Bab 6 ( Dinamika Rotasi Keseimbangan Benda Tegar ) 616i4x

Standart Kompetensi Menerapkan konsep dan prinsip mekanika klasik sistem kontinu (benda tegar dan fluida) dalam penyeleaian masalah.

Kompetensi Dasar Menemukan hubungan antara konsep torsi dan momentum sudut, berdasarkan Hukum II Newton serta penerapannya dalam maslah benda tegar.

Indikator   

Menganalisis masalah dinamika rotasi benda tegar untuk berbagai keadaan Menganalisis gerak menggelinding tanpa slip Menerapkan konsep titik berat benda dalam kehidupan sehari-hari

Pendalaman Materi A. KESEIMBANGAN PARTIKEL

SYARAT KESEIMBANGAN PARTIKEL 

Partikel adalah benda yang ukurannya di abaikan, sehingga dapat dipandang sebagai sebuah titik materi.  Karena ukuran benda di abaikan maka benda hanya melakukan gerak translasi (menggeser), tidak berotasi (memutar).  Sebuah partikel dikatakan seimbang jika resultan gaya yang berkerja pada partikel sama dengan nol. F = 0 Jika partikel berada pada bidang xy maka syarat keseimbangan dapat ditulis dalam bentuk: Fx = 0 dan

Fy = 0

KESEIMBANGAN 3 BUAH GAYA



Misalkan tiga buah gaya F1, F2, dan F3 berkerja pada sebuah benda yang dapat dipandang sebagai sebuah partikel. Jika ketiga gaya membentuk keseimbangan partikel maka F1 berlaku: 

 

F3

F2

 = sudut disebrang F1

 = sudut disebrang F2  = sudut disebrang F3

Contoh Soal 1. Benda yang beratnya 300 N tergantung pada tali seperti gambar berikut ini. Tentukan besarnya tegangan kedua tali 45 penahannya! T1 T2 Gaya-gaya yang berkerja pada sistem benda dapat dilihat pada gambar berikut: T2 T1

300 N

45

w Komponen gaya T2 pada arah sumbu-x dan sumbu-y adalah : T2x = T2.cos 45 T2y = T2.sin 45 Gaya T1 tidak perlu diuraikan karena telah berada pada sumbu-x. Terapkan syarat keseimbangan partikel: Fy = 0 maka T2.sin 45 - w = 0 T2 =

300 N 300 N w = 1 = 1 = 300 2 N 2 2 sin 45 2 2

Fx = 0 maka T2.cos 45 - T1 = 0 T1 = T2.cos 45 =

1 2

2T2 = 12

2 .300 2 N = 300 N

Jadi teganngan masing masing tali adalah T1=300 N dan T2 = 300 2 N .

2. Sebuah pot bunga digantung menggunakan tali seperti gambar berikut ini. Jika berat pot 100 N, tentukan besarnya tegangan tali T1 dan T2! 37 T1

53 O

T2

Tinjau titik keseimbangan dititik O, gambar gaya-gaya adalah sebagai berikut: T2

T1

O 53

37

w Jika diselesaikan dengan menggunakan sistem kese imbangan tiga gaya di O persamaannya adalah: T1 T2 w sin  sin  sin 



T1 sin 143



T2 sin 127





w sin 90

sin 143 = sin (180 - sin 143) = sin 37 = sin 127 = sin (180 - sin 127) = sin 53 = sin 90 = 1 dengan demikian diperoleh: T1 100 N atau sin 143 sin 90



T1  T2 sin 127



T1 

100 N 1

100 N atau sin 90

x 53

T2 

T2  1001 N x 54

100 N sin 90

3 5 4 5

x sin 37

= 60 N 100 N sin 90

x sin 53

= 80 N

Uji Kompetensi 1 1. Sebuah lukisan yang beratnya 40 N digantung pada paku tembok menggunakan seutas tali.

30o

Hitung besarnya gaya tegangan tali? 2. Perhatikan sistem berkut : 30 T w1

w2

Jika gesekan katrol diabaikan, dan besarnya tegangan tali T = 2 N, tentukan besarnya w 1 dan w2 ! 3. Sistem pada gambar berikut ini berada dalam keseimbangan. Gaya gesekan maksimum amtara balok dengan permukaan meja adalah 15 N. Tentukan: a. koefisien gesekan statis anatara meja dengan balok! b. Nilai massa benda m! 30 6 kg

m

4.Sebuah bola homogen yang massanya 3 kg ditahan oleh dua kawat AB dan CD seperti gambar berikut ini. Kawat AB horizontal dan kawat CD dimiringkan 30 terhadap arah vertikal. Hitunglah tegangan masing-masing kawat! D

B

C

A

5. Bola basket pada gambar berikut ini memiliki berat 70 N. Bola itu diam pada dinding yang licin. Jika bola dianggap homogen tentukan besarnya gaya-gaya yang yang dikerjakan dinding pada bola!

60

30

6.Jika massa benda m = 8 kg dan sistem pada gambar berikut ini dalam keadaan seimbang statik tentukan besarnya tegangan tali T1, T2, T3 dan T4!

60

T3

30 T2 T1 m

T4

7. Dua buah benda bermassa m dan M diikat pada tali seperti pada gambar. Jika sistem dalam keadaan seimbang statik tunjukkan bahwa:

tan   1  2mM

M



45

45

m

B. KESEIMBANGAN BENDA TEGAR SYARAT KESEIMBANGAN BENDA TEGAR Benda tegar adalah benda yang tidak mengalami perubahan bentuk akibat pengaruh gaya atau momen gaya. Jika partikel hanya mengalami gerak translasi, maka benda tegar mengalami gerak translasi dan rotasi. Syarat agar benda tegar berada dalam keadaan seimbang adalah resultan gaya dan resultan momen gaya yang bekerja pada benda tersebut di titik sembarang sama dengan nol. Jadi syarat benda tegar seimbang :

F = 0, Fy ==00dan x = 0, F F dan ==00 x y KOORDINAT TITIK TANGKAP GAYA RESULTAN  Jika beberapa buah gaya berkerja pada bidang xy, maka setiap gaya dapat diuraikan atas komponen-komponen nya pada sumbu-x dan sumbu-y. Misalkan komponen-komponen gaya pada arah sumbu-x adalah F1x, F2x, F3x, F4x, ..., Fnx, dengan jarak masing-masing y1, y2 y3, y4, ..., yn. Sedang komponen-komponen gaya pada arah sumbu-y adalah F 1y, F2y, F3y, F4y, ..., Fny, dengan jarak masing-masing x1, x2, x3, x4, ..., xn.  Jika resultan komponen gaya pada arah sumbu-y adalah R y dengan jarak xR dari sumbu y, maka berlaku peramaan: y = y1 +  y2 +  y3 +  y4 + … +  yn Ry.xR = F1y. x1 + F2y. x2 + F3y.x3 + F4y.x4 + ... + Fny.xn

xR 

F1Y .x1  F2 y .x 2  F3 y .x 3  ...  Fny .x n F1 y  F2 y  F3 y  ...  Fny

Denagan cara yang sama maka akan diperoleh:

yR 

F1x . y1  F2 x . y 2  F3 x . y 3  ...  Fnx . y n F1x  F2 x  F3 x  ...  Fnx

Koordinat titik tangkap gaya resultan dapat dinyatakan dengan (x R , yR)

Contoh Soal 1. Tentukan besar, arah dan titik tangkap gaya resultan dari keempat gaya seperti gambar berikut ini! y

12 N

10 N 6N -1

0

1

2

3

x

-8 N Dari gambar tampak bahwa semua gaya berkerja sejajar dengan sumbu-y. Besar dan arah gaya reseultan adalah: R y = F1 + F 2 + F3 + F4 = 6 N + (-8 N) + 10 N + 12 N = 20 N (searah dengan sumbu y positif) Titik tangkap gaya resultan dapat dihitung dengan persamaan:

F1 .x1  F2 .x 2  F3 .x3  F4 .x 4 F1  F2  F3  F4 6.(1)  (8)(1)  10.(2)  12.(3) xR  20 42 xR   2,1 20 xR 

2. Perhatikan sistem berikut ini !

Benda tegar AB panjangnya 80 cm beratnya 18 N dipasang seperti pada gambar. Dititik B digantungkan beban yang beratnya 30 N. Jika panjang tali 10 cm, agar sistem dalam keadaan seimbang tentukan tegangan tali ! Penyelesian : T.Sin  T 

`

B A

T.cos

w

Wb A = 0 w.AB + wb. (½ AB) – T.sin. AB = 0 30. 0,8 + 18. 0,4 = T. 0,6. 0,8 T = 65 N

Uji Kompetensi 2 1. Tentukan besar, arah dan titik tangkap gaya resultan dari empat gaya berikut ini! y

5N

4N -1

3 0

-2

1

x

2

-2 N -10 N 2. Perhatikan gambar berikut ini! Jika di ketahui besar sudut  = 37 dan  = 53, tentukan koordinat titik tangkap gaya resultan dari kedua gaya F1 dan F2 ! F2 = 5 N 

5 4



F1 = 10 N

0 3 5 3. Sebuah batu beratnya 400 N, diletakkan di atas papan yang panjangnya 4 m pada jarak 1,8 m dari salah satu ujungnya. Batang tersebut diangkat oleh dua orang pada kedua ujungnya. Hitunglah gaya yang dikeluarkan oleh tiap-tiap orang tersebut !

4. Sebuah batang panjangnya L beratnya 200 N disangga pada kedua ujungnya. Pada jarak ¼.L dari salah satu ujungnya digantungkan beban 440 N. Hitunglah besarnya gaya yang dirasakan penyangga batang tersebut ! 5. Seseorang memikul dua beban dengan tongkat AB homogen yang panjangnya 2 m. Beban diujung A beratnya 100 N dan di ujung B beratnya 400 N. Agar batang AB dalam keadaan seimbang, dimana bahu orang tersebut harus diletakkan ? 6. Sebuah batang AD panjangnya 4 m dan beratnya 100 N digantung oleh dua tali pada titik B dan C. Jika jarak AB = ½ m dan jarak CD = 1,5 m, tentukan perbandingan tegangan kedua tali ! 7. Sebuah roda bermassa 12 kg berjari-jari 1 m bertumpu pada lantai dan bersandar pada anak tangga yang tingginya 0,4 m.

F

Tentukan gaya mendatar minimum (F) untuk mengungkit roda ! 8. Perhatikan sistem berikut ini !

30o

Jika sistem dalam keadaan seimbang, massa batang diabaikan dan massa beban 80 kg, tentukan tegangan tali ! 9. Perhatikan sistem berikut :

30o

Jika sistem dalam keadaan seimbang, massa batang 50 N dan tali diikat pada batang ditengah-tengah batang, massa beban 100 kg, tentukan tegangan tali !

10. Sebuah batang bermassa 20 kg dan panjangnya 12 m bersandar pada dinding licin dan bertumpu pada lantai kasar. Jika sudut kemiringan batang terhadap lantai 60 o, tentukan : a. besarnya gaya normal yang diberikan oleh lantai pada batang b. besarnya gaya normal yang diberikan oleh dinding pada batang c. nilai koefisien gesekan statis antara lantai dan batang 11. Tangga homogen panjangnya 10 m dan beratnya 400 N disandarkan pada dinding licin, lalu dinaiki orang yang beratnya 600 N. Sesaat sebelum tangga tergelincir orang tersebut sudah naik sepanjang 6 m. Hitunglah besarnya koefisien gesekan statis antara tangga dan lantai ! 12. Tangga homogen panjangnya 6 m dan beratnya 27 titik beratnya terletak pada jarak 2 m dari ujung kaki tangga bersandar pada dinding kasar membentuk sudut 45 o terhadap lantai. Koefisien gesekan statis akedua ujung tangga sama sebesar

1 . Seseorang yang beratnya 7

78 N menaiki tangga tersebut. Sampai di mana orang tersebut dapat naik tangga sesaat sebelum tangga tergelincir ?

C. TITIK BERAT BENDA KOORDINAT TITIK BERAT BENDA

 Suatu benda tegar dapat dipandang tersusun atas partikel-partikel yang masing-masing mempunyai berat. Resultan dari seluruh berat partikel dianamakan gaya berat benda.  Titik berat adalah titik tangkap gaya berat benda.

 Untuk menentukan letak titik berat diginakan koordinat titik berat benda, yang secara umum dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut. y  x1, y1 w1

 xo, yo  x2, y2 wo

0

x

w2

x0 

x1 .w1  x 2 .w2  .... w1  w2  ....

y0 

y1 .w1  y 2 .w2  .... w1  w2  ....

 Untuk benda yang berukuran kecil titik pusat massa benda berimpit dengan titik berat benda. Dengan demikian koordinat titik pusat massa benda dapat dinyatakan dengan:

x pm 

x1 .m1  x 2 .m 2  .... m1  m2  ....

y pm 

y1 .m1  y 2 .m2  .... m1  m2  ....

 Ditinjau dari bentuknya benda-benda di sekitar kita dapat dikelompokkan ke dalam tiga bentuk, yaitu: a. Benda bebentuk garis (satu dimensi). b. Benda berbentuk luasan (dua dimensi) c. Benda berbentuk volume atau ruang (tiga dimensi)

TITIK BERAT BENDA BERBENTUK GARIS

 Benda berbentuk garis (satu dimensi) adalah benda yang lebar dan tebalnya dapat di abaikan, misalnya kawat. Berat benda berbentuk garis sebanding dengan panjangnya, karena karena lebar dan tebalnya dapat diabaikan.  Koordinat titik berat gabungan dari beberapa benda berbentuk garis dapat ditentukan dengan persamaan sebagai berikut:

x0 

x1 .l1  x 2 .l 2  .... l1  l 2  ....

y0 

y1 .l1  y 2 .l 2  .... l1  l 2  ....

 Titik berat benda homogen bebentuk garis yang beraturan terletak pada sumbu simetrinya. Perhatikan gambar berikut ini! Benda berbentuk garis lurus. Letak titik berat nya:

xo A

z

B

l Benda berbentuk busur lingkaran. Letak titik berat nya:

z

A yo

B R

R = Jari-jari lingkaran o

Benda berbentuk busur setengah lingkaran. Letak titik berat nya: A R = Jari-jari lingkaran

yo

z o

B

TITIK BERAT BENDA BERBENTUK LUASAN

 Benda berbentuk luasan (dua dimensi) adalah benda yang ketebalannya dapat diabaikan, misalnya bidang sgitiga, juring lingkaran, jajaran genjang, setengah lingkaran, kulit silinder, kulit bola dan lain-lain. Berat benda berbentuk bidang luasan sebanding dengan luas bidang benda.

 Koordinat titik berat gabungan dari beberapa benda berbentuk bidang luasan dapat ditentukan dengan persamaan sebagai berikut:

x0 

x1 . A1  x 2 . A2  .... A1  A2  ....

y0 

y1 . A1  y 2 . A2  .... A1  A2  ....

 Titik berat benda berbentuk bidang luasan dari beberapa bentuk benda dapat dilihat pada gambar berikut ini! C 1. Benda luasan berbentuk segitiga mempunyai titik berat: t = tinggi segitga z = perpotongan garis-garis berat AD dan CF

D

z

t

yo A

E D

2. Benda luasan berbentuk jaja ran genjang, belah ketupat, bujur sangkar dan persegi panjang mempunyai titik berat:

B

F

C

t

z yo

t = tinggi z = perpotongan garis diagonal AC & BD

B

A y

3. Benda luasan berbentuk juring lingkaran mempunyai titik berat:

B

A z yo

R = Jari-jari lingkaran

R x

O y

4. Benda luasan berbentuk setengah lingkaran mempu nyai titik berat:

z R

yo A

O

R = Jari-jari 5. Benda luasanlingkaran berupa kulit prisma mempunyai titik berat:

B

x

z2

z = Titik tengah garis z1z2 z1 = Titik nerat bidang alas z2 = Titik nerat bidang alas L = panjang sisi tegak

yo

z z1

L

6. Benda luasan berupa kulit silinder tanpa tutup mempunyai titik berat:

z2 z

t

yo

t = Tinggi silinder

z1

T 7. Benda luasan berupa kulit kerucut mempunyai titik berat:

z yo

t = TT1 = Tinggi kerucut

T1

A

8. Benda luasan berupa kulit setengah bola mempunyai titik berat: 9. Benda luasan berupa kulit limas mempunyai R = Jari-jari bola titik berat: t = TT1 = garis tinggi ruang limas

yo T

yo

B

z R

z T1

TITIK BERAT BENDA BERBENTUK RUANG  Koordinat titik berat gabungan dari beberapa benda berbentuk ruang dapat ditentukan dengan persamaan sebagai berikut:

x0 

x1 .V1  x 2 .V2  .... V1  V2  ....

y0 

y1 .V1  y 2 .V2  .... V1  V2  ....

 Titik berat benda berbentuk ruang dari beberapa bentuk benda dapat dilihat pada gambar berikut ini: 1. Benda ruang berupa prisma pejal mempunyai titik berat: z2

z = Titik tengah garis z1z2 z1 = Titik nerat bidang alas z2 = Titik nerat bidang alas

L

z

yo

z1

L = panjang sisi tegak 2. Benda ruang berupa silinder pejal mempunyai titik berat:

z2 z

t = Tinggi silinder

t

yo z1 T

3. Benda ruang berupa kerucut pejal mempunyai titik berat:

t = TT1 = Tinggi kerucut

z

V = luas alas x tinggi yo

T1

A

4. Benda ruang berupa setengah bola pejal mempunyai titik 5. berat: Benda ruang berupa limas pejal mempunyai titik berat: R = Jari-jari bola t = tinggi limas beraturan V = luas alas x tinggi

yoT

yo

B

z R

z T1

D. JENIS KESEIMBANGAN





Berpedoman pada hukum-hukum newton tentang gerak kesetimbangan dapat dibedakan menjadi kesetimbangan statik (keseimbangan benda dalam keadaan diam) dan keseimbangan dinamis (keseimbangan benda yang sedang bergerak dengan kecepatan tetap). Keseimbangan statik dapat dikelompokkan menjadi 3 macam, yaitu: a. Keseimbangan stabil (mantap), adalah jenis keseim bangan benda, dimana jika benda diberi gaya, kemu dian gaya dihilangkan maka posisi benda akan kem bali kepada kedudukan semula. Ciri dari keseim bangan jenis ini adalah titik berat benda naik jika dibei gaya. Contoh keseimbangan jenis ini adalah bola yang ditempatkan pada dasar bidang cekung.

b. Keseimbangan labil (mantap), adalah jenis keseim bangan benda, dimana jika benda diberi gaya, kemu dian gaya dihilangkan maka posisi benda tidak dapat kembali kepada kedudukan semula. Ciri dari keseim bangan jenis ini adalah titik berat benda turum jika dibei gaya. Contoh keseimbangan jenis ini adalah bola yang ditempatkan pada puncak bidang cembung.

c.



Keseimbangan netral (indeferen), adalah jenis keseim bangan benda, dimana jika benda diberi gaya luar benda akan bergerak dan jika gaya luar dihilangkan benda akan berhenti pada kedudukan yang berbeda dari semula. Ciri dari keseimbangan jenis ini adalah tidak terjadi kenaikan atau penurunan titik berat benda naik jika dibei gaya. Contoh keseimbangan jenis ini adalah bola yang ditempatkan pada bidang datar.

Sebuah benda yang berada dalam keseimbangan stabil jika dipengaruhi gaya luar, benda tersebut dapat menggeser atau mengguling. Jika kecenderungan benda bergerak translasi dikatakan menggeser dan jika kecenderungan benda bergerak rotasi dikatakan mengguling. Benda akan menggeser atau menggeser jika dipenuhi syarat sebagai berikut: 1. Syarat benda menggeser: F  0 dan  = 0 2. Syarat benda mengguling: F = 0 dan   0 3. Syarat benda menggeser dan mengguling: F  0 dan   0

Contoh Soal Perhatikan benda berbentuk L berikut ini ! 10 cm

60 cm 10 cm 50 cm

Tentukan letak titik berat benda tersebut ! Penyelesaian : 10 cm

60 cm

I

II

10 cm

50 cm A1 = 60.10 600 A2 = 40.10 = 400 x1 = 5 y1 = 30 x2 = 30 y2 = 5

x0 

x1 . A1  x 2 . A2 5.600  30.400   15 A1  A2 600  400

y0 

y1 . A1  y 2 . A2  20 A1  A2

Jadi koordinat titik berat adalah (15,20).

Uji Kompetensi 3 1. Tentukan koordinat gabungan dari 4 buah kawat yang disusun sebagai berikut : 2 2 5 2

37o

4

2. Tentukan koordinat titik berat benda gabungan berikut : 3 cm

1 cm 1 cm

5 cm

1 cm

1 cm

3. Tentukan koordinat benda gabungan berikut !

4 cm

4 cm

10 cm 4. Tentukan koordinat titik berat benda berikut :

40 cm 30 cm

70 cm

5. Tentukan koordinat dari benda gabungan berikut : 10 cm

4 cm 4 cm

9 cm

6. Tentukan koordinat titik berat bangun berikut ini !

5 cm

10 cm

10 cm 7. Sebuah benda gabungan terdiri dari sebuah kerucut pejal dan setengah bola pejal berikut :

h

R

Jika benda tersebut dalam keadaan keseimbangan netral, maka tentukan tinggi kerucut (h) !

EVALUASI PILIHAN GANDA 1.

Perhatikan sistem berikut ini ! 53 T1

37 O

T2

Jika massa beban 98 kg dan g = 10 m/s2, maka besarnya tegangan tali T2 adalah ... N a. 980

b. c. d. e.

784 588 490 392

2.

Perhatikan gambar berikut : 60 F

T2 300 N

Agar sistem dalam keadaan seimbang, besarnya gaya F adalah ... N a. 150 b. 100 3 c. 200 d. 200 3 e. 175 3. Perhatikan gambar berikut ! 4 kN

12 kN

2 kN

2m

A

3m

4 kN

3m

Besarnya dan letak titik tangkap gaya resultan adalah ... N a. 3 m di kanan A b. 3 m di kiri A c. 6 m di kanan A d. 12 m di kiri A e. 12 m di kanan A 4. Sebuah papan kayu AB panjangnya 2 m bermassa 50 kg ditumpu pada titik A dan di titik C. Titik C berada ¾ L dari A. Sebuah beban 200 kg diletakkan di atas papan. Agar papan tidak terguling, beban tersebut harus diletakkan sejauh ... a. 0,125 di kanan penumpu C b. 0,125 di kiri penumpu C c. 0,25 dikanan penumpu C d. 0,25 dikiri penumpu C e. 0,5 di kana penumpu C 5. Perhatikan gambar berikut :

45o

6.

7.

8.

9.

Jika batang bermassa 20 kg panjangnya 8 m digantung dengan sebuah engsel. Tali diikat pada batang pada jarak 5 m dari engsel (dinding). Besarnya tegangan tali adalah ... N a. 100 b. 100 2 c. 160 d. 160 2 e. 200 Sebuah batang AD panjangnya 4 m beratnya 100 N digantung dengan dua utas tali. Batang diikat pada titik B dan C. Jika jarak AB = 0,5 m dan BC = 2 m, maka perbandingan tegangan tali di B dan di C adalah ... a. 3:1 b. 1:3 c. 2:1 d. 1:2 e. 4:3 Sebuah tangga panjangnya 5 m bersandar pada dinding licin membentuk sudut 37 o terhadap lantai kasar. Besarnya koefisien gesekan antara batang dan lantai adalah ... a. 1/3 b. 2/3 c. 1 d. ½ e. ¼ Seorang anak bermassa 40 kg menaiki tangga homogen yang panjangngya 10 m bermassa 20 kg. Tangga disandarkan pada dinding vertikal licin. Ujung tangga menyentuh dinding licin setinggi 8 m dari lantai kasar yang koefisien gesekannya 0,4. Ketinggian maksimum yang dapat dicapai anak hingga tangga mulai tergelincir adalah ... m a. 13/4 b. 13/3 c. 5 d. 6,5 e. 7 Perhatikan gambar berikut : 10 cm 8

2

2

X2

Jika koordinat titik berat benda (2,3), maka nilai x2 adalah ... a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 60 e. 8 10. Perhatikan gambar berikut :

10

40

Koordinat titik berat benda adalah ... a. (14,32) b. (14,36) c. (22,32) d. (26,36) e. (36,14)