5 Fourier Analyse Van Signalen 396v4h

5. Fourieranalyse van signalen * Fourieranalyse in de cochlea * Fourier-reeks: analyseren van spectrale inhoud van periodische functies * Fourier-reeks in sinus-cosinus en exponentiële notatie * Fourier-reeks van de blokfunctie * Fourier-reeks van vaak voorkomende periodische functies: sinus - driehoek blok - zaagtand * Beschrijven van niet-periodische functies als een Fourier-integraal * Fourierspectrum van de transiënte exponentiële functie, de hoedfunctie * Fourierspectrum van de deltafunctie, de lineaire en logaritmische sweep en witte ruis * Voorbeelden van tijdsignalen en hun Fourier-spectrum * Fouriertransformatie: rekenregels om het spectrum van gecombineerde (lineaire combinatie) of getransformeerde (integraal, afgeleide, tijdsverschoven, uitgerokken) signalen te bepalen * Effect van amplitudemodulatie op frequentiespectrum * Associatie tussen tijdssignalen, spectra en klankkleur: voorbeelden en audiooefeningen

Fourier-analyse in de cochlea

http://deafinitely.files.wordpress.com/2009/09/i10-85-cochlea22.jpg

Strategie van Fourier-analyse: 1. We schrijven niet-sinusoidale signalen als fourier reeksen of fourier integralen 2. Vanuit de respons van systemen op sinusoidale signalen bepalen we de respons op fourier-reeksen en fourier-integralen 3. We onderzoeken het verband tussen filteroperaties in frequentiedomein en de overeenkomende convolutie in tijdsdomein

4. We onderzoeken het verband tussen amplitudemodulatie in tijdsdomein en overeenkomende convolutie in frequentiedomein 5. We bekijken het effect van het combineren van systemen 6. We bekijken een hele reeks typische tijdssignalen en analyseren hun frequentiespectrum

Beschrijven van periodische signalen door middel van een Fourier-reeks

Fourier-reeks: analyseren van spectrale inhoud van periodische functies trilling.m 05-Feb-2001 14 12 10

S

8 6 4 2 0 -2

0

0.5

1

1.5

2 t (sec)

2.5

3

3.5

4 -3

x 10

Benadering van blokfunktie door een Fourierreeks

Bepalen van Fouriercoëfficiënten: vermenigvuldigen van funktie S(t) met harmonischen … en produkt integreren 



n 1

n 1

S (t )  a0   an sin(2 nf 0t ) bn cos(2 nf 0t )  a0   sn sin(2 nf 0t  n )

T

T

 S (t ) sin(2 mf t )dt   a 0

0

0

0



T

T

n 1

0

0

sin(2 mf 0t )dt   an  sin(2 mf 0t ) sin(2 nf 0t )dt  bn  sin(2 mf 0t ) cos(2 nf 0t )dt

T

 am  sin 2 (2 mf 0t )dt 0

 am

T 2 T

1 a0   S (t )dt T 0 T

2 am   sin(2 mf 0t ) S (t )dt T 0 T

2 bm   cos(2 mf 0t ) S (t )dt T 0

Fourierreeks in exponentiële notatie 



n 1

n 1

S (t )  c0   cn exp(i 2 nf 0t )   d n exp(i 2 nf 0t ) T

T

Oefening: bereken tijdsignaal voor gegeven complex spectrum

 S (t ) exp( i 2 mf t )dt   exp( i 2 mf t )c dt 0

0

0

0

0 

T

n 1

0



T

Oefening: bereken en schets amplitude- en fazespectrum van gegeven tijdsignaal

  cn  exp( i 2 mf 0t ) exp(i 2 nf 0t )dt T

1   d n  exp( i 2 mf 0t ) exp( i 2 nf 0t )dt c  S (t )dt 0  n 1 0 T 0 T  c0  exp( i 2 mf 0t )dt T 1 0 cm   exp(i 2 mf 0t ) S (t )dt T  T 0   cn  exp( i 2 ( m  n ) f 0t )dt n 1 0 T T 1  d m   exp(i 2 mf 0t ) S (t )dt   d n  exp( i 2 ( m  n ) f 0t )dt n 1 T 0 0 T

 0  cm  dt  0 0

 Tcm

Fourierreeksen: beschrijven van periodische of geperiodiseerde funktie S(t) door een discrete reeks van sinusoïdale funkties trilling.m 03-Feb-2001 5 4.5 4 3.5

S

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 t (sec)

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Blokfunktie: oneven harmonischen amplitude 1/n of -6dB per oktaaf 1 0.5

S

0 -0.5 -1 1.168

1.169

1.17

1.171

1.172

1.173

1.174

1.175

1.176

amplitude

3

2

1

0

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Zaagtandfunktie: alle harmonischen amplitude 1/n of -6dB per oktaaf

S

1 0 -1 1.2 1.201 1.202 1.203 1.204 1.205 1.206 1.207 1.208 1.209 1.21 2

amplitude

1.5 1 0.5 0

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Driehoeksfunktie: oneven harmonischen amplitude 1/n2 of -12dB per oktaaf 1

S

0.5 0 -0.5 -1 0.875

0.876

0.877

0.878

0.879

0.88

0.881

2

amplitude

1.5 1 0.5 0

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Sinusoïdale funktie: enkel grondfrequentie geen harmonischen

1

S

0.5 0 -0.5 -1 1.068

1.069

1.07

1.071

1.072

1.073

1.074

1.075

2

amplitude

1.5 1 0.5 0

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Zweving: spectrum? f1: 30 f2: 35geluidstest.m 24-Feb-2002 9 8.5 8

signaal

7.5 7 6.5 6 5.5 5 1.3

1.4

1.5

1.6

1.7 1.8 tijd (sec)

1.9

2

2.1

Beschrijven van nietperiodische signalen door middel van een Fourier-integraal

Niet-periodische funkties: Fourier-integraal 





   S (t )  limT   c0   en exp(i 2 nf 0t  in )    S ( ) exp(it )d   A( )sin(t )d   B( ) cos(t )d n 1     

    S (t ) exp(i t )dt     S ( ') exp(i ' t )d '  exp(i t )dt          S ( ')   dt exp(i ' t ) exp( i t )  d '                   S ( ')   dt exp(i ( '  )t )  d '                S ( ') ( '  )d '      S ( )





Fourier-integraal Hoedfunktie

Exponentiële funktie 

S ( )   exp(t /  ) exp(i t )dt

S ( ) 

 /2



  exp(t /   i t )dt 0



exp(t /   i t ) 1/   i 0



1  

2 2



 

exp(i t )dt

 /2

 /2

exp(i t )  i  / 2 exp(i / 2)  exp(i / 2) i 2sin( / 2)



1  1/   i 

 hoed ( / 2, / 2) exp(i t )dt



0





exp(iBg tan( ))



 2sin( / 2)  

Fourier-integraal Exponentiële funktie

Hoedfunktie

Oefening: bereken complex spectrum voor gegeven transient tijdsignaal

trilling.m hoedfunktie 03-Feb-2001

trilling.m hoedfunktie 03-Feb-2001 1

0.5

S

S

1

0

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 t (sec)

0.6

0.7

0.8

0.9

0

1

0.2

0.25

0.15

0.2

amplitude

amplitude

0.5

0.1 0.05

0.05

0.1

0.15

0.2 t (sec)

0.25

0.3

0.35

70

80

0.4

0.15 0.1 0.05

0

0 0

20

40

60 80 frequentie (Hz)

100

120

0

10

20

30

40 50 60 frequentie (Hz)

90

Signalen met een quasi-vlak amplitudespectrum

• deltafunctie • lineaire sweep • witte ruis

Signalen met een quasi-vlak amplitudespectrum Deltafunctie of Dirac-functie (t) Limiet voor: • Oneindig smalle en hoge transiente exponentiele functie • Oneindig smalle en hoge hoedfunctie • Oneindig veel even grote frequentiecomponenten samen |S| 1

S

0

t

0 |S|

0

0

f

f

Signalen met een quasi-vlak amplitudespectrum

Lineaire sweep

Logaritmische sweep 0.5

0.5

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

S

S

0.1 0

0

-0.1

-0.1

-0.2

-0.2

-0.3

-0.3

-0.4

-0.4

-0.5 0

0.1

0.2

0.3

0.4 tijd (sec)

0.5

0.6

-0.5

0.7

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 tijd (sec)

0.6

0.7

t

|S|

|S|

1 f

0

1

|S|

1 0

0.9

t

|S|

0

0.8

f

~1/f

0

0 f

0

f

Signalen met een quasi-vlak amplitudespectrum Roze ruis: ‘stochastisch 1/f’ spectrum

Witte ruis: ‘stochastisch vlak’ spectrum

S

S t

t

|S|

|S|

S -

f S -

f

f

f

-

-

Overzicht

Overzicht

Overzicht

Fouriertransformatie rekenregels

Fouriertransformatie rekenregels

F (af (t )  bg (t ))   (af (t )  bg (t )) exp( it )dt  a  f (t ) exp( i t )dt  b  g (t ) exp( i t )dt  aF ( f (t ))  bF ( g (t ))

Fouriertransformatie rekenregels

2

-2 20

S

|S| (dB)

0

-10 -20 -30

0.02

0.04

0.06

0.08

00

0.1

|S| (dB)

S

0

0

100

200

300

400

500

100

200

300

400

500

200 300 frequentie (Hz)

400

500

-10 -20 -30

0.02

0.04

0.06

0.08

0 -2 0

00

0.1

|S| (dB)

S

-2 20

-10 -20 -30

0.02

0.04 0.06 tijd (sec)

0.08

0.1

0

100

F (af (t )  bg (t ))  aF ( f (t ))  bF ( g (t ))

Fouriertransformatie rekenregels

0

-0.1

0

0.1

0.2

50 0 -0.2 100

-0.1

0

0.1

0 0

0.2

50 0 -0.2

-20 -40

|S| (dB)

S

0 -0.2 100

S

|S| (dB)

50

100

200

300

400

-20 -40 0

|S| (dB)

S

100

0

100

0

100

200

300

400

200 300 frequentie (Hz)

400

-20 -40

-0.1

0 tijd (sec)

0.1

0.2

F (af (t )  bg (t ))  aF ( f (t ))  bF ( g (t ))

Fouriertransformatie rekenregels

-20

0.4 |S| (dB)

0.2 S

0

-40

-0.2 0.23

0.24

0.25

0.26

0.27

0

0.23

0.24

0.25

0.26

0.27

0

2

10

3

10

4

10

-40

-60 -20102

|S| (dB)

-0.5 1 0.22

S

-60 -20

|S| (dB)

S

-0.4 0.5 0.22

3

10

3

10

10

4

-30 -40 -50

-1 0.22

0.23

0.24 0.25 tijd (sec)

0.26

0.27

-60 2 10

10 frequentie (Hz)

F (af (t )  bg (t ))  aF ( f (t ))  bF ( g (t ))

4

Fouriertransformatie rekenregels



F ( f '(t )) 



f '(t ) exp(it )dt

 



  f (t ) exp(it )  ' f (t )i exp(it )  dt





  f (t ) exp(it )    i  f (t ) exp(it )dt 





 i  f (t ) exp(it )dt 

 i F ( f (t ))

F(f''(t))=F((f'(t)')=i F(f'(t))=- 2 F(f(t))

Fouriertransformatie rekenregels

2

0 5 -0.2

S

|S|

50

-0.1

0.1

0

0.2

0

-5 -0.2

-0.1

0 tijd (sec)

0.1

0.2

1

0 0.10

|S|

S

100

50

100

150

200

50

100 frequentie (Hz)

150

200

0.05

0 0

F ( f '(t ))  i F ( f (t )) Toeing: blokfunktie is afgeleide van driehoeksfunktie

Fouriertransformatie rekenregels

F ( f (t  t0 ))   f (t  t0 ) exp(it )dt  exp(it0 )  f (t  t0 ) exp(i (t  t0 ))d (t  t0 )  exp(it0 )  f ( ) exp(i )d  exp(it0 ) f ( )

Fouriertransformatie rekenregels

5

5

S

10

S

10

0 -1

-0.5

0 tijd (sec)

0.5

0 -1

1

|S| (dB)

-10 -20 0

10

20

30

40

0.5

1

-1000 -2000

-10 -20 -30 0

50 0 S ( )

|S| (dB) 0 S ( )

0 tijd (sec)

0

0

-30 0

-0.5

0

10

0

10

20

30

40

50

40

50

-1000 -2000

0

10

20 30 frequentie (Hz)

40

50

20 30 frequentie (Hz)

F ( f (t  t0 ))  exp(it0 ) f ()

Fouriertransformatie rekenregels

F ( f ( at ))   f ( at ) exp( i t )dt   f ( at ) exp(i (  / a )at )d ( at ) / a 1   f ( ) exp( i ( / a ) )d a 1  f ( / a ) a

Fouriertransformatie rekenregels

100

10

80

6

60 S

S

8

4

40

2

20

0

0

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0 0.2 tijd (sec)

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0 0.2 tijd (sec)

0.4

0.6

0.8

1

0

|S| (dB)

|S| (dB)

0

-20 -40 -60

-20 -40 -60

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

0

50

100

0

50

100

150

200

250

300

0 -50

-100

 S (0)

 S (0)

-50

-150 -200

-100 -150

0

5

10

15

20 25 30 frequentie (Hz)

35

40

45

50

1 F ( f (at ))  f ( / a ) a

150 200 frequentie (Hz)

250

300

Fouriertransformatie rekenregels 

F ( f (t ). g (t )) 



f (t ). g (t ) exp( i t )dt



Fouriertransformatie van produkt van 2 tijdsignalen is de convolutie van de 2 respectievelijke spectra: toeing: spectrum van gemoduleerde signalen.













f (t ).  g ( ') exp(i ' t )d  ' exp( i t )dt 









 g ( ')d '. 

f (t ) exp( i (   ')t )dt





 g ( ') f (   ')d '



 f ( )  g ( ) F ( f ( ). g ( ))  1

Signaal dat hoort bij een spectrum gegeven door het produkt van 2 spectra is de convolutie van de 2 respectievelijke signalen: toeing: relatie tussen uitgangssignaal en ingangssignaal bij een filter





f ( ). g ( ) exp(i t )d 

  





f (t ') exp( i t ')dt '. g ( ).exp(i t )d 

  









f (t ')dt '  g ( ).exp(i (t  t '))d  







f (t ') g (t  t ')dt '



 f (t )  g (t )

Oefening: analytische Fourieropdracht + audio-oefeningen

Effect van amplitudemodulatie op het spectrum

• Schetsen van spectrum van gekend/gegeven periodisch signaal gemoduleerd door een gekend/gegeven periodische of transiente modulatiefunctie

Effect van amplitudemodulatie op het spectrum Effect van amplitudemodulatie, t.t.z. het product van een geluidssignaal I(t) met een modulatiefunktie M(t), op het spectrum:

I AM ( )=F(I AM (t)) =F(I(t).M(t)) =F(I(t))  F(M(t)) =I( )  M ( ) Het spectrum van een amplitudegemoduleerde funktie is dus de convolutie van het spectrum I() van de draaggolf I(t) met het spectrum M() van de modulerende funktie M(t).

Effect van amplitudemodulatie op het spectrum

Effect van amplitudemodulatie op het spectrum

Effect van amplitudemodulatie op het spectrum

Voorbeelden van effect van amplitudemodulatie op het spectrum

Voorbeelden van effect van amplitudemodulatie op het spectrum 1

0

0.5

-20

dB

pressure (a.u.)

sinus_500Hz.wav

0 -0.5

-60

-1 0

-40

0.02

0.04 0.06 time (sec)

0.08

-80 1 10

0.1

2

3

2

3

2

3

10 10 frequency (Hz)

10

4

1

0

0.5

-20

dB

pressure (a.u.)

blok_50Hz.wav

0 -0.5

-60

-1 0

-40

0.02

0.04 0.06 time (sec)

0.08

-80 1 10

0.1

10 10 frequency (Hz)

10

4

1

0

0.5

-20

dB

pressure (a.u.)

sinus_500Hz_mod_blok_50Hz.wav

0 -0.5

-60

-1 0

-40

0.02

0.04 0.06 time (sec)

0.08

0.1

-80 1 10

10 10 frequency (Hz)

10

4

Voorbeelden van effect van amplitudemodulatie op het spectrum 1

0

0.5

-20

dB

pressure (a.u.)

sinus_500Hz.wav

0 -0.5

-60

-1 0

-40

0.02

0.04 0.06 time (sec)

0.08

-80 1 10

0.1

2

3

2

3

2

3

10 10 frequency (Hz)

10

4

1

0

0.5

-20

dB

pressure (a.u.)

blok_10Hz.wav

0 -0.5

-60

-1 0

-40

0.02

0.04 0.06 time (sec)

0.08

-80 1 10

0.1

10 10 frequency (Hz)

10

4

1

0

0.5

-20

dB

pressure (a.u.)

sinus_500Hz_mod_blok_10Hz.wav

0 -0.5

-60

-1 0

-40

0.02

0.04 0.06 time (sec)

0.08

0.1

-80 1 10

10 10 frequency (Hz)

10

4

Voorbeelden van effect van amplitudemodulatie op het spectrum blok_500Hz.wav

0

0.5

dB

pressure (a.u.)

1

0

-20

-0.5 -40

-1 0

0.02

0.04 0.06 time (sec)

0.08

0.1

10

1

2

3

2

3

2

3

10 10 frequency (Hz)

10

4

1

0

0.5

dB

pressure (a.u.)

sinus_10Hz.wav

0

-20

-0.5 -40

-1 0

0.02

0.04 0.06 time (sec)

0.08

0.1

10

1

10 10 frequency (Hz)

10

4

blok_500Hz_mod_sinus_10Hz.wav

0

0.5

dB

pressure (a.u.)

1

0

-20

-0.5 -40

-1 0

0.02

0.04 0.06 time (sec)

0.08

0.1

10

1

10 10 frequency (Hz)

10

4

Voorbeelden van effect van amplitudemodulatie op het spectrum

blok_500Hz.wav

0

0.5

dB

pressure (a.u.)

1

0

-20

-0.5 -40

-1 0

0.02

0.04 0.06 time (sec)

0.08

0.1

10

1

2

3

2

3

2

3

10 10 frequency (Hz)

10

4

1

0

0.5

dB

pressure (a.u.)

sinus_100Hz.wav

0

-20

-0.5 -40

-1 0

0.02

0.04 0.06 time (sec)

0.08

0.1

10

1

10 10 frequency (Hz)

10

4

blok_500Hz_mod_sinus_100Hz.wav

0

0.5

dB

pressure (a.u.)

1

0

-20

-0.5 -40

-1 0

0.02

0.04 0.06 time (sec)

0.08

0.1

10

1

10 10 frequency (Hz)

10

4

Voorbeelden van effect van amplitudemodulatie op het spectrum blok_500Hz.wav

0

0.5

dB

pressure (a.u.)

1

0

-20

-0.5 -40

-1 0

0.02

0.04 0.06 time (sec)

0.08

0.1

10

1

2

3

2

3

2

3

10 10 frequency (Hz)

10

4

1

0

0.5

dB

pressure (a.u.)

blok_10Hz.wav

0

-20

-0.5 -40

-1 0

0.02

0.04 0.06 time (sec)

0.08

0.1

10

1

10 10 frequency (Hz)

10

4

blok_500Hz_mod_blok_10Hz.wav

0

0.5

dB

pressure (a.u.)

1

0

-20

-0.5 -40

-1 0

0.02

0.04 0.06 time (sec)

0.08

0.1

10

1

10 10 frequency (Hz)

10

4

Voorbeelden van effect van amplitudemodulatie op het spectrum

1

0

dB

pressure (a.u.)

blok_500Hz.wav

0 -1 0

-20 -40

0.02

0.04 0.06 time (sec)

0.08

0.1

10

1

2

3

2

3

2

3

2

3

10 10 frequency (Hz)

10

4

1

0

dB

pressure (a.u.)

blok_200Hz.wav

0 -1 0

-20 -40

0.02

0.04 0.06 time (sec)

0.08

0.1

10

1

10 10 frequency (Hz)

10

4

1

0

dB

pressure (a.u.)

blok_500Hz_mod_blok_200Hz.wav

0 -1 0

-20 -40

0.02

0.04 0.06 time (sec)

0.08

0.1

10

1

10 10 frequency (Hz)

10

4

1

0

dB

pressure (a.u.)

blok_500Hz_plus_blok_200Hz.wav

0 -1 0

-20 -40

0.02

0.04 0.06 time (sec)

0.08

0.1

10

1

10 10 frequency (Hz)

10

4

Voorbeelden van effect van amplitudemodulatie op het spectrum

driehoek_500Hz.wav

0.2

0.5

amplitude

pressure (a.u.)

1

0 -0.5

0.15 0.1 0.05

-1 0.9

0.95

1

1.05 1.1 time (sec)

0 0

1.15

500

1000 1500 2000 frequency (Hz)

2500

3000

500

1000 1500 2000 frequency (Hz)

2500

3000

500

1000 1500 2000 frequency (Hz)

2500

3000

demping_1.00e-001sec.wav

0.015

0.5

amplitude

pressure (a.u.)

1

0 -0.5

0.01 0.005

-1 0.9

0.95

1

1.05 1.1 time (sec)

0 0

1.15

-3

driehoek_500Hz_mod_demping_1.00e-001sec.wav

2

0.5

amplitude

pressure (a.u.)

1

0 -0.5 -1 0.9

0.95

1

1.05 1.1 time (sec)

1.15

x 10

1.5 1 0.5 0 0