Binomul Lui Newton 4o372a

ELEMENTE DE COMBINATORICĂ

Termeni cheie : • Permutări • Aranjamente • Combinări • •

Binomul lui Newton Termenul general al dezvoltării binomului lui Newton • Triunghiul lui Pascal

BINOMUL LUI NEWTON (a+b)n

=? , a,b є R, n є N,n≥1

Isaac Newton

Isaac Newton(1643-1727) Matematician,astronom,fizician englez. Este recunoscut pentru: În fizică: •“legea universală a gravitaţiei”; • contribuţia sa într-o ramură a ştiinţei numită dinamică şi pentru descoperirile sale în optică; În matematică: • are ca primă realizare în domeniul matematicii, exact binomul care îi poartă numele; • alături de Leibniz este inventatorul calculului diferenţial şi integral;

Pe urmele lui Isaac Newton

Naşterea marelui om de ştiinţă • ISAAC NEWTON s-a născut la 4 ianuarie 1643 într-un sătuc numit Woolsthrope din comitatul Lincolnshire (Anglia).

• Viaţa lui Newton a

decurs,liniştită,paşnică şi monotonă.Hotărându-se definitiv pentru cariera universitară el a renunţat la ideea de a se căsători. • Dupa tradiţia medievală,membrii colegiului trebuiau să rămână celibatari.A studiat la Cambridge într-un mediu auster la Trinity College.De la 30 noiembrie 1703 şi până la sârşitul vieţii(31 martie 1727) a fost preşedintele Royal Society.

ÎNCEPUTUL CARIEREI GRAVITAŢIA UNIVERSALĂ: Aşezat la umbra unui măr,gândea poate la problemele gravitaţiei când un fruct desprins din pom cade.A fost se pare prima sugestie privitoare la LEGEA ATRACŢIEI GRAVITAŢIONALE.

PRIMUL REZULTAT • LEGEA ATRACŢIEI UNIVERSALE: • Mişcarea planetelor este eliptică,Soarele fiind plasat în focar,forţa de atracţie gravitaţională fiind invers proporţională cu pătratul distanţei,dar direct proporţională cu produsul maselor corpurilor.

LEGILE LUI NEWTON • ISAAC NEWTON a formulat clar şi explicit pentru prima dată toate cele trei principii ale mecanicii clasice.Ele sunt conţinute în lucrarea sa PHILOSOPHIAE NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA(Principiile matematice ale filozofiei naturale),publicată în anul 1687. • Aceste legi formează baza mecanicii clasice şi Newton însuşi le-a folosit pentru a explica multe rezultate privind mişcarea corpurilor.

TELESCOPUL LUI NEWTON • Construieşte între anii 1660-1670 telescopul cu reflexie,care mai este şi astăzi amintit în unele cărţi de fizică.Modelul este păstrat de Societatea Regală şi vizitatorii pot avea şi azi plăcerea de a-l vedea.Telescopul lui Newton a devenit curând un obiect de mândrie naţională în Anglia şi aparatul preferat al astronomilor englezi.Scopul direct al telescopului îl reprezintă cercetarea lumii aştrilor care l-a atras pe Newton spre problemele de bază ale mecanicii cereşti.

• Imagine complexă de colecţie ce sugerează

mai multe idei concomitente ce l-au preocupat pe ISAAC NEWTON.

NUMELE LUI NEWTON..ÎN MATEMATICĂ • Binomul lui Newton,se referă la formula de dezvoltare a puterii unui binom. • A iniţiat conceptul de limită ,conceptul de derivată precum şi pe cel de integrală. • Alături de Leibniz este inventatorul calculului diferenţial şi integral.Cei doi titani ai ştiinţei au ajuns în mod inevitabil la inventarea acestui domeniu al matematicii pe două căi diferite.Leibniz a pornit de la soluţionarea matematică a nedeterminărilor “clasice” din matematică iar Newton a pornit de la definirea corectă a vitezei şi acceleraţiei ca variaţii ale vectorilor de poziţie,respectiv viteză în variaţii infinitezimale ale timpului în care are loc mişcarea mecanică. • Este bine cunoscută formula Leibniz-Newton pentru calculul unei integrale definite.

INTRAREA ÎN SOCIETATEA REGALĂ • Imediat după alegerea ca membru al SOCIETĂŢII REGALE,ca un omagiu pentru noii colegi,Newton le comunică printr-o scrisoare către secretarul Societăţii Regale Oldenburg,descoperirea spectrului luminii solare.Raza de lumină albă se descompune în raze simple diferite,refractate de prismă şi bine individualizate ca atare.

ULTIMILE ZILE DIN VIAŢA LUI NEWTON • Starea sănătăţii lui NEWTON s-a înrăutăţit vizibil încă din anul 1725. • A murit liniştit la 20 martie 1727 la vârsta de 84 de ani.Înmormântarea a avut loc în cadrul unei ceremonii solemne la WESTMINSTER. • Peste patru ani rudele lui au ridicat la mormantul sau un monument cu chipul său decorat cu diferite embleme şi simboluri.

Analizând

formulele :

Voi elevi,încercaţi să răspundeţi la următoarele întrebări:

Ce puteţi spune despre numărul de termeni din fiecare dezvoltare?

Ce puteţi spune despre coeficienţii literelor?

Ce puteţi spune despre exponenţii literelor?

Voi elevi ???????

Newton a observat că:

a  b n  Cno a n  Cn1a n1b1  Cn2a n2b2  ........ Cnn1abn1  Cnnbn a  b 

n

n

  Cnk a nk b k k 0

Formula se demonstrează .……………………….. prin inducţie matematică.

Fie P  n  :  a+b  =C0n a n +C1n a n 1b+C 2n a n 2b 2 +.....+ C kna n k b k +.....+C nn bn ,n  . n

I. Verificare: P 1 :  a+b  =C10a+C11b  A  ; 1

II. P  n   P  n+1 : n+1 P  n+1 :  a+b  =C0n+1a n+1 +C1n+1a n b+.....C kn+1a n+1k b k +.....+C n+1 b ?  n+1 n+1

P  n+1 :  a+b  a+b  =  a+b   C0n a n +C1n a n 1b+.....+C nka n k b k +.....+C nn b n  = n

=C0n a n+1 +C1n a n b+....+Ckn a n k+1b k +...+C nn b n +C0na n b+C1na n 1b 2 +.....+ +Ckn a n k b k+1 +.....+Cnn b n+1 

0 n+1 1 0 n 2 1 n 1 2 n n n+1 a+b = C a + C +C a b+ C +C a b +....+C    n n  n n n n Cn b n+1

C0n+1

C1n +1

Cn2 +1

A .

Cn+1 n+1

Conform principiului inducţiei matematice rezultă că P  n  este adevărată n  .

Precizări privind formula lui Newton:

1) Coeficienţii C0n , C1n , ...C kn ,..., C nn se numesc coeficienţi binomiali ai dezvoltării şi sunt în număr de n +1 . A se face distincţie între coeficientul binomial al unui termen şi coeficientul numeric al acelui termen! 2) Cei n+1 termeni sunt:

T1 =C0n a n , T2 =C1n a n 1b, T3 =C 2n a n 2 b 2 ,...., Tk+1 = Cnk an-k bk ,...., Tn+1 =C nn b n . 3) Numerele naturale C0n , C 2n , C 4n ... se numesc coeficienţi binomiali de rang impar, iar numerele C1n , C3n , C5n .... se numesc coeficienţi binomiali de rang par. 4) În formula lui Newton exponenţii puterilor lui a descresc de la n la 0, iar exponenţii puterilor lui b cresc de la 0 la n.

Precizări privind formula lui Newton: 5) Coeficienţii binomiali ai termenilor extremi şi cei ai termenilor egal depărtaţi de termenii extremi sunt egali:

C0n =Cnn , C1n =Cnn 1 , C2n =Cnn  2 , .... , Ckn =Cnn  k .

6) Dacă exponentul puterii este par n=2k atunci dezvoltarea are 2k+1 termeni, iar termenul din mijlocare coeficientul binomial cel mai mare: C0n  C1n  Cn2 ....  Cnk  Cnk+1  ....  Cnn . Dacă exponentul puterii este impar n=2k+1 atunci dezvoltarea are 2k+2 termeni şi există doi termeni la mijlocul dezvoltării cu coeficienţii binomiali egali şi de valoare cea mai mare:

n C0n  C1n  C2n ....  Ckn =Ck+1  Ck+2 n n ....  C n .

7) Un rol important în rezolvarea problemelor legate de binomul lui Newton îl joacă termenul general de rang k+1:

Tk +1 = C nk a n-k b k , k ∈ 0,1, 2,....,n

Identităţi în calculul cu combinări Utilizând formula lui Newton de dezvoltare a binomului  a + b 

 a+b 

n

n

=C0n a n +C1n a n 1 b+C2n a n  2 b 2 +.....Ckn a n k b k +.....+Cnn 1 ab n 1 +Cnn b n ,

se pot deduce câteva identităţi interesante în care intervin coeficinţii binomiali.  Particularizând în formula lui Newton a  b  1 găsim: 2n  C0n + C1n + Cn2 + ..... + Cnn 1 + Cnn Suma coeficienţilor binomiali ai dezvoltării este 2n  În aceeaşi formulă a lui Newton luând a  1 şi b  1 obţinem: 0  C0n  C1n + Cn2  .....  1 Cnn n

Suma alternantă a coeficienţilor binomiali este 0

Adunând cele două sume membru cu membru obţinem: 2n  C0n + C1n + C2n + ..... + Cnn 1 + Cnn 0  C0n  C1n + Cn2  .....  1 Cnn n

2n  2  C0n + C2n + C4n + C6n + ..... sau 2n 1  C0n + C2n + C4n + C6n + .... Suma coeficienţilor binomiali de rang impar este 2n 1 Scăzând cele două sume obţinem: 2n  2  C1n + C3n + C5n + C7n + ..... sau 2n 1  C1n + C3n + C5n + C7n + .... Suma coeficienţilor binomiali de rang par este 2n 1

Blaise Pascal (19.06.1623-19.08.1662) •A fost un matematician, fizician și filosof z; •Numeroase contributii in domenii ale stiintei, precum construcția unor calculatoare mecanice; • În urma unei revelații religioase în 1654, Pascal abandonează matematica și științele exacte și își dedică viața filozofiei și teologiei. •În anul 1653 descoperă triunghiul aritmetic.

Viaţa lui Blaise Pascal

• Blaise Pascal s-a născut pe 19 iunie 1623 în Clermont şi a murit la Paris în 19 august 1662. Tatăl lui, un judecător din Clermont, având la rândul sau un anumit renume în ştiinţă, s-a mutat în Paris în 1631, pentru a-şi continua propriile studii pe o parte, şi pentru a-şi educa unicul său fiu care dovedise deja abilităţi excepţionale.

• Micul Blaise a fost ţinut acasă pentru a nu se obosi prea mult şi din acelaşi motiv educaţia lui a fost mai întâi restrânsă la învăţarea limbilor străine, neincluzând evident matematica. Acest program a simulat curiozitatea băiatului şi, într-o zi, la doisprezece ani, a întrebat ce este geometria. Învăţătorul lui i-a răspuns că este ştiinţa construirii figurilor exacte şi a determinării proporţiilor dintre diferite parţi ale lor.

• În curând Pascal se apucă de studiat geometria, sacrificându-şi timpul de joacă şi în ciuda restricţiilor care îi erau impuse, şi în câteva săptămâni descoperă singur multe proprietăţi ale figurilor. Cea mai importantă este aceea privitoare la suma unghiurilor unui triunghi care este egală cu două unghiuri drepte, respectiv 180 de grade.

• Se pare că dovada consta simplu în împăturarea unghiurilor peste figură astfel încât vârfurile lor să se întâlnească în centrul cercului înscris în triunghi. O demonstraţie similară se poate obţine prin împăturarea unghiurilor astfel încât ele să se întâlnească pe piciorul perpendicularei duse din vârful unghiului cel mai mare pe latura opusă. Impresionat de această demonstraţie inteligenţă, tatăl său i-a dat o copie a cărţii Elementele de Euclid, pe care Pascal o citeşte cu interes până când o învaţă.

• La vârsta de paisprezece ani este is la întâlnirile săptămânale ţinute de Roberval, Mersenne, Mydorge şi de alţi matematicieni zi. În final din aceste şedinţe se naşte Academia ză. La vârsta de şaisprezece ani Pascal scrie un eseu despre conice, iar la optsprezece ani construieşte prima maşină aritmetică, un calculator rudimentar, pe care o va îmbunătăţii peste opt ani. Scrisorile lui către Fermat arată că aproximativ în această perioadă se concentra asupra geometriei analitice şi fizicii. A repetat şi experimentele lui Toricelli.

• În 1650 la mijlocul carierei lui ştiinţifice, Pascal şi-a abandonat brusc idealurile lui în favoarea religiei, aşa cum zice în Pensées, "contemplează măreţia şi misterul omului". În 1653 a trebuit să istreze moşia tatălui său. Acum a adoptat iarăşi vechile lui ocupaţii şi a făcut câteva experimente asupra presiunii exercitate de lichide şi gaze. În aceeaşi perioadă a inventat triunghiul aritmetic, şi împreună cu Fermat a creat calculul probabilităţilor.

• Medita asupra căsătoriei când un accident l-a determinat iarăşi să se concentreze asupra religiei. S-a mutat la Port Royal unde a trăit până în 1662. Singura lucrare matematică care o mai scrie o a fost un eseu despre cicloidă în 1685. • Suferea de insomnie şi de o durere de dinţi când i-a venit idea şi spre surprinderea lui suferinţa i-a trecut. Privind aceasta ca un semn divin a continuat problema, lucrând fără oprire opt zile, şi a terminat o lucrare relativ completă despre geometria cicloidei.

• Prima lucrare asupra geometriei conicilor, scrisă în 1639, a fost publicată doar în 1779. Conica este o curbă plană rezultată din intersecţia unui con circular cu un plan. Se pare că a fost scrisă sub îndrumarea lui Desargues. Două rezultate sunt deopotrivă importante şi interesante. Primul este o teoremă cunoscută sub numele de Teorema lui Pascal : Dacă un hexagon poate fi înscris într-o conică atunci punctele de intersecţie ale laturilor opuse vor fi colinieare (pe aceiaşi dreaptă). A doua care i se datorează în mare parte lui Desargues spune următoarele: Dacă un patrulater poate fi înscris într-o conică şi ducem o dreaptă care intersectează laturile în A, B ,C respectiv D, şi conica în P şi Q atunci: Pascal şi-a îmbunătăţit triunghiul aritmetic în 1653, dar nu există nici o consemnare a metodei lui până în 1665. Triunghiul este o figură simplă (ca cele două şi se poate continua la infinit). Fiecare linie este formată din numere egale cu suma numerelor din stânga poziţiei de pe linia precedentă. De exemplu 20=1+3+6+10. Dacă aşezăm triunghiul altfel (ca în dreapta) este mai uşor să vedem că un număr este egal cu suma celor două numere de deasupra lui, respectiv suma dintre numărul din stânga şi cel de deasupra în prima figură. vârful triunghiului fiind 1. Cele două reguli sunt echivalente.

• Numerele unei linii se numesc numere figurate. Primele se numesc numere de ordinul întâi, cele din a doua linie numere de ordinul doi, cele din a treia linie numere de ordinul trei ş.a.m.d. Se poate uşor demonstra că a m-lea număr de pe al n-lea rând este: Triunghiul se obţine, în cazul primei figuri, trasând o diagonală în jos din colţul dreapta sus. Numărul pe fiecare diagonală dau coeficienţii binomiali al unei dezvoltări, sunt coeficienţii binomiali ai binomului lui Newton. De exemplu a cincia diagonală 1, 4, 6, 4, 1 sunt coeficienţii binomiali ai dezvoltării (a+b)4 . Pascal a folosit triunghiul pe de-o parte pentru diferite calcule proprii şi pe de altă parte pentru a calcula combinări de m luate câte n pentru cate a găsit formula corectă:Probabil ca matematician Pascal este cel mai bine cunoscut pentru corespondenţa lui cu Fermat din 1657 în care a stabilit principiile probabilităţii. Totul a pornit de la o problemă propusă lui Pascal de un jucător numit Chavalier de Méré (Cavalerul Marii).

• La rândul său acesta i-a transmis-o lui Fermat. Problema era următoarea: Doi jucători de valori egale vreau să plece de la masă înainte de a termina o partida. Dacă se cunoaşte scorul (în puncte) şi numărul de punctelor până la care vroiau să joace (adică numărul turelor dacă o tură câştigată înseamnă un punct) se cere să se afle în ce proporţie trebuie să împartă miza. Fermat şi Pascal au dat acelaşi răspuns dar demonstraţi diferite. Următoarea este demonstraţia celui din urmă: Aceasta este metoda mea de a determina partea fiecărui jucător când, de exemplu, doi jucători joacă pe trei ture şi fiecare au pus 32 de galbeni. Să zicem că primul jucător a câştigat două puncte, iar al doilea unul. Acum trebuie să joace ultima tură pentru un punct. Dacă primul jucător ar câştiga ar lua toată miza adică 64 de galbeni, în timp ce dacă al doilea ar câştiga fiecare ar avea două puncte şi ar trebui împărţită miza, adică 32 de galbeni la fiecare. Aşadar dacă primul jucător ar câştiga 64 de galbeni i-ar aparţine, dacă nu ar lua 32 de galbeni.

Triunghiul lui Pascal

Pascal descoperă formula de recurenţă care-i poartă numele:

C C k n

k n 1

C

k 1 n 1

0k n

Calculând

în situaţiile:

n=1; n=2; n=3; n=4; n=5, folosind formula combinărilor

,

formula combinărilor complementare obţinem:

Triunghiul lui Pascal

şi utilizând

Generalizând,elementul de la intersecţia liniei n cu coloana k,este suma elementelor ce se găsesc pe linia n-1(de deasupra),la intersecţia cu coloanele k-1 şi k.

C 0 1

C C

C

C n0





C 21

1 2

1 1

C



C

2 2

4 8 16

C   C C C C      C  C   C  C 

C 0 4

0 2

0 0

0 3

C

1 3



1 4

1 n

2 4

2 n

C

2 3

3 3

3 4

4 4

n 1 n

n n

2

0

21 2 2 3 2 4 2 2

n

http://www.youtube.com/watch?v=Zo2JrPjijHc&feature=related

SARCINĂ DE LUCRU COMPLETAŢI CIORCHINELE CU FORMULELE CORESPUNZĂTOARE ŞI PARCURGEŢI FIŞELE 1 ŞI 2:

Elemente de combinatorică

Permutări............ Aranjamente......... Combinări.............

Binomul lui Newton -dezv. binomului........ - termenul general...... -triunghiul lui Pascal..

•Studiaţi problemele rezolvate de pe fişa 1. •Rezovaţi problemele de pe fişa 2.

Aplicaţie 1: 1

Calculaţi 1+2x  folosind formula lui Newton. 6

După ce aţi dezvoltat binoamul cu ajutorul formulei completaţi: a) T4 =................ b) coeficientul binomial al lui T3 este.......... c) coeficientul lui T5 este.............. d) termenul liber al dezvoltării este.............. d) termenul care conţine x 5 este................ e) termenul care conţine x 9 este................

Răspuns:

1 1+2x  =1+C  2x+C  2x  +C  2x  +C  2x  +C  2x  +C  2x  6

1 6

2 6

2

3

3 6

4

4 6

5 6

Astfel : a) T4 =C  2x  =160x 3 6

3

3 2 6

b) coeficientul binomial al termenului T3 este C =15 c) coeficientul termenului T5 este C  2 =240 4 6

4

d) termenul liber este T1 =1 e) termenul care conţine x este T6  C  2x   192x 5

e) nu există termen care conţine x

5 6

9

5

5

5

6 6

6

Aplicaţie 2:

2 Calculaţi z=  y-i  folosind formula lui Newton 5

şi răspundeţi la următoarele întrebări: a) T4 =.................. b) coeficientul binomial al lui T3 este........... c) coeficientul lui T4 este.......... d) Re  z  =.......

e) Im  z  =............

Răspuns:

 y  i  =y5 +C15 y 4  i  +C52 y3  i  +C35 y 2  i  5   y  i  =y5  C15 y 4 i  C52 y3 +C35 y 2 i+C54 y  C55 i 2

5

2

3

+C54 y  i  +C 55  i 

În concluzie: a) T4 =C35 y 4 i b) coeficientul binomial al termenului T3 este C52 =10 c) coeficientul termenului T4 este C53 i=10i d) Re  z   y5  10y 3 +5y e) Im  z   5y 4 +10y 2  1

4

5

Aplicaţie 3: 8

 2 2  3 Fie binomul  x + 3  . Să se determine: x   a) Termenul al treilea al dezvoltării. b) Termenul din mijloc. c) Rangul termenului ce conţine pe x . 6

d) Termenului ce conţine pe x . 1

e) Termenul liber din dezvoltare.

 nu dezvoltaţi binomul!

Răspuns: 3 Temenul general este: Tk+1 =C8k  x



2 8 k

k

 2    3  , k  0,1,...,8 x  2

 2  2 a) Luăm k=2 şi obţinem T3 =T2+1 =C8  x   3  =112x 6 x  b) Cum n=8 înseamnă că dezvoltarea are 9 termeni şi 2 82

termenul din mijloc este T5 =T4+1 =C84  x



2 8 4

4

 2  4 =1120x .  3 x 

c) Pentru a găsi termenul care conţine x 6 folosim din formula lui Tk+1 factorul x cu exponentul său:

x 

2 8 k

k

 1    3  =x 6  x 28k   x 3k =x 6  16  5k=6  k=2  T3 . x 

d) Repetăm raţionamentul şi găsim x165k =x1  k=3  T4  448x. e) Analog x165k =x 0  16  5k=0  k 

 Nu există termen liber.

Aplicaţie 4:

5 Fie binomul



3

2+ 3



100

.

a) Determinaţi numărul de termeni din dezvoltare. b) Aflaţi câţi termeni raţionali are dezvoltarea. c) Câţi termeni iraţionali are dezvoltarea?

Răspuns: 5 a) Binomul



2+33



100

are în dezvoltare 101 termeni.

b) Formula temenului general este: Tk+1  C

k 100

Tk+1 

 2   3  , k  0,100. 100 k

3

k

2 100  k 2 k     6 k  k  0, 6,...., 96 3 k 3 k





sau se mai scrie k  0, 6  1 , 6  2 , 6  3 ,...., 6  16   există 17 termeni raţionali. c) În concluzie sunt 101  17  84 termeni iraţionali.

Această prezentare a fost realizată de prof.Apostol Manuela în cadrul programului de formare continuă a profesorilor de matematică şi ştiinţe economice în societatea cunoaşterii.

Resurse: -imagini web; -slide-uri (ppt-uri) de pe web; -aplicaţia www.Prezi.com; - videoclipuri educaţionale de pe YouTube; http://www.youtube.com/watch?v=Zo2JrPjijHc&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=YUqHdxxdbyM&feature=related