Barem Matematica St-nat 566k2i

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Inspectoratul Şcolar Judeţean Covasna

Examenul de bacalaureat 2016 Simularea probei E.c) Probă scrisă la MATEMATICĂ M_st-nat BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii. Varianta 5  Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.  Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem  Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10

SUBIECTUL I 1. x  2  4  4  x  2  4  2  x  6

x   2;6 2.

 x 2, 1,0,1, 2,3, 4,5,6

2p

Suma soluțiilor: S  (2)  (1)  0  1  2  3  4  5  6  18

1p

Din a n+1  an  3   an n1 este progresie aritmetică

2p

a1  1, an  3n  2, Sn 

 a1  an  n  51   3n  1 n , n 

Obținem: n  6 3.

(30 de puncte) 2p

2



2p 1p

2

y  2 x -1 2  y  x  3x  5



Coordonatele punctelor de intersecție vor fi soluțiile reale ale sistemului:  2  x  3 x  5x  6  0  x  2   1 respectiv  2   y2  5   y1  3  y  2x 1 Punctele de intersecție sunt: A  2,3 și B  3,5 .

4.

5.

3p 1p

 f f  0  f  f  0  f  0   1 și f 1  0   f f  0   f  f  0    f 1  0

1p 2p 2p

Din regula paralelogramului avem: BA  BC  BD Din regula triunghiului avem: AD  DC  AC

ABCD- romb  BD  AC În concluzie BD  AC  0 6.

Din teorema cosinusului rezultă: BC2  AB2  AC 2  2 AB  AC  cos  A  BC2  13

Din teorema sinusului rezultă: R=

BC 39  2sin 60 3

SUBIECTUL II 1.a) X  Y  A

 S  O3

b)

(30 de puncte) 3p 2p

BC   I3  A I3  aA  I3  A  aA  aA2 ,

1p 2p 1p

1 15 Inducție matematică: Pentru n  2  A2  14  A Presupunem adevărat pentru k : Ak  14k 1  A Demonstrăm pentru k  1: Ak 1  Ak  A  14k 1 A  A  14k 1 A2 = 14k 1 14 A  14k A An  14n1  A adevărat pentru n  , n  2 BC  I 3  15a  1  0  a  

Probă scrisă la Matematică 1 Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii.

1p 1p 1p 2p 2p 3p

A2  14  A  BC  I3  1  15a  A.

c)

1p

1p 1p 1p 2p 1p Simulare

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Inspectoratul Şcolar Judeţean Covasna

2.a)

b)

 1 2 y 5 y2  2 y    Fie pentru y  , Ay   0 1 5y  0 0  1   2  1 2 y  2 x 5 y  2 y  10 xy  5 x 2  2 x    Calculul Ax  Ay   0 1 5 y  5x  0  0 1   Pentru a arăta: Ax  Ay  Ax y adevărat x, y 

1p

2p

2p

1p Conform punctului a) înmulțirea matricelor este lege de compoziție pe G Legea indusă este asociativă, are element neutru I3  A0  G și orice matrice Ax  G este 3p inversabilă și are inversa A x  G .

  G,  este grup.

c)

1p

1) f este injectivă  f  x1   f  x2   Ax1  Ax2  x1  x2

1p astfel încât f  x   Ax , adevărat conform 1p

2) f este surjectivă  Ax  G există x  definiției mulțimii G și a funcției f. Din 1) și 2) rezultă că f este funcție bijectivă. (3) 4) Conform a) și definiției lui f avem: x, y  , f  x  y   Ax y  Ax Ay  f  x   f  y  . Din 3) și 4) rezultă că f este un izomorfism între grupurile cerute.

1p 1p (30 de puncte)

SUBIECTUL III 1.a) f este continuă și derivabilă ca diferența a două funcții elementare.

36 x 2  1 și studiul semnului derivatei. f  x  x  1 Funcția f este descrescătoare pe intervalul  0,  și crescătoare pe intervalul  6 lim f  x     funcția are asimptotă verticală și ecuația ei este x=0.

1p

'

b)

3p

1   6 ,   .

 

c)

ln x 

    funcția nu are asimptotă orizontală. x  f  x ln x   lim  ...  lim x  18  2     funcția nu are asimptotă oblică. x  x  x x   Cel mai mare număr a pentru care f  x   a, pentru orice x   0,   a  min f  x  . x 

x 

F  x   e x  1  este derivabilă pe '

h este concavă pe

1 1 de unde a  f     ln 6 6 6 2

1

 2x

3 2

6

3 2x  6

dx 

 I  ex 

3 2

2

3

2x

 h"  x   0, x 

2p

dx  e x  

1 2

arctg

3 x

3p

3p

'

I   e x dx  

2p

.

Din a)  h'  x    2 f  x   1  ...  2e x  h"  x   2e x  h"  x   0, x  c)

1p

2p

F '  x     f  x   1  ..  f  x  , x  b)

2p

2

Din punctual a) rezultă că funcția are minim global în x  2.a)

1p 2p

x o x 0

lim f  x   lim x 2  18 

1p

3 2x  6

dx  ... 

2

3 2

3p 2p

dx

arctg

x

2p

C

3

1p

C

3

Probă scrisă la Matematică 2 Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii.

Simulare