Analisi Modale 2g1l5v

GENERALITA' La presente riguarda un'applicazione numerica di analisi dinamica per un edificio multipiano allo scopo di valutare le massime sollecitazioni cui sarà soggetto in caso di evento sismico. La procedura computazionale ha previsto lo sviluppo dei seguenti punti: 

DEFINIZIONE DEL MODELLO DINAMICO;



ANALISI MODALE (definizione delle frequenze proprie dei periodi propri e dei modi di vibrare della costruzione);



CALCOLO DEGLI EFFETTI MASSIMI DELL'AZIONE SISMICA PER OGNI MODO DI VIBRARE;



COMBINAZIONE DEGLI EFFETTI MASSIMI;

CARATTERICTICHE STRUTTURALI L' edificio in esame risulta essere regolare in pianta , presenta 3 telai lungo una direzione e 4 lungo la direzione ortogonale e si sviluppa su 3 livelli con un'altezza di interpiano costante e con una discontinuità all'ultimo livello che garantisce esclusivamente caratteristiche di simmetria rispetto ad un unico asse. y

x y

y

y

2

1

2

y

3

4

5m

1

yi (y ;y )

1

x

2

5m

x

x

5m

6m

3

5m

yj (y ;y ) 3

3.5m

3.5m

3.5m

xi

Dimensioni dei pilastri [m]: P1= pilastri primo piano

0.5×0.5

P2= pilastri secondo piano

0.4×0.4

P3=pilastri terzo piano

0.3×0.3

4

DEFINIZIONE DEL MODELLO DINAMICO

Ai fini dello studio dinamico della struttura soggetta ad azioni orizzontali si è creato un modello che prevede gli orizzontamenti infinitamente rigidi e quindi di ridurre il numero di gradi di liberta a 3 per ogni implacato di cui due traslazioni e una rotazione nel piano. Tale assunzione inoltre permette di studiare ogni impalcato mediante un unico punto rappresentativo,in questo caso scelto coincidente con il baricentro delle masse. In definitiva si è ottenuto un telaio spaziale a 9 gradi di libertà il cui comportamento dinamico in presenza di azioni sismiche è retto dal seguente sistema di equazioni del moto: 𝑚𝑢̈ + 𝑘𝑢 = m I 𝑢̈ 𝑔

dove : m  "9×9 " rappresenta la matrice delle masse della struttura; k  "9×9 " " rappresenta la matrice di rigidezza della struttura; u  "9×1 " " rappresenta il vettore degli spostamenti; ̈

u  "9×1 " " rappresenta il vettore delle accelerarioni;

 "𝑢̈ 𝑔 "rappresenta il valore di accelerazione al suolo caratterizzante l'azione sismica; I  "9×1 " " rappresenta un vettore direzionale dell'azione simica di componenti unitarie utilizzato per rendere il valore scalare di 𝑢̈ 𝑔 conforme al prodotto con la matrice delle masse;

Avendo scelto di eseguire la trattazione di tale problema adottando come parametri cinematici gli spostamenti assoluti la matrice delle masse del sistema è risultata essere diagonale mentre quella di rigidezza piena e per definizione positiva e simmetria. Di seguito si riporta la procedura utilizzata per determinazione delle suddette matrici.

MATRICE DELLE MASSE Avendo scelto di organizzare il vettore degli spostamenti come segue:

dove: 𝑢𝑖 = spostamento lungo x dell' i-esimo impalcato; 𝑣𝑖 = spostamento lungo y dell' i-esimo impalcato; ∅𝑖 = spostamento lungo ∅ dell' i-esimo impalcato;

La matrice delle masse è una matrice 9×9 diagonale dove le componenti non nulle rappresentano le masse degli impalcati traslazionali e rotazionali.

dove: 𝑚𝑖 𝑥= massa traslazionale lungo x dell' i-esimo impalcato; 𝑚𝑖 𝑦= massa traslazionale lungo ydell' i-esimo impalcato; 𝑚𝑖 ∅= massa traslazionale lungo ∅ dell' i-esimo impalcato;

Le masse traslazionali lungo le due direzioni ortogonali sono uguali e sono state calcolate considerando una massa per unita di superficie di:

M =1000 per quanto attiene alle masse rotazionali queste sono state calcolate come segue: 𝑚𝑖 ∅=𝑚𝑖 × 𝜌2 𝐼𝑥: 𝐼𝑦 𝜌 = 𝑟𝑎𝑔𝑔𝑖𝑜 𝑑𝑖 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑧𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 √ 𝐴

MATRICE DI RIGIDEZZA La matrice di rigidezza del sistema è una matrice 9×9 ed è stata ottenuta mediante l' assemblaggio 𝐾𝑖𝑗 delle sottomatrici 3×3 di seguito riportate:

𝐾𝑖𝑗 3×3

= rappresenta gli enti forza che nascono lungo i telai in direzione i per effetto di spostamenti unitari dei telai in direzione j; 𝐾𝑥𝑥 3×3

= ∑𝑛𝑖 𝑘𝑥𝑖 ;

dove 𝑘𝑥𝑖 è la matrice di rigidezza del telaio 𝑋𝑖 che per le ipotesi fatte può essere considerato un telaio SHEAR-TYPE ed è stata ricavata mediante il metodo diretto che prevede l'utilizzo di vincoli ausiliari e consente di ricavare la stessa per colonna.

analogamente si è determinata:

attesa la simmetria della struttura lungo la direzione x e quindi la coincidenza del baricentro delle masse con quello delle rigidezze risuta: 𝑥𝑦

= 3×3 𝑥∅

= 3×3

𝑦𝑥

𝑇

3×3 ∅𝑥

𝑇

3×3

=0 =0

Per quanto concerne alla valutazione delle matrici:

𝑛

𝐾∅𝑦 𝑇

𝐾𝑦∅ 3×3

= ∑𝑖 𝑖 𝑘𝑦𝑖 𝐷𝑥𝑖 +∑𝑗 𝑗 𝑘𝑦𝑗 𝐷𝑥𝑗 =

𝐾∅∅ 3×3

= ∑𝑖 𝑖 𝐷𝑥𝑖 𝑘𝑦𝑖 𝐷𝑥𝑖 +∑𝑗 𝑗 𝐷𝑥𝐽 𝑘𝑦𝑗 𝐷𝑥𝑗 + ∑𝑛𝑖 𝑘𝑥𝑖 𝑑y𝑖 2

3×3

𝑛

𝐷𝑥𝑖 sono state create delle matrici 3×3 che rappresentano la variazione in altezza delle distanze calcolate lungo la direzione x dei telai y𝑖 dal baricentro degli impalcati:

𝐾𝑦∅ 3×3

=

∅∅

= 3×3

In seguito all' assemblaggio si e ottenuta la matrice di rigidezza globale della struttura:

Avendo dunque definito la matrice delle masse e quella di rigidezza della struttura si è ottenuto un sistema di 9 equazioni differenziali i 9 incognite accoppiato vista la presenza di più di una funzione incognita in ogni equazione. Un sistema siffatto non prevede una agevole soluzione e quindi si è scelto di procedere mediante un analisi modale.

ANALISI MODALE

Attesa la difficoltà di risolvere il sistema di equazioni differenziali accoppiato di cui prima si è condotta una analisi modale al fine di disaccoppiare il problema permettendo la determinazione delle proprietà e della risposta di una struttura quando viene sottoposta a vibrazione indipendentemente dall'azione simica. Partendo dunque dall' equazione del moto in assenza di forzante: (1)

𝑚𝑢̈ + 𝑘𝑢 = 0

utilizzando una trasformazione lineare è possibile effettuare un cambiamento di variabili per il vettore degli spostamenti ed assumere nuove coordinate libere per le equazioni del moto. Si assume allora che il vettore spostamento sia: a) 𝑢(𝑡) = Ψ𝑖 × 𝑞𝑖 (𝑡) dove: Ψ𝑖 = vettore di scalari che rappresenta la distribuzione spaziale degli spostamenti; 𝑞𝑖 (𝑡) = funzione scalare del tempo che dovendo rappresentare il moto di oscillazioni libere in assenza di smorzamento e una funzione armonica del tipo: 𝑞𝑖 (𝑡) = 𝐶𝑖 sin (𝜔𝑖 𝑡 + 𝜑) Con tale posizione vengono assegnate le caratteristiche vettoriali del vettore spostamento a Ψ𝑖 e la dipendenza dal tempo a alla funzione scalare 𝑞𝑖 (𝑡) disaccoppiando dunque la dipendenza dal tempo dalla distribuzione spaziale degli spostamenti. Sostituendo nella equazione del moto la (a) si ottiene:

(2)

(−𝑚 𝜔𝑖 2 + k) Ψ𝑖 =0

un sistema di equazioni omogeneo nelle incognite Ψ𝑗 𝑖 con j=1... n (GDL) che ammette sicuramente soluzione banale ( Ψ𝑗 𝑖 =0) . Per ottenere una soluzione diversa da quella banale è necessario imporre che la matrice dei coefficienti sia singolare: (3) det [−𝑚 𝜔𝑖 2 + k]= 0 Sviluppando la (3) si ottiene un'equazione caratteristica nelle incognite 𝜔𝑖 2 .

Attesa la positività della matrice di rigidezza e di quella delle masse le radici dell' equazione caratteristica risultano essere sicuramente reali e positive che rappresentano gli AUTOVALORI del problema. E stato allora possibile ricavare le 𝜔𝑖 che rappresentano le FREQUENZE PROPRIE di vibrazione della struttura:

𝜔1 < 𝜔2 < 𝜔3 < 𝜔4 < 𝜔5 < 𝜔6 < 𝜔7 < 𝜔8 < 𝜔9

da cui è possibile calcolare i PERIODI PROPRI di oscillazione (T𝑖 =

2𝜋 𝜔𝑖

):

𝑇1 > 𝑇2 > 𝑇3 > 𝑇4 > 𝑇5 > 𝑇6 > 𝑇7 > 𝑇8 > 𝑇9

In ultima analisi del problema e stato possibile ricavare gli AUTOVETTORI (Ψ𝑗𝑖 ) sostituendo gli AUTOVALORI nel sistema omogeneo. I vettori Ψ𝑗𝑖 ottenuti vengono detti "MODI DI VIBRARE" e rappresentano infatti il modo in cui la struttura vibra se eccitata da una frequenza 𝜔𝑖 . Gli stessi essendo caratterizzati dall'avere il rapporto tra le componenti costante ma non un valore assoluto preciso delle stesse rappresentano la forma della deformata infatti sono chiamati anche FORME MODALI. Il valore degli spostamenti è regolato dalla funzione 𝑞𝑖 (𝑡) secondo la relazione: 𝑢(𝑡) = Ψ𝑖 × 𝑞𝑖 (𝑡) e quindi quando la struttura oscilla secondo l' i-esimo modo di vibrare gli spostamenti si annullano tutti nello stesso istante cos𝑖́ come nello stesso istante assumono i valori massimi. Le 𝑞𝑖 (𝑡) sono dette anche coordinate principali perchè nell'oscillazione del sistema secondo l' i-esimo modo di vibrare risulta diversa da 0 la sola coordinata i-esima.

Questo risultato è di fondamentale importanza ai fini dello studio dinamico di una struttura perchè una qualsiasi deformata della struttura può essere vista come combinazione delle deformate modali. In definitiva il moto della struttura può essere espresso come sovrapposizione degli n modi di vibrare: 𝑢(𝑡) = Φ × 𝑞(𝑡) dove: Φ rappresenta la matrice dei modi di vibrare organizzati per colonna : modo di vibrare

Grado di libertà

ux1 ux2 ux3 uy1 uy2 uy3 φ1 φ2 φ3

1

2

[

3

4

5

6

7

8

9

]

poichè i modi di vibrare sono definiti a mento di una costante si è pensato di renderli paragonabili adimensionalizzando le componenti di ogni autovettore rispetto al valore massimo. Si è ottenuta allora la seguente matrice:

Φ 9×9

Per verificare la bontà del risultato e stato adoperato il programma di calcolo agli elementi finiti SAP 2000 e confrontando i periodi propri e le componenti adimensionalizzate di ogni modo di vibrare si è evinta una approssimazione soddisfacente.

CONFRONTO CON SAP 2000

MODO 1 SAP 2000

APPLICAZIONE NUMERICA 𝑇1 =0.3111903742

Ψ1 =

0 0 0 0,076923 0,282051 1 -0,00513 -0,02051 -0,02821

0

Ψ1 0 = 0 Ψ1

0,085446 0,26725 1 -0,00631 -0,0206 -0,02867

MODO 2 SAP 2000

APPLICAZIONE NUMERICA 𝑇2 = 0.2973580332

Ψ2

0,105263 0,315789 1 0 0 0 0 0 0

Ψ2

0,103802 0,32157 1 0 0 0 0 0 0

MODO 3 SAP 2000

APPLICAZIONE NUMERICA 𝑇3 = 0.2002634752

Ψ3

0 0 0 0,352941 1 -0,58824 0,041176 0,123529 0,358824

Ψ3

0 0 0 0,37255 1 -0,5484 0,043855 0,13511 0,41356

MODO 4

SAP 2000

APPLICAZIONE NUMERICA 𝑇4 =

Ψ4

-0,34783 -0,86957 1 0 0 0 0 0 0

Ψ4

0.1795561194

-0,34433 -0,86263 1 0 0 0 0 0 0

MODO 5 SAP 2000

APPLICAZIONE NUMERICA 𝑇5 = 0.1725925323

Ψ5

0 0 0 -0,29412 -0,70588 1 0,235294 0,064706 0,594118

Ψ5

0 0 0 -0,30424 -0,73683 1 0,1753 0,05036 0,59497

MODO 6

SAP 2000

APPLICAZIONE NUMERICA 𝑇6 =

Ψ6

0 0 0 -0,2 -0,4 1 0,14 0,35 -0,71

Ψ6

0.1335021872 0 0 0 -0,23947 -0,41617 1 0,14232 0,35447 0,66895

MODO 7 SAP 2000

APPLICAZIONE NUMERICA 𝑇7 =

1 -0,3913 0,043478 0 0 0 0 0 0

Ψ7

Ψ7

0.08915667443

1 -0,37905 0,0577 0 0 0 0 0 0

MODO 8 SAP 2000

APPLICAZIONE NUMERICA 𝑇8 = 0.08914029292

Ψ8

0 0 0 1 -0,3913 0,086957 0,003391 0,004348 -0,00204

Ψ8

0 0 0 1 -0,38046 0,06164 0,003227 0,004231 -0,00174

MODO 9 SAP 2000

APPLICAZIONE NUMERICA 𝑇9 = 0.06659983156

Ψ9

0 0 0 -0,01907 0,06707 -0,17442 1 -0,37209 0,069767

Ψ9

0 0 0 -0,01943 0,06616 -0,17171 1 -0,37897 0,073624

DISACCOPPIAMENTO DELLE EQUAZIONI DEL MOTO Avendo definito gli autovettori del sistema rappresentanti la distribuzione spaziale degli spostamenti ossia i modi di vibrare della struttura è stato possibile disaccoppiare il sistema di equazioni differenziali utilizzando la proprietà fondamentale degli stessi. Essendo dunque valide le posizioni: ψ i 𝑇 ∙ 𝑀 ∙ ψj = 0

se i ≠ j

ψi 𝑇 ∙ 𝑀 ∙ ψj = mi ∗ se i = j

ψ i 𝑇 ∙ 𝐾 ∙ ψj = 0

se i ≠ j

ψi 𝑇 ∙ 𝐾 ∙ ψj = k i ∗

se i = j

Si ottiene: Φ𝑇 ∙ 𝑀 ∙ Φ = M ∗ Φ𝑇 ∙ 𝐾 ∙ Φ = K ∗ Dove M* e K* sono le matrici generalizzate diagonali tramite le quali è possibile disaccoppiare il problema.

Introducendo allora la forzante sismica e pre-moltiplicando l'equazione del moto per la matrice degli auto vettori trasposta, si otterrà un sistema di n equazioni indipendenti ognuna relativa a un modo di vibrare del sistema: Φ𝑇 ∙ 𝑀 ∙ Φ ∙ q̈ + Φ𝑇 ∙ 𝐶 ∙ Φ ∙ q̇ + Φ𝑇 ∙ 𝐾 ∙ Φ ∙ q = −Φ𝑇 ∙ 𝑀 ∙ 𝐼 ∙ 𝑢̈ 𝑔 Si otterrà dunque per l'i-esimo modo di vibrare la seguente equazione: 𝑚𝑖∗ ∙ q̈ 𝑖 + 𝑐𝑖∗ ∙ q̇ 𝑖 + k 𝑖∗ ∙ q 𝑖 = −𝜓𝑖𝑇 ∙ 𝑀 ∙ I ∙ 𝑢̈ 𝑔 Si è ati dunque da un sistema da n GDL ad n sistemi ad 1 GDL.

Adimensionalizzando rispetto alla massa generalizzata otterremo: q̈ 𝑖 + 2𝜈𝑖∗ ω𝑖 ∙ q̇ 𝑖 + ω2𝑖 ∙ q 𝑖 = −

Il termine

𝜓𝑖𝑇 ∙𝑀∙I ∗ 𝑖

𝜓𝑖𝑇 ∙ 𝑀 ∙ I ∙ 𝑢̈ 𝑔 𝑚𝑖∗

rappresenta il coefficiente di partecipazione modale ci.

I modi infatti non partecipano con la stessa intensità nella combinazione che determina la deformazione effettiva e le relative spinte. I modi di vibrare a più basa pulsazione (periodo più alto) ha un peso maggiore delle altre vibrazioni e vengono detti fondamentali. In definitiva coefficiente di partecipazione modale c i tiene conto dell’influenza del modo i-esimo, di pulsazione w i , alla determinazione effettiva dello spostamento e alla spinta sismica in una determinata direzione R . La deformazione effettiva infatti sarà combinazione lineare delle deformazioni ottenute dai vari modi di vibrare ed il peso sarà rappresentato proprio dai coefficienti di partecipazione c i. Il fattore di partecipazione è espresso dalla relazione: 𝜓𝑖 𝑇 ∙ 𝑀 ∙ 𝑐𝑖 = 𝑚𝑖 ∗ Dove con R è indicato il vettore direzione. Sono state dunque definite le due direzioni principali a mezzo di Rx = {1,1,1,0,0,0,0,0,0} e Ry = {0,0,0,1,1,1,0,0,0} individuando dunque i coefficienti di partecipazione che concorrono in tali direzioni:

Per valutare in modo specifico con che peso inciderà il generico modo alla vibrazione della struttura si fa riferimento alle masse partecipanti ossia alla quantità di massa che sarà eccitata dallo specifico modo. Queste sono calcolabili a mezzo dei coefficienti di partecipazione tramite l'espressione: 𝑀𝑝𝑖 = 𝑐𝑖 2 ∙ 𝑚𝑖 ∗ La somma delle masse partecipanti restituisce la massa partecipante totale che coincide proprio con la massa sismica totale nelle direzioni considerate. È possibile dunque definire le percentuali di massa partecipante allo scopo di valutare il peso dei vari modi: 𝑀𝑝𝑖

=

𝑀𝑝𝑖 𝑀

La Normativa suggerisce di considerare esclusivamente le masse partecipanti maggiori del 5% purché la loro somma sia superiore all'85% della massa totale. Per tale motivazione sono stati considerati i modi 2, 4 e 7 per l'azione sismica lungo la direzione X e i modi 1,3,5 e 8 per il sisma lungo Y. Per la definizione delle azioni massime a cui sarà soggetta la struttura sorge l'esigenza di ricavare gli spostamenti massimi definibili, in conformità alla normativa vigente, dallo spettro di risposta sismica in termini di accelerazioni. Questo descrive l'andamento delle pseudo accelerazioni al variare del periodo del sistema. Con tale metodo si prescinde dunque dalla dipendenza dal tempo valutando esclusivamente le azioni massime. Gli spettri utilizzati sono spettri isoprobabili che descrivono i parametri di pericolosità sismica in funzione delle coordinate geografiche del sito, del periodo di ritorno stabilito, della categoria di sottosuolo e delle caratteristiche topografiche del sito. Nell'esercitazione in esame è stato considerato un spettro di risposta sismica acquisito dal programma di modellazione strutturale SAP2000 conforme alla normativa vigente" NTC 2008": Sa

Spettro di risposta sismica di progetto

T

Progettare in campo elastico lineare con le azioni che scaturirebbero dallo spettro appena illustrato sarebbe assai oneroso. Infatti nella progettazione si accetta che la struttura si danneggi in modo controllato con l'entrata in campo plastico della stessa tramite la formazione di cerniere plastiche in punti strategici, in modo da ottenere la massima dissipazione energetica evitando il collasso. Infatti per le costruzioni in zona sismica sono predilette strutture con elevata duttilità ossia elevata capacità di rimanere in campo plastico. Da tali osservazioni la normativa suggerisce di lavorare su spettri

ridotti in modo tale da poter considerare che la struttura si trova ancora in campo elastico-lineare, dovendo però garantire la duttilità necessaria al superamento dell'evento di progetto. Lo spettro sarà ridotto tramite il coefficiente di struttura q valutato in funzione delle direttive dettate dalle NTC 2008. 𝑞 =𝐾∙𝑞 Dove: q0 = valore massimo del fattore di struttura funzione del grado di iperstaticità e della duttilità attesa della stessa 𝐾 = fattore riduttivo che tiene conto della regolarità in altezza della struttura (0,8 - 1)

Di seguito sono riportate le tabelle adottate per la valutazione del coefficiente di struttura.

È stato inoltre definito un fattore riduttivo 𝐾 =0,8 in quanto la struttura considerata non si presenta regolare in altezza. Il coefficiente di struttura sarà dunque:

𝑞=𝐾

Ottenendo il seguente spettro ridotto:

∙𝑞 =0 ∙

∙

=

Sa

Entrando nel grafico con i periodi propri del sistema ossia i periodi relativi ai vari modi di vibrare è stato possibile definire le pseudo accelerazioni di progetto relative alle due direzioni principali, di seguito riportate in forma vettoriale nella quale l'i-esima componente è relativa all'i-esimo modo di vibrare:

Tali valori rappresentano le pseudo accelerazioni relative ad un sistema a 1GDL dunque per la valutazione degli spostamenti massimi si dovranno tener in conto le distribuzioni spaziali ed i pesi del generico modo di vibrare. È stato dunque possibile ricavare le matrice degli spostamenti massimi degli impalcati relative ai terremoti di progetto nelle due direzioni principali utilizzando le distribuzioni spaziali normalizzate:

𝑥

=

Ψi × Sai × ci ωi

Sono state dunque ottenute matrici degli spostamenti organizzate nel seguente modo:

modo di vibrare 1

Grado di libertà

ux1 ux2 ux3 uy1 uy2 uy3 φ1 φ2 φ3

2

3

4

5

6

7

8

[

Sono di seguito riportati i valori ottenuti dal programma di calcolo: Sisma in direzione X:

Sisma in direzione Y:

9

]

Nell'ipotesi che gli impalcati sono infinitamente rigidi nel proprio piano è possibile ricondursi agli spostamenti dei singoli telai ricordando che lo spostamento del generico punto dell'impalcato è dato da : 𝑢̂ = 𝑢 + 𝜑 ∙ 𝑑̂ Dove sono stati indicati con: 𝑢̂ lo spostamento del generico punto 𝑢 lo spostamento del baricentro 𝜑 l'angolo di rotazione del piano 𝑑̂ la distanza del generico punto dal baricentro

A veduta di quanto appena esposto è stato possibile estrapolare della matrice gli spostamenti relativi al generico telaio in modo da valutarne le sollecitazioni sovrapponendo gli effetti dei vari modi di vibrare. A titolo di esempio viene riportato il calcolo delle sollecitazioni di 2 telai considerando in un primo momento il sisma lungo la direzione X lungo la quale la struttura è simmetrica: SISMA IN DIREZIONE X-TELAIO X1 Conoscendo la distanza del telaio dal baricentro dei vari impalcati ( in tal caso coincidente) è stato possibile ricavare la matrice degli spostamenti relativa ai 3 piani:

Nota la matrice di rigidezza del telaio è possibile pervenire alle forze di richiamo elastico relative ai vari modi di vibrare: 𝐹𝑋𝑥1 = 𝐾1 ∙ 𝑋𝑥1

Per valutare le sollecitazioni di progetto sul generico piano la sovrapposizione in somma degli effetti dei vari modi di vibrare sarebbe troppo cautelativa in quanto questi durante un evento sismico non agiranno tutti contemporaneamente quindi la somma porterebbe ad un sovradimensionamento degli elementi strutturali.

La normativa indica le modalità di combinazione per i diversi edifici:

1) Se i periodi differiscono tra di loro per più del 10% si utilizza la quadratura in somma degli effetti sul generico piano ossia: 𝑛

𝐸𝑑𝑖 = √∑ 𝐸𝑖𝑗2 𝑗=1

2) Se i periodi differiscono tra di loro di una quantità minore del 10% ( quindi il caso in esame) la normativa propone per il calcolo dei tagli alla base la quadratura completa ossia: 𝐸𝑑𝑖 = √∑ ∑ 𝜌𝑗𝑘 ∙ 𝐸𝑗 𝐸𝑘 𝑗

𝑘

Dove: j e k sono 2 generici modi di vibrare 𝜌𝑗𝑘 è il coefficiente di correlazione modale calcolabile tramite la seguente: 𝜌𝑗𝑘 =

2 3 2 𝑗𝑘

( +

𝑗𝑘 ) [(

−

𝑗𝑘 )

2

+

2

𝑗𝑘 ]

Dove β rappresenta il rapporto tra i periodi propri relativi ai 2 modi e ξ è un coefficiente funzione della regolarità della struttura Nel caso in esame si è utilizzata la (2 )Si è proceduto dunque con la valutazione di ξ della matrice delle β in modo da continuare a trattare il problema in forma matriciale ottenendo:

E valutando di conseguenza la matrice delle ρ:

ρX =

Partendo dunque dal taglio alla base sono state valutate le azioni di taglio relative ai 3 modi di vibrare ottenendo i valori in N:

Effettuando dunque la quadratura completa è stato possibile definire il taglio alla base del telaio x1 relativo al sisma in direzione X che diviso per il numero di pilastri (inquanto caratterizzati dalla stessa rigidezza) restituisce il taglio alla base di ogni elemento espresso in N:

Di conseguenza è stato valutato il momento flettente come 𝑀=

∙

2

∙𝑚

Eseguendo ciclicamente analoghi aggi per gli altri piani sono stati ottenuti i tagli alla base di ogni pilastro. È da far notare che essendo i tre telai caratterizzati dalla stessa rigidezza ed essendo la struttura simmetrica lungo la direzione di azione del sisma i tagli relativi ai 3 telai saranno i medesimi. Per verificare la bontà dei calcoli vengono di seguito messi a confronto con i risultati ottenuti dal software di progettazione strutturale SAP2000:

TAGLI [N] OTTENUTI DALL''APPLICAZIONE NUMERICA IN AMBIENTE MAPLE

TAGLI [N] OTTENUTI DAL SOFTWARE DI MODELLAZIONE STRUTTURALE SAP2000

MOMENTI [Nm] OTTENUTI DALL''APPLICAZIONE NUMERICA IN AMBIENTE MAPLE

MOMENTI [Nm] OTTENUTI DAL SOFTWARE DI MODELLAZIONE STRUTTURALE SAP2000

Si può osservare che la simmetria del sistema lungo la direzione X impone che per azioni agenti lungo tale direzione i telai ortogonali alla stessa (telai lungo Y) non saranno sollecitati. Questo è osservabile fin dal calcolo delle forme modali infatti per i modi relativi ad azioni lungo l'asse X la distribuzione degli spostamenti coinvolgeva esclusivamente i GDL lungo X con valori nulli per GDL rotazionali e lungo Y.

SISMA IN DIREZIONE Y Sviluppando in modo sistematico le equazioni descritte in precedenza si è pervenuti alla definizione delle sollecitazioni che coinvolgeranno a struttura considerando il sisma lungo la direzione Y. In questo caso la simmetria della struttura porterà alla considerazione che i telai X1 e X3, in valore assoluto, saranno caratterizzati da medesime sollecitazioni ed il telaio baricentrico (X2) da sollecitazioni nulle. Vengono riportati i valori ottenuti dal programma di calcolo confrontati a quelli restituiti da SAP2000:

TAGLI [N] - TELAI LUNGO X

MAPLE

SAP2000

TAGLI [N] - TELAI LUNGO Y MAPLE

SAP2000

MOMENTI [Nm] - TELAI LUNGO X Telai X1,X3

SAP2000

MAPLE TELAI X1,X3 PIANO M [Nm] 1 1061,2 2 997,9 3 706,5

MOMENTI [Nm] - TELAI LUNGO Y Telaio Y1

SAP2000

MAPLE

TELAO Y1 PIANO M [Nm] 1 4147,0 2 3521,5 3 2466,6

Telaio Y2

SAP2000

MAPLE

TELAO Y2 PIANO M [Nm] 1 3567,9 2 2871,4 3 2347,8

Telaio Y3

SAP2000

MAPLE

TELAO Y3 PIANO M [Nm] 1 3216,0 2 2357,1

Telaio Y4

SAP2000

MAPLE

TELAO Y4 PIANO M [Nm] 1 3290,9 2 2360,2