Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Inspectoratul Şcolar Judeţean Covasna
Examenul de bacalaureat 2016 Simularea probei E.c) Probă scrisă la MATEMATICĂ M_st-nat BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii. Varianta 5 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10
SUBIECTUL I 1. x 2 4 4 x 2 4 2 x 6
x 2;6 2.
x 2, 1,0,1, 2,3, 4,5,6
2p
Suma soluțiilor: S (2) (1) 0 1 2 3 4 5 6 18
1p
Din a n+1 an 3 an n1 este progresie aritmetică
2p
a1 1, an 3n 2, Sn
a1 an n 51 3n 1 n , n
Obținem: n 6 3.
(30 de puncte) 2p
2
2p 1p
2
y 2 x -1 2 y x 3x 5
Coordonatele punctelor de intersecție vor fi soluțiile reale ale sistemului: 2 x 3 x 5x 6 0 x 2 1 respectiv 2 y2 5 y1 3 y 2x 1 Punctele de intersecție sunt: A 2,3 și B 3,5 .
4.
5.
3p 1p
f f 0 f f 0 f 0 1 și f 1 0 f f 0 f f 0 f 1 0
1p 2p 2p
Din regula paralelogramului avem: BA BC BD Din regula triunghiului avem: AD DC AC
ABCD- romb BD AC În concluzie BD AC 0 6.
Din teorema cosinusului rezultă: BC2 AB2 AC 2 2 AB AC cos A BC2 13
Din teorema sinusului rezultă: R=
BC 39 2sin 60 3
SUBIECTUL II 1.a) X Y A
S O3
b)
(30 de puncte) 3p 2p
BC I3 A I3 aA I3 A aA aA2 ,
1p 2p 1p
1 15 Inducție matematică: Pentru n 2 A2 14 A Presupunem adevărat pentru k : Ak 14k 1 A Demonstrăm pentru k 1: Ak 1 Ak A 14k 1 A A 14k 1 A2 = 14k 1 14 A 14k A An 14n1 A adevărat pentru n , n 2 BC I 3 15a 1 0 a
Probă scrisă la Matematică 1 Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii.
1p 1p 1p 2p 2p 3p
A2 14 A BC I3 1 15a A.
c)
1p
1p 1p 1p 2p 1p Simulare
Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Inspectoratul Şcolar Judeţean Covasna
2.a)
b)
1 2 y 5 y2 2 y Fie pentru y , Ay 0 1 5y 0 0 1 2 1 2 y 2 x 5 y 2 y 10 xy 5 x 2 2 x Calculul Ax Ay 0 1 5 y 5x 0 0 1 Pentru a arăta: Ax Ay Ax y adevărat x, y
1p
2p
2p
1p Conform punctului a) înmulțirea matricelor este lege de compoziție pe G Legea indusă este asociativă, are element neutru I3 A0 G și orice matrice Ax G este 3p inversabilă și are inversa A x G .
G, este grup.
c)
1p
1) f este injectivă f x1 f x2 Ax1 Ax2 x1 x2
1p astfel încât f x Ax , adevărat conform 1p
2) f este surjectivă Ax G există x definiției mulțimii G și a funcției f. Din 1) și 2) rezultă că f este funcție bijectivă. (3) 4) Conform a) și definiției lui f avem: x, y , f x y Ax y Ax Ay f x f y . Din 3) și 4) rezultă că f este un izomorfism între grupurile cerute.
1p 1p (30 de puncte)
SUBIECTUL III 1.a) f este continuă și derivabilă ca diferența a două funcții elementare.
36 x 2 1 și studiul semnului derivatei. f x x 1 Funcția f este descrescătoare pe intervalul 0, și crescătoare pe intervalul 6 lim f x funcția are asimptotă verticală și ecuația ei este x=0.
1p
'
b)
3p
1 6 , .
c)
ln x
funcția nu are asimptotă orizontală. x f x ln x lim ... lim x 18 2 funcția nu are asimptotă oblică. x x x x Cel mai mare număr a pentru care f x a, pentru orice x 0, a min f x . x
x
F x e x 1 este derivabilă pe '
h este concavă pe
1 1 de unde a f ln 6 6 6 2
1
2x
3 2
6
3 2x 6
dx
I ex
3 2
2
3
2x
h" x 0, x
2p
dx e x
1 2
arctg
3 x
3p
3p
'
I e x dx
2p
.
Din a) h' x 2 f x 1 ... 2e x h" x 2e x h" x 0, x c)
1p
2p
F ' x f x 1 .. f x , x b)
2p
2
Din punctual a) rezultă că funcția are minim global în x 2.a)
1p 2p
x o x 0
lim f x lim x 2 18
1p
3 2x 6
dx ...
2
3 2
3p 2p
dx
arctg
x
2p
C
3
1p
C
3
Probă scrisă la Matematică 2 Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii.
Simulare