Bhaskara Ii 645o1b

Bhaskara II

Casey Gregory

 

 

Background Information • • • •

One of most famous Indian mathematicians Born 1114 AD in Bijjada Bida  Father was a Brahman (Mahesvara) and astrologer Nicknamed Bhaskaracharya “Bhaskara the  Teacher” • Studied Varahamihira and Brahmagupta at Uijain

What he knew • Understood zero and negative numbers • Except how to divide by it

• Knew x^2 had 2 solutions * • Had studied Pell’s equation and other  Diophantine problems

His Accomplishments • First to declare a/0 = * • First to declare + a =  • Wrote 6 works including  • • • • • •

Lilavati (mathematics) Bijaganita (algebra) Siddhantasiromani Vasanabhasya (commentary on Siddhantasiromani) Karanakutuhala (astronomy) Vivarana

Lilavati

O girl! out of a group of swans, 7/2 times the square root of the number are playing on the shore of a tank. The two remaining ones are playing with amorous fight, in the water. What is the total number of swans?

Lilavati 13 Chapters • definitions; arithmetical ; interest; arithmetical and  geometrical progressions; plane geometry; solid geometry; the  shadow of the gnomon*; the kuttaka; combinations.  • 2 Methods for multiplication*  • 4 methods for squaring • Rules of three, five, seven and nine • Kuttaka Method

• •

• Example: “Say quickly, mathematician, what is that multiplier, by  which two hundred and twenty­one being multiplied, and sixty­five  added to the product, the sum divided by a hundred and ninety­five  becomes exhausted.”  Bhaskaracharya is finding integer solution to 195x = 221y + 65.  He obtains the solutions (x,y) = (6,5) or (23,20) or (40, 35) and so on.

Bijaganita • 12 Chapters • Including: positive and negative numbers; zero; the  unknown; surds*; the kuttaka*; indeterminate quadratic  equations; simple equations; quadratic equations;  equations with more than one unknown; quadratic  equations with more than one unknown; operations  with products of several unknowns; and the author and  his work • Quadratic equation ­ 700 A.D. Brahmagupta who  also recognized 2 roots in the solution. 1100A.D.   ANY positive number has 2 square roots

• Tried to prove a/ 0 = , however if that were true, *0 =   a, therefore proving all numbers equal • Shows that the kuttaka method to solve indeterminate  equations such as ax + by + cz = d has more than one  solution.  • His conclusion shows his poetic and ionate nature: • “A morsel of tuition conveys knowledge to a comprehensive  mind; and having reached it, expands of its own impulse, as oil  poured upon water, as a secret entrusted to the vile, as alms  bestowed upon the worthy, however little, so does knowledge  infused into a wise mind spread by intrinsic force.” 

Siddhanta Siromani

• Picture of Goladhyaya.

Siddhanta Siromani • Wrote Siddhanta Siromani (1150 AD) • • • •

Leelavati (arithmetic) Bijaganita (algebra) Goladhayaya (spheres, celestial globes) Grahaganita (mathematics of the planets)

Topics Covered in Siddhanta Siromani • Astronomy Related • Latitudes & longitudes of the planets; three problems of  diurnal* rotation; syzygies*; eclipses; the moon's  crescent; conjunctions of the planets with each other  and stars

• Sphere Related • “nature of the sphere; cosmography and geography;  planetary mean motion; eccentric epicyclic model of the  planets; the armillary sphere; spherical trigonometry;  ellipse calculations; first visibilities of the planets;  calculating the lunar crescent; astronomical instruments;  the seasons; and problems of astronomical calculations.

Further Information in Siddhanta • First time trigonometry was studied as it’s  own entity, rather than how it related to  other calculations. •  sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b  •  sin(a ­ b) = sin a cos b ­ cos a sin b. 

His 7th work? • There exists a 7th work, but it is thought to  be a forgery.

After Bhaskara II • Bhaskara II dies in 1185 • A HUGE scientific lull after invasion by  muslims • 1727, next important Hindu mathematician  Sawai Jai Singh II • Several of Bhaskara’s findings were not  explored heavily after his death, and ended  up being “discovered” later by European  mathematicians.

Bhaskara II Rediscovered • chakrawal, or the cyclic method, to solve algebraic  equations. * • 6 centuries later, Galois, Euler and Lagrange  rediscovered this and called it "inverse cyclic". 

• differential calculus • Rediscovered as "differential coefficient"  • "Rolle's theorem" • Newton and Leibniz receive credit 

• Bhaskara is renowned for his concept of  Tatkalikagati (instantaneous motion).

Works Cited • http://www.ilovemaths.com/ind_mathe.htm • http://www.bbc.co.uk/dna/h2g2/A2982567 • http://www­groups.dcs.st­and.ac.uk/%7Ehis tory/Mathematicians/Bhaskara_II.html • http://www.math.sfu.ca/histmath/India/ 12thCenturyAD/Bhaskara.html