6++medidas+de+forma 3t4p71

Matemáticas Aplicadas II

ucam

6 MEDIDAS DE FORMA Además de conocer las medidas de tendencia central y dispersión sería conveniente conocer cómo están distribuidos los datos entorno a las medidas de tendencia central. Las medidas de forma permiten identificar la forma en que se separan o aglomeran los valores de acuerdo a su representación gráfica sin necesidad de generar dicho gráfico, e aquí su utilidad. Sus principales medidas son la Asimetría y la Curtosis.

Medidas de asimetría.

Una distribución de frecuencias puede ser simétrica o asimétrica. Para saber si es simétrica tenemos que tomar una referencia, es decir, ver respecto a qué es simétrica; usaremos la media aritmética. Se dice que la distribución es asimétrica hacia la derecha cuando las frecuencias (absolutas o relativas) descienden más lentamente por la derecha que por la izquierda, es decir, la mayoría de los datos se encuentran por debajo del valor de la media aritmética. Se dice que la curva es simétrica cuando se distribuyen aproximadamente la misma cantidad de valores en ambos lados de la media aritmética, es decir su mediana, su moda y su media aritmética coinciden. Se dice que la distribución es asimétrica hacia la izquierda si las frecuencias descienden más lentamente por la izquierda que por la derecha, es decir, cuando la mayor cantidad de datos se aglomeran en los valores mayores que la media.

Existen varias medidas de la asimetría de una distribución de frecuencias. Una de ellas es el coeficiente de Asimetría de Pearson:

1

Matemáticas Aplicadas II

ucam As =

x − M0 Sx

donde x representa la media aritmética de los valores de la muestra y M o la moda correspondiente a la distribución de los valores de la muestra y S x la desviación típica de dicha distribución. Teniendo en cuenta el coeficiente de asimetría de Pearson podemos decir que: •

•

Si As = 0, la distribución es simétrica. Puesto que es bastante difícil encontrar distribuciones un coeficiente de asimetría de Pearson igual a cero, se suelen aceptar como simétricas aquellas con valores de As próximos a cero (± 0.5 aproximadamente). Si As < 0, la distribución es asimétrica hacia la izquierda.

•

Si As > 0, la distribución es asimétrica hacia la derecha.

Medida de apuntamiento o curtosis.

Esta medida determina el grado de concentración que presentan los valores en la región central de la distribución, es decir determina su grado de apuntamiento. Al igual que con la simetría hemos de tomar una referencia para ver si la distribución de los datos es apuntada o no. Esa referencia será la distribución normal, distinguiremos tres casos distintos en función de que la distribución sea más picuda que la normal, igual a ella o más aplastada. Casos: Distribución Mesocúrtica: presenta un grado de concentración medio alrededor de los valores centrales de la variable (el mismo que presenta una distribución normal). Distribución Leptocúrtica: presenta un elevado grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable. Distribución Platicúrtica: presenta un reducido grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable.

2

Matemáticas Aplicadas II

ucam

Para determinar el grado de concentración que presentan los valores en la región central de la distribución se define el coeficiente de aplastamiento de Fisher (curtosis): 1 ( xi − x ) 4 · f i ∑ g2 = N −3 2 1  2  ∑ ( x i − x) · f i  N  donde xi representa cada uno de los valores de la muestra, x la media aritmética de la muestra y f i la frecuencia de cada valor. Teniendo en cuenta el coeficiente de aplastamiento de Fisher podemos decir que:

•

• •

Si g 2 = 0, la distribución es Mesocúrtica, la distribución tiene el mismo apuntamiento que la normal. Puesto que es bastante difícil encontrar un coeficiente de curtosis igual a cero, se suelen aceptar como mesocúrticas aquellas distribuciones con valores de g 2 próximo a cero (± 0.5 aproximadamente). Si g 2 < 0, la distribución es Platicúrtica, es menos apuntada que la normal. Si g 2 > 0, la distribución es Leptocúrtica, las frecuencias son más apuntadas que en la normal.

Cuando la distribución de los datos cuenta con un coeficiente de asimetría As = ±0.5 y un coeficiente de curtosis g 2 = ±0.5, se le denomina Curva Normal. Este criterio es de suma importancia ya que para la mayoría de los procedimientos de la estadística inferencial se requiere que los datos se distribuyan normalmente.

3