Actividad Integradora Secante Y Tangente 4h36m

ACTIVIDAD INTEGRADORA Secante y tangente

Por: Oscar Alfonso lopez vargas Fecha: 21/07/2018

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Módulo 18. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales Unidad I. El movimiento como razón de cambio y la derivada

¿Qué hacer? Imagina que es posible generar una función que modela para x toneladas de jitomate el costo necesario de su producción f(x). Supongamos que la función que modela el costo por toneladas está dada por: f(x) = 6x2 + 5x Recuerda que las funciones son usadas para modelar el comportamiento de algún fenómeno y así poder estimar los valores de la función cuando hay una variación en x. La fórmula para calcular la pendiente de la recta secante a una función dada es: 𝒎=

𝒇(𝒙𝟐 ) − 𝒇(𝒙𝟏 ) 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

Ahora resuelve lo que se te pide: 1. A partir de la fórmula mencionada, determina la pendiente (m) de la recta secante para la función de costo de producción de 8 a 10 toneladas. Tomando en cuenta la función dada anterior mente que es f(x) = 6x2 + 5x y que también tenemos los valores de 𝑥1 = 8 y 𝑥2 = 10, con los cuales podemos obtener los valores de 𝑦1 y 𝑦2 , por lo cual entonces podemos decir que: Si 𝑥1 = 8 entonces 𝑦1 = 6(8)2 + 5(8) = 424

Por lo cual 𝑦1 = 424

Si 𝑥2 = 10 entonces 𝑦2 = 10(10)2 + 5(10) = 650

Por lo cual 𝑦2 = 650

Ya conociendo estos valores es que ocupamos nuestra formula general y suplantamos los valores

𝒎=

𝒇(𝒙𝟐 )−𝒇(𝒙𝟏 ) 𝒙𝟐 −𝒙𝟏

=𝒎=

𝟔𝟓𝟎−𝟒𝟐𝟒 𝟏𝟎−𝟖

=

𝟐𝟐𝟔 𝟐

= 𝟏𝟏𝟑

𝒎 = 113 Con lo cual podemos decir que nos resultó una pendiente positiva, y para demostrar a lo que me refiero adjunto una gráfica para respaldarlo

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Módulo 18. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales Unidad I. El movimiento como razón de cambio y la derivada

Grafica de apoyo para la pregunta 1

2. Realiza la gráfica de la recta secante de la función x = 1. f(x) = 6x2 + 5x La gráfica de la recta secante con x=1 se debe derivar a partir de la función de costo de producción: Función de costo de producción f(x) = 6x2 + 5x Función de costo de producción derivada f´(x) = 12x + 5 Pero en este caso solo se nos da un valor de x=1 y para resolver este cuestionamiento necesitamos dos valor, por lo cual vamos a utilizar un valor de x que no esté muy alejado del ya dado, por lo cual será 2 y procedemos a realizar las operaciones Utilizamos de nuevo formula general

Si 𝑥1 = 1 entonces 𝑦1 = 6(1) + 5(1) = 11 2

Si 𝑥2 = 2 entonces 𝑦2 = 6(2)2 + 5(2) = 34 𝟑𝟒−𝟏𝟏 𝟐−𝟏

3

=

𝟐𝟑 𝟏

= 𝟐𝟑

m=23

𝒎=

𝒇(𝒙𝟐 ) − 𝒇(𝒙𝟏 ) 𝒙 𝟐 − 𝒙𝟏

Módulo 18. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales Unidad I. El movimiento como razón de cambio y la derivada

Para continuar buscando la función de la recta secante, volvemos a la función de la pendiente y despejamos respetando las leyes de los signos

𝒎=

𝒚𝟐− 𝒚𝟏 → 𝒎(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 ) = 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 → 𝒎(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 ) + 𝒚𝟏 = 𝒚𝟐 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

Lo que logramos obtener con este procedimiento es una función para obtener la secante en cualquier valor que tome x, ya solo cambiamos la 𝒚𝟐 a la parte derecha de la ecuación y todo lo de la parte izquierda lo movemos a la derecha quedando la función de la siguiente forma

𝑦2 = 𝑚(𝑥2 − 𝑥1 ) + 𝑦1 = 23(𝑥2 − 1) + 11 = 23𝑥 2 − 23 + 11 = 23𝑥 2 − 1 y=23𝑥 − 12

Resultando ser esta la secante de la curva

Grafica de la secante

3. En seguida saca la recta tangente y represéntala en una gráfica. Para obtener este resultado primero tenemos que calcular el valor de la pendiente “m” derivando de la función original y estableciendo el límite cuando x tiende a uno de esa derivada.

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Módulo 18. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales Unidad I. El movimiento como razón de cambio y la derivada

Como en este caso solo se nos da de nuevo un valor, el de x con ese dato es más que suficiente, pues la tangente solo toca la curva en un solo punto, por consiguiente diríamos que: Si 𝑥1 = 1 entonces 𝑦1 = 6(1)2 + 5(1) = 11

𝑦1 = 11

Derivando la función original que es: f(x) = 6x2 + 5x obtendríamos el siguiente valor: 𝑓(𝑥) = 6𝑥 2 + 5𝑥 → 𝑓´(𝑥) = 12𝑥 + 5 Y con esta derivada de la función original le podríamos aplicar un límite cuando x=1

lim 12𝑥 + 5 = 12(1)+5=17

𝑥→1

Por lo cual este resultado representa la pendiente de esta recta o segmento de recta tangente

𝒎 = 𝟏𝟕

Después procedemos a hacer lo mismo que se hiso en el inciso 2, vamos a proceder a despejar 𝑦2 , con la ayuda de la función de la pendiente Utilizamos de nuevo formula general 𝒎=

𝒇(𝒙𝟐 ) − 𝒇(𝒙𝟏 ) 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

Despejamos 𝑦2 y suplantamos los valores:

𝒎=

𝒚𝟐− 𝒚𝟏 → 𝒎(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 ) = 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 → 𝒎(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 ) + 𝒚𝟏 = 𝒚𝟐 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

𝒚𝟐 = 𝒎(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 ) + 𝒚𝟏 = 𝟏𝟕(𝒙𝟐 − 𝟏) + 𝟏𝟏 = 𝟏𝟕𝒙𝟐 − 𝟏𝟕 + 𝟏𝟏 = 𝟏𝟕𝒙𝟐 − 𝟔 𝒚 = 𝟏𝟕𝒙 − 𝟔

Por lo cual esta es la ecuación de la recta secante a la curva

Y como lo pide la actividad en la parte de abajo dejo la gráfica de tangente, que también refuerza mis resultados obtenidos mediante operaciones algebraicas

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Módulo 18. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales Unidad I. El movimiento como razón de cambio y la derivada

Grafica de la tangente

Bibliografía sep, p. e. (22 de julio de 2018). contenido extenso. Obtenido de Módulo 18. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales Unidad I. El movimiento como razón de cambio y la derivada: http://148.247.220.105/pluginfile.php/11788/mod_resource/content/3/M17_U2 _QA-2%20%281%29.pdf

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