=A0(1+i)nAn=A0(1+i)n sebenarnya mirip dengan barisan geometri yaitu un=arn−1un=arn−1 dengan r=1+ir=1+i. Nah untuk pangkatnya kenapa berbeda? hal ini terjadi karena pada kasus pertumbuhan kita langsung menghitung dari suku kedua (setelah tahun pertama), yang sebenarnya sama saja yaitu : suku kedua pada barisan geometri = ar2−1=ar1=arar2−1=ar1=ar dan pertumbuhan setelah tahun pertama (sama dengan suku kedua atau tahun kedua) =

A0(1+i)1=A0(1+i)A0(1+i)1=A0(1+i).

Rumus Pertumbuhan dalam Matematika *).

Adapaun Jika

rumus

pertumbuhan diketahui

setelah tahun persentase

ke-nn yaitu (ii)

: :

An=A0(1+i)nAn=A0(1+i)n *).

Jika

diketahui

kelipatannya

langsung

(rasio)

:

An=A0(r)nAn=A0(r)n. dengan r>1r>1 Keterangan

A0=A0= jumlah An=An= jumlah

: penduduk/objek penduduk/objek

lainnya

setelah

lainnya tahun

i=i= persentase

ke-nn atau

diawal periode

ke-nn

kenaikannya/pertumbuhannya

r=r= kelipatan kenaikannya/pertumbuhannya (rasio) Contoh soal pertumbuhan : 2). Banyak penduduk suatu kota setiap tahun meningkat sekitar 1% dari banyak penduduk tahun sebelumnya. Berdasarkan sensus penduduk pada tahun 2009, penduduk di kota tersebut berbanyak 100.000 orang. Hitung banyak penduduk pada tahun 2010 dan tahun 2020? Penyelesaian : *). Diketahui : A0=100.000A0=100.000 dan i=1%=0,01i=1%=0,01 *). Menentukan banyak penduduk pada tahun 2010 : Tahun 2010 artinya satu tahun setelah tahun 2009, sehingga atau n=2010−2009=1n=2010−2009=1

n=1n=1

banyak penduduk tahun 2010 =

A1A1

AnA1=A0(1+i)n=100.000×(1+0,01)1=100.000×(1,01)=101.000An=A0(1+i)nA1=100.000×(1+0, 01)1=100.000×(1,01)=101.000 Jadi, jumlah penduduk tahun 2010 adalah 101.000 jiwa. *). Menentukan banyak penduduk pada tahun 2020 : Tahun 2020 artinya 11 tahun setelah tahun 2009, sehingga

n=11n=11

atau n=2020−2009=11n=2020−2009=11 banyak penduduk tahun 2020 =

A11A11

AnA11=A0(1+i)n=100.000×(1+0,01)11=100.000×(1,01)11=100.000×1,115668347=111.566 ,8347=111.567(pembulatan ke atas)An=A0(1+i)nA11=100.000×(1+0,01)11=100.000×(1,01)11=100.000×1,115668347=111.566,8347=11 1.567(pembulatan ke atas) Jadi, jumlah penduduk tahun 2020 adalah 111.567 jiwa. 3). Kultur jaringan pada suatu uji laboratorium menujukkan bahwa satu bakteri dapat membelah diri menjadi 2 dalam waktu 2 jam. Diketahui bahwa pada awal kultur jaringan tersebut terdapat 1.000 bakteri. Tentukan banyak bakteri setelah 20 jam! Penyelesaian : *). Diketahui : A0=1.000A0=1.000 dan r=2r=2 Pembelahan terjadi setiap 2 jam, sehingga selama 20 jam terjadi 10 kali pembelahan. atau n=202=10n=202=10. *). Menentukan banyak bakteri setelah 20 jam (A10A10) :

AnA10=A0(r)n=1.000×(2)10=1.000×1.024=1.024.000An=A0(r)nA10=1.000×(2)10=1.000×1.024= 1.024.000 Jadi, ada 1.024.000 bakteri setelah 20 jam.

Apa sih yang dimaksud dengan peluruhan khususnya dalam matematika? Sebenarnya peluruhan dalam matematika konsepnya mirip dengan "pertumbuhan dalam matematika" yang telah kita bahas sebelumnya, bedanya adalah untuk pertumbuhan semakin meningkat setipa periode berikutnya, sedangkan peluruhan akan selalu menurun setiap periode berikutnya. Dapat kita simpulkan, Peluruhan dalam Matematika adalah perubahan secara kuantitas (jumlah) suatu objek (baik benda mati maupun benda hidup) yang semakin lama semakin menurun jumlahnya (semakin sedikit) dari periode pertama, periode kedua, dan seterusnya dalam rentang waktu tertentu. Penurunan pada peluruhan dalam matematika biasanya mengikuti pola tertentu yaitu "barisan dan deret aritmatika" atau "barisan dan deret geometri".

Bagaimana dengan peluruhan yang melibatkan persentase atau kelipatan tertentu dari periode sebelumnya? bentuk peluruhan ini biasanya menggunakan pola atau barisan geometri. Misalkan peluruhan suatu objek suatu tempat setiap tahunnya menurun sebesar ii (dimana ii dalam %) dari periode sebelumnya, dan banyak objek di awal sebanyak A0A0 serta banyak objek setelah nn tahun kita misalkan AnAn , maka dapat kita susun model perhitungan setiap periodenya sebagai berikut ini: setelah tahun pertama (A1A1):

A1=A0−i×A0=A0(1−i)A1=A0−i×A0=A0(1−i) setelah tahun kedua (A2A2): A2=A1−i×A1=A1(1−i)=A0(1−i)(1−i)=A0(1−i)2A2=A1−i×A1=A1(1−i)=A0(1−i)(1−i)=A0(1−i)2 setelah tahun ke-3 (A3A3): A3=A2−i×A2=A2(1−i)=A0(1−i)2(1−i)=A0(1−i)3A3=A2−i×A2=A2(1−i)=A0(1−i)2(1−i)=A0(1−i)3 dan seterusnya sampai setelah tahun ke-nn (AnAn):

An=An−1−i×An−1=An−1(1−i)=A0(1−i)n−1(1−i)=A0(1−i)nAn=An−1−i×An−1=An−1(1−i)=A0(1− i)n−1(1−i)=A0(1−i)n Dari bentuk An=A0(1−i)nAn=A0(1−i)n sebenarnya mirip dengan barisan geometri yaitu un=arn−1un=arn−1 dengan r=1−ir=1−i. Nah untuk pangkatnya kenapa berbeda? hal ini terjadi karena pada kasus peluruhan kita langsung menghitung dari suku kedua (setelah tahun pertama), yang sebenarnya sama saja yaitu : suku kedua pada barisan geometri = ar2−1=ar1=arar2−1=ar1=ar dan peluruhan setelah tahun pertama (sama dengan suku kedua atau tahun kedua) =

A0(1−i)1=A0(1−i)A0(1−i)1=A0(1−i).

Rumus Peluruhan dalam Matematika *).

Adapaun Jika

rumus

peluruhan diketahui

setelah tahun persentase

ke- nn yaitu (ii)

: :

(rasio)

:

An=A0(1−i)nAn=A0(1−i)n *).

Jika

An=A0(r)nAn=A0(r)n. dengan 0 <10 <1

diketahui

kelipatannya

langsung

Keterangan

:

A0=A0= jumlah An=An= jumlah

objek objek

setelah

diawal ke-nn atau

tahun

i=i= persentase

periode

ke-nn

penurunan/peluruhan

r=r= kelipatan penurunan/peluruhan (rasio)

Contoh soal pertumbuhan : 1). Sebuah industri rumah tangga yang baru beroperasi tahun 2012 membeli mesin produksi seharga Rp100.000.000. Dengan berjalannya proses produksi, maka harga mesin menurun 1% setiap tahun. Tentukan a. Harga mesin pada tahun ke-2014. b. Harga mesin pada tahun ke-2020. Penyelesaian : *). Diketahui : A0=100.000.000A0=100.000.000 dan i=1%=0,01i=1%=0,01 a). Menentukan harga mesin pada tahun 2014 : Tahun 2014 artinya dua tahun setelah tahun 2012, sehingga

n=2n=2

atau n=2014−2012=2n=2014−2012=2 harga mesin tahun 2014 = A2A2

AnA2=A0(1−i)n=100.000.000×(1−0,01)2=100.000.000×(0,99)2=100.000.000×(0,9801)=9 8.010.000An=A0(1−i)nA2=100.000.000×(1−0,01)2=100.000.000×(0,99)2=100.000.000×(0,9801)=98.010 .000 Jadi, harga mesin tahun 2014 adalah Rp98.010.000,00. b). Menentukan harga mesin pada tahun 2020 : Tahun 2020 artinya 8 tahun setelah tahun 2012, sehingga

n=8n=8

atau n=2020−2012=8n=2020−2012=8 harga mesin tahun 2020 = A8A8

AnA8=A0(1−i)n=100.000.000×(1−0,01)8=100.000.000×(0,99)8=100.000.000×(0,92274469 4)=92.274.469,40An=A0(1−i)nA8=100.000.000×(1−0,01)8=100.000.000×(0,99)8=100.000.000×(0,922 744694)=92.274.469,40 Jadi, harga mesin tahun 2020 adalah Rp92.274.469,40. 2). Ketika sedang memeriksa seorang bayi yang menderita infeksi telinga, dokter mendiagnosis bahwa mungkin terdapat 1.000.000 bakteri yang menginfeksi. Selanjutnya pemberian penisilin yang diresepkan dokter dapat membunuh 5% bakteri setiap 4 jam. Tentukan banyak bakteri setelah 12 jam!

Penyelesaian : *). Diketahui : A0=1.000.000A0=1.000.000 dan i=5%=0,05i=5%=0,05 peluruhan terjadi setiap 4 jam, sehingga selama 12 jam terjadi 3 kali peluruhan. atau n=124=3n=124=3. *). Menentukan banyak bakteri setelah 12 jam (A3A3) :

AnA3=A0(1−i)n=1.000.000×(1−0,05)3=1.000.000×(0,95)3=1.000.000×(0,857375)=857.37 5An=A0(1−i)nA3=1.000.000×(1−0,05)3=1.000.000×(0,95)3=1.000.000×(0,857375)=857.375 Jadi, banyak bakteri setelah 12 jam adalah 857.375 bakteri. 3). Suatu bahan radioaktif yang semula berukuran 100 gram mengalami rekasi kimia sehingga ukurannya menyusut 10% dari ukuran sebelumnya setiap 12 jam. Tentukan ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 2 hari? Penyelesaian : *). Diketahui : A0=100A0=100 dan i=10%=0,1i=10%=0,1 peluruhan terjadi setiap 12 jam, sehingga selama 2 hari = 48 jam terjadi 4 kali peluruhan. atau n=4812=4n=4812=4. *). Menentukan ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 2 hari ( A4A4) :

AnA4=A0(1−i)n=100×(1−0,1)4=100×(0,9)4=100×(0,6561)=65,61An=A0(1−i)nA4=100×(1−0, 1)4=100×(0,9)4=100×(0,6561)=65,61 Jadi, ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 2 hari adalah 65,61 gram. 4). Seekor sapi terinveksi suatu virus yang mematikan. Setelah dilakukan pemeriksaan oleh dokter hewan, ternyata terdapat 1000 virus didalam tubuh sapi tersebut. Agar bisa menyelamatkan sapi tersebut, dokter menyuntikkan obat yang mampu membunuh sepertiga dari virus yang ada setiap 2 jam. Tentukan sisa virus setelah 8 jam? Penyelesaian : *). Diketahui : A0=1000A0=1000 dan r=13r=13 peluruhan terjadi setiap 2 jam, sehingga selama 8 jam terjadi 4 kali peluruhan. atau n=82=4n=82=4. *). Menentukan sisa virus setelah 8 jam (A4A4) :

AnA4=A0(r)n=1000×(13)4=1000×181=12,345679012=13(pembulatan ke atas)An=A0(r)nA4=1000×(13)4=1000×181=12,345679012=13(pembulatan ke atas) Jadi, sisa virus setelah 8 jam adalah 13 virus.