44480694 Exercicios Probabilidade Com Resposta 6p5z40

Coletânea de Exercícios de Probabilidade Lista 01 01. O número de chapa de um carro é par. A probabilidade de o algarismo das unidades ser zero é: 02. Na experiência de jogar, aleatoriamente, um dado "honesto" de seis faces numeradas de 1 a 6, verificar se os eventos "número dois" e "número par" são independentes.

03. Numa urna existem apenas 6 bolas vermelhas e 4 bolas azuis. As bolas vermelhas são numeradas de 1 a 6 e as azuis, se 1 a 4. Retirando, aleatoriamente, uma bola dessa urna, verificar se os eventos "bola vermelha" e "número par" são independentes.

04. (UNI- RIO) As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando pênalti são, respectivamente, 1/2, 2/5, e 5/6. Se cada um bater um único pênalti, a probabilidade de todos errarem é igual a: a) 3% b) 5% c) 17% d) 20% e) 25%

05. Sabendo-se que a probabilidade de que um animal adquira certa enfermidade, no decurso de cada mês, é igual a 30%, a probabilidade de que um animal sadio venha a contrair a doença só no 3° mês é igual a: a) 21% b) 49% c) 6,3% d) 14,7% e) 26%

06. (VUNESP) A eficácia de um teste de laboratório para checar certa doença nas pessoas que comprovadamente têm essa doença é de 90%. Esse mesmo teste, porém, produz um falso-positivo (acusa positivo em quem não tem comprovadamente a doença) da ordem de 1%. Em um grupo populacional em que a incidência dessa doença é de 0,5%, seleciona-se uma pessoa ao acaso para fazer o teste. Qual a probabilidade de que o resultado desse teste venha a ser positivo?

07. A probabilidade de um atirador acertar um alvo em um único tiro é 0,2. Com apenas 4 tiros, qual a probabilidade de esse atirador acertar o alvo só duas vezes?

08. Uma urna contém 3 bolas numeradas de 1 a 3 e outra urna com 5 bolas numeradas de 1 a 5. Ao retirar-se aleatoriamente uma bola de cada uma, a probabilidade da soma dos pontos ser maior do que 4 é: a) 3/5 b) 2;5 c) 1/2 d) 1/3 e) 2/3

09. Um baralho comum de 52 cartas, das quais 12 são figuras (valete, dama e rei), é subdividido aleatoriamente em 3 partes. As partes são colocadas sobre uma mesa com as faces das cartas viradas para baixo. A carta de cima de cada das três partes é desvirada. Com base na situação descrita, julgue os itens abaixo: (1) A chance de que as três cartas desviradas sejam figuras é maior do que 1%. (2) A probabilidade de que exatamente duas das cartas desviradas sejam figuras está entre 0,08 e 0,13%. (3) A probabilidade de que pelo menos uma das três cartas desviradas seja uma figura é maior do que 0,5%.

10. (GV) Cada dia em que uma pessoa joga numa loteria, ela tem uma probabilidade de ganhar igual a 1/1000, independentemente dos resultados anteriores. a) Se ela jogar 30 dias, qual a probabilidade de ganhar ao menos uma vez? b) Qual o número mínimo de dias em que ele deverá jogar para que a probabilidade de que ela ganhe ao menos uma vez seja maior do que 0,3%?

Lista 02 01

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Lista 03 1) Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde? 2) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para cima? 3) Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas? 4) Um credor está à sua procura. A probabilidade dele encontrá-lo em casa é 0,4. Se ele fizer 5 tentativas, qual a probabilidade do credor lhe encontrar uma vez em casa? 5) Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos uma única ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela? 6) Alguns amigos estão em uma lanchonete. Sobre a mesa há duas travessas. Em uma delas há 3 pastéis e 5 coxinhas. Na outra há 2 coxinhas e 4 pastéis. Se ao acaso alguém escolher uma destas travessas e também ao acaso pegar um dos salgados, qual a probabilidade de se ter pegado um pastel? 7) O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois quadrados. Em cada quadrado há a indicação de um número, representado por uma certa quantidade de bolinhas, que variam de nenhuma a seis. O número total de combinações possíveis é de 28 peças. Se pegarmos uma peça qualquer, qual a probabilidade dela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face? 8) Em uma caixa há 4 bolas verdes, 4 azuis, 4 vermelhas e 4 brancas. Se tirarmos sem reposição 4 bolas desta caixa, uma a uma, qual a probabilidade de tirarmos nesta ordem bolas nas cores verde, azul, vermelha e branca? 9) Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de inglês, 300 fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos. Selecionando-se um estudante do curso de inglês, qual a probabilidade dele também estar cursando o curso de espanhol?

10) De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a 15 retira-se uma bola. Qual é a probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4?

Lista 04

Exercícios de Probabilidade. 1) Para sortear uma vaga em uma reunião de condomínio, da qual participaram 12 pessoas, foram colocados 12 pedaços de papel idênticos, todos em branco, exceto um, no qual foi escrita a palavra “vaga”. Cada pessoa retira, na sua vez, um papel da urna. O que é melhor: ser o primeiro ou o último a sortear seu papel? 2) Um casal decidiu que vai ter 4 filhos. Qual é a probabilidade de que: a) tenham pelo menos um menino? b) tenham filhos de ambos os sexos? c) tenham dois filhos de cada sexo? 3) Os alunos de um certo curso fazem 4 matérias, entre as quais Álgebra e Estatística. As provas finais serão realizadas em uma única semana (de segunda a sexta). itindo que cada professor escolha o dia da sua prova ao acaso, qual é a probabilidade de que: a) as provas de Álgebra e Estatística sejam marcadas para o mesmo dia? b) não haja mais do que uma prova em cada dia? 4) 24 times são divididos em dois grupos de 12 times cada. Qual é a probabilidade de dois desses times ficarem no mesmo grupo? 5) Em um armário há 6 pares de sapatos. Escolhem-se 2 pés de sapatos. Qual é a probabilidade de se formar um par de sapatos? 6) No jogo da Mega-Sena são sorteados, a cada extração, 6 dos números de 1 a 60. a) Quantos são os resultados possíveis da Mega-Sena? b) Um apostador aposta nos números 2, 7, 21, 34, 41 e 52. Qual é a sua chance de ganhar? E se ele tivesse apostado nos números 1, 2, 3, 4, 5 e 6? c) Quantas vezes maiores são as chances de ganhar de quem aposta em 8 números? d) Suponha que o número 17 não é sorteado há muito tempo. Isto modifica as chances de ele ser sorteado da próxima vez? 7) Cinco dados são jogados simultaneamente. Determine a probabilidade de se obter: a) um par ( os demais diferentes ); b) dois pares diferentes ( o quinto diferente dos pares); c) uma trinca ( os demais diferentes ); d) uma quadra ( o quinto diferente ); e) uma quina; f) uma seqüência; g) um "full hand", isto é, uma trinca e um par (par diferente da trinca). 8) Em um grupo de 4 pessoas, qual é a probabilidade de:

a) haver alguma coincidência de signos zodiacais? b) haver exatamente três pessoas com um mesmo signo e uma pessoa com outro signo? c) as quatro pessoas terem o mesmo signo? d) haver duas pessoas com um mesmo signo e duas outras pessoas com outro signo? 9) Em um torneio há 16 jogadores de habilidades diferentes. Eles são sorteados em grupos de 2, que jogam entre si. Os perdedores são eliminados e os vencedores jogam entre si, novamente divididos em grupos de 2, sem novo sorteio, até restar só um jogador, que é declarado campeão. Suponha que não haja “zebras” (ou seja, o jogador de habilidade superior sempre vence) a) Qual é a probabilidade de o segundo melhor jogador ser vice-campeão do torneio? b) Qual é a probabilidade de o quarto melhor jogador ser vice-campeão do torneio? c) Qual é o número máximo de partidas que o décimo melhor jogador consegue disputar? d) Qual é a probabilidade de ele disputar esse número máximo de partidas? 10) Um dado honesto tem duas de suas faces pintadas de vermelho e as demais de azul. O dado é lançado três vezes, anotando-se a cor da face obtida. a) Qual é a probabilidade de que a cor obtida no 1o lançamento seja igual à obtida no 3o ? b) Dado que a mesma cor foi obtida no 1o e 2o lançamentos, qual é a probabilidade de que no 3o lançamento saia esta mesma cor? Lista 05 Exercício 1: (PUC-SP 2010) Um aluno prestou vestibular em apenas duas Universidades. Suponha que, em uma delas, a probabilidade de que ele seja aprovado é de 30%, enquanto na outra, pelo fato de a prova ter sido mais fácil, a probabilidade de sua aprovação sobe para 40%. Nessas condições, a probabilidade deque esse aluno seja aprovado em pelo menosuma dessas Universidades é de: Exercício 2: (PUC-RIO 2010) Quatro moedas são lançadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de ocorrer coroa em uma só moeda? Exercício 3: (PUC-RIO 2009) Jogamos dois dados comuns. Qual a probabilidade de que o total de pontos seja igual a 10? Exercício 4: (PUC-RIO 2008)

No jogo de Lipa sorteia-se um número entre 1 e 600 (cada número possui a mesma probabilidade). A regra do jogo é: se o número sorteado for múltiplo de 6 então o jogador ganha uma bola branca e se o número sorteado for múltiplo de 10 então o jogador ganha uma bola preta. Qual a probabilidade de o jogador não ganhar nenhuma bola? Exercício 5: (PUC-RIO 2008) A probabilidade de um casal com quatro filhos ter dois do sexo masculino e dois do sexo feminino é: Exercício 6: (PUC-RIO 2007) A probabilidade de um dos cem números 1, 2, 3, 4, …, 100 ser múltiplo de 6 e de 10 ao mesmo tempo é: Exercício 7: (UFMG 2009) Dois jovens partiram, do acampamento em que estavam, em direção à Cachoeira Grande e à Cachoeira Pequena, localizadas na região, seguindo a trilha indicada neste esquema:

Em cada bifurcação encontrada na trilha, eles escolhiam, com igual probabilidade, qualquer um dos caminhos e seguiam adiante. Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade de eles chegarem à Cachoeira Pequena é: Exercício 8: (UFMG 2008) Considere uma prova de Matemática constituída de quatro questões de múltipla escolha, com quatro alternativas cada uma, das quais apenas uma é correta. Um candidato decide fazer essa prova escolhendo, aleatoriamente, uma alternativa em cada questão. Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade de esse candidato acertar, nessa prova, exatamente uma questão é: Exercício 9: (FUVEST 2009) Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de:

Exercício 10: (ADVISE 2009) O quadro funcional de uma empresa é composto de 35 pessoas efetivas e 15 pessoas prestadoras de serviços. Do pessoal efetivo 20 são homens e do pessoal prestador de serviço 5 são mulheres. Escolhendo aleatoriamente uma pessoa dessa empresa, a probabilidade dessa pessoa ser homem ou prestar serviço é: Exercício 11: (UFPR 2010) Em uma população de aves, a probabilidade de um animal estar doente é 1/25. Quando uma ave está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores é 1/4, e, quando não está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores é 1/40. Portanto, a probabilidade de uma ave dessa população, escolhida aleatoriamente, ser devorada por predadores é de: Exercício 12: (UFPR 2009) A linha de produção de uma fábrica produz milhares de peças por dia e apresenta, em média, quatro peças defeituosas a cada cem peças produzidas. Um inspetor de qualidade sorteia cinco peças de modo aleatório e verifica a quantidade de peças defeituosas. De acordo com as informações acima, considere as seguintes afirmativas: 1. A probabilidade de o inspetor encontrar no máximo uma peça defeituosa é (0,040 × 0,965 ) + (5 × 0,041 × 0,964). 2. A probabilidade de o inspetor encontrar pelo menos uma peça defeituosa é 1− (0,040 × 0,965). 3. É impossível o inspetor encontrar 5 peças defeituosas. Assinale a alternativa correta. A)

Somente a afirmativa 1 é verdadeira.

B)

Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.

C)

Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.

D)

Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.

E)

As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.

Lista 06 1 – Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa. 2 – Uma moeda é viciada, de forma que as coroas são cinco vezes mais prováveis de aparecer do que as caras. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa. 3 – Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B têm as mesmas chances de vencer e, cada um, tem duas vezes mais chances de vencer do que C. Pede-se calcular a probabilidades de A ou C vencer. 4 – Uma moeda é viciada, de maneira que as CARAS são três vezes mais prováveis de aparecer do que as COROAS. Calcule as probabilidades de num lançamento sair COROA. Resposta: 1/4. 5 – Um dado é viciado, de modo que cada número par tem duas vezes mais chances de aparecer num lançamento, que qualquer número ímpar. Determine a probabilidade de num lançamento aparecer um número primo. 6 – Use o mesmo enunciado anterior e determine a probabilidade de num único lançamento sair um número ímpar. Resposta: 1/3 7 – Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50. Determine a probabilidade do cartão retirado ser de um número primo. 8 - Use o mesmo enunciado anterior e determine a probabilidade de numa única retirada, sair um cartão com um número divisível por 5. 9 – Das 10 alunas de uma classe, 3 tem olhos azuis. Se duas delas são escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de ambas terem os olhos azuis? 10 – Considere o mesmo enunciado da questão anterior e calcule a probabilidade de na escolha de duas alunas, nenhuma ter olhos azuis.

RESPOSTAS Lista 01 01. O número de chapa de um carro é par. A probabilidade de o algarismo das unidades ser zero é: RESOLUÇÃO: 1/5

02. Na experiência de jogar, aleatoriamente, um dado "honesto" de seis faces numeradas de 1 a 6, verificar se os eventos "número dois" e "número par" são independentes. RESOLUÇÃO: Os eventos "número dois" e "número par" não são independentes. 03. Numa urna existem apenas 6 bolas vermelhas e 4 bolas azuis. As bolas vermelhas são numeradas de 1 a 6 e as azuis, se 1 a 4. Retirando, aleatoriamente, uma bola dessa urna, verificar se os eventos "bola vermelha" e "número par" são independentes.

RESOLUÇÃO: Os eventos "bola vermelha" e "número par" são independentes. 04. (UNI- RIO) As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando pênalti são, respectivamente, 1/2, 2/5, e 5/6. Se cada um bater um único pênalti, a probabilidade de todos errarem é igual a: a) 3% b) 5% c) 17% d) 20% e) 25% RESPOSTA: B 05. Sabendo-se que a probabilidade de que um animal adquira certa enfermidade, no decurso de cada mês, é igual a 30%, a probabilidade de que um animal sadio venha a contrair a doença só no 3° mês é igual a: a) 21% b) 49% c) 6,3% d) 14,7% e) 26% RESPOSTA: D 06. (VUNESP) A eficácia de um teste de laboratório para checar certa doença nas pessoas que comprovadamente têm essa doença é de 90%. Esse mesmo teste, porém, produz um falso-positivo (acusa positivo em quem não tem comprovadamente a doença) da ordem de 1%. Em um grupo populacional em que a incidência dessa doença é de 0,5%, seleciona-se uma pessoa ao acaso para fazer o teste. Qual a probabilidade de que o resultado desse teste venha a ser positivo? RESOLUÇÃO: 1,445% 07. A probabilidade de um atirador acertar um alvo em um único tiro é 0,2. Com apenas 4 tiros, qual a probabilidade de esse atirador acertar o alvo só duas vezes? RESOLUÇÃO: 15,36% 08. Uma urna contém 3 bolas numeradas de 1 a 3 e outra urna com 5 bolas numeradas de 1 a 5. Ao retirar-se aleatoriamente uma bola de cada uma, a probabilidade da soma dos pontos ser maior do que 4 é: a) 3/5 b) 2;5 c) 1/2 d) 1/3 e) 2/3 RESPOSTA: A

09. Um baralho comum de 52 cartas, das quais 12 são figuras (valete, dama e rei), é subdividido aleatoriamente em 3 partes. As partes são colocadas sobre uma mesa com as faces das cartas viradas para baixo. A carta de cima de cada das três partes é desvirada. Com base na situação descrita, julgue os itens abaixo: (1) A chance de que as três cartas desviradas sejam figuras é maior do que 1%. (2) A probabilidade de que exatamente duas das cartas desviradas sejam figuras está entre 0,08 e 0,13%. (3) A probabilidade de que pelo menos uma das três cartas desviradas seja uma figura é maior do que 0,5%. RESOLUÇÃO:

(1) F (0,99%) (2) V (0,119%) (3) V (55%)

10. (GV) Cada dia em que uma pessoa joga numa loteria, ela tem uma probabilidade de ganhar igual a 1/1000, independentemente dos resultados anteriores. a) Se ela jogar 30 dias, qual a probabilidade de ganhar ao menos uma vez? b) Qual o número mínimo de dias em que ele deverá jogar para que a probabilidade de que ela ganhe ao menos uma vez seja maior do que 0,3%? Obs: Não é necessário efetuar os cálculos, basta deixá-los indicados. RESOLUÇÃO:

a) 1 - (0,999)30 b) o menor número inteiro n tal que n > log0,9990,997.

Lista 02 01 – C; 02 – C; 03 – A; 04 – C; 05 – C; 06 – A; 07 – C; 08 – D; 09 – B; 10 – E; 11 – B; 12 – A; 13 – A; 14 – B; 15 – D; 16 – A; 17 – C; 18 – E; http://www.profcardy.com/exercicios/assunto.php?assunto=Probabilidade

Lista 03 1) Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde?

Neste exercício o espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total de bolas, portanto a probabilidade de ser retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12.

Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de uma bola verde, matematicamente podemos representar a resolução assim:

A probabilidade desta bola ser verde é 5/12

2) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para cima?

Através do princípio fundamental da contagem podemos determinar o número total de agrupamentos ao lançarmos três moedas. Como cada moeda pode produzir dois resultados distintos, três moedas irão produzir 2 . 2 . 2 resultados distintos, ou seja, poderão produzir 8 resultados distintos. Este é o nosso espaço amostral. Dentre as 8 possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas com a mesma face para cima possui apenas 2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa, então a probabilidade será dada por:

A probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima é igual a 1/4, ou 0,25, ou ainda 25%.

3) Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas?

Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20%, que na forma decimal é igual a 0,2. A probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a 1 - 0,2, ou seja, é igual a 0,8.

Este exercício trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos enquanto ela não engravida), então a probabilidade de que todos eles ocorram, é dado pelo produto de todas as probabilidades individuais. Como a mulher só deve engravidar no quarto mês, então a probabilidade dos três meses anteriores deve ser igual à probabilidade dela não engravidar no mês, logo:

0,1024 multiplicado por 100% é igual a 10,24%. Então:

A probabilidade de a mulher vir a engravidar somente no quarto mês é de 10,24%.

4) Um credor está à sua procura. A probabilidade dele encontrá-lo em casa é 0,4. Se ele fizer 5 tentativas, qual a probabilidade do credor lhe encontrar uma vez em casa?

Ou o credor vai a sua casa e o encontra, ou ele vai e não o encontra, como em cada tentativa estamos tratando de um sucesso ou de um fracasso e não há outra possibilidade, além do fato de a probabilidade ser a mesma em todas as tentativas, vamos resolver o problema utilizando o termo geral do Binômio de Newton:

n é o número de tentativas de encontrá-lo, portanto n = 5. k é o número de tentativas nas quais ele o encontra, portanto k = 1.

p é a probabilidade de você ser encontrado, logo p = 0,4. q é a probabilidade de você não ser encontrado, logo q = 1 - 0,4, ou seja, q = 0,6.

Substituindo tais valores na fórmula temos:

O número binomial

é assim resolvido:

Então temos:

Assim: A probabilidade de o credor o encontrar uma vez em casa é igual 0,2592.

5) Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos uma única ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela?

Na

parte

teórica

vimos

que

a

probabilidade

da

união

de

dois

eventos

pode

ser

calculada

através

da

fórmula

e no caso da intersecção dos eventos ser vazia, isto é, não haver elementos em comum aos dois eventos, podemos simplesmente utilizar

.

Ao somarmos a quantidade de fichas obtemos a quantidade 14. Esta quantidade é o número total de elementos do espaço amostral.

Neste exercício os eventos obter ficha verde e obter ficha amarela são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de um impede a ocorrência do outro, não há elementos que fazem parte dos dois eventos. Não há bolas verdes que são também amarelas. Neste caso então podemos utilizar a fórmula:

Note que esta fórmula nada mais é que a soma da probabilidade de cada um dos eventos. O evento de se obter ficha verde possui 7 elementos e o espaço amostral possui 14 elementos, que é o número total de fichas, então a probabilidade do evento obter ficha verde ocorrer é igual a 7/14:

Analogamente, a probabilidade do evento obter ficha amarela, que possui 2 elementos, é igual a

:

2/ 14

Observe que poderíamos ter simplificado as probabilidades, quando então 7/14 aria a 1/2 e 2/14 a para somarmos as duas probabilidades precisamos que elas tenham um denominador comum:

1/ 7

, no entanto isto não foi feito, já que

Este exercício foi resolvido através da fórmula da probabilidade da união de dois eventos para que você tivesse um exemplo da utilização da mesma e pudesse aprender quando utilizá-la, mas se você prestar atenção ao enunciado, poderá ver que poderíamos tê-lo resolvido de uma outra forma, que em alguns casos pode tornar a resolução mais rápida. Vejamos:

Note que a probabilidade de se obter ficha azul é 5 em 14, ou seja, pois:

. Então a probabilidade de não se obter ficha azul é 9 em 14,

5/ 14

O 1 que aparece na expressão acima se refere à probabilidade do espaço amostral.

Note que utilizamos o conceito de evento complementar, pois se não tivermos uma ficha azul, só poderemos ter uma ficha verde ou uma ficha amarela, pois não há outra opção.

A probabilidade de ela ser verde ou amarela é 9/14.

6) Alguns amigos estão em uma lanchonete. Sobre a mesa há duas travessas. Em uma delas há 3 pastéis e 5 coxinhas. Na outra há 2 coxinhas e 4 pastéis. Se ao acaso alguém escolher uma destas travessas e também ao acaso pegar um dos salgados, qual a probabilidade de se ter pegado um pastel?

A probabilidade de escolhermos 1 dentre 2 travessas é igual 1/2. A probabilidade de escolhermos um pastel na primeira travessa é 3 em 8, ou seja, é 3/8 e como a probabilidade de escolhermos a primeira travessa é 1/2, temos:

A probabilidade de escolhermos um pastel na segunda travessa é 4 em 6, isto é 4/6 e como a probabilidade de escolhermos a segunda travessa é igual a 1/2, temos:

Então a probabilidade de escolhermos um pastel é igual a:

A probabilidade de se ter pegado um pastel é

/48.

25

7) O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois quadrados. Em cada quadrado há a indicação de um número, representado por uma certa quantidade de bolinhas, que variam de nenhuma a seis. O número total de combinações possíveis é de 28 peças. Se pegarmos uma peça qualquer, qual a probabilidade dela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face?

Chamemos de A o evento da ocorrência de um 3: A = { (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3) }

Chamemos de B o evento da ocorrência de um 4: B = { (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) }

Veja que o elemento (4, 3) integra os dois eventos, logo

.

Calculando as probabilidades de A, B e da intersecção, temos:

Finalmente para o cálculo da probabilidade desejada vamos utilizar a fórmula da probabilidade da união de dois eventos:

Repare que 13 é o número total de peças que possuem 3 ou 4, desconsiderando-se a ocorrência que se repete (o (4 ,3) da intersecção dos dois eventos).

A probabilidade de ela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face é

13

/28.

8) Em uma caixa há 4 bolas verdes, 4 azuis, 4 vermelhas e 4 brancas. Se tirarmos sem reposição 4 bolas desta caixa, uma a uma, qual a probabilidade de tirarmos nesta ordem bolas nas cores verde, azul, vermelha e branca?

No evento E1 a probabilidade de tirarmos uma bola verde é de 4 em 16:

Como não há reposição, a cada retirada o número de elementos do espaço amostral diminui em uma unidade. No evento E2 a probabilidade de tirarmos uma bola azul é de 4 em 15:

No evento E3 a probabilidade de tirarmos uma bola vermelha é de 4 em 14:

No evento E4 a probabilidade de tirarmos uma bola branca é de 4 em 13:

Finalmente a probabilidade de tirarmos as bolas conforme as restrições do enunciado é:

A probabilidade é

8

/1365.

9) Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de inglês, 300 fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos. Selecionando-se um estudante do curso de inglês, qual a probabilidade dele também estar cursando o curso de espanhol? Chamemos de A o evento que representa o curso de espanhol e B o evento que representa o curso de inglês.

Podemos calcular a probabilidade de ocorrer A tendo ocorrido B através da fórmula:

Segundo o enunciado

e

, então:

Note que no caso da probabilidade condicional, ao invés de calcularmos a probabilidade em função do número de elementos do espaço amostral, a calculamos em função do número de elementos do evento que já ocorreu.

A probabilidade do aluno também estar cursando o curso de espanhol é 2/5.

10) De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a 15 retira-se uma bola. Qual é a probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4?

Vamos representar por E3 o evento da ocorrência das bolas divisíveis por 3: E3 = { 3, 6, 9, 12, 15 } E por E4 vamos representar o evento da ocorrência das bolas divisíveis por 4: E4 = { 4, 8, 12 } O espaço amostral é: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 }

A probabilidade de sair uma bola divisível por 3 é:

A probabilidade de sair uma bola divisível por 4 é:

Como estamos interessados em uma ocorrência ou em outra, devemos somar as probabilidades, mas como explicado no tópico união de dois eventos, devemos subtrair a probabilidade da intersecção, pois tais eventos não são mutuamente exclusivos. Como podemos ver, o número 12 está contido tanto em E3 quanto em E4, ou seja:

A probabilidade da intersecção é:

Portanto:

A probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4 é 7/15.

Lista 04 Respostas: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

8) 9) 10)

Tanto faz a) 15/16 b) 7/8 a) 1/5 11/23 1/11 a) 50.063.860 b) em ambos: 1/50.063.860 a) 25/54 b) 25/108 c) 25/162 d) 25/1296 a) 41/96 b) 11/432 a) 8/15 b) 8/65 a) 5/9

c) 3/8 b) 24/125 c) 28 d) não e) 1/1296 f) 5/162 g) 25/648 c) 1/1728 d) 11/576 c) 3 d) 4/91 b) 3/5

Lista 05 1 – 58% 6 – 3% 11 – 3,4%

2–¼ 7–¾ 12 – B

3 – 1/12 8 – 27/64

4 – 23/30 9 – 2/9

5 – 37,5% 10 – 7/10

Lista 06 1 – Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa. Solução:

Seja k a probabilidade de sair coroa. Pelo enunciado, a probabilidade de sair cara é igual a 3k. A soma destas probabilidades tem de ser igual a 1. Logo, k + 3k = 1 ∴ k = 1/4. Portanto, a resposta é 1/4 = 0,25 = 25%. 2 – Uma moeda é viciada, de forma que as coroas são cinco vezes mais prováveis de aparecer do que as caras. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa. Resposta: 5/6 = 83,33% 3 – Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B têm as mesmas chances de vencer e, cada um, tem duas vezes mais chances de vencer do que C. Pede-se calcular a probabilidades de A ou C vencer. Solução: Sejam p(A), p(B) e p(C), as probabilidades individuais de A, B, C, vencerem. Pelos dados do enunciado, temos: p(A) = p(B) = 2.p(C). Seja p(A) = k. Então, Temos: p(A) + p(B) + p(C) = 1.

p(B)

=

k

e

p(C)

=

k/2.

Isto é explicado pelo fato de que a probabilidade de A vencer ou B vencer ou C vencer é igual a 1. (evento certo). Assim, substituindo, vem: k + k + k/2 = 1 Portanto, p(A) = k = 2/5, p(B) = 2/5 e p(C) = 2/10 = 1/5.

∴

k

=

2/5.

A probabilidade de A ou C vencer será a soma dessas probabilidades, ou seja 2/5 + 1/5 = 3/5. 4 – Uma moeda é viciada, de maneira que as CARAS são três vezes mais prováveis de aparecer do que as COROAS. Calcule as probabilidades de num lançamento sair COROA. Resposta: 1/4. 5 – Um dado é viciado, de modo que cada número par tem duas vezes mais chances de aparecer num lançamento, que qualquer número ímpar. Determine a probabilidade de num lançamento aparecer um número primo. Solução: Pelo p(2) Seja

=

p(4) p(2)

enunciado, = p(6) =

podemos = 2.p(1) = 2.p(3) k. Poderemos

=

escrever: 2.p(5). escrever:

p(2) + p(4) + p(6) + p(1) + p(3) + p(5) = 1, ou seja: a soma das probabilidades dos eventos elementares é igual a 1. Então, substituindo, k + k + k + k/2 + k/2 + k/2 = 1 ∴ k = 2/9.

vem:

Assim, temos: p(2) = p(4) p(1) = p(3) = p(5) = 2/18 = 1/9.

=

p(6)

=

2/9

O evento sair número primo corresponde a sair o 2, ou o 3 ou o 5. Logo, p(2) + p(3) + p(5) = 2/9 + 1/9 + 1/9 = 4/9. 6 – Use o mesmo enunciado anterior e determine a probabilidade de num único lançamento sair um número ímpar. Resposta: 1/3 7 – Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50. Determine a probabilidade do cartão retirado ser de um número primo. Solução: Os números primos de 1 a 50 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47, portanto, 15 números primos. Temos, portanto, 15 chances de escolher um número primo num total de 50 possibilidades. Portanto, a probabilidade pedida será igual a p = 15/50 = 3/10. 8 - Use o mesmo enunciado anterior e determine a probabilidade de numa única retirada, sair um cartão com um número divisível por 5. Resposta: 1/5. 9 – Das 10 alunas de uma classe, 3 tem olhos azuis. Se duas delas são escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de ambas terem os olhos azuis? Solução: Existem C10,2 possibilidades de se escolher duas pessoas entre 10 e, existem C3,2 possibilidades de escolher duas alunas de olhos azuis entre as três. Logo, a probabilidade procurada será igual a: P = C3,2 / C10,2 = (3.2/2.1)/(10.9/2.1) = 6/90 = 3/45 = 1/15. Comentários sobre o cálculo de Cn,p. Como já sabemos da Análise Combinatória ,

Esta é a forma tradicional de se calcular Cn,p. Na prática, entretanto, podemos recorrer ao seguinte expediente: Cn,p possui sempre p fatores no numerador a partir de n, decrescendo uma unidade a cada fator e p fatores no denominador a partir de p, decrescendo uma unidade a cada fator. Exemplos: C10,4 = (10.9.8.7)/(4.3.2.1) = 210. C8,3 = (8.7.6)/(3.2.1) = 56. C16,3 = (16.15.14)/(3.2.1) = 560. C12,4 = (12.11.10.9)/(4.3.2.1) = 495. C10,5 = (10.9.8.7.6)/(5.4.3.2.1) = 252. 10 – Considere o mesmo enunciado da questão anterior e calcule a probabilidade de na escolha de duas alunas, nenhuma ter olhos azuis. Resposta: 7/15. Dica: como nenhuma das alunas deve ter olhos azuis, restam 10 – 3 = 7 alunas. Portanto, ...