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Metrología

Metrologia Edición 2004

Autor: Ing. Rubén Villamizar Profesor de la cátedra de Metrologia Jefe del departamento de Ingeniería Mecánica de la UNEXPO-Barquisimeto Estudiantes Colaboradores: Bachiller Javier Ojeda Bachiller David Garmendia Bachiller Aura Méndez Bachiller Yudith Gil Bachiller Franklin Suárez Bachiller José Pineda Bachiller Roxana Hernández

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PREFACIO Este libro fue escrito gracias a una propuesta del profesor de la asignatura Metrología y Calidad Rubén Villamizar, el cual, al verse preocupado por la falta de bibliografía referente a la materia dictada por él, decide asignar un proyecto para que un grupo de estudiantes, bajo su tutela, se dediquen a recopilar la información dada en las clases, y adicionalmente investigar y ahondar sobre los temas que, por restricciones de tiempo, no se pueden dictar. Este libro se compone de 5 unidades y un apéndice, los cuales tratan sobre los principales temas tratados en la asignatura, los cuales son dirigidos al estudio de la medición y los métodos para realizarla, además de un énfasis especial sobre la probabilidad y la estadística, la cual es la principal herramienta utilizada en metrología. La Unidad I da una introducción extensa al concepto de metrología. Aquí se habla sobre la importancia de la metrología en el desarrollo industrial, la normalización, etc. Es decir, los conceptos principales que se tratan en la materia. La Unidad II trata sobre los instrumentos de medición, su descripción, características y usos. Aquí se explican la mayoría de los instrumentos usados en mediciones de dimensiones comunes, en particular los encontrados en el laboratorio de metrología. La Unidad III se habla sobre el cálculo de errores en la medición, parte muy importante de la materia. Aquí se explican los procedimientos a seguir para el cálculo de errores, los cuales son difíciles de encontrar en la bibliografía especializada a pesar de su importancia crítica en metrología. La Unidad IV podría decirse que forma una sola unidad junto con la anterior, ya que habla sobre el cálculo de incertidumbre. Aquí se explican los métodos de cálculo basados en datos y fórmulas estadísticas. La Unidad V habla sobre las tolerancias de medidas en elementos mecánicos, y se puede afirmar que es el tema en el cual se aplican todos los conocimientos aprendidos a lo largo del curso. (Contenido en revisión) El Apéndice es solo una pequeña reseña de probabilidad y estadística, en donde se repasan los conceptos utilizados de esta ciencia a lo largo del contenido de la materia. Solo queda decir, que este libro es una pequeña ayuda a los estudiantes que cursen ésta materia en la UNEXPO, al facilitarle un resumen de todos los temas tratados en la misma.

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CONTENIDO UNIDAD I .............................................................................................................................. 9 INTRODUCCION Y CONCEPTOS GENERALES ............................................................. 9 I.-DEFINICION, IMPORTANCIA, DESARROLLO, NECESIDAD Y CAMPOS DE LA METROLOGÍA ....................................................................................................... 9 ¿Beneficios de la metrología? ...................................................................................... 10 Campos de la Metrología .............................................................................................. 12 II.-SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) ............................................... 15 Prefijos del sistema internacional ................................................................................. 21 Tablas de longitud, masa y tiempo ............................................................................... 22 Tabla comparativa de ordenes de magnitud ................................................................. 24 III.-PRESICIÓN, EXACTITUD Y SENSIBILIDAD ...................................................... 30 IV MEDIR, VERIFICAR Y CALIBRAR ........................................................................ 33 MEDICIÓN: ................................................................................................................. 33 Clasificación de los instrumentos de Medición ............................................................ 34 VERIFICACIÓN: ......................................................................................................... 34 CALIBRACIÓN: .......................................................................................................... 35 V.-PATRONES ................................................................................................................ 36 VI.-PATRONES DE LONGITUD Y DE ÁNGULO ....................................................... 37 VII.-CLASIFICACIÓN DE PATRONES SEGÚN LAS NORMAS ............................... 40 VIII.-TRAZABILIDAD ................................................................................................... 42 IX.-CONTROLES METROLÓGICOS SEGÚN LA LEY VENEZOLANA .................. 43 X.-ASEGURAMEINTO METROLÓGICO .................................................................... 44 Factores que Determinan la Perdida de Exactitud de un Sistema ................................ 45 Elementos de un Proceso Eficiente de Medición ......................................................... 45 XI.-CONFIRMACIÓN METROLÓGICA ....................................................................... 45 Empresas que necesitan aplicar Confirmación Metrológica: ....................................... 45 Aspectos de la Confirmación Metrológica: .................................................................. 46 Documentación de la Confirmación Metrológica: ....................................................... 46 Características de un Sistema de Confirmación Metrológica ....................................... 46 Intervalos de Confirmación Metrológica ...................................................................... 47 Objetivos de la Calibración Metrológica ...................................................................... 47 Factores que Influyen en la Frecuencia de la Calibración ............................................ 47 Métodos De Calibración Metrológica .......................................................................... 48 XII. APROBACIÓN PARA LOS LABORATORIOS .................................................... 48 Objetivos: ..................................................................................................................... 48 Prioridades de Aprobación: .......................................................................................... 48 XIII.-GLOBALIZACIÓN ................................................................................................ 49 UNIDAD II. .......................................................................................................................... 59 INSTRUMENTOS DE MEDICION .................................................................................... 59 CALIBRE O PIE DE REY ............................................................................................... 59

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Aplicaciones de los calibres ......................................................................................... 62 Calibres especiales ........................................................................................................ 62 MICRÓMETROS ............................................................................................................. 64 Variantes del micrómetro ............................................................................................. 66 Sonda micrométrica o micrómetro de profundidad ...................................................... 66 Micrómetro con o expansible............................................................................ 67 Micrómetro de patas ..................................................................................................... 68 Micrómetro para interiores ........................................................................................... 68 TRANSPORTADOR DE ÁNGULOS O GONIÓMETRO ............................................. 69 MESA DE SENOS ........................................................................................................... 71 GALGAS O CALAS PATRÓN ....................................................................................... 72 CALIBRES FIJOS............................................................................................................ 74 Calibres fijos para ejes .................................................................................................. 75 Calibres fijos para agujeros .......................................................................................... 76 EL COMPARADOR ........................................................................................................ 77 Las partes principales de un comparador ..................................................................... 78 ALEXÓMETRO O COMPARADOR PARA INTERIORES ......................................... 81 MÁRMOLES ................................................................................................................... 82 COMPARADOR NEUMÁTICO ..................................................................................... 83 COMPARADOR ELECTRÓNICO ................................................................................. 86 MAQUINAS DE VERIFICACIÓN TRIDIMENSIONAL .............................................. 87 PROYECTORES DE PERFILES .................................................................................... 89 LA RUGOSIDAD Y EL RUGOSÍMETRO ..................................................................... 90 El rugosímetro .................................................................................................................. 92 UNIDAD III ......................................................................................................................... 94 TIPOS DE LOS ERRORES DE MEDIDA .......................................................................... 94 Errores Sistemáticos (fx) .................................................................................................. 94 Notación: .......................................................................................................................... 94 Definición de Errores Sistemáticos indeterminados......................................................... 95 Definición de los errores sistemáticos, definidos parcialmente ....................................... 95 Errores casuales ............................................................................................................ 95 Errores Sobrantes ........................................................................................................ 100 Inexactitud de las medidas .............................................................................................. 101 Determinación de la inexactitud de medida cuando los errores sistemáticos están determinados totalmente ............................................................................................. 102 Determinación de la inexactitud de medida cuando los errores sistemáticos no están determinados ............................................................................................................... 103 Determinación de la inexactitud de medida cuando los errores sistemáticos están definidos parcialmente................................................................................................ 103 UNIDAD IV ....................................................................................................................... 105 INCERTIDUMBRE EN LA MEDICIÓN .......................................................................... 105 1.- El Mensurando: ......................................................................................................... 105 2.-Incertidumbre: ............................................................................................................ 106 3.- Modelo Matemático: ................................................................................................. 106 4.-Identificación de las Fuentes de Incertidumbre.......................................................... 106

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5.- Métodos Principales para cuantificar las fuentes de la Incertidumbre. ..................... 108 5.1 Método de Evaluación Tipo A: ............................................................................ 108 5.2.- Método de Evaluación Tipo B: .......................................................................... 109 5.3.-Distribuciones de Probabilidad ........................................................................... 110 6.- Combinación ............................................................................................................. 111 6. l.-Coeficiente de Sensibilidad ................................................................................. 111 6.2.- Propagación de la incertidumbre para magnitudes de entrada no correlacionadas. .................................................................................................. 112 6.3.- Magnitudes de entrada relacionadas con más de una fuente de incertidumbre. 112 6.4. Cálculo con incertidumbres relativas .................................................................. 113 6.5. Propagación de la incertidumbre para magnitudes de entrada correlacionadas. . 113 7. Correlación ................................................................................................................. 114 8. Incertidumbre expandida ............................................................................................ 114 8.1. Factor de cobertura y nivel de confianza ............................................................. 114 8.2. Distribución t de Student ..................................................................................... 115 8.3. Grados de libertad ................................................................................................ 116 9. Algoritmo para el cálculo de incertidumbre 116 UNIDAD V ........................................................................................................................ 122 AJUSTES Y TOLERANCIAS ........................................................................................... 122 Las tolerancias ................................................................................................................ 122 Objeto de las tolerancias ............................................................................................. 122 Dimensión nominal: ................................................................................................... 122 Dimensión efectiva: .................................................................................................... 122 La intercambiabilidad: ................................................................................................ 123 Tipos de intercambiabilidad: ...................................................................................... 123 Las desviaciones de las dimensiones .......................................................................... 123 Valor de la desviación ................................................................................................ 124 Normalización de las dimensiones lineales nominales y de las tolerancias ................... 125 Posiciones de las tolerancias. Representación gráfica ................................................ 125 NORMALIZACIÓN DE LAS DIFERENCIAS Y DE LAS POSICIONES DE LAS TOLERANCIAS ........................................................................................................ 126 CALIDAD DE TOLERANCIA ..................................................................................... 127 Para dimensiones de hasta 500 mm ............................................................................ 127 Unidad de tolerancia ............................................................................................... 129 Calidad de elaboración ........................................................................................... 129 Elección de la calidad ............................................................................................. 129 Amplitud de las tolerancias .................................................................................... 129 Para dimensiones superiores a 500 mm ...................................................................... 130 Grupos dimensiónales ............................................................................................ 130 Calidad de elaboración ........................................................................................... 131 Amplitud de las tolerancias .................................................................................... 131 LAS DESVIACIONES Y LOS AJUSTES .................................................................... 131 MÉTODOS DE APLICACIÓN DE LOS AJUSTES ..................................................... 132 Método Directo ........................................................................................................... 132 Método Indirecto ........................................................................................................ 132

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Método Analítico ........................................................................................................ 133 TOLERANCIAS DE ENGRANAJES ........................................................................... 133 Generalidades ............................................................................................................. 133 Errores en los engranajes ............................................................................................ 133 CONTROL DE LA RUEDA EN SI COMO CUERPO DEL LENGUAJE ............... 133 CONTROL DEL DENTADO .................................................................................... 134 División del dentado ................................................................................................... 135 Flanco derecho ............................................................................................................ 135 Flanco izquierdo ......................................................................................................... 135 Paso de número K ....................................................................................................... 136 Paso primitivo ............................................................................................................. 136 Paso circular ............................................................................................................... 136 Paso base .................................................................................................................... 136 Error individual de paso circular ................................................................................ 136 Error individual de paso base ..................................................................................... 137 Error acumulado sobre un sector ................................................................................ 137 Error de concentridad o excentridad ........................................................................... 138 Error total de perfil ..................................................................................................... 139 Error total de distorsión .............................................................................................. 139 Error compuesto radial ............................................................................................... 140 Error compuesto tangencial ........................................................................................ 140 Control de montaje en disposición de funcionamiento .............................................. 140 Error de distancia entre centros .................................................................................. 140 Paralelismo de ejes ..................................................................................................... 140 Juego entre dientes...................................................................................................... 140 TOLERANCIAS ISA PARA ROSCAS MECANIZADAS DE AJUSTES DESLIZANTES ............................................................................. 141 CONCEPTOS BÁSICOS ........................................................................................... 141 Generalidades ......................................................................................................... 141 Dimensiones afectadas por las tolerancias de roscas.............................................. 141 Diámetro de roscas ................................................................................................. 142 Longitudinales de ajustes o acoplamientos ............................................................ 142 Calidades ................................................................................................................ 143 Posiciones de la tolerancia y diferencias ................................................................ 145 Posiciones y tolerancias para los diámetros exteriores de tornillos....................... 145 Tolerancias de los diámetros de núcleo de tornillo y tuercas. ................................ 145 TOLERANCIAS DE CONOS ....................................................................................... 146 TOLERANCIAS EN LOS MONTAJES DE RODAMIENTOS ................................... 146 Tolerancias de ejes...................................................................................................... 146 Cojinetes radiales con agujero cilíndrico ................................................................... 147 Cojinetes radiales cargados en el anillo interior ......................................................... 147 Tolerancias: ................................................................................................................ 147 Cojinetes radiales con carga giratoria o indeterminada en el anillo interior .............. 147 Cojinetes radiales empleados para soportar cargas axiales puras............................... 150

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COJINETES RADIALES CON AGUJERO CÓNICO Y MANGUITO ................... 151 COJINETES CON EMPUJE AXIAL ........................................................................ 151 TOLERANCIAS DE ALOJAMIENTOS ................................................................... 152 ALOJAMIENTOS PARA RODAMIENTOS RADIALES ....................................... 152 ALOJAMIENTOS PARA RODAMIENTOS CON EMPUJE AXIAL ..................... 155 APÉNDICE REPASO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA .................................... 157 Probabilidad .................................................................................................................... 159 1. Espacios muestrales y eventos ................................................................................ 159 2. Algunas relaciones de teoría de conjuntos ............................................................. 160 3. Axiomas, interpretaciones y propiedades de probabilidad ..................................... 160 4. Técnicas de conteo.................................................................................................. 161 La regla del producto para pares ordenados ............................................................... 161 5. Una regla del producto más general ....................................................................... 161 6. Permutaciones......................................................................................................... 162 7. Combinaciones ....................................................................................................... 162 8. Probabilidad condicional ........................................................................................ 163 9. La regla de multiplicación para P(AB) ................................................................ 163 10. Teorema de Bayes ................................................................................................ 164 11. Independencia ....................................................................................................... 164 Variables aleatorias y discretas y distribuciones de probabilidad .................................. 166 1. Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas ........................ 167 2. Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas ....................... 174 BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................ 179

I. Introducción y Conceptos Generales.

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UNIDAD I INTRODUCCION Y CONCEPTOS GENERALES

I.-DEFINICION, IMPORTANCIA, DESARROLLO, NECESIDAD Y CAMPOS DE LA METROLOGÍA La experiencia humana es muy variada; constantemente vemos, oímos, olemos, probamos y tocamos objetos y productos, es decir, hay un constante flujo de sensaciones. El trabajo de la metrología es describir en forma ordenada esta experiencia. Dicho de la manera más simple, es la ciencia de la medida (vocabulario Internacional de Términos Básicos y Generales en Metrología). Según la Ley del Sistema Venezolano para la Calidad, la Metrología “comprende todos los aspectos tanto teóricos como prácticos que se refieren a las mediciones”. Mediante las mediciones se obtiene información sobre el comportamiento de la materia y lo producido mediante su transformación. Para obtener una medición confiable deben controlarse factores como: interacción operador-instrumento, el instrumento mismo, el método de medición y el ambiente en que se realiza la medición. La esencia de la Metrología es garantizar la efectividad de los procesos de medición que se llevan a cabo, garantizando de esta forma las propiedades de calidad en los servicios, los procesos y los productos; es la encargada de estudiar, diseñar y establecer las técnicas de medición requeridas para alcanzar la incertidumbre necesaria, conforme a la aplicación particular, en los resultados de las mediciones. Su trabajo es describir en forma ordenada esta experiencia, un trabajo que la curiosidad del hombre ha conducido por muchos siglos y que presumiblemente nunca terminara. En la actualidad, un experimento físico que no involucre medición es considerado poco valioso. Un metrólogo siente la necesidad que una pregunta, por muy simple que parezca: ¿cuánto?, tenga una respuesta razonable y acorde con lo que está estudiando, de lo contrario, no entenderá lo que sucede a su alrededor. El metrólogo ha seleccionado como campo de estudio una porción especial de la gran variedad de experiencias humanas; de la totalidad ha abstraído ciertos aspectos que le parecen susceptibles de describir con exactitud: en cada laboratorio, taller, línea de producción y casi dondequiera, es posible encontrar aparatos o dispositivos con escalas, estas con marcas y con números asociados a cada hecho relacionado con la metrología. Por esto es un hecho que cada lector pensara en la medición física que le es más familiar, por ejemplo: consultar el reloj de pulsera; al hacerlo reconocerá en cada análisis la medición, leerá la hora desde la carátula con la posición de las agujas. Piense que esto

I. Introducción y Conceptos Generales.

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sucede en los medidores eléctricos, reglas medidores de corriente, voltaje y potencia, en los termómetros, rugosímetros, micrómetros, calibradores, medidores de presión, etc. La Metrología también es la encargada de investigar, experimentar y establecer los patrones de referencia primarios en el ámbito internacional; de mantener los patrones nacionales de los diferentes países o de mantener los instrumentos de referencia utilizados en el ámbito de la industria (cuando éstas poseen su propio laboratorio de metrología). Idealmente, en todo el mundo, los instrumentos utilizados para medir las mismas magnitudes físicas deberían indicar el mismo valor, aunque esto no sea posible. Con el fin de mantener esa igualdad aproximada los distintos organismos y laboratorios mantienen relación y ponen en práctica la intercomparación de patrones. Por otro lado, en el ámbito de los gobiernos se establecen instituciones que vigilan y regulan las actividades metrológicas en el país y supervisan su cumplimiento por parte los sectores, entidades o personas responsables. El papel de la metrología se hace realmente relevante cuando el proceso de medición es vital en algún tipo de transacción comercial, en aplicaciones militares, en aplicaciones en el campo de la salud, en la producción de medicinas o de alimentos, en la realización de pruebas para construcciones de ingeniería civil, en la realización de diagnósticos para descubrir la causa de algún problema eléctrico, en la realización de trabajos destinados al alcance del uso racional de la energía, en el monitoreo rutinario de los sistemas electromecánicos, mecánicos y electrónicos, en la verificación de límites de contaminantes del ambiente o valores de niveles de radiación, en el monitoreo permanente de las diversas magnitudes físicas que intervienen en los procesos de producción, y muy especialmente, en la realización de pruebas de calidad. En realidad, sin la metrología, el trabajo de los ingenieros químicos, sanitarios, de alimentos, ambientalistas, electricistas, luminotécnicos, electrónicos, mecánicos o civiles, o el trabajo de los médicos o los científicos en general, si no imposible, sería de características totalmente obsoletas para la dinámica que requieren los procesos actuales. Sin la metrología, sería imposible verificar la calidad de los productos o de los procesos, definida en la normativa internacional. Dicho de otra manera, la metrología y la normalización son vitales para el aseguramiento de la calidad.

¿Beneficios de la metrología? Proporciona confianza e información sobre la variabilidad de los procesos para su control y mejoramiento. La Metrología encierra grandes ventajas y beneficios para todos los sectores industriales, destacando los siguientes: 

Incremento en el nivel de calidad de los productos



Disminución de rechazos y garantías, o sea, la posibilidad que se acepten productos defectuosos o que el cliente o consumidor adquiera un producto fuera de especificaciones sea baja.



Aumento de la productividad.



Disminución de costos.

I. Introducción y Conceptos Generales.

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

Aumento de la vida útil de los instrumentos y equipos de medición.



Mayor vida útil para equipos de medición.



Promueve el desarrollo de un sistema armonizado de medidas, análisis ensayos exactos, necesarios para que la industria sea competitiva.



Facilita a la industria las herramientas de medida necesarias para la investigación y desarrollo de campos determinados y para definir y controlar mejor la calidad de los productos.



Perfecciona los métodos y medios de medición.



Facilita el intercambio de información científica y técnica.



Posibilita una mayor normalización internacional de productos en general, maquinaria, equipos y medios de medición.

Todos estos puntos buscan la necesidad de plantear la importancia que tiene la Metrología a nivel internacional. Esta es decisiva en el comercio internacional debido a que proporciona los medios técnicos necesarios para asegurar medidas correctas, mediante la implementación de un sistema armonizado de medición compuesto por el Sistema Internacional de Unidades (SI), la exactitud de los instrumentos de medidas cumpliendo con normas internacionales y los métodos y procedimientos validados: la medición entra en prácticamente todas las operaciones comerciantes, desde el comercio del producto a granel (como los minerales, el petróleo y el gas natural) hasta la venta minorista de productos al público en el mercado. La realidad es que existen sin fin de ejemplo que podremos citar y los cuales demuestran la importancia que tiene la metrología, alguno de ellos son los siguientes: 1) El precio de los productos comercializados se deriva de la cantidad que está involucrada en ellos, la cual normalmente se determina por medición. Los precios correctos obviamente dependerán de mediciones correctas. Para lograr estas mediciones es necesario verificar y calibrar los instrumentos de medidas. En ambos casos, el comportamiento de un equipo de medida se compara con el de un instrumento de medida con mayor exactitud, conocido como patrón de medida. 2) La tarea de asegurar la verificación de instrumentos de medida y la vigilancia de su uso en el comercio recae en los Servicios Nacionales de Metrología. 3) Además de la cantidad, la calidad de los productos y su conformidad con las normas son conceptos esenciales en el comercio internacional. El control de la calidad y la conformidad requiere de muchos casos mediciones los resultados de las medidas deben ser indudable si se espera confianza en los resultados del ensayo y en la aceptación de los certificados. Los laboratorios de calibración debe cerciorarse de que sus mediciones y el equipo de ensayo son debidamente calibrados.

I. Introducción y Conceptos Generales.

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La mayoría de los procesos de producción modernos se caracterizan por el ensamblaje de la mayoría de sus partes y componentes comprados en el mercado internacional. Esto implica de manera directa la aplicación de sistemas de medida uniformes, fiables que garanticen el intercambio de las dimensiones mecánicas y la compatibilidad de las especificaciones eléctricas. Por tal motivo es tarea de los institutos nacionales de metrología mantener los patrones nacionales de manera que el equipo de medición pueda referirse a estos patrones. No queda duda, pues, del papel altamente importante que juega la metrología en el desarrollo económico de un país, en su desarrollo tecnológico o científico, o en la salud de sus habitantes cuando aplicada correctamente le permite a los médicos hacer diagnósticos fidedignos. Y, si lo anteriormente explicado no basta, la metrología y la normalización son imprescindibles para el aseguramiento de la calidad y, si el país pretende incorporarse a los tratados de libre comercio internacionales, no le queda otro camino que invertir en el desarrollo de tales disciplinas.

Campos de la Metrología La metrología tiene varios campos: metrología legal, metrología industrial y metrología científica. Son divisiones que se han aceptado en el mundo, encargadas en cubrir todos los aspectos técnicos y prácticos de las mediciones:

La Metrología Legal Este término esta relacionado con los requisitos técnicos obligatorios de los métodos y de los instrumentos de medición, desde el punto de vista se seguridad y exactitud de las mediciones. Un servicio de metrología legal comprueba estos requisitos con el fin de garantizar medidas correctas en áreas de interés público, como el comercio, la salud, el medio ambiente y la seguridad. El alcance de la metrología legal depende de las reglamentaciones nacionales y puede variar de un país a otro. El Objetivo de la metrología legal, básicamente es dar seguridad al público en general acerca de las mediciones que se utilizan, por ejemplo: 

Si usted compra una balanza de baño para saber cual es la masa corporal debe tener la seguridad de que este instrumento cumple con las condiciones necesarias.



Muchas balanzas en los establecimientos comerciales, pueden encontrarse alteradas, originando alteración en el peso y que el cliente pague más de lo debido.

En la Metrología Legal, se encuentran varios aspectos básicos: 1. Disponer de La Ley de Metrología. 2. Contar con personal capacitado.

I. Introducción y Conceptos Generales.

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3. Equipos sofisticados, los equipos deben estar en una edificación acorde y segura. 4. Argumentar y Coordinar todo lo relacionado al campo laboral. Su objetivo es proteger a los consumidores para que reciban los bienes y servicios con las características que ofrecen o anuncian los diferentes fabricantes. Debe ser ejercida por gobierno y entre sus campos de acción están: 

Verificación de pesas, balanzas y básculas.



Verificación de cintas métricas.



Verificación de surtidores de combustible.



Verificación de productos pre-empacados.



Control de escapes de gas de automóviles.



Taxímetros.



Cilindros de gas.



Contadores eléctricos, de agua y de gas, etc.

La Metrología Industrial Esta disciplina se centra en las medidas aplicadas a la producción y el control de la calidad. Materias típicas son los procedimientos e intervalos de calibración, el control de los procesos de medición y la gestión de los equipos de medida, soluciona problemas relacionados con los procesos de medición utilizados en el área industrial y tecnológica. El término se utiliza frecuentemente para describir las actividades metrológicas que se llevan a cabo en materia industrial, podríamos decir que es la parte de ayuda a la industria. En la Metrología industrial la persona tiene la alternativa de poder mandar su instrumento y equipo a verificarlo bien sea, en el país o en el exterior. Tiene posibilidades de controlar más este sector, la metrología industrial ayuda a la industria en su producción, aquí se distribuye el costo, la ganancia. Se aplica en: 

La calibración de los equipos de medición y prueba.



La etapa de diseño de un producto o servicio.



La inspección de materias primas, proceso y producto terminado.



Durante el servicio técnico al producto.



Durante las acciones de mantenimiento.



Durante la prestación de un servicio.

I. Introducción y Conceptos Generales.

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La Metrología Científica También conocida como ―metrología general‖. ―Es la parte de la Metrología que se ocupa a los problemas comunes a todas las cuestiones metrológicas, independientemente de la magnitud de la medida‖; es decir trata de los problemas teóricos de las mediciones: 

Teoría general de mediciones.



Teoría de las magnitudes físicas y unidades de medida.



Teoría de errores de medición y métodos de procesamiento de resultados.

Se ocupa de los problemas teóricos y prácticos relacionados con las unidades de medida (como la estructura de un sistema de unidades o la conversión de las unidades de medida en fórmulas), del problema de los errores en la medida; del problema en las propiedades metrológicas de los instrumentos de medidas aplicables independientemente de la magnitud involucrada. Es el campo de la metrología que investiga intensamente para mejorar los patrones, las técnicas y métodos de medición, los instrumentos y la exactitud de las medidas. Se ocupa, entre otras cosos de actividades como: 

Mantenimiento de patrones internacionales.



Búsqueda de nuevos patrones que representen o materialicen de mejor manera las unidades de medición.



Mejoramiento de la exactitud de las mediciones necesarias para los desarrollos científicos y tecnológicos.

En la Metrología hay diferentes áreas específicas. Algunas de ellas son las siguientes: 

Metrología de masa, que se ocupa de las medidas de masa.



Metrología dimensional, encargada de las medidas de longitudes y ángulos.



Metrología de la temperatura, que se refiere a las medidas de las temperaturas.



Metrología química, que se refiere a todos los tipos de mediciones en la química.

Adentrándose aún más en el estudio de esta ciencia se encuentra lo que podemos llamar como el Triángulo de Oro Metrología

Normalización

Calidad

I. Introducción y Conceptos Generales.

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Este gráfico expresa la relación intrínseca entre la metrología, normalización y calidad, las mismas se confunden en significado y aplicación, no pudiendo existir alguna de ellas sin tener una mínima relación con las demás. Esta relación puede analizarse de la siguiente manera: para trabajar con calidad se hace necesario adaptarse a las diferentes estandarizaciones aceptadas mundialmente y estar en completa capacidad de utilizar laboratorios de metrología y mediciones para aplicarlas a los productos. Esta última implica el tener el conocimiento de las normas que rigen estos laboratorios y los certificados de calidad que permitan avalar las labores que dentro de ellos se realizan. Por último las normas, las cuales son realizadas por institutos internacionales tratando de establecer estándares de calidad, a través del uso de sus propios laboratorios de metrología y mediciones; de manera tal que el resto de los laboratorios del mundo sigan esos estándares. En el triángulo de oro hay algo implícito, que es lo que permite la comunicación de estas tres áreas: La Estadística. La estadística, según Jay L. Devore, puede ser definida como ―la rama de la investigación científica que proporciona métodos para organizar y resumir información y usar ésta para obtener diversas conclusiones‖. Definición muy concreta y precisa sobre el significado de esta palabra. La importancia de la estadística en la metrología, y en general en la ingeniería, esta relacionada con un viejo adagio científico; ―una prueba es más valiosa que cientos de opiniones expertas‖, sucede que un ingeniero realiza cientos de diversas pruebas a un material, pieza, máquina, etc. antes de emitir una opinión seria, y dicha opinión debe estar basado en calcular estadísticas para ser válida. De ahí que se puede afirmar que un ingeniero sin conocimientos sobre estadística y probabilidad es un analfabeta funcional. Por esto y por muchas razones más que serán explicadas a lo largo del desarrollo de este libro, se sabe que la metrología siendo la ciencia de la medición y el estudio y la aplicación de los medios más propios para la medición de magnitudes tales como longitud, ángulos, temperatura, presión, etc.; está íntimamente ligada al estudio de la estadística, por esto, el presente libro en su final, recopila un apéndice que ayudará al estudiante a nivelarse en Probabilidad y Estadística. Este curso se centrará en el estudio de la metrología dimensional, en la que se verifica geométrica y dimensionalmente elementos y piezas mecánicas.

II.-SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) Se acostumbra medir longitudes o distancias en unidades como centímetros, metros o kilómetros; y medir el tiempo en unidades como segundos, minutos, horas, días y años. Cuando se usa una regla graduada o una cinta métrica se supone que sus resultados están de acuerdo con otros instrumentos parecidos para medir longitudes. Sin embargo, cuando se usa un reloj para medir el tiempo, se puede uno preguntar si dicho instrumento funciona correctamente. Los científicos y muchas otras personas necesitan normalizar su sistema de medidas para que los datos suministrado por una persona pueden ser interpretados por otra. En verdad,

I. Introducción y Conceptos Generales.

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las medidas de uso común metros y centímetros, horas y minutos, kilogramos y gramos tienen su estado legal basado en los patrones de medidas de los físicos. La Asamblea Nacional de Francia pidió a la Academia de Ciencias de ese país, la creación de un sistema de medición que lo puedan usar todos los países; luego de sucesivas propuestas y modificaciones, los científicos de fines del Siglo XVIII, lograron diseñar el Sistema Métrico Decimal basado en parámetros relacionados con fenómenos físicos y notación decimales esa época tuvieron de lidiar con la resistencia al cambio de los antiguos sistemas medievales de referencias antropológicas y subdivisiones en mitades sucesivas, a los modernos; la comunidad científica de la segunda mitad del Siglo XX, debió encarar la adopción de un nuevo sistema de medidas de mayor precisión en cuanto a la referencia con fenómenos físicos de sus unidades fundamentales, adaptado a los crecientes avances de la ciencia, y que a la vez tuviese la amplitud y universalidad suficientes, para abarcar las necesidades evidenciadas en la proliferación de subsistemas surgidos como necesidad particular de las distintas ramas de la ciencia. El sistema científico de medidas se identifica por las letras iniciales de tres de sus unidades: el metro, el kilogramo y el segundo. Este sistema se llama sistema mks. El metro (m) y el kilogramo (Kg.) provienen del sistema métrico y son, respectivamente, las unidades fundamentales de longitud y de masa. La unidad llamada segundo (seg.) procede del sistema de medidas usadas en la antigua Babilonia hace más de 4000 años. En el año 1960 se crea el SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) basado en fenómenos naturales que casi no ofrecen variación alguna que impida uniformizar internacionalmente las unidades de medidas. En el Perú su uso es oficial a partir de 1982. Un sistema de unidades de medida es un conjunto de unidades confiables, uniformes y adecuadamente definidas que sirven para satisfacer las necesidades de medición. El Sistema Internacional de Unidades (SI) es resultado de un largo trabajo que comenzó en Francia hace más de un siglo y que continuó internacionalmente para poner a disposición de todos los hombres un conjunto de unidades confiables y uniformes, este tiene su origen en el sistema métrico, sistema de medición adoptado con la firma de la Convención del Metro en 1875. Para 1960, la Conferencia General de Pesos y medidas (C.G.P.M) como autoridad suprema para la época adoptó el nombre de Sistema Internacional de Unidades (SI). El SI está hoy en día en uso en más de 100 países. Está formado por siete unidades básicas y varias unidades derivadas. A continuación se definen algunas unidades del SI comúnmente utilizadas en Metrología Dimensional: Las UNIDADES BÁSICAS son: 

LONGITUD  Metro (m)  Unidad Base: para la magnitud longitud: y es la longitud de trayectoria recorrida por la luz en el vacío, durante un lapso de 1/ 299792458 de segundo.



MASA  Kilogramo (kg)  Unidad Base: para la magnitud masa: es la masa igual a la del prototipo internacional del kilogramo.

I. Introducción y Conceptos Generales.

17



TIEMPO  Segundo (s)  Unidad Base: para la magnitud tiempo: es la duración de 9192631770 períodos de la radiación correspondiente aa la transición entre los dos niveles hiperfinos del átomo de cesio 133.



CORRIENTE ELECTRICA  Amperio (A)  Unidad Base: para la corriente eléctrica: es la intensidad de una corriente eléctrica constante que mantenida en dos conductores paralelos rectilíneos, de longitud finita, de sección circular despreciable y colocados a un metro de distancia entre sí producirá en el vacío entre estos conductores una fuerza igual de 2 x 10 7 newton por metro de longitud.



TEMPERATURA TERMODINAMICA  Kelvin (°K)  Unidad Base: para la temperatura termodinámica: es la fracción 1/273.16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.



INTENSIDAD LUMINOSA  Candela (cd)  Unidad Base: para la intensidad luminosa: en una dirección dada de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540 x 10 12 hertz, cuya intensidad energética en esa dirección es 1/683 watt por esteorradián.



SUSTANCIA  Mol (mol)  Unidad Base: para la cantidad de sustancia: es la cantidad de sustancia que contiene tantas entidades elementales como existen átomos en 0.012 Kg de carbono 12. Magnitud

Nombre

Símbolo

metro

m

kilogramo

kg

Tiempo

segundo

s

Intensidad de corriente eléctrica

ampere

A

Temperatura termodinámica

kelvin

K

mol

mol

candela

cd

Longitud Masa

Cantidad de sustancia Intensidad luminosa Las UNIDADES SUPLEMENTARIAS son:

 Radián (rad)  Unidad Suplementaria: para el ángulo plano: es el ángulo plano comprendido entre dos radios de un círculo que interceptan, sobre la circunferencia de este círculo, un arco de longitud igual a la del radio.



ANGULO PLANO



ANGULO SÓLIDO

 Esteorradián (sr)  Unidad Suplementaria: para el ángulo sólido: es el ángulo sólido que teniendo su vértice en el centro de una esfera, corta sobre la superficie de esta esfera un área igual a la de un cuadrado que tiene por lado el radio de la esfera.

I. Introducción y Conceptos Generales.

Magnitud

18

Nombre

Símbolo

Expresión en unidades SI básicas

Ángulo plano

Radián

rad

mm-1= 1

Ángulo sólido

Estereorradián

sr

m2m-2= 1

Las UNIDADES DERIVADAS son: Las unidades SI derivadas se definen de forma que sean coherentes con las unidades básicas y suplementarias, es decir, se definen por expresiones algebraicas bajo la forma de productos de potencias de las unidades SI básicas y/o suplementarias con un factor numérico igual 1. Varias de estas unidades SI derivadas se expresan simplemente a partir de las unidades SI básicas y suplementarias. Otras han recibido un nombre especial y un símbolo particular. Si una unidad SI derivada puede expresarse de varias formas equivalentes utilizando, bien nombres de unidades básicas y suplementarias, o bien nombres especiales de otras unidades SI derivadas, se ite el empleo preferencial de ciertas combinaciones o de ciertos nombres especiales, con el fin de facilitar la distinción entre magnitudes que tengan las mismas dimensiones. Por ejemplo, el hertz se emplea para la frecuencia, con preferencia al segundo a la potencia menos uno, y para el momento de fuerza, se prefiere el newton metro al joule. Un ejemplo de unidad derivada es: 

FUERZA

 Newton (N)  Unidad Derivada: para la unidad fuerza.

A continuación se presentan las unidades derivadas, mediante las cuales se miden muy diversas magnitudes tales como velocidad, aceleración, presión, energía, tensión y resistencia eléctrica, entre otras. Unidades SI derivadas expresadas a partir de unidades básicas y suplementarias Magnitud

Nombre

Símbolo

Superficie

metro cuadrado

m2

Volumen

metro cúbico

m3

Velocidad

metro por segundo

m/s

Aceleración

metro por segundo cuadrado

m/s2

Número de ondas

metro a la potencia menos uno

m-1

Masa en volumen

kilogramo por metro cúbico

kg/m3

Velocidad angular

radián por segundo

rad/s

Aceleración angular

radián por segundo cuadrado

rad/s2

I. Introducción y Conceptos Generales.

19

Unidades SI derivadas con nombres y símbolos especiales. MAGNITUD

NOMBRE

SÍMBOLO

hertz

Hz

s-1

Fuerza

newton

N

m·kg·s-2

Presión

pascal

Pa

N·m-2

m-1·kg·s-2

Energía, trabajo, cantidad de calor

joule

J

N·m

m2·kg·s-2

Potencia

watt

W

J·s-1

m2·kg·s-3

coulomb

C

Potencial eléctrico fuerza electromotriz

volt

V

W·A-1

m2·kg·s-3·A-1

Resistencia eléctrica

ohm



V·A-1

m2·kg·s-3·A-2

Capacidad eléctrica

farad

F

C·V-1

m-2·kg-1·s4·A2

Flujo magnético

weber

Wb

V·s

m2·kg·s-2·A-1

Inducción magnética

tesla

T

Wb·m-2

kg·s-2·A-1

Inductancia

henry

H

Wb·A-1

m2·kg s-2·A-2

Frecuencia

Cantidad de electricidad carga eléctrica

EXPRESIÓN EN OTRAS UNIDADES SI

EXPRESIÓN EN UNIDADES SI BÁSICAS

s·A

Unidades SI derivadas expresadas a partir de las que tienen nombres especiales MAGNITUD

NOMBRE

SÍMBOLO

EXPRESIÓN EN UNIDADES SI BÁSICAS

Viscosidad dinámica

pascal segundo

Pa·s

m-1·kg·s-1

Entropía

joule por kelvin

J/K

m2·kg·s-2·K-1

Capacidad térmica másica

joule por kilogramo kelvin

J/(kg·K)

m2·s-2·K-1

Conductividad térmica

watt por metro kelvin

W/(m·K)

m·kg·s-3·K-1

Intensidad del campo eléctrico

volt por metro

V/m

m·kg·s-3·A-1

I. Introducción y Conceptos Generales.

20

Nombres y símbolos especiales de múltiplos y submúltiplos decimales de unidades SI autorizados MAGNITUD

NOMBRE

SÍMBOLO

RELACIÓN

Volumen

litro

loL

1 dm3=10-3 m3

Masa

tonelada

t

103 kg

Presión y tensión

bar

bar

105 Pa

Unidades definidas a partir de las unidades SI, pero que no son múltiplos o submúltiplos decimales de dichas unidades. Magnitud

Nombre

Símbolo

Equivalencia S.I.

Ángulo

grado

º

1=( pi/180)rad

minuto

'

1'=(pi/10.8)rad=(1/60)º

segundo

"

1"=(1/60)"=(pi/648)rad

minuto

min

1min=60s

hora

h

1h=60min=3,600s

día

d

1d=24h=86,400s

Volumen

litro

L

aL=10dm3=10-3m-3

Masa

tonelada

t

1t=103kg=1Mg

Área

hectárea

ha

1ha=1hm2=104m2

Tiempo

Unidades en uso con el Sistema Internacional cuyo valor en unidades SI se ha obtenido experimentalmente. MAGNITUD

Masa Energía

NOMBRE

unidad de masa atómica electronvolt

SÍMBOLO

VALOR EN UNIDADES SI

u

1,6605402 10-27 kg

eV

1,60217733 10-19 J

I. Introducción y Conceptos Generales.

21

Prefijos para formar los Múltiplos y submúltiplos decimales FACTOR

PREFIJO

SÍMBOLO

FACTOR

PREFIJO

SÍMBOLO

1024

yotta

Y

10-1

deci

d

1021

zeta

Z

10-2

centi

c

1018

exa

E

10-3

mili

m

1015

peta

P

10-6

micro

μ

-9

12

10

tera

T

10

nano

n

109

giga

G

10-12

pico

p

106

mega

M

10-15

femto

f

103

kilo

k

10-18

atto

a

102

hecto

h

10-21

zepto

z

-24

yocto

y

10

1

deca

da

10

Prefijos del sistema internacional Uso escrito de símbolos y prefijos: 1.

Los nombres de las unidades, así como de sus múltiplos y submúltiplos, se escriben con minúscula. El grado Celsius es una excepción.

2.

Los símbolos que representan a las unidades se escriben con minúscula, excepto cuando proceden nombres propios. Se usa la letra mayúscula L para litro porque el 1 se confunde con l. Cuando un símbolo con dos letras procede de un nombre propio, la letra inicial es mayúscula. Por ejemplo Pa (en honor a Blaise Pascal)

3.

Los prefijos y submúltiplos se escriben con minúscula, excepto en el caso de mega y superiores.

4.

Los símbolos nunca se escriben en plural, ni llevan punto final, salvo que estén al final de una frase.

5.

Entre el número y el símbolo debe dejarse un espacio salvo en las medidas angulares.

6.

Los productos de unidades se expresan o bien dejando un espacio entre los símbolos o bien dejando un espacio entre ellos.

I. Introducción y Conceptos Generales.

Factor

22

Prefijo Símbolo

1024

yota

Y

21

zeta

Z

1018

exa

E

1015

peta

P

1012

tera

T

109

giga

G

10 = 1.000.000

mega

M

103= 1.000

kilo

k

10 = 100

hecto

h

10 = 10

deca

da

10

6

2

1 = ( Unidad Básica sin Prefijo ) 1 10 1 102 1 103 1 106 1 109 1 1012

= 10-1 = 0,1

deci

d

= 10-2 = 0,01

centi

c

= 10-3 = 0,001

mili

m

= 10-6 = 0,000001

micro

µ

= 10-9

nano

n

= 10-12

pico

p

= 10-15

femto

f

= 10-18

atto

a

10-21

zepto

z

10-24

yocto

y

1 10

15

1 1018

Tablas de longitud, masa y tiempo Algunas longitudes de interés

I. Introducción y Conceptos Generales.

23

Longitud radio del protón

Longitud

1 fm

radio de la Luna

1738.16 km

radio de la Tierra

6371.02 km

radio de la órbita lunar

3.84405x105 km

radio del Sol

0.696265x106 km

longitud de la onda de 0.01-1 nm rayos X radio del átomo de hidrógeno

0.529 A

diámetro del retrovirus 10-1 mm del VIH longitud de onda del espectro visible

4.0-7.0 A

radio de la órbita terrestre

149.59787x106 km 499.0s luz

longitud del bacilo de Koch

1 mm

radio del sistema solar

10 horas luz

diámetro de un glóbulo rojo

10 mm

distancia a la estrella más cercana (Próxima Centauri)

4.3 años luz

longitud de onda del Do musical

1.33 m

diámetro de la Galaxia

105 años luz

altitud del Everest

8.8461 km

radio del Universo visible

10 -20 x109 años luz

Algunas masas de interés Masa

Masa -27

me=masa del electrón

0.910939x10 kg mp/1836.15

masa de un elefante

10 t

mp=masa del protón

1.67262x10-24 kg

masa de la pirámide de Keops

107 t

masa del átomo de hidrógeno

1.00783 u

masa de la lluvia anual

1013 t

masa de una bacteria

1 pg

masa de la atmósfera terrestre

1016 t

masa de un glóbulo rojo

0.1 ng

masa del agua de los mares

1017 t

masa de un mosquito

10 mg

masa de la Luna

7.3474x1022 kg

masa de un sello de correos

20 mg

masa de la Tierra

5.97371x1024 kg

masa de un litro de agua

1 kg

ms=masa del Sol

1.98892x1030 kg

masa del ser humano

102 kg

masa del sistema solar

1.9916x1030 kg

masa de un coche

103 kg

masa de la Galaxia

1011-1012 ms

consumo anual de petróleo

109t

masa del Universo visible

1053 kg

Algunos tiempos de interés Tiempo período orbital del electrón en el

0.152 fs

Tiempo período orbital de la Luna

27.3217 días

I. Introducción y Conceptos Generales.

24

hidrógeno período de la luz visible

1.53 - 2.33 fs

período orbital de la Tierra

365.25636 días

período de la nota musical Do

1/256 s

edad del Universo cuando se hizo transparente a la luz

3x105 años

período de la corriente eléctrica en Europa

1/50 s

tiempo transcurrido desde la desaparición de los dinosaurios

65x106 años

período de los latidos del corazón

1s

edad del Sol

4.6x109 años

período entre latidos cardiacos sucesivos de Miguel Indurain en reposo

2.14 s

edad del Universo

10 -20 x109 años

Algunas velocidades de interés Velocidad -9

Velocidad

deriva continental

10 m/s

sonido en el aire

322 m/s

crecimiento del cabello

10-8 m/s

Luna en torno a la Tierra

1 km/s

sangre en capilares

0.3 mm/s Tierra en torno al Sol

30 km/s

sangre en aorta

30 cm/s

Sol en torno al centro galáctico

102 km/s

velocidad terminal (con paracaídas) sobre la superficie terrestre

6 m/s

electrón en el hidrógeno

2.2x103 km/s

velocidad terminal (sin paracaídas) sobre la superficie terrestre

50 m/s

luz en el vacío

c=299,792.458 m/s

Tabla comparativa de ordenes de magnitud En esta tabla, se podrán observar los órdenes de magnitud en los que es aplicable la física:

I. Introducción y Conceptos Generales.

25

Longitud (m) Protón

10-15

Átomo de hidrógeno

10-10

Virus

10-7

Altura de una persona

100

Un kilometro

103

Diámetro de la Tierra

107

Distancia Tierra- Luna

109

Distancia Tierra - Sol

1011

Diámetro del Sistema Solar

1013

Distancia a la estrella más cercana

1017

Diámetro de nuestra Galaxia

1021

Distancia a la galaxia más cercana (Andrómeda)

1022

Distancia al confín del universo observable

1026

FACTORES DE CONVERSIÓN Ángulo plano 1 grado

º 1

' 60

" 3600

radián 1.745x10-2

rev 2.778x10-3

1 minuto

1.667x10-2

1

60

2.909x10-4

4.630x10-5

1 segundo

2.778x10-4

1.667x10-2

1

4.848x10-6

7.716x10-7

1 radián

57.3

3438

2.063x105

1

0.1592

1 revolución

4

360

6

2.16x10 1.296x10 6.283 Ángulo sólido 1 esfera = 4p esterradianes = 12.57 esterradianes

1

Longitud cm

metro

km

in

ft

mi

I. Introducción y Conceptos Generales.

26

1 centímetro

1

10-2

10-5

0.3937

1 metro

100

1

10-3

39.37

3.281

6.214x10-4

1 kilómetro

105

1000

1

3.937x104

3281

0.6214

1 pulgada

2.540

1 pie

30.48

1 milla

1.609x105

3.281x10-2 6.214x10-6

2.540x10-2 2.540x10-5

1

8.333x10-2 1.578x10-5

0.3048

3.048x10-4

12

1

1.894x10-4

1609

1.609

6.336x104

5280

1

Área 1 metro cuadrado

metro2 1

cm2 104

1 centímetro cuadrado

10-4

1

ft2 10.76

1.076x10-3 0.1550

9.290x10-2 929.0

1 pie cuadrado

in2 1550

1

144

-4

1 pulgada cuadrada 6.452x10 6.452 6.994x10

-3

1

Volumen m3

cm3

L

ft3

in3

1 metro cúbico

1

106

1000

35.31

6.102x104

1 cetímetro cúbico

10-6

1

1 litro

1.000x10-3

1000

1 pie cúbico

1.000x10-3 3.351x10-5 6.102x10-2

-2

2.832x10 2.832x10

1 pulgada cúbica 1.639x10

-5

16.39

1 -4

3.351x10-2

61.02

1

1728

28.32 -2

1.639x10 5.787x10

-4

1

Masa g

kilogramo

1 gramo

1

0.001

1 kilogramo

1000

1

1 slug

1.459x104

14.59

1u

6.852x10

u -5

28.35

1 libra

453.6 9.072x10

-2

2.205x10

ton -3

1.102x10-6

35.27

2.205

1.1022x10-3

8.786x1027

514.8

32.07

1.609x10-2

1

5.857x10-26 3.662x10-27 1.830x10-30

1

1

3.108x10-2 2.732x1026

16

907.2

lb

3.527x10

2.835x10-2 1.943x10-3 1.718x1025 0.4536 5

6.022x10

oz 23

6.852x10-2 6.022x1026

1.661x10-24 1.661x10-27 1.138x10-28

1 onza 1 ton

slug

62.16

5.463x10

29

3.2x10

6.250x10-2 3.125x10-5 4

1

0.0005

2000

1

I. Introducción y Conceptos Generales.

27

Las cantidades sombreadas no son unidades de masa pero a menudo se usan como tales. Por ejemplo, cuando escribimos 1kg=2.205lb significa que un kilogramo es una masa que pesa 2.205 libras en condiciones de gravedad estándar (g=9.80665m/s2).

Densidad slug/ft3

kilogramo/metro3

g/cm3

lb/ft3

lb/in3

1slug por pie cúbico

1

515.4

0.5154

32.17

1.862x10-2

1 kilogramo por métro cúbico

1.940x10-3

1

0.001

1 gramo por centímetro cúbico

1.940

1000

1

1 libra por pie cúbico

3.108x10-2

16.02

1 libra por pulgada cúbica

53.71

2.768x104

6.243x10-2 3.613x10-5 62.43

3.613x10-2

2

1

5.787x10-4

27.68

1728

1

1.602x10-

Las unidades de densidad que contienen unidades de peso son dimensionalmente diferentes a las de masa. Véase la nota de tablas de masa.

Tiempo y

d

1 año

1

365.25

1 día

2.738x10-3

1

1 hora

h

min

segundo

3

8.766x10 5.259x10 3.156x107

1.141x10-4 4.167x10-2

5

24

1440

8.640x104

1

60

3600

1 minuto 1.901x10-6 6.944x10-4 1.667x10-2 -8

-5

1

-4

60

1 segundo 3.169x10 1.157x10 2.778x10 1.667x10

-2

1

Velocidad ft/s

km/s

m/s

1.097 0.3048

mi/h

cm/s

0.6818

30.48

1 pie por segundo

1

1 kilometro por hora

0.9113

1

0.2778

0.6214

27.78

1 metro por segundo

3.821

3.6

1

2.237

100

1 milla por hora

1.467

0.447

1

1.609 -2

1 centímetro por segundo 3.281x10 3.6x10

-2

0.01 2.237x10

44.70 -2

1 nudo =1milla náutica por hora=1.668ft/s 14mi/min=60mi/h

1

I. Introducción y Conceptos Generales.

28

Fuerza dina

newton -5

lb

pdl -6

1

10

1 newton

105

1

0.2248

1 libra

4.448x105

4.448

1

1 poundal

1.383x10

1 gramo fuerza

980.7

0.1383

3.108x10

-3

7.233

102.0

0.1020

32.17

453.6

0.4536

1

14.10

1.410x10-2

-2

9.807x10-3 2.205x10-3 7.093x10-2 5

1 kilogramo fuerza 9.807x10

kgf

2.248x10 7.233x10 1.020x10 1.020x10-6

1 dina

4

Gf -5

9.807

2.205

70.93

1 1000

0.001

Las cantidades sombreadas no son unidades de fuerza pero a menudo se utilizan como tales. Por ejemplo, si escribimos 1 gramo fuerza, queremos decir que un gramo masa experimenta una fuerza de 980.7 dinas en condiciones de gravedad estándar.

Presión 1 atmósfera

atm 1

dina/cm2 1.013x106

1 dina por cm2

9.869x107

1

1 in de agua 4ºC 2.458x10-3 1 cmHg a 0ºC 1 pascal 1 libra por ft

1.316x10-2 1.333x104 9.869x10

1 libra por in2 2

2491

-6

10

6.805x10-2 6.985x104 4.725x10

-4

478.8

inH20 406.8

cmHg 76

pascal 1.013x105

4.015x10-4 7.501x10-5 1

0.1868

5.353 4.015x10 27.68 0.1922

1 -3

7.501x10

-4

5.171 3.591x10

-2

0.1

lb/in2 14.7

lb/2 2116

1.405x10-5 2.089x10-3

249.1

3.613x10-2

5.202

13333

0.1934

27.85

1

1.450x10

6.985x103

1

47.88

6.944x10

-4

2.089x10-2 144

-3

El valor de la gravedad es de 9.80665m/s2. 1bar=106dinas/cm2=0.1MPa 1torr=1mmHg

1

I. Introducción y Conceptos Generales.

29

Potencia BTU/h 1 unidad térmica británica por hora

1

lb ft/s 0.2161

hp

cal/s

3.929x10

-4 -3

kW

W

2.930x10

-4

0.2390

0.3239

1.356x10

-3

1.356

6.998x10

-2

1 libra pie por segundo

4.628

1

1.818x10

1 caballo de fuerza

2545

550

1

178.1

0.7457

745.7

1 caloría por segundo

14.29

3.088

5.615x10-3

1

4.186x10-3

4.186

1 kilowatt

3413

737.6

1.341

238.9

1

1000

0.2389

0.001

1

3.413

1 watt

0.7376

1.341x10

-3

Energía, trabajo y calor BTU

erg

ft lb

hp h

joule

cal

kWh

1 unidad térmica británica

1

1.055x1010

777.9

3.929x10-4

1055

252.0

2.93x10-4

1 erg

9.481x10-11

1

7.376x10-8

3.725x10-14

10-7

2.389x10-8

1 libra pie

1.285x10-3

1.356x107

1

kg

u

6.585x1021 6.585x1015

1.174x10-14

7.070x1012

2.778x10-14

6.242x1011

6.242x105

1.113x10-24

670.2 9.037x109

1.356

0.3238

3.766x10-7

8.464x1018 8.464x1012

1.509x10-17

1.799x1016

1 caballo de fuerza por hora

2545

2.685x1013

1.980x106

1

2.685x106

6.413x105

0.7457

1.676x1025 1.676x1019

2.988x10-11

6.702x109

1 joule

9.481x10-4

107

0.7376

3.725x10-7

1

0.2389

2.778x10-7

6.242x1018 6.242x1012

1.113x10-17

2.806x1010

1caloría

3.969x10-3

4.186x107

3.088

1.560x10-6

4.186

1

1.163x10-6

2.613x1019 2.613x1013

4.660x10-17

2.413x1016

1 kilowatt hora

3413

3.6x1013

2.655x106

1.341

3.6x106

8.6x105

1

2.247x1025 2.247x1019

4.007x10-11

1.074x10-9

1 electrón volt

1.519x10-22

1.602x10-12

1.182x10-19

5.967x10-26

1.602x10-19

3.827x10-20

4.450x10-26

1

10-6

1.783x10-36

1.074x10-3

1 millón de electrón volts

1.519x10-16

1.602x106

1.182x10-13

5.967x10-20

1.602x10-13

3.827x1014

4.450x10-20

106

1

1.783x10-30

6.022x1026

1 kilogramo

8.521x1013

8.987x1023

6.629x1016

3.348x1010

8.987x1016

2.146x1016

2.497x1010

1

1

1 unidad unificada de masa atómica

1.415x10-13

1.492x10-3

1.101x10-10

5.559x10-17

1.492x10-10

3.564x10-11

4.146x10-17

5.051x10-7

eV

MeV

5.610x1035 5.610x1029 9.32x108

932.0

1.661x10-27

I. Introducción y Conceptos Generales.

30

Las cantidades sombreadas no son unidades de denergía propiamente pero se incluyen por conveniencia. Provienen de la fórmula de equivalencia masa energía relativista y representan la energía equivalente de una masa de un kilogramo o unidad unificada de masa.

Flujo magnético maxwell

weber

1 maxwell

1

10-3

1 weber

108

1

Campo magnético 1 gauss

gauss 1

tesla 10-4

milligauss 1000

1 tesla

104

1

107

1 milligauss

0.001

10-7

1

III.-PRESICIÓN, EXACTITUD Y SENSIBILIDAD Factores que Determinan la Pérdida de Exactitud de un Sistema: Precisión y Exactitud Es una característica del proceso, es que cuando se mida, mi medida esté lo más cercana de la magnitud, es decir se estará hablando del resultado final, depende del operario.

PRECISIÓN: El concepto de precisión fue sustituido en el V.I.M. (VOCABULARIO INTERNACIONAL DE METROLOGÍA) por los conceptos de repetibilidad y reproducibilidad. Debido su concordancia con ellos, algunos autores usan las expresiones: precisión bajo condiciones de repetibilidad o precisión bajo condiciones de reproducibilidad según el caso. La Precisión es el atributo de un conjunto de medidas que expresa el acuerdo entre ellas. Aun cundo no se define de manera cuantitativa, es común cuantificarlas en términos de algún parámetro estadístico de dispersión, tal como la desviación estándar. No debe confundirse precisión con exactitud; se debe saber que es una característica del instrumento, siendo así el grado de repetibilidad del mismo, en la medida que se tenga un instrumento más preciso las medidas se repiten; el hecho de que se posea un instrumento muy preciso, no implica que las medidas estarán tomadas correctamente, es decir no implica exactitud.

I. Introducción y Conceptos Generales.

31

Repetibilidad de los resultados de medición: Es la concordancia entre los resultados de las mediciones sucesivas de alguna magnitud física llevada a cabo con el mismo método de medición, observador, medios de medición y condiciones ambientales en intervalos de tiempo cortos. Cercanía o acuerdo entre los resultados de mediciones sucesivas de la misma magnitud por medir, efectuadas en las mismas condiciones de medición. 1. Estas condiciones se llaman condiciones de repetibilidad. 2. Las condiciones de repetibilidad incluyen: 

El mismo procedimiento de medición.



El mismo observador.



El mismo instrumento de medición utilizado en las mismas condiciones.



El mismo lugar.



Repetición dentro de un periodo de tiempo corto.

La repetibilidad se puede expresar en forma cuantitativa, en términos de las características de dispersión de los resultados.

Reproducibilidad de los resultados de mediciones: Es la concordancia entre los resultados de mediciones de una misma magnitud física siendo ejecutada mediciones individuales con el mismo método de medición, observador y condiciones ambientales en intervalos de tiempo diferentes. Cercanía o acuerdo entre los resultados de mediciones sucesivas de la misma magnitud por medir, efectuadas bajo diferentes condiciones de medición combinadas. 1) Para que una expresión de la repetibilidad sea valida, es necesario especificar las condiciones necesarias. 2) Las condiciones cambiantes pueden ser entre otras: - El principio de medición - El método de medición. - El observador. - El instrumento de medición. - El patrón de referencia. - El lugar. - Las condiciones de uso. - El tiempo. 3) La Reproducibilidad se puede expresar en forma cuantitativa en función de las características de dispersión de los resultados. 4) Los resultados considerados aquí generalmente son los corregidos.

I. Introducción y Conceptos Generales.

32

EXACTITUD: Cercanía o acuerdo entre el resultado de medición y el valor verdadero de la magnitud por medir. 1) El concepto de exactitud es un concepto cualitativo. 2) No se debe usar el término precisión en vez de exactitud. De acuerdo con esta definición la exactitud es un atributo de cada resultado de medición. Su carácter cualitativo indica que no se ha definido una expresión matemática para evaluarla cuantitativamente. Sin embargo es frecuente hallar en la literatura reportes cuantitativos de la exactitud de una medición. Es preferible usar la incertidumbre como parámetro cuantitativo de la evaluación de la calidad de un resultado de medición, en lugar de la exactitud.

Exactitud de un instrumento de medición: Aptitud de un instrumento de medición para dar respuestas próximas a un valor verdadero. Precisamente es la exactitud de un instrumento de medición, el atributo que se evalúa durante la calibración. Las calibraciones permiten clasificar los instrumentos en diferentes clases de exactitud. A los instrumentos de mayor clase de exactitud se les exige resultados con mayor cercanía al valor convencionalmente verdadero mientras que a los de menor clase se les permite indicaciones mas alejadas de las del patrón.

SENSIBILIDAD Es una característica que es propia de los instrumentos de medición y se representa por el cociente del incremento de la respuesta de un instrumento de medida por el incremento correspondiente de la señal de entrada. Como es de suponer, la sensibilidad puede suponer del valor de la señal de entrada. Es importante identificar los parámetros sensibles, porque estos determinan aquellos valores que deben asignarse con más cuidado para evitar distorsiones en los resultados del modelo, el análisis de sensibilidad en un instrumento, juega un papel de gran importancia, en la investigación de que si las estimaciones están equivocadas o no. Mide la capacidad de discriminar pequeñas diferencias de concentración en un analito. Va a depender de dos factores: la pendiente de la curva de calibrado y de la precisión o desviación estándar. La IUPAC define la sensibilidad de calibración, la cual solo tiene en cuenta la pendiente de la curva de calibrado: Donde m es la pendiente de la curva de calibrado, S la señal y la señal de interferencia. Se preparan disoluciones patrón y se le aplica la ecuación anterior. m   s También se define la sensibilidad analítica:

I. Introducción y Conceptos Generales.

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Donde m es la pendiente y s la desviación estándar. Es más común encontrarla como la medida mas pequeña que se puede realizar con el instrumento con exactitud y precisión, la posibilidad de poder discriminar entre 2 valores sumamente cercanos entre si.

IV MEDIR, VERIFICAR Y CALIBRAR MEDICIÓN: Consiste en comparar una magnitud con otra conocida llamada unidad. Conjunto de operaciones cuyo objetivo es determinar el valor de una magnitud o cantidad. De acuerdo con la definición anterior, la medición es una magnitud física. Consiste en asignar un número a dicha cantidad. En otras palabras, es una evaluación cuantitativa de la misma. La medición se puede pensar como un proceso. La entrada del proceso es la definición de la magnitud por medir. A partir de la entrada una persona opera un instrumento siguiendo un método de medición, todo esto enmarcado dentro del medio ambiente. El producto del proceso es un valor numérico llamado resultado de medición. La metrología se encuentra muy íntimamente relacionada con otras ciencias que requieren de alguna u otra forma de datos que son medidos o verificados a través de instrumentos apropiados. Estos favores realizados por la metrología se han visto recompensados, puesto que en los últimos días esta ciencia ha sido muy impulsada y en la actualidad está en constante evolución, sobre todo en los países industrializados europeos, asiáticos y norteamericanos.

I. Introducción y Conceptos Generales.

34

Clasificación de los instrumentos de Medición Los instrumentos de medición los podemos ubicar en tres grupos: 

Dispositivos.



Aparatos.



Máquinas.

Dispositivos de Medición: Son una serie de instrumentos que utilizados aisladamente no son apropiados para medir o verificar una magnitud, pero si los combinamos apropiadamente se obtienen aparatos y máquinas. 1. Patrón: Es un objeto que materializa una magnitud y la mantiene invariable con el tiempo. Podemos Conseguir patrones de longitud y de ángulos. 2. Medición: Son aquellos dispositivos que tienen materializada alguna escala en su superficie (reglas, vernier, micrómetros, transportadores, entre otros). 3. Auxiliares: Son todos los ornamentos que se requieren para medir pero que no son patrones o medidores.

Aparatos: Se obtienen un aparato de medición cuando se combinan dos dispositivos, incluyendo uno de patrón y esta combinación se utiliza para medir una sola magnitud.

Máquinas: Se obtienen cuando se combinan dispositivos y se alcanza un nivel de sofisticación más grande, siendo capaces de medir dos o más dimensiones y de trabajar con diferentes métodos.

VERIFICACIÓN: Constituye un medio para comprobar que las desviaciones entre los valores indicados por un instrumento de medición y los correspondientes valores conocidos de una magnitud medida son consistentemente menores que el error máximo permisible definido en una norma, regulación o especificación particular al manejo del equipo de medición ( el resultado de la verificación conduce a una decisión ya sea para que continúe en servicio, ajustarlo, repararlo, reclasificarlo o declararlo obsoleto) Después de realizar la calibración, de haber comparado la lectura del instrumento con un patrón, se consigue la curva de calibración; con todos los datos obtenidos, se busca en una

I. Introducción y Conceptos Generales.

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norma que proporciona que para la lectura del instrumento, los errores son permisibles hasta un cierto valor, si se observa que los valores dados en la lectura se pasan, se debe concluir que el instrumento no sirve o debe ser calibrado, de lo contrario, está dentro de las especificaciones. Con esto se verifica que el instrumento es apto para medir. Si se poseen instrumentos que tengan mucho tiempo de fabricados, por ejemplo 25 años, lo más seguro es que el mismo ya no esté dentro de las especificaciones; en este caso, se puede recurrir a la norma de calibración, que perfectamente es aplicable al instrumento y posteriormente a la verificación, si la persona o empresa, etc., no puede realizarlos, por un u otra razón, se puede llevar a un organismo competente que se encargue de eso, y posteriormente podrá ser utilizado.

CALIBRACIÓN: Se refiere a tomar un instrumento, comparar lo lectura del instrumento con un patrón. Son un conjunto de operaciones que establecen en condiciones especificadas la relación entre los valores de magnitudes indicados por un instrumento de medición o los valores representados por una medida materializada por un material de referencia y los valores correspondientes determinados por medio de patrones. 1. El resultado de una calibración permite bien sea asignar a las indicaciones de las magnitudes por medir, o determinar las correcciones con respecto a las indicaciones. 2. Una calibración también puede determinar otras propiedades metrologicas tales como el efecto de las magnitudes de influencia. 3. El resultado de una calibración se puede registrar en un documento que aveces se llama certificados de calibración o informe de calibración. En general la calibración es una evaluación de la exactitud de un instrumento de medición mediante la comparación de las medidas de este contra las del otro instrumento mejor llamado patrón. La calibración suele ser una operación dispendiosa, pues en ella se evalúan diferentes aspectos del instrumento a lo largo de su rango de uso. Puede requerir condiciones ambientales controladas y debe ser ejecutada por personal especializado. No se debe confundir con el mantenimiento correctivo o ajuste del instrumento, como frecuentemente ocurre. Tampoco con el ajuste por el .

Importancia de la calibración de los equipos de medición y ensayos El comportamiento de los equipos de medición y ensayos pueden cambiar con pasar del tiempo gracias a la influencia ambiental, es decir, el desgaste natural, la sobrecarga o por un uso inapropiado. La exactitud de la medida dada por un equipo necesita ser comprobado de vez en cuando. Para poder realizar esto, el valor de una cantidad medida por el equipo se comparará con el valor de la misma cantidad proporcionada por un patrón de medida. Este procedimiento se reconoce como calibración. Por ejemplo un tornillo micrométrico puede calibrarse por

I. Introducción y Conceptos Generales.

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un conjunto de bloques calibradores estándar, y para calibrar un instrumento de peso se utiliza un conjunto de pesos estándar. La comparación con patrones revela si la exactitud del equipo de medida está dentro de las tolerancias especificadas por el fabricante o dentro de los márgenes de error prescrito. Se pueden utilizar los resultados de la calibración, que demuestra la desviación respecto al patrón que representa el valor correcto, para corregir sus lecturas de medida o para diseñar una curva de corrección. Por las razones anteriormente mencionadas, deberá repetir la calibración de su equipo de vez en cuando. El espacio existente entre dos calibraciones se denomina intervalo de calibración; cada una de las calibraciones que se realizan después de la primera se denomina recalibración. Especialistas en el área recomienda realizar una recalibración a los equipos después de una sobre carga, bien sea mecánica o eléctrica, o después de que el equipo haya sufrido un golpe, vibración o alguna manipulación incorrecta, el cliente es quien puede solicitar la recalibración en estos casos. Algunos instrumentos, como los matraces de cristal graduados, no necesitan la recalibración porque mantiene sus propiedades metrológicas a no ser que se rompa el cristal Realmente la confirmación Metrológica comprende un conjunto de pasos y operaciones necesarias para asegurar de que el equipo cumpla con los requisitos exigidos para su uso. La calibración es parte esencial del proceso de la confirmación Metrológica. Cuando elija patrones de medida para el ejercicio de calibraciones es esencial que utilice patrones que sean trazables a patrones nacionales o internacionales

V.-PATRONES PATRÓN: Hay que diferenciar una unidad, que es una idealización abstracta, y un patrón o modelo, que es la materialización de la unidad. Desde el origen del sistema métrico, los patrones han tenido varias revisiones para reflejar precisión creciente a medida que avanzaba la ciencia de la metrología. Se debe saber que a falta de patrón, se puede poseer un material de referencia que cumple la función de un patrón. 1. Se denomina patrón colectivo a un conjunto de medidas materializadas o de instrumentos de medición semejante que convenientemente combinados, desempeñan a en común el papel de patrón. Este está habitualmente destinado a suministrar un valor único de una magnitud y este valor es una media apropiada de los valores suministrados por los diversos instrumentos. Ejemplos: 

Patrón colectivo de tensión eléctrica compuesto de un grupo de pilas Weston.

I. Introducción y Conceptos Generales.



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Patrón colectivo de intensidad luminosa compuesto de un grupo de lámparas incandescentes similares

2. Se denomina serie de patrones a un conjunto de patrones de valores seleccionados especialmente para reproducir individualmente o por combinación conveniente una serie de valores de una magnitud sobre un rango, es decir un aserie de valores de la misma clase. Ejemplos: 

Juego de pesas.



Juego de hidrómetros que cubren rangos contiguos de densidad.

VI.-PATRONES DE LONGITUD Y DE ÁNGULO a. Patrones de Longitud: Estos patrones materializan el metro, o en los del taller, un número determinado de milímetros o fracciones de milímetros. Se pueden clasificar los patrones de longitud en orden jerárquico de la siguiente manera: i. Patrón Prototipo Internacional. Es el patrón reconocido en todo el mundo de longitud nominal de un metro a 0ºC. Tiene una sección transversal en forma de X asimétrica con la cara grabada situada en la línea neutra para evitar variación de longitud debido a una flexión eventual. Está construido de platino iridiado, con un contenido de 10% de iridio. ii. Patrones primarios. Están construidos de la misma manera que el patrón prototipo internacional. No difieren del prototipo internacional en más de 3 milésimas de milímetro y se encuentran repartidos entre los países adheridos a la convención del Metro. iii. Patrones Secundarios. Se construyen a partir del patrón primario nacional para las necesidades de las oficinas oficiales de metrología y para las fábricas de aparatos de precisión, utilizándose entonces como patrón para operaciones de contraste. iv. Patrones de Taller. Son los empleados para el contraste o comprobación de los instrumentos de medición empleados para las fabricaciones mecánicas. Se construyen de aceros especiales de temple, en general aceros al cromo. Los tipos de acero empleados varían algo según el fabricante, pero en cualquier caso el patrón debe tener una gran dureza, para que presente una buena resistencia al desgaste, así como una buena estabilidad estructural. Los Patrones de taller se clasifican en: cilíndricos, de extremos esféricos y de caras paralelas.

I. Introducción y Conceptos Generales.

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1. Patrones Cilíndricos: En los calibres cilíndricos la medida de referencia está materializada por el diámetro de la superficie cilíndrica, existen diversas clases de estos patrones. Los calibres normales simples, formados or un cilindro cuyo diámetro tiene la medida de referencia y un mango para facilitar su manejo. Son denominados también calibres de tampón. Los calibres de anillo normales, son piezas en forma de anillo cuyo diámetro del agujero materializa la cota de referencia grabada en ellos. Se construyen con precisión de una micra y se emplean para el control de los instrumentos de medición y verificación de interiores. Calibres de anillos similares a éstos, pero construidos dentro de unos límites de tolerancia determinados, se utilizan para el reglaje de los escariadores. Los discos patrón son discos perforados en su centro y de un cierto espesor, cuya cota de referencia está materializada por un diámetro exterior. Se utilizan montados en un mango o en juegos montados sobre un soporte cilíndrico. 2. Patrón de Extremos Esféricos: Este tipo de patrones tiene la forma de varillas cilíndricas de 12 mm de diámetro terminadas por los dos extremos en dos casquetes esféricos que forman parte de una misma superficie esférica cuyo centro se encuentra en el eje de la varilla. La cota nominal está materializada por el diámetro de la esfera de la que forman parte los casquetes de los extremos; esto permite una cierta inclinación de la posición de la varilla cuando se emplea para la comprobación de la distancia entre dos superficies planas sin que la medición sea falseada. Igualmente permite formar combinaciones a tope de dos varillas sin que un ligero defecto de alineación falsee la medida. Las varillas de extremos esféricos se emplean como patrón para la verificación de instrumentos de medida con palpadores planos, tales como micrómetros, máquinas de medir y calibres de tolerancia para exteriores. Su uso es aconsejable para longitudes superiores a 150 milímetros, para las cuales son preferibles a las galgas patrón de caras paralelas. 3. Patrones de Caras Paralelas o Galgas Patrón: Los patrones de caras paralelas más corrientemente conocidos con los nombres de galgas patrón o galgas Johansson, fueron inventadas, perfeccionadas e introducidas en al industria por el ingeniero sueco de este nombre. Estos patrones están constituidos por pequeños bloques paralepipédicos de acero

I. Introducción y Conceptos Generales.

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templado y estabilizado de gran dureza. Todas las caras de estos bloques están finamente rectificadas y dos de ellas están lapidadas, siendo perfectamente planas y paralelas, distando entre sí la longitud nominal grabada sobre el patrón a la temperatura de referencia de 20º C. La particularidad más importante de estos patrones es la de que se pueden agrupar por superposición de modo que la longitud del grupo formado queda dentro de los límites de precisión requeridos para su empleo como patrón. Esta cualidad hace que con un número relativamente pequeño de patrones se puedan formar un número de combinaciones tal, que satisfaga todas las necesidades de taller en cuanto a patrones para la comprobación de instrumentos y aparatos de verificación y medida. b. Patrones de Angulo: Son de diferentes tipos, según su finalidad, entre los que se pueden menciona: i. Patrones de ángulo recto (90º). Corrientemente conocidos como escuadras. ii. Patrones de ángulo de valor cualquiera. Que pueden ser fijos o variables. iii. Mármoles. Son los elementos de verificación utilizados para materializar un plano. Existen varios tipos de mármoles: 1. Mármoles de Fundición: Son los más utilizados como mármoles de control y, por lo general, las piezas de gran tamaño. Es una gruesa placa rectangular, con una cara perfectamente plana y pulida y la cara opuesta provista de nervios de gran profundidad para dar rigidez a la placa. Se construyen generalmente de fundición perlítica de alta calidad resistente al desgaste y estabilizada para que conserve su precisión de origen. 2. Mármoles de Coordenadas: Se fabrican de acero, de calidades similares a las empleadas en la fabricación de calibres, templado y estabilizado, la superficie plana es rectificada y lapeada. La superficie plana está provista de ranuras que permiten la eliminación del aire al colocar las galgas sobre ellos y la eliminación del polvo o suciedad. 3. Mármoles de Piedra Alegra o Granito: Entre las ventajas más destacadas de estos mármoles se pueden contar las siguientes: están totalmente libres de distorsión, no dañan las superficies de los instrumentos, son resistentes a la humedad, no son afectados prácticamente por el calor del cuerpo de operador. Son de mayor precisión que los mármoles de fundición.

I. Introducción y Conceptos Generales.

40

iv. Reglas. Pueden ser de fundición o de acero. Las reglas de fundición tienen por lo general una sección en forma de I, pueden tener dos caras de verificación planas y paralelas, pero no más corriente es que tengan una sola cara plana y la opuesta de forma elíptica. Por lo general son practicado tales como forma elíptica. Por lo general son practicados taladrados en el alma de la regla con la finalidad de aligerarla. Las reglas de acero empleadas con fines de verificación se construyen de acero tratado y estabilizado, con las caras de comprobación rectificadas según la precisión. Sus formas son variadas: biseladas, triangulares equiláteras o isósceles, rectangulares de sección llena o variada y cuadradas de sección variada. v. Escuadras. Son patrones de ángulo de 90ºC y son empleados para el trazado y comprobación de ángulos de 90º y la comprobación de la perpendicularidad de rectas o superficies. Existen diferentes tipos: planas, de sombrero, de lámina, de lámina biselada. vi. Reglas de Senos. Un dispositivo extensamente utilizado para la formación de patrones de un ángulo de cualquier valor determinado, es el denominado regla de senos. Su amplio empleo se debe a su facilidad de manejo, precisión de las operaciones de comprobación con ella efectuadas y sencillez de realización. El fundamento de la regla de senos consiste en dos discos patrón del mismo diámetro se fijan a una regla de forma que sus centros se encuentren a un distancia fija L y perfectamente determinada por interposición de galgas patrón y que sus distancias al borde de referencia sean iguales. Apoyando los discos en dos acoplamientos de galgas patrón cuyas alturas sean H y h, se cumple la relación siguiente: H h . Si se desea formar un patrón para un ángulo sen   L determinado α siendo L una longitud determinada, basta con escoger dos apilamientos de galgas cuyos valores cumplan la condición: H  h  L  sen  . Estas reglas se construyen en acero templado y rectificado y la superficie de comprobación está lapeada con gran precisión.

VII.-CLASIFICACIÓN DE PATRONES SEGÚN LAS NORMAS Definiciones según la norma de patrón: Medida materializada, instrumento de medición, material de referencia o sistema de medición destinado a definir, realizar,

I. Introducción y Conceptos Generales.

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conservar o reproducir una unidad o uno o más valores conocidos de una magnitud para transmitirlos por comparación a otros instrumentos de medida. I. Patrón Internacional: aquel reconocido por un acuerdo internacional como base para asignar valores a otros patrones de la misma magnitud. Es el patrón que rige sobre los demás patrones, es el de mayor importancia. II. Patrón Nacional: patrón reconocido por una decisión oficial como base para la asignación de valores a otros patrones. Cada país puede decidir que patrón regirá a los demás medidos, este estará hecho en base al patrón internacional. En Venezuela el patrón nacional se encuentra en las oficinas de Metrología en SENCAMER. III. Patrón Primario: patrón designado o ampliamente aceptado como el de las más altas cualidades metrológicas y cuyo valor es aceptado sin referencia a otros patrones de la misma magnitud. Hay una similitud entre patrón primario y patrón internacional, simplemente un patrón puede ser los dos tipos, la diferencia entre un y otro es que según el patrón primario, los demás patrones serán fabricados y el patrón internacional es el reconocido a nivel mundial como el patrón que está por encima de todos los demás. Por ejemplo: en la convención de París, cuando se decidió elegir un patrón por el cuál los demás que se fabricaran debían regirse, el que fue escogido, es un patrón Primario e Internacional, en cambio la medida de Pie y Yarda son patrones Nacionales Primarios debido a que Inglaterra es el país que se rige por esas medidas, mas no es Internacional. IV. Patrón Secundario: patrón cuyo valor es asignado por comparación a un patrón primario. i. Patrón de Referencia: patrón que generalmente posee la más alta calidad metrológica disponible en una localidad dada o en una organización, de la cual se derivan las mediciones realizadas. Son aquellos patrones que son utilizados para medir pero son primarios. ii. Patrón de Trabajo: estos patrones son utilizados frecuentemente para calibrar, verificar y tomar medidas materializadas, instrumentos de medida o materiales de referencia; por lo tanto son los que tienden a desgastarse más y pueden con el tiempo perder la seguridad de estar en buenas condiciones. V. Patrón de Transferencia: patrón utilizado como intermediario para comparar patrones. i. Patrón Viajero: patrón destinado para ser transportado entre diferentes localidades VI. Cadena de Patrones: es el conjunto de patrones escojidos para reproducir individualmente o por una combinación conveniente una serie de valores de una magnitud. Está conformada por todo el conjunto de patrones nombrado anteriormente y es la base de la TRAZABILIDAD.

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VIII.-TRAZABILIDAD La trazabilidad es la propiedad de un resultado de medición que nos permite relacionar ese resultado con el respectivo patrón internacional o nacional de la magnitud que se esta midiendo, es decir con referencias estipuladas; a través de una cadena interrumpida de comparaciones que tengan todas incertidumbres determinadas. La trazabilidad únicamente existe cuando se presentan evidencias rigurosamente científicas, continuas y apropiadas a cada aplicación, que muestran que la medición está produciendo resultados documentados con valores de incertidumbre estimados y declarados. La única forma en que pueden compararse los resultados obtenidos por diferentes sistemas de medición en diferentes lugares del mundo es asegurando su trazabilidad, es decir , que ambos estén referidos al patrón internacional. Como se ve, este es el uno de los atributos indispensables para la confiabilidad de cualquier resultado de medición. La trazabilidad de un resultado se asegura utilizando instrumentos que hayan sido calibrados contra patrones que a su vez sean trazables. En nuestro medio (industrias, comercios, universidades, hospitales, etc.), no es muy común que las medidas sean trazables a patrones internacional. El concepto de trazabilidad puede ilustrarse mediante la siguiente pirámide. Para asegurar la trazabilidad de una medida no puede haber eslabones rotos en la cadena (a veces pueden que existan menos eslabones).

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Esquema de trazabilidad: es el documento que establece los medios, métodos e incertidumbre en la transmisión de una magnitud medida, desde el instrumento o equipo de medición hasta el patrón de mayor calidad metrológica en dicha magnitud. Transmisión de una magnitud medida: consiste en determinar el valor correspondiente a la magnitud en cada nivel de referencia en la cadena de patrones, las desviaciones (errores) de los patrones y los errores máximos permitidos o tolerancias de los instrumentos o equipos de medición. Las Mediciones trazables: aseguran uniformidad de los productos manufacturados y de los procesos industriales, así como también el cumplimiento de las regulaciones y la equidad en el comercio tanto nacional como internacional. Trazabilidad de las Mediciones: da lugar a la necesidad de la calibración de los instrumentos, equipos y patrones de medición. La NORMA ISO 9000, ha propiciado un incremento general en los requerimientos comerciales por calibraciones trazables, con el propósito por una parte de cumplir con las especificaciones del producto por otra la conveniencia o aptitud para su uso. Además facilitan la aceptación de los productos manufacturados de un país en el mercado internacional y garantizando el éxito en la satisfacción de las expectativas de los consumidores. Todo el equipo de medición se debe calibrar utilizando patrones de medición cuya trazabilidad se pueda hacer hacia patrones de medición internacionales o hacia patrones de medición nacionales que sean consistentes con las recomendaciones de la conferencia general sobre pesas y medidas (C.G.P.M.). En los casos en que no existan esos patrones de mediciones nacionales e internacionales se debe establecer la trazabilidad hacia otros patrones de medición que sean aceptados internacionalmente en el campo que interesa.

IX.-CONTROLES METROLÓGICOS SEGÚN LA LEY VENEZOLANA Aprobación de Modelos: Decisión tomada por las máximas autoridades competentes, reconociendo que el modelo de un instrumento de medición responde a las exigencias reglamentarias. Ejemplo. Una empresa o persona decide importar micrómetros para venderlos posteriormente en Venezuela (esto se hace debido a que no se fabrican instrumentos de medición en el país), esa persona debe dirigirse a las oficinas SENCAMER de metrología para solicitar la aprobación de modelos; debe llevar como mínimo cuatro micrómetros, que serán sometidos a las revisiones correspondientes de metrología y allí es cuando se aprueban o no que sean introducidos al país los instrumentos; de esos, uno debe quedarse en la organización, como testigo. Es una garantía para poder introducirlos. Aferición: Conjunto de operaciones realizadas por las autoridades, que tienen como objetivo comprobar y afirmar que el instrumento de medida satisface por completo las exigencias de los reglamentos sobre la aferición. Es la garantía del estado para el . Debe establecerse las diferencias entre la norma anterior y esta; aprobación de modelos

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sólo se encarga de afirmar como su nombre lo indica, los modelos de los instrumentos, sin ser muy específicos ni detallistas, sólo se encargan de verificar que los modelos estén de acuerdo con las normas que los rigen. Mientras que esta norma, se encarga de someter a un análisis completo el instrumento para ver si está en las condiciones, si posee sus características propias, es de buena calidad y si sirve para medir apropiadamente; teniendo así ya los instrumentos, pues ya estarán calificados para poder utilizarlos debido a que cumplen con las especificaciones requeridas. Al estar en una empresa, en sus laboratorios de calidad o en algún lugar que posea instrumentos de medición, lo primero que debe hacerse es pedir el certificado de aferición, porque si no se posee, pues no se tendrá la certeza de que los instrumentos sean de buena calidad y estén dentro de las normas requeridas. Con esto, las normas y la ley dice que si no se posee el certificado de aprobación de modelos y el certificado de aferición el organismo de METROLOGÍA se reserva el derecho de encartar los instrumentos debido a que no se tienen las aprobaciones necesarias. Si se posee algún certificado que haya sido expedido por otro organismo internacional que también esté encargado de la aprobación de certificados, este es totalmente válido en Venezuela y viceversa. Calibración: El conjunto de actividades u operaciones que establecen, bajo condiciones específicas, la relación de los valores indicados por un medio de medición, (instrumento o equipo de medición o un sistema de medición o valores representados por una medida materializada o un material de referencia) y los correspondientes valores de una magnitud, establecidos por un patrón de referencia. Se refiere a tomar un instrumento, comparar lo lectura del instrumento con un patrón. Verificación: Es un control metrológico que tiene como objetivo confirmar si un instrumento de medición cumple los requisitos de regulaciones de verificación. Este control constituye un modelo para comprobar que las desviaciones entre los valores indicados por un instrumento de medición y los correspondientes valores conocidos de la magnitud medida son menores o iguales al error máximo permitido, definido en una norma, regulación o especificaciones particulares del instrumento.

X.-ASEGURAMEINTO METROLÓGICO El conjunto de actividades organizativas y técnicas desarrolladas por instituciones oficiales y privadas con la finalidad de garantizar la uniformidad de las mediciones. Antes de desarrollar cualquier sistema de control metrológico se debe considerar el proceso de medición de una forma global. El análisis total permite concentrar la atención y recursos en los equipos de medición que mayor control requieren, así como la selección de métodos y frecuencias o intérvalos de recalibración y verificación. Es decir, debe ser especificado cuándo se va a hacer el control Metrológico; cada vez que se deba realizar se debe estar seguro de cómo y qué es lo que se va a aplicar.

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No es lo mismo el rigor que se le puede dar a un vernier o un micrómetro que está en la intemperie a un vernier o micrómetro que se encuentra en un laboratorio, debido a que los mismos presentan un rango de tolerancia que va a variar según sea su manejabilidad siendo el de el laboratorio muchísimo menor debido al tipo de medidas y elementos sobre el cual es utilizado y por las condiciones ambientales. Controlando así, que para cierta medida, según sea la misma, se analiza cuál instrumento debe ser utilizado y aquel cereal que recoja con mayor exactitud la medición.

Factores que Determinan la Perdida de Exactitud de un Sistema 1) En el diseño y manufactura: diseño que no anticipen las condiciones ambientales, etc. 2) Durante la instalación: modelos instalados en forma inadecuada para las condiciones de aplicación, falta de protección de ruido, vibraciones, etc. 3) Durante el uso: operadores no entrenados apropiadamente par el uso y manipulación del equipo, la lectura incorrecta del instrumento, intérvalos de confirmación inadecuados, instrumentos utilizados en los límites permisibles o más allá de sus especificaciones de operación, etc. 4) Durante su reparación o modificación: reparaciones que alteren el funcionamiento del equipo.

Elementos de un Proceso Eficiente de Medición El proceso global de la medición incluye los siguientes elementos: instrumento o equipo de medición, el operador, las condiciones ambientales de la medición, procedimientos de la medición, la propiedad que está siendo medida y la ejecución adecuada.

XI.-CONFIRMACIÓN METROLÓGICA Procedimiento desarrollado para garantizar que una o varias características de un instrumento de medición se encuentra en condiciones de cumplimiento de sus requisitos técnicos o de cualquier propiedad metrológica. Es un conjunto de preparativos que se requieren para garantizar que una característica de un equipo de medición se encuentre en condiciones de cumplir los requisitos (técnicos y metrológicos) de uso al cual está determinado. La confirmación metrológica garantiza que las mediciones realizadas tengan exactitud y precisión.

Empresas que necesitan aplicar Confirmación Metrológica: Empresas tales como laboratorios de ensayos, los laboratorios de calibración y los proveedores de productos y servicios que han implantado un sistema de calidad ISO 9000 en el cual los resultados de las mediciones efectuadas se utilizan para demostrar

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cumplimiento de requerimientos específicos. Toda empresa que tenga como objetivo lograr la certificación ISO 9000 tiene que establecer la confirmación Metrológica.

Aspectos de la Confirmación Metrológica: Abarca aspectos tales como: calibración o verificación de los equipos de medición, el ajuste o las reparaciones requeridas, la recalibración periódica y el marcaje ( sellado y rotulación) que se establezca.

Documentación de la Confirmación Metrológica: Como parte integral del Sistema de Aseguramiento de la calidad debe existir documentación de los métodos utilizados. La documentación debe ser específica en relación con: 

Qué equipos de medición son objeto de las disposiciones de la normativa.



Asignaciones de las responsabilidades.



Acciones correctivas y preventivas.



Disponibilidad de evidencias objetivas (registros) de que la exactitud de las mediciones es alcanzada. Debe existir un formato con explicaciones claras y específicas.

Cuando un equipo es enviado a calibrar y a verificar es necesario que den el certificado de los procesos que se realizaron, cuál es el equipo que se sometió a dichos procesos, qué condiciones y qué resultados dieron, quienes hicieron la experiencia, quienes son los responsables de que el instrumento ha sido sometido a calibración y verificación.

Características de un Sistema de Confirmación Metrológica 

  

Debe establecer y mantener un sistema de documentado eficaz para la istración, confirmación y uso de los equipos de medición (incluyendo los patrones de calibración) para demostrar de esta manera el cumplimiento de los requerimiento establecidos. Ser diseñado de tal modo que garantice que todo el equipo de medición funcione según lo planificado, es decir para aquellas mediciones para los cuales son aptos según sus características. Debe proveer que se eviten errores superiores a los límites máximos permisibles, mediante la detección de deficiencias (técnicas metrológicas) y la acción oportuna de correcciones. Para cada tipo de equipo de medición debe autorizar un personal calificado como designado para efectuar las confirmaciones de acuerdo con el sistema y que los equipos estén en condiciones satisfactorias.

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

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Debe verificar que los servicios externos contratados también cumplan con los requisitos hasta el grado necesarios.

La intención de un sistema de confirmación es asegurarse de mantener dentro de límites aceptables el riesgo de que el equipo de medición produzca resultados que contengan errores inaceptables. Se recomienda utilizar métodos estadísticos adecuados para analizar los resultados de las calibraciones hechas anteriormente a manera de evaluar los resultados de las calibraciones de muchos equipos de medición similares y también para predecir la incertidumbre acumulativa. El error atribuible a la calibración debe ser tan pequeño como sea posible. En la mayoría de las áreas posibles de medición, no debe ser mayor de un tercio y, preferiblemente, de un décimo del error permisible en el equipo confirmado cuando este se esté utilizando.

Intervalos de Confirmación Metrológica Los instrumentos, equipos y patrones de medición deben ser confirmados a intervalos periódicos adecuados sobre la base de las características petrológicas, la aplicación y su propósito. El objetivo de contar con un sistema de confirmación es para garantizar que los equipos no hayan sufrido deterioro en la exactitud y evitar que se utilicen cuando haya una posibilidad significante de que se produzcan resultados erróneos. Los intervalos deben ser tales que la confirmación se efectúe de nuevo antes de cualquier cambio probable de exactitud, que sea relevante en la utilización del equipo dependiendo de los resultados de las calibraciones en las confirmaciones anteriores, los intervalos de la confirmación se deben acortar, si es necesario para garantizar la exactitud en forma permanente. Los intervalos de confirmación no se deben alargar a menos que los resultados de las calificaciones en las confirmaciones anteriores suministren indicaciones definitivas de que esa acción no afectará adversamente a la confianza en la exactitud del equipo de medición. La confirmación frecuente es costosa, ya que saca de servicio al equipo, lo que origina que este sea reemplazado o de lugar a una interrupción del trabajo en el cual se estaba utilizando.

Objetivos de la Calibración Metrológica  

Conocer las características petrológicas exactas del instrumento o equipo. Suministrar los elementos objetivos que permitan asegurar que dichos instrumentos y equipos de medición responden a las especificaciones técnicas del fabricante.

Factores que Influyen en la Frecuencia de la Calibración  

Recomendación del fabricante. Grado de severidad de la utilización.

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   

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Condiciones ambientales. Tendencia a la desviación y desgaste. Registro de los datos de mantenimiento y su preservación. Exactitud de la medición buscada.

Mientras más se utilice el instrumento debe haber períodos más cortos de calibración.

Métodos De Calibración Metrológica     

Ajuste automático o en escalera. Gráfico de control. Tiempo calendario. Tiempo de uso Servicio o ensayo de caja negra.

XII. APROBACIÓN PARA LOS LABORATORIOS Objetivos: 

Realizar o ensayos e investigaciones necesarias, para fijar las características de los productos para los cuales se elaboran las normas COVENIN.



Llevar acabo pruebas en los productos objetos de la marca NORVEN.



Cooperar con asistencia técnica en problemas sobre calidad, así como emitir las certificaciones de inspecciones y ensayos de lotes – CERTIVEN-

Prioridades de Aprobación: 

Laboratorios de universidades, institutos oficiales e institutos de investigación.



Laboratorios privados, sin fines de lucro.



Laboratorios de empresas y privados provistos de equipos e instalaciones que no posean los laboratorios referidos en los dos puntos anteriores.



Es independiente de los sistemas de control de calidad y no juzga sobre la calidad de los productos de la empresa.

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XIII.-GLOBALIZACIÓN ¿Qué es la Globalización? La GLOBALIZACIÓN es hoy uno de los temas más delicados a tratar. Aparece en todos los debates públicos, sean breves comentarios en la televisión y consignas en carteles, sitios en la red y periódicos versados, debates parlamentarios, directorios de empresas o asambleas de trabajadores. Curiosamente, tratándose de un término de uso tan extendido, no existe, al parecer, una definición precisa y ampliamente aceptada. De hecho, la variedad de significados que se le atribuye pareciera ir en aumento en lugar de reducirse con el paso del tiempo, y adquiere connotaciones culturales, políticas y de otra índole, además de la económica. Sin embargo, el concepto más común o básico es globalización económica, seguramente por el hecho de que en los últimos años ha aumentado vertiginosamente la parte de las relaciones económicas entre personas de distintos países. Llamamos globalización al proceso político, económico, social y ecológico que está teniendo lugar actualmente a nivel planetario, por el cual cada vez existe una mayor interrelación económica entre unos lugares y otros, por alejados que estén, bajo el control de las grandes empresas capitalistas, las multinacionales. Aún siendo un término difícil de definir está determinado por dos variables: 

Una se refiere a la globalización de carácter financiero que ha tenido lugar en el mundo al calor de dos fenómenos: los avances tecnológicos y la apertura de los mercados de capitales.

¿Qué crea esto? El capitalismo salvaje. Se trata de un paso más del capitalismo, un sistema que, por otra parte, estaba ya causando crecientes problemas. Se incrementa la desigualdad a todos los niveles y el medio ambiente se deteriora con rapidez, a medida que las multinacionales van teniendo más y más poder. Esto se presenta como un proceso económico inevitable pero no es así. La globalización no es un fenómeno natural. Es importante darse cuenta de que se trata de un proceso político dirigido por una minoría a través de determinadas instituciones internacionales, como el Banco Mundial, el Fondo Monetario Internacional (FMI). Y también la que fue definida como "la organización política más importante del mundo": la Organización Mundial de Comercio.

¿Qué ha realizado el FMI? El FMI ha decidido que existe un mejor destino para las tierras cultivables que dar alimento a la población local: los mercados de exportación. Así, África y Latinoamérica se ven obligadas a adaptarse a un mercado mundial para el que deben producir soja, café, plátanos, flores..., en beneficio de unos pocos, olvidándose de la supervivencia de la gente.

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La población de estos países preferiría seguir produciendo alimentos, pero se les obliga a transformar su economía por medio de los Planes de Ajuste Estructural. Y los campesinos expulsados de sus tierras por el neoliberalismo, ¿adonde van? A agrandar los cinturones de pobreza de las grandes ciudades del Sur. Y muchos a ser duramente explotados en "zonas de procesamiento de exportaciones" donde trabajan por salarios de miseria para las multinacionales, las llamadas "maquiladoras". Así, se demuestra que la globalización en la mayoría de los casos, recae en el aspecto económico. 

La otra globalización, se trata de las transacciones de bienes y servicios que se realizan a nivel mundial.

En este caso, son los países pobres y los mayores productores de materias primas (que en muchos casos coinciden) los que reclaman apertura de fronteras, ya que tanto en Estados Unidos como en la UE existe un fuerte proteccionismo. Muchas ONG de las que se manifiestan contra la globalización quieren desarrollar el comercio, pero no los capitales. Se deben tener ciertas observaciones generales acerca de la globalización: *En primer lugar, es crucial que en un análisis de la globalización se distinga entre las distintas formas que ésta asume. El comercio internacional, la inversión extranjera directa y las corrientes del mercado de capitales plantean cuestiones distintas y tienen consecuencias diferentes: posibles beneficios por un lado, y costos y riesgos por otro, que requieren evaluaciones y respuestas normativas diferentes. En general, el Banco Mundial se inclina a favor de una mayor apertura para el comercio porque las evidencias sugieren que los beneficios en materia de desarrollo económico y reducción de la pobreza tienden a ser relativamente mayores que los riesgos o costos posibles (aunque también se preste atención a políticas concretas para atenuar o aliviar esos costos y riesgos). El Banco es más cauteloso respecto de la liberalización de otras corrientes financieras o de los mercados de capital, cuya extrema inestabilidad muchas veces puede fomentar ciclos de auge y quiebra y crisis financieras con enormes costos económicos, como la que sacudió a los mercados emergentes de Asia oriental y de otras partes del mundo entre 1997 y 1998. En este aspecto, debe hacerse hincapié en la configuración de instituciones y políticas internas que reduzcan los riesgos de la crisis financiera antes de emprender una apertura ordenada y cuidadosamente escalonada de la cuenta de capital. *En segundo lugar, la medida de participación de los distintos países en la globalización también dista de ser uniforme. Para muchos de los países menos desarrollados más pobres, el problema no consiste en que la globalización los empobrezca sino que se encuentran en peligro de quedar casi totalmente excluidos de ella. En 1997, la participación de esos países en el comercio mundial era de apenas el 0,4%, proporción minúscula y equivalente a la mitad de lo que había sido en 1980. Su a las inversiones extranjeras privadas sigue siendo insignificante. Lejos de condenar a esos países a que sigan sumidos en el aislamiento y la pobreza, es urgente que la comunidad internacional les ayude a incorporarse en mayor grado a la economía mundial, brindándoles

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asistencia para ayudarlos a formar las instituciones y las políticas de respaldo necesarias y a continuar mejorando su a los mercados mundiales. *En tercer término, es importante que se comprenda que la globalización económica no es una tendencia totalmente nueva. De hecho, y en un plano básico, ha sido un aspecto presente en la historia de la humanidad desde las épocas más remotas, a medida que las comunidades ampliamente esparcidas por el mundo fueron estableciendo relaciones económicas cada vez más amplias y complejas. En la era moderna, la globalización tuvo un florecimiento temprano hacia fines del siglo XIX, que abarcó a los países que hoy día son ricos o desarrollados, para muchos de los cuales las corrientes de comercio y capitales en relación con el PIB llegaron a ser similares o superiores a las que registran en la actualidad. Ese apogeo de la globalización declinó en la primera mitad del siglo XX, época que se caracterizó por el aumento del proteccionismo dentro de un marco de contiendas nacionales y entre las grandes potencias, guerras mundiales, revoluciones, auge de las ideologías autoritarias y vasta inestabilidad económica y política. En los últimos 50 años reapareció la tendencia hacia una mayor globalización. Las relaciones internacionales han sido más tranquilas (por lo menos en comparación con la primera mitad del siglo), respaldadas por la creación y la consolidación del sistema de las Naciones Unidas como medio para la solución pacífica de las diferencias políticas entre los Estados, que ofrece una estructura normativa para que los países istren sus políticas comerciales. El fin del colonialismo incorporó numerosos actores nuevos e independientes a la escena mundial, limpiando al mismo tiempo una mácula vergonzosa asociada al anterior proceso de globalización del siglo XIX. La globalización da miedo también porque es vista como una supresión de la identidad local. La desigualdad es hoy mayor que nunca. El 80 % de la población cuenta con menos del 20% de los ingresos, pero es que además, los pueblos que mantenían cierta calidad de vida sin apenas necesidad de dinero (campesinos autosuficientes, indígenas...) están perdiendo sus modos de vida, expulsados de sus tierras por grandes empresas, terratenientes, o por la "invisible" mano del mercado. 800 millones de personas pasan hambre. El progreso tecnológico, con su consiguiente reducción del costo del transporte y las comunicaciones entre los países, también ha brindado impulso a la globalización. La caída radical del costo de las telecomunicaciones y del procesamiento, acopio y transmisión de la información, facilita enormemente la detección y el aprovechamiento de oportunidades comerciales alrededor del mundo, la coordinación de las operaciones en sitios distantes o las transacciones por línea que comprenden servicios que antes no podían comercializase a escala internacional. Finalmente, y en estas circunstancias, quizá no sea sorprendente que a veces se use el término "globalización" en un sentido económico mucho más amplio, como otro nombre del capitalismo o de la economía de mercado, pero esto no es de mucha ayuda. Globalización junto con algunas de sus características fundamentales, como la producción en manos de empresas privadas con fines de lucro, redistribución frecuente de los recursos de acuerdo con los cambios de la oferta y la demanda y cambios tecnológicos rápidos e imprevisibles. Es importante, por cierto, el análisis de los aspectos positivos y las deficiencias de la economía de mercado como tal, así como una mejor comprensión de las

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instituciones y políticas necesarias para que su funcionamiento sea mejor. Además, las sociedades deben ponderar cuidadosamente la mejor forma de tratar las consecuencias del rápido cambio tecnológico, pero poco se gana confundiendo estos aspectos distintos (aunque relacionados) con la globalización económica en su sentido básico, que es la ampliación de las relaciones económicas a través de las fronteras. La apertura y la sinceridad constituyen la mejor forma de considerar los cambios que determina la integración internacional de los mercados de bienes, servicios y capital. Como se indica en esta reseña informativa, la globalización ofrece oportunidades pero también entraña riesgos. Las autoridades internacionales, nacionales y locales, al mismo tiempo que aprovechan las oportunidades de aumentar el crecimiento económico y mejorar las condiciones de vida que brinda una mayor apertura, también se ven ante la exigencia de reducir los riesgos para los pobres, los vulnerables y los marginados y de incrementar la equidad y la inclusión. Si bien a escala mundial la pobreza disminuye, puede haber aumentos regionales o sectoriales que exigen la atención de la sociedad. Durante el siglo pasado, las fuerzas de la globalización, entre otras, coadyuvaron a un mejoramiento impresionante del bienestar social, que incluyó el rescate de millones de personas de la opresión de la pobreza. Con vistas al futuro, esas fuerzas pueden seguir rindiendo grandes beneficios para los pobres, pero la magnitud de esos beneficios también dependerá decisivamente de factores como la calidad de las políticas macroeconómicas globales, el funcionamiento de las instituciones, tanto formales como informales, la estructura de activos existente y la disponibilidad de recursos, entre muchas otras. Para llegar a la definición de métodos justos y viables de atención a estas necesidades humanas por demás reales, los gobiernos deben escuchar las voces de todos sus ciudadanos.

¿Ha aumentado la desigualdad entre países debido a la globalización? En los decenios recientes la distribución del ingreso per cápita entre los países se ha tornado más desigual. Por ejemplo, en 1960 el promedio de Producto Interno Bruto per cápita de los 20 países más ricos del mundo era 15 veces mayor que el de los 20 países más pobres. Hoy día, la brecha se ha ensanchado hasta llegar a 30 veces, puesto que, en promedio, los países ricos crecen a ritmo más acelerado que los pobres. De hecho, el ingreso per cápita en los 20 países más pobres poco ha variado desde 1960 y ha disminuido en varios. Sin embargo, no es probable que la mayor apertura comercial explique el hecho de que el crecimiento promedio de los países pobres sea más lento que el de los ricos puesto que, como ya se mencionó, la apertura impulsa el aumento de los ingresos, y no su disminución. Al contrario, hay ciertos indicios de que la mayor apertura comercial ha tendido a reducir la desigualdad entre los países. Se ha observado que, si bien el crecimiento promedio de los países ricos es más rápido que el de los pobres, cuando éstos se han abierto al comercio han crecido ligeramente más rápido que los ricos y con mucha mayor celeridad que los países pobres que han permanecido enclaustrados. También puede ajustarse la información acerca de la distribución del ingreso en distintos países, para tomar en cuenta las diferencias en materia de población. Esto es importante

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porque algunos países pobres con población muy numerosa (China, Indonesia) han crecido con suma rapidez. Por consiguiente, el nivel relativo de grandes grupos de personas en los países en desarrollo ha mejorado, aunque haya declinado la situación relativa de muchos países. La distribución del ingreso entre los países, ajustada conforme a la población, muestra pocas variaciones significativas durante los dos decenios anteriores: algunos estudios muestran aumentos modestos de la desigualdad y otros, ligeras disminuciones.

La Globalización como Fenómeno desde el Punto de Vista de la Metrología Desde este punto de vista, se puede decir que la globalización es una controversia entre las barreras aduanales y las barreras tecnológicas que imponen los países a los países exportadores, para toda clase de productos, teniendo en cuenta que todo s los países importan y exportan artículos de todo tipo en diferentes proporciones. Para proteger los mercados internos, a principio de la era industrial los países menos desarrollados imponían grandes aranceles a los exportadores, de ésta forma se obligaba a comprar productos nacionales, los cuales, la mayoría de las veces como estaban destinados al consumo interno, eran de poca calidad. Esto permitió al país importador poder desarrollar su parque industrial pero sin poder competir en calidad con los productos realizados en los países más industrializados. Pero poco a poco esto fue cambiando. El caso más representativo se da con la guerra económica que se dio entre Japón y Estados Unidos. Mientras que los japoneses producían en masa, con calidad y a menores precios para introducirse en el mercado norteamericano, este último aumentaba los aranceles aduanales, para contrarrestarlos los japoneses bajaban aún más los precios sin disminuir la calidad, hasta que las barreras arancelarias se hicieron insostenibles y los japoneses vencieron, entrando y siendo aceptados por el exigente mercado norteamericano. De nada sirvió la propaganda ―compra hecha en América‖ contra el nivel de calidad japonesa. Entonces surge una nueva barrera mucho más difícil de derribar que las del dinero: las barreras tecnológicas. En ese momento, el diseño de normas de calidad, permitió ponerle frenos a los productos que venían de Europa y Japón, pero estos no se quedaron quietos. También ellos diseñaron sus propias normas de calidad internas para proteger sus mercados y optimizar su producción de manera que pudieran competir con Norteamérica. Lo que permite el desarrollo y aplicación de estas normas, es la puesta en marcha de programas para la optimización y modernización de los laboratorios de metrología existentes, y la construcción de nuevos laboratorios. En el mapa de la siguiente página se muestran los principales laboratorios de metrología del mundo, agrupados en asociaciones. Estas asociaciones de laboratorios son las que desarrollan estas normas, e investigan constantemente para aumentar la precisión en sus labores y con esto, aumentar los estándares de calidad. De esta forma, si un país desea exportar algún producto a otro país, debe cumplir con las normas internas de este.

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Ahora bien, es aquí donde se hace importante el desarrollo de la metrología. Cuando un país no desarrolla sus propias normas y estas no tienen la calidad requerida, cualquier producto de pobre calidad puede entrar en el mercado interno y no habrá leyes que lo detengan. Es por es que para proteger los mercados internos y desarrollar la industria y la calidad es necesario modernizar, desarrollar e investigar en metrología ya que esto permitirá establecer las barreras tecnológicas necesarias para proteger los mercados internos y competir con calidad en el ámbito internacional.

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¿Qué ha Sucedido en Venezuela con la Globalización? ¿Qué ha Pasado Antes y Después de la Crisis? Venezuela no escapa al fenómeno de la globalización. Pero se puede decir que la historia reciente de nuestra industria nacional se divide en: antes y después del viernes negro. Antes de esta crisis el sector productivo presentaba las siguientes características. Insumos: Existían altos inventarios en las empresas, existía un tipo de cambio fijo (4.30 Bs. por cada $) una inflación moderada, los precios no subían tanto en el tiempo, lo cual fomentaba indirectamente el ahorro y por último existían muchos proveedores. Empresas: Lo anterior se deriva de la sobreproducción existente en las empresas, lo cual implicaba una baja productividad interna. Existía una resistencia a realizar cambios internos en las industrias, a la modernización y a la diversificación de la producción. Lo anterior se reflejaba en la baja calidad de los productos nacionales. Mercado: El mercado nacional era un mercado domestico, la mayoría de los productos estaban dirigidos al hogar, muy poco era el comercio Inter-industrial ya que estas adquirían sus insumos generalmente en el exterior. Existía una competencia limitada; lo monopolios y digopolios dominaban el mercado. Además estaban presentes las altas barreras aduanales que, aunque a veces lograba proteger el mercado interno, no eran aprovechadas para desarrollar y fortalecer las industrias y el mercado nacional. Este período podríamos denominarlo ―el período de las vacas gordas‖. Mucha abundancia pero poco desarrollo interno. Esto último se pago muy caro con la llegada del viernes negro, cuando se hizo insostenible el subsidio otorgado por el estado a las divisas.

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Las consecuencias que trajo al mercado interno fueron: Insumos: El tipo de cambio variable originó una disminución del poder adquisitivo del venezolano, ya no compra lo mismo ni la misma cantidad que antes. El alza en la inflación hace muy volátiles los precios, lo que provocó una disminución en el ahorro: es preferible comprar las cosas hoy que esperar a que dentro de un mes estén 10, 20 ó 30 % más costosas. La disminución de las compras provoca despidos masivos y grandes presiones laborales, ya el venezolano no trabaja, y sobre todo, no duerme tranquilo. Mercado: Sigue siendo un mercado domestico pero restringido, ya la gente no compra como antes y esta exigiendo calidad para comprar. La reducción de las barreras aduanales permite la entrada de Venezuela a los mercados globales pero no como un país con un equilibrio entre la importación y la exportación sino como un país netamente importador. Empresas: Una gran interrogante. Muchas empresas cierran sus puertas debido a que no pueden sobrevivir en un mercado que exige cambios constantes y la búsqueda de la calidad. Solo las empresas fuertes y de mentes abiertas a los cambios, a la modernización y a la búsqueda de la calidad se mantienen en pie. Es período que aún transitamos, es ―el período de las vacas flacas‖, pero a diferencia del relato bíblico no guardamos el trigo y estamos sufriendo las consecuencias. Solo mejores políticas de inversión nacional y la atracción del capital extranjero nos sacará de este período de depresión.

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II. Instrumentos de Medición.

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UNIDAD II. INSTRUMENTOS DE MEDICION CALIBRE O PIE DE REY El calibre es el instrumento de medida lineal que más se utiliza en el taller. Por medio del pie de rey se pueden controlar medidas de longitud externa, interna y de profundidad. La precisión del calibre es entre 1/10, 1/20 y 1/50 de mm. Para comenzar familiarizándonos con los calibres, vemos en la figura II-1 uno de éstos instrumentos de medida con las partes más importantes del mismo, que más adelante detallaremos; éste es el prototipo de calibre que se usa en cualquier taller para realizar las medidas habituales de las piezas mecanizadas.

Figura II-1. Calibre Pie de Rey La evolución de estos instrumentos de medida la podemos comprobar en la figura II-2, donde tenemos otro calibre al que se le incorporado una especie de reloj para facilitar la medida; la aguja de este reloj nos indica la medida que hay entre milímetro y milímetro pero no indica el número de milímetros que tiene la abertura del calibre y hay que recurrir a la forma de medida tradicional que después explicaremos. También vemos en la figura 8 un calibre con lectura digital; ésta ya es una lectura directa y con bastante precisión, simplemente tenemos que realizar la medida y leer en la pan talla digital.

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Figura II-2. Calibres con Reloj y Digital Pasamos a definir las partes del calibre y su situación en la figura II-3, que son las siguientes: a) Cuerpo del calibre; b) Corredera; c) Puntas para la medida externa; d) Puntas para la medida interna; e) Varilla para medir la profundidad; f) Escala graduada en milímetros; g) Escala graduada en pulgadas; h) Graduación del nonios en pulgadas; i) Graduación del nonios en milímetros; j) Pulsador para el blocaje del cursor (en algunos calibres es sustituido por un tornillo); m) Embocadura de las puntas para la medida de ranuras, roscas, etc.; n) Embocadura de la varilla de profundidad para penetrar en agujeros pequeños; o) Tornillos para fijar la pletina que sirve de tope para el cursor, y p) Tornillo para corregir eventuales errores de paralelismo de las puntas de medida.

Figura II-3. Partes de un Calibre

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En el reverso del calibre se encuentran impresas algunas tablas de utilidad práctica en el taller, como la medida del diámetro del agujero para roscar. El material con que se construyen los calibres es generalmente acero inoxidable, que posee una gran resistencia a la deformabilidad y al desgaste. El nonios representa la característica principal del calibre, ya que es en el que se efectúan las medidas con aproximaciones inferiores al milímetro. La graduación señalada en el cuerpo del calibre, y entre marcas, representa un milímetro, como si de una regla normal se tratara. La graduación marcada en el nonios del cursor posee diez marcas que están subdivididas en partes iguales en una longitud de 9 mm. Así pues, la distancia entre dos marcas consecutivas del nonios es de 9/10 de mm (9: 10 - 0,9 mm). Para facilitar la lectura, la mayor parte de los pie de rey están dotados de un nonios doble dividido en 10 partes en una longitud de 19 mm, en vez de 9 mm. El principio de lectura y la aproximación no varían, varía tan sólo la visibilidad del trazo inciso sobre el nonios, por que al estar más distanciada es la que facilita la lectura. El calibre más preciso es el que se caracteriza por tener el nonios dividido en 50 partes, en una longitud de 49 mm. La distancia, pues, entre dos divisiones del nonios del cursor resulta 0,98 mm, o sea: 49: 50 - 0,98. El calibre cerrado, el cero del nonios, corresponde al cero de la escala fija del cuerpo y, en esta posición, la división 50 coincide con la 49 de la escala fija. Si situamos el cursor de manera que coincida la primera división del nonios con la primera división de la escala fija, la abertura del calibre es de 0,02 mm, o sea: 1 - 0,98’ = 0,02 mm. La más pequeña medida de un calibre centesimal, es decir, la aproximación mínima, es de 0,02 mm, o sea: 1/50 mm. En general, el calibre centesimal difiere de los otros calibres menos precisos por su precisión y por alguna particularidad constructiva. Veamos estas diferencias:  Tornillo de fijación del cursor.  Tornillo de fijación del segundo cursor.  Botón de maniobra del tornillo micrométrico.  Extremidad de las puntas, que son de medida exacta (5 mm para pie de rey pequeños y 10 mm para los grandes, como 500 mm).  Nonios centesimal.  Tornillo micrométrico. Estos tipos de calibres son los que usan normalmente los torneros, ya que las puntas al estar redondeadas con un radio aseguran un perfecto o con la superficie interna del agujero.

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Aplicaciones de los calibres Las posibilidades del calibre como instrumento de medida son múltiples, como se puede comprobar en la figura II-4, en la que especificamos todas las formas de manejo es estos instrumentos:  Medida de exteriores, sean planos o cilíndricos.  Medida de cajeados interiores con las orejas del calibre.  Medida de la profundidad de una caja o un fondo con la sonda del calibre.  Medida de puntos estrechos donde entran las partes delgadas del calibre.  Trazado con la regla.  Medida de diámetro en piezas/tubos cilíndricos, tanto exteriores como interiores. Marcado de un punto central.

Figura II-4. Aplicaciones de los Calibres.

Calibres especiales Algunas variaciones del calibre han dado como resultado otros tipos de calibre con funciones más específicas. En la figura II-5 podemos ver estos tipos de calibre que adquieren nombres propios dependiendo de la función específica que realicen. En el apartado a) de esta figura podemos ver una sonda de profundidad que su función es la de

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medir la profundidad de una caja o similar, con una base de asiento mucho mejor que la de un calibre universal y mejor precisión de medida. En el apartado b) de la misma figura vemos un calibre de pie o de altura que apoyándolo encima de una pieza, la punta, nos da la altura calibrada, pero su función principal es la de marcar piezas rayándolas con la punta a la altura que fijemos con referencia a la mesa donde se apoya.

Figura II-5. Calibres Especiales; sonda de profundidad, calibre de altura. Calibres de altura van montados de forma rígida sobre una base. Estos calibres, denominados calibres verticales, pueden venir montados con una punta trazadora; en este caso se denominan gramiles por realizar la misma función de trazado. Estos calibres están montados y realizados de manera que la distancia entre la punta de medida o trazante y el plano de referencia corresponde a la distancia entre el cero del nonios y el cero de la escala del cuerpo fijo. En la figura II-6 vemos la forma de cómo un calibre de altura es utilizado como gramil para trazar en una pieza (p) una cota (h). Sobre el plano de referencia (a) se pone un bloque patrón (b) cuya altura debe ser igual a la cota (h) a trazar. La punta trazante (c) está desfasada respecto de la pata (d) por un valor equivalente a la distancia entre el plano de referencia (a) y el plano de apoyo (e) de la pieza y del soporte del trazador (plano de referencia). El valor de la medida (h) puede ser leído en el calibre dotado de nonios centesimal.

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Figura II-6. Forma de utilizar un Calibre de altura de gramil

MICRÓMETROS El micrómetro, también llamado pálmer, es un instrumento superior al calibre en lo que se refiere a precisión, pero mucho menos versátil. En la figura II-7 vemos el formato exterior de los micrómetros. Como se puede apreciar en esta figura los micrómetros, al igual que los calibres, han evolucionado con la incorporación de pantallas digitales, que nos ofrecen una lectura directa y precisa.

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Figura II-7. Formato exterior de los Micrómetros Las partes fundamentales de un micrómetro las podemos ver en la figura II-8, y son las siguientes: a) Arco de herradura; b) Punto fijo plano; c) Eje móvil, cuya punta es plana y paralela al punto fijo; d) Cuerpo graduado sobre el que está marcada una escala lineal graduada en mm y 1/2 mm; e) Tornillo solidario al eje móvil; f) Tambor graduado; g) Dispositivo de blocaje, que sirve para fijar el eje móvil en una medida patrón y poder utilizar el micrómetro de calibre pasa, no pasa, y h) Embrague. Este dispositivo consta de una rueda moleteada que actúa por fricción. Sirve para impedir que la presión del eje móvil sobre la pieza supere el valor de 1 kg/cm ya que una excesiva presión contra la pieza pueda dar lugar a medidas erróneas.

Figura II-8. Partes esenciales de un micrómetro. Este instrumento de medida está formado por un eje móvil con una parte roscada al extremo de la cual va montado un tambor graduado; haciendo girar el tambor graduado, se obtiene el movimiento del tornillo micrométrico, y por consiguiente el eje móvil que va a apretar la pieza contra el punto plano, sobre la parte fija, que está solidaria al arco, va marcada la escala lineal graduada en milímetros. Para realizar la lectura del micrómetro, éste dispone de dos graduaciones: una para los milímetros y otra para centésimas de milímetro. La rosca del tornillo micrométrico tiene un paso de 0,5 mm. Por tanto, con un giro completo del tornillo, el tambor graduado avanza o retrocede 0,5 mm. La extremidad cónica del tambor está dividida en 50 partes de otra graduación. Por tanto, la apreciación se hace en este caso dividiendo el paso entre 50 partes; sería: 0,5: 50 = 0,01 mm. Girando el tambor el cuerpo graduado en centésimas, el eje móvil y el embrague van corriendo por la escala graduada fija. El milímetro y el medio milímetro se leen sobre la graduación lineal fija que está en correspondencia con la graduación de la parte cónica del tambor graduado.

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Variantes del micrómetro Los micrómetros se han adaptado a las distintas necesidades de medida (en la figura II-9 podemos ver tres tipos diferentes). El micrómetro representado como a) en la figura II-9 es un instrumento digital para medidas mucho mayores que los vistos anteriormente (compruebe que tiene una barra metálica que se utiliza como patrón de medida). El apartado b) muestra un micrómetro especializado para medida de ranuras o zonas inaccesibles que posibilitan estas puntas estrechas. Por último, el apartado c) nos muestra un pálmer de punta en forma de plato que es especial para medir distancias de pasos de dientes en piñones, usillos, etc.

Figura II-9. Micrómetros especiales para medir largas longitudes (a), ranuras (b) y piñones (c)

Sonda micrométrica o micrómetro de profundidad En la figura II-10 tenemos un conjunto de sondas micrométricas: una con sistema de lectura digital y otra con sistema tradicional; por último, vemos un esquema numerado para pro ceder a la explicación de la misma. La función de la soda de profundidad es comprobar la medida de la profundidad de agujeros, acanaladuras, etc. Se diferencia del micrómetro para medidas externas en que se sustituye el arco por un puente aplicado a la cabeza del micrómetro. El campo de medida de este instrumento es de 25 mm y su aproximación es de 0,01 mm. Las partes fundamentales

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son: a) Puente de acero (la anchura puede variar de 50 a 100 mm); b) Plano de apoyo; c) Eje móvil; d) Dispositivo de blocaje; e) Cuerpo graduado, y f) Tambor graduado. Para aumentar la capacidad de lectura, el micrómetro de profundidad dispone de unos ejes de medidas variables que son intercambiables. En esta misma figura se indica un ejemplo de medida con micrómetro de profundidad.

Figura II-10. Sonda de Profundidad Micrómetro con o expansible Su función es la medida de taladros de gran tamaño. La medida es efectuada por tres cabezas situadas a 120°, que se expanden simétrica mente al ser empujadas o retraídas por un cono roscado, fijo al eje y mandado por el botón. La lectura se efectúa sobre el cuerpo y sobre el tambor, graduados, y de análoga manera que en el micrómetro normal. Algunos modelos tienen otros nonios que poseen aproximaciones de 0,005, 0,002 ó 0,001 mm. Los micrómetros con o expansible son los más adecuados para la verificación de todo tipo de agujeros, ya que el apoyo de las tres patas determina el plano de lectura (en la figura II-11 vemos unos micrómetros expansibles y, entre ellos, uno de lectura directa por pantalla digital).

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Figura II-11. Micrómetros para interiores cilíndricos Micrómetro de patas Este micrómetro está diseñado para medida de interiores (las patas de medida son similares a las de un calibre). Este tipo de instrumento es particularmente indicado cuando se deben medir agujeros con dimensiones bastante pequeñas, mínimo 5 mm. Una de las patas es fija, mientras la otra se mueve haciendo girar el tambor del micrómetro, siendo solidaria al tornillo micrométrico.

Micrómetro para interiores Este micrómetro es un poco distinto a los anteriores en lo que se refiere al aspecto exterior, pero bastante similar en cuanto al resto. El micrómetro para interiores sirve para medir el diámetro del agujero y otras cotas internas superiores a 50 mm. Está formado por una cabeza micrométrica sobre la que pueden ser montados uno o más ejes combinables de prolongación. En la figura II-12 mostramos un esquema con las partes principales del instrumento: a) Tambor graduado; b) Cuerpo graduado; c) Tornillo micrométrico; d) Dispositivo de blocaje; e) Punta fija de la cabeza, micrométrica; Primer tubo de prolongación, atornillado directamente sobre la cabeza; g) Eje que se atornilla por el interior del primer tubo de prolongación; h) Segundo tubo de prolongación atornillado sobre el primer tubo; i) Eje atornillado por el interior al primer tubo; 1) Extremidad esférica, y m) Extremidad plana. Los ejes combinables están contenidos dentro de tubos de prolongación que, oportunamente acoplados, pueden efectuar múltiples combinaciones. Con el tambor completamente abierto la cabeza da una longitud de 50 mm. El campo de medida es de cerca de 13 mm. Con sólo la cabeza del micrómetro pueden, por tanto, efectuarse medidas comprendidas entre 50 y 63 mm. Para ampliar las medidas se pueden utilizar uno o más ejes de prolongación. Un conjunto completo está constituido por cinco ejes, cuyas medidas son: 1 3, 25, 50, 100 y 150 mm. Combinando los ejes de

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diferentes maneras puede medirse cualquier distancia comprendida entre 50 y 400 mm. Para medidas superiores a 400 mm hacen falta ejes suplementarios de 200 mm. En esta misma figura mostramos la aplicación de una medida efectuada sobre dos paredes, que bien puede ser la de un taladro.

Figura II-12. Micrómetro de Interiores.

TRANSPORTADOR DE ÁNGULOS O GONIÓMETRO La función de un goniómetro es la de medir el ángulo de una pieza, o en el papel, etc.; el funcionamiento básico de un goniómetro es sobreponerse o adaptarse al ángulo a medir, y en este aparato graduado comparar la medida del original. En la figura II-13 vemos un transportador de ángulos para dibujar y otro que se utiliza en la mecánica para la medida de piezas tridimensionales. El goniómetro mecánico es un instrumento de medida de ángulos con aproximaciones inferiores a 10; la aproximación del nonios es de 5’, aproximadamente.

Figura II-13. Transportador de ángulos: a) de delineación; b) mecánico.

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Está formado por las siguientes partes, que podemos identificar en la el esquema de la figura II-14:  Escuadra fija (a) solidaria al disco graduado (b). La superficie (a constituye el apoyo principal fijo del instrumento sobre la pieza y la superficie (a es perpendicular a la principal y se utiliza sólo en casos particulares como superficie auxiliar de apoyo.  Disco graduado (b). La graduación del disco tiene el valor cero en dos posiciones diametralmente opuestas. En cualesquiera de estas posiciones la escala crece en los dos sentidos hasta 900.  Disco móvil (c) con nonios graduado y coaxial al disco graduado (b).  Regla (d), con una acanaladura central que le sirve para deslizarse por el soporte (e); una extremidad de la regla está inclinada a 45° y la otra a 60°.  Soporte (e) de la regla solidaria al disco (b y c) mediante un perno.  Tornillo (f) con excéntrica para fijar en cualquier posición la regla móvil.  Tornillo (g) de blocaje del soporte (e) al disco (b y c).  Nonios (h) atornillado al disco móvil (c). La medida del ángulo se realiza sobre el nonios una vez ajustado en la pieza que deseamos verificar. Los grados son dados por el número de divisiones comprendidas entre el cero de la escala fija y el cero del nonios. Los minutos están indicados por el número de divisiones del nonios que resultan comprendidas entre el cero y la división del nonios que coincide exactamente con cualquier división del disco externo, teniendo presente la dirección de la lectura. Cuando el cero del nonios coincide con una división del disco graduado, el valor del grado es entero. En ángulo se lee partiendo del cero del disco graduado en dirección a los 90°, teniendo presente la dirección de la lectura. Cuando el cero del nonios no coincide con una división de la escala fija, el valor del ángulo está expresado en grados y fracción de grado (múltiplo de 5’). El sentido de la lectura del goniómetro se encuentra dado por la posición que ocupa el cero del nonios. Cuando el cero del nonios se encuentra a la izquierda del cero de la escala fija, la lectura será hacia la izquierda, o sea, considerando la parte del nonios a la izquierda del cero. Cuando el cero del nonios está a la derecha del cero de la escala fija, la lectura será hacia la derecha, o sea, considerando la parte del nonios a la derecha del cero. Con un goniómetro se pueden medir ángulos de todo tipo (agudos y obtuso). En el ángulo agudo el valor viene leído directamente sobre el disco graduado. En el caso de que la medida del ángulo no sea entera, la fracción de grado se leerá según la dirección del número entero de grado.

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La dirección de lectura puede ser a derecha o izquierda del cero, según la disposición del goniómetro respecto a la pieza. En ángulos obtusos, ya que las cuatro escalas del goniómetro están graduadas de 0º a 90º, no es posible leer directamente el valor del ángulo. Lo que se lee directamente es el ángulo suplementario (a). El valor del ángulo obtuso (β) será, pues, calculado restando el ángulo suplementario (a) del ángulo plano. O sea: β = 180º - α.

Figura II-14. Partes del Goniómetro

MESA DE SENOS La mesa de senos es un útil para la medida de los ángulos. Es utilizado para el control de la inclinación y del ángulo de algunas piezas con una precisión aproximada de 10‖. En la figura II-15 vemos una mesa de senos que consta de una mesa (t) que puede girar al rededor de un perno (a) fijado a la base (f) del útil. En la extremidad opuesta de la mesa se encuentra otro perno (b) de apoyo. Las diversas inclinaciones de la mesa se obtienen situando el perno (b) a las diversas alturas (h) mediante uno o más bloques patrón (c). Atornillando luego la tuerca del fijador (s), se bloquea la mesa. La distancia (d) entre el eje del perno de rotación y el de apoyo es una característica precisa de este útil. Los tipos más comunes de barra o regla de senos tienen una distancia entre ejes de 50, 100,150,200 y 300 mm. La pieza (p) puede estar sujeta por medio de mordazas o directamente sujeta a la mesa con bridas. Con la aplicación de un simple cálculo trigonométrico al triángulo rectángulo (uvz) y midiendo directamente la altura (h) de la pila de bloques patrón, se obtiene el ángulo (alfa) deseado. O sea: h = d x sen α. En esta misma figura vemos el sistema de control de un ángulo mediante la mesa de senos.

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Figura II-15. Mesa de Senos

GALGAS O CALAS PATRÓN Las galgas o calas patrón son unos bloques prismáticos de un acero especial con dos caras opuestas perfectamente planas y paralelas, que conforman la superficie de medida. La función de estas galgas es servir de calibre patrón para calibrar medidas determinadas. Son muy empleadas para la medida de ranuras o chavetas, por ejemplo, por su facilidad de componer medidas determinadas. Los bloques se acoplan fácilmente entre sí. Se limpia primero la grasa que cubre las superficies y después se deslizan la una sobre la otra de forma perpendicular, como vemos en la figura II-16, y luego girando, de manera que se haga desaparecer la lámina de aire comprendida entre ambas superficies. La adherencia es muy grande (al parecer es debida al fenómeno de «atracción molecular»). Esta atracción reduciría por contracción las dimensiones de un grupo de bloques o piezas

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apiladas si no existiese la fina película de lubrificante (espesor aproximado 0,00002 mm) que siempre separa las superficies de unión. Sus características principales son su fiabilidad de espesor constante en cualquier punto de la superficie de medida, cuya dimensión nominal viene grabada en una de sus caras. La elaboración y el tratamiento especial a que están sometidos los bloques aseguran una elevadísima precisión milesimal y unas características geométricas de planitud y paralelismo tales que, sobreponiendo bloques de varios espesores, se puede realizar cualquier cota con una aproximación inferior del orden de 0,001 mm. El material que se emplea para la fabricación de los bloques es un acero de alto contenido en carbono, templado, revenido y estabilizado para eliminar las tensiones internas. Este acero puede contener diversos porcentajes de materiales, como cromo, manganeso, silicio, vanadio y tungsteno. Se comercializan en cajas que contienen los siguientes:  1 bloque de 1,0005 mm.  9 bloques de 1,001 a 1,009 (progresan 0,001).  49 bloques de 1,01 a 1,49 (progresan 0,01).  19 bloques de 0,5 a 9,5 (progresan 0,5).  10 bloques de 10 a 100 (progresan 10). En esta misma figura vemos una caja de galgas completa.

Figura II-16. Galgas Patrón.

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CALIBRES FIJOS Los calibres fijos tienen la misma función que las calas, pero aplicaciones determinadas de estos instrumentos son utilizados para el control, sobre todo, de piezas producidas en serie. Tienen formas y dimensiones determinadas y son necesarios para un control rápido. Estos calibres no miden la cota de una pieza, pero sí es posible establecer que la cota a controlar esté comprendida dentro del campo de tolerancia asignado. La forma y la dimensión del calibre deben ser muy precisas, ya que son para controlar piezas que pueden tener tolerancias muy estrictas. Respecto a los instrumentos de medida di recta, el calibre fijo es más simple y su rendimiento es mucho más rápido para el control de las dimensiones de la pieza. Al mismo tiempo se evita el error de medida, aunque tienen el inconveniente de que sólo sirven para un tipo de control y una sola dimensión. Por esta razón son utilizados para el control y verificación de piezas producidas en serie. La forma de los calibres es complementaria de la forma de la pieza a controlar; así pues, se adapta a la forma de la pieza para poder efectuar el control dimensional requerido. Por ejemplo, un calibre para el control de un agujero tendrá forma cilíndrica o de tampón; el calibre para el control de un eje tendrá forma de herradura, y el calibre para el control de roscas será roscado. Los principales tipos de calibres son:  Calibres para ejes.  Calibres para agujeros.  Calibres para piezas cónicas.  Calibres para ejes acanalados  Calibres para roscas externas e internas A los calibres fijos se les aplica un tratamiento térmico, al igual que las galgas, a fin de aumentar su dureza y resistencia al rozamiento, son estabilizados para evitar que con el tiempo aparezcan deformaciones y éstas provoquen variaciones dimensionales. Para aumentar la resistencia al rozamiento del calibre, sobre todo cuando está destinado a efectuar una larga serie de controles, la superficie está recubierta de metal duro, carburos sintetizados, etc. Con respecto a su utilización los calibres fijos los podemos clasificar en tres grupos: 1.

Calibres de trabajo. Son los que se utilizan en el taller para verificar las dimensiones de las piezas en fase de trabajo. Como se usan con cierta frecuencia, deben revisarse periódicamente.

2.

Calibres de verificación. Son los que se utilizan en la fase de verificación y antes de que la pieza salga al mercado. Son más precisos que los anteriores y menos sujetos a problemas de desgaste.

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Calibres de patrón. Son aquellos que se utilizan para controlar periódicamente los calibres de taller y de verificación. Como se fabrican con tolerancias más estrictas que los anteriores, son más costosos y delicados.

Calibres fijos para ejes Los calibres para ejes sirven para controlar el diámetro de piezas cilíndricas (ejes), más en ciertos casos pueden ser utilizados para el control de piezas prismáticas. La figura II-17 ilustra los tipos principales de calibres fijos para ejes.  Calibre simple de anillo (a).  Calibre diferencial de herradura tipo «pasa no pasa» (b).  Calibre simple de herradura (c).  Calibre diferencial de herradura tipo «pasa no pasa» de tipo progresivo (d). Calibre regulable diferencial del tipo «pasa no pasa» (e).

Figura II-17. Calibres Fijos para Ejes.

1. Calibre diferencial de herradura Estos calibres son los más usados para el control de ejes y están elaborados según las normas ISO. Si la dimensión efectiva del eje está comprendida dentro del campo de tolerancia previsto por el calibre, el eje debe pasar entre las mandíbulas del lado «pasa» y no debe poder pasar entre las del lado «no pasa». En estos calibres se dan las tolerancias e indicaciones completas de las normas ISO a las cuales se ajustan el eje a controlar, la dimensión nominal, la calidad de elaboración y las medidas correspondientes. La superior en el lado «pasa» y la inferior en el lado «no pasa». Los dos lados se distinguen mediante las siglas P o MAX, dispuestas en el lado «pasa», y NP o MIN sobre el lado «no pasa». Además, en el lado «no pasa» se pinta una franja roja que lo distingue del otro.

2. Calibre regulable para ejes Están constituidos por una herradura única sobre la que se montan dos topes de medida, cuya distancia es regulable mediante un tornillo micrométrico. Los topes de la parte externa

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constituyen el lado «pasa» y los topes de la parte interna el lado «no pasa». Las posibilidades de registro de este calibre permiten su utilización para diversas medidas nominales, así como variar el campo de tolerancia. Otra posibilidad que tiene es la de compensar el desgaste, comprobando periódicamente la distancia mediante bloques patrón.

Calibres fijos para agujeros Como su nombre indica están preparados para el control del diámetro de agujeros cilíndricos, pero también pueden utilizarse para el control de cotas internas de piezas de formas geométricas. Estos pueden clasificarse en:  Calibre simple de tampón (a).  Calibre diferencial o tampón tipo «pasa no pasa>) para ø < 120 mm (b).  Calibre diferencial a tampón («pasa no pasa») de tipo progresivo, con tampón por un solo lado (c).  Calibre diferencial plano para ø < 260 mm (d).  Calibre simple de barra para ø > 260 mm (e).  Calibre simple regulable (f).

En la figura II-18 vemos estos tipos de calibres cilíndricos. Figura II-18. Calibres Fijos para Agujeros.

1. Calibres de tampón Estos calibres, como en el caso anterior, llevan incorporadas las indicaciones completas de las tolerancias ISO a las que corresponde el agujero a controlar, la dimensión nominal, la calidad de elaboración, la posición de la tolerancia y las medidas correspondientes. Los dos lados se distinguen por: el tampón del lado «no pasa» es más corto que el del lado «pasa»; en una franja roja va escrita la letra P o MIN en el lado «pasa» y NP o MAX en el lado «no pasa». Calibres para roscas

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Calibres fijos para rosca pueden ser del tipo de anillo para controlar roscas exteriores o de tampón para comprobar roscas internas. Lo que comprueba es el diámetro externo, el diámetro medio o primitivo y el diámetro del fondo del filete. Para el control total del filete de un tornillo éste puede ser seguido por el calibre de herradura diferencial a rodillos para filetes de roscas. Como todos los calibres diferenciales, se controla con el sistema «pasa no pasa». La parte «pasa» está constituida por dos rodillos roscados por los que debe pasar fácil mente la rosca a examen. La parte «no pasa» está constituida por dos rodillos situados más adentro y la rosca a examen no debe pasar los rodillos. Con este instrumento se controlan el diámetro medio, el paso y la regularidad del triángulo generador de la rosca (todos estos calibres de rosca los podemos ver en la figura II-19).

Figura II-19. Calibres Fijos para Roscas Interiores y Exteriores.

EL COMPARADOR El comparador es, junto con el pie de rey, el instrumento que más se utiliza en los talleres mecánicos. Se utiliza para casi todo: centrar una mordaza en la fresadora, comprobar el salto de un eje entre puntos en un torno, etc. El comparador, como su nombre indica, se utiliza para la medida comparativa (por diferencia) entre la dimensión de una pieza sujeta a examen y la de una pieza patrón. Al ser un instrumento de comparación, es necesario que durante su uso esté sólidamente sujeto a una base de referencia. A tal efecto se vienen usando soportes especiales, como pueden ser bases magnéticas que son muy útiles para todo tipo de posicionamientos. El comparador lleva un palpador retráctil que va unido a un índice móvil, atravesando un mecanismo de amplificación. La rotación del índice sobre el cuadrante es proporcional a la desviación vertical del palpador. El palpador, primero, mide el patrón y luego la pieza a examen. La desviación del índice sobre el cuadrante indica en centésimas de milímetros la diferencia de cota entre la pieza y el patrón.

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Las partes principales de un comparador Los comparadores están compuestos por las siguientes partes:  Palpador. Es el que se apoya sobre la superficie de la pieza a examen. Está roscado sobre el eje móvil (a). La punta del palpador está redondeada, pero puede asumir formas diversas en función del tipo de superficie a controlar (b).  Carcasa que contiene el mecanismo amplificador. Generalmente son de aluminio o acero inoxidable (c).  Cuadrante centesimal (d);  Indicador de las centésimas (e).  Cuadrante de los milímetros. La aguja se mueve una división, por una vuelta completa de la aguja del cuadrante centesimal (f.)  Indicador móvil, que puede moverse a lo largo del cuadrante y que sirve para delimitar el campo de tolerancia prefijado (g).  Rueda que, unida al eje (b), sirve para levantar la punta del palpador (h).  Tope para fijar el palpador para el transporte (i).

Figura II-20. Partes de un Comparador. El campo de medida y de apreciación del comparador es de 0,01 mm, aunque algunos más precisos son de 0,005, de 0,002 mm o, como en el comparador milesimal, de 0,001 mm. En el centesimal, una vuelta completa de la aguja mayor corresponde a 1 mm de la división del cuadrante pequeño. Si el cuadrante grande lo dividimos en cien partes, tendremos que una división será 1/100—0,01 mm. En la figura II-20 podemos ver las partes indicadas anteriormente. El mecanismo de amplificador de los movimientos rectilíneos del eje que porta el palpador se transforma en rotatorio y amplificador del índice, que indica sobre el cuadrante la entidad de la desviación y que es amplificada por el mecanismo. La figura II-21 muestra un sistema amplificador por medio de una cremallera y rueda dentada. El sistema de funcionamiento es el siguiente: eje (b) del palpador (a) está dotado en cierto tramo de su

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longitud de un dentado de cremallera (i) que engrana con una rueda dentada (h). El movimiento rectilíneo del eje viene amplificado, transmitiendo por medio de la rueda (d) su movimiento al índice central.

Figura II-21. Mecanismo de Amplificación de un Comparador. La forma de usar un comparador es, como muestra la figura II-22, verificando una cota. En primer lugar se pone el comparador sujeto en un soporte y se sitúa encima de unos bloques patrón que forman una cota igual a la que en teoría debe tener la pieza a controlar. A continuación, por medio de un tornillo que hace bascular al comparador, se hace que vaya apretando los bloques hasta que la aguja del cuadrante centesimal llegue a cero. Posteriormente se traslada todo el comparador y soporte sobre la pieza a verificar y se observa la desviación de la aguja con referencia al cero del patrón. Esta desviación puede ser positiva o negativa.

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Figura II-22. Forma de uso de un reloj comparador para realizar una medida con una galga patrón. La planitud de la superficie se hace recorriendo con el comparador la superficie a examen en varias direcciones. Los errores positivos y negativos, registrados por el comparador en varios puntos, con una precisión centesimal. Los tipos más sensibles de comparadores permiten controlar o verificar las piezas con aproximaciones de dos milésimas (0,002 mm). Estos comparadores tienen la ventaja de que la aguja palpadora puede colocarse de diversas maneras. Son los más versátiles, aunque su precio es más ele vado. Se le llama comparador universal. La diferencia más importante radica en la posibilidad de orientar el palpador según un ángulo cualquiera respecto al eje del instrumento. Este instrumento puede ser utilizado para el control de medidas internas o externas y en los puntos en que es difícil o imposible usar el comparador normal. El campo de medida, según el tipo, varía de 0,2 a 2 mm. La aproximación es en general de 0,01 mm, aunque algunos tipos poseen aproximaciones de 0,002 mm.

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La posición del palpador puede variar dentro de un campo de cerca de 210°. El palpador puede ser orientado en la posición angular que se quisiera por medio de unas arandelas de fricción.

ALEXÓMETRO O COMPARADOR PARA INTERIORES Una variación del comparador es el alexómetro que ha sido diseñado para realizar medidas en interiores, encontrando las mayores aplicaciones en la verificación de agujeros pequeños y profundos. El alexómetro tiene una precisión centesimal, aunque también los hay que aprecian 0,002 mm (milesimal). El registro y la apreciación del instrumento se efectúan con un anillo patrón o bien con otros instrumentos de precisión superior a la del alexómetro. Aparte de comprobar el diámetro del agujero, puede comprobar el error de circularidad y conicidad del mismo. En la figura II-23 vemos un alexómetro. Las partes principales de un alexómetro son: a) una cabeza medidora, y b) un soporte tubular, similar en todo al comparador para exteriores.

Figura II-23. Alexómetro. El sistema de funcionamiento es el siguiente: la cabeza medidora del alexómetro está compuesta de un palpador fijo (d) y de un palpador móvil (e); a través del mecanismo (f) transmite al eje (g) y por medio del amplificador al índice del comparador (Figura II-24), la variación de la distancia entre los dos palpadores, que corresponde al diámetro del agujero controlado. Tiene la posibilidad de intercambiar los palpadores fijos (d) de longitud variable consiguiendo extensiones de 30 a 160 mm.

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La forma de realizar la medida con el alexómetro en un agujero: el palpador debe estar centrado con las paredes de éste. Esta condición está garantizada por el dispositivo centrador montado al extremo del palpador móvil. Este dispositivo está constituido por un soporte, el cual accionado por un muelle se apoya en dos puntos y hace pasar automáticamente por el centro del agujero el eje del palpador. La perpendicularidad entre el eje del palpador y el eje del agujero se obtiene haciendo oscilar el instrumento a derecha e izquierda, para comprobar cuándo señala el índice del comparador la medida mínima. Esta posición corresponde al valor del diámetro efectivo del agujero. En la verificación de taladros de pequeño diámetro el palpador medidor debe asumir dimensiones mínimas. El palpador está constituido por una semiesfera que se hace elástica por medio de un corte longitudinal. La variación del diámetro de la esfera medidora hace mover axialmente un eje, que al mismo tiempo hace agitar el índice del comparador. Una serie de esferas intercambiables de varios diámetros hace que el campo de medida pueda extenderse entre 0,5 y 12 mm.

Figura II-24. Esquema de funcionamiento de un Alexómetro.

MÁRMOLES Los mármoles o mesas planas son utilizados para el control de la planitud de las piezas, sobre todo sirven como útil de apoyo para realizar medidas con el comparador usándolo como base de las medidas patrón, en los con los calibres de altura o para re medidas con éstos apoyadas sobre un mármol. Estos mármoles se construyen con dos tipos de material: en acero o en granito negro. Los mármoles de acero están provistos de unas fuertes nervaduras en la parte inferior que

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impiden la deformación. Se les da un tratamiento térmico a fin de eliminar las tensiones internas del material. Tiene, en general, tres pies de apoyo para evitar el balanceamiento por mínimo que sea, ya que tres puntos delimitan un plano. La superficie del plano de control viene trabajada a mano con una última operación de rasqueteado que le da una óptima planitud, aunque tiene una serie numerosísima de puntos de o que favorecen e! resbalamiento de la pieza o de los instrumentos de control. Normalmente la superficie no se rectifica para evitar que algunos granos abrasivos de la muela queden incrustados en la superficie y puedan perjudicar la pieza a controlar. El mármol de diabasa, en los últimos tiempos, ha tenido una gran difusión porque ofrece numerosas ventajas respecto a los de acero. Estando constituidos por piedra natural como el granito, no están sujetos a tensiones internas. Son muy resistentes al rozamiento, muy duros e indeformables. El coeficiente de dilatación térmica del granito negro es muy limitado y netamente inferior al del acero. Esto significa que el plano es insensible a las variaciones de temperatura.

COMPARADOR NEUMÁTICO En la foto II-1 vemos un comparador neumático. Este tipo de comparador es utilizado en la actualidad por su gran precisión. El palpador está constituido por una capa de aire comprimido que sale a través de un orificio. La pieza se sitúa debajo del orificio de salida; ésta hace variar la presión, a medida que aumenta o disminuye su tamaño, y por consiguiente la presión de salida. Sobre esta variación de presión, controlable por medio de un manómetro, está basado el principio de funcionamiento de este instrumento. Con la sobrepresión del o mecánico entre la pieza y el palpador se eliminan posibles deformaciones elásticas y de error instrumental. Este aparato, gracias a la gran amplificación del error revelado, permite medidas milesimales, es decir, con aproximaciones del orden de una milésima.

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Foto II-1. Comparador Neumático. El esquema de funciona miento lo vemos en la figura II-25, que muestra un medidor neumático. El aire de alimentación es pasado por un reductor de presión y un filtro y llega a una presión (p). Entra en el medidor, donde es estabilizado a una presión (h) rigurosamente constante. Ya que la presión (p) debe ser superior a la presión (h), a la cual funciona el medidor, el exceso de aire escapa atravesando el depósito (a). El aire a presión (h) alimenta la cámara de presión (b) atravesando el chicIé (c) y fluye a la apertura (d) de la cabeza medidora. Las holguras del palpador (e) solidario a la válvula (f) determina las variaciones de dimensión de la pieza (g) a medir y hace variar la identidad de la fuga de aire provocando una variación de la presión (h) registrada por el manómetro (a), situado entre el chorro de cabeza (c) y el chorro de salida (d). El manómetro (a) es de agua. Uno de los vasos comunicantes está constituido por el depósito (a1) y el otro por la columna (a2) En el depósito (a1) está inmerso un tubo (m) a una profundidad (n), que estabiliza y mantiene constante la presión del aire del medidor. El tubo (a2) está graduado y mide el valor de la presión (h) determinada por la altura (n) por el nivel de agua del depósito (a), lo mismo que el tubo.

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Figura II-25. Esquema de funcionamiento de un Comparador Neumático. El nivel de agua del tubo (a2) es regulado por la variación de la fuga de aire de la abertura (d) de la cabeza medidora. Para facilitar la lectura de la cota medida, la columna (a2) se rellena con agua coloreada, está graduada directamente en μm y va dotada de un índice registrador que indica el campo de tolerancia establecido. Para poner a punto el medidor neumático se le dota de una pieza patrón que da la medida en la columna del manómetro (a2) La figura II-26 nos muestra un ejemplo de medidor neumático: a) Palpador fijo b) Palpador móvil que se regula por medio de una pieza patrón y se fija por medio del tornillo (d). c) Tubería de aire. d) Tope regulable en función del diámetro controlado. e) Mando de regulación de la columna manométrica.

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Figura II-26. Comparador Neumático.

COMPARADOR ELECTRÓNICO Las formas de medida cada vez son más precisas. En gran parte se debe a la facilidad de realizarlas con los nuevos equipos electrónicos, que nos facilitan lecturas directas con precisiones centesimales y milesimales. Dispone de un lector digital con un botón de puesta a cero para poder realizar medidas desde cualquier punto de referencia. Según los fabricantes de estos equipos son capaces de realizar medidas con precisión de 0,0005 mm. Son adecuados para el proceso de datos en dos dimensiones, por ejemplo distancia entre taladros, distintas alturas de comparación, etc. En la figura II-27 vemos un comparador de formato tradicional pero con una pantalla digital de mediada directa.

Figura II-27. Comparador con pantalla digital

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La figura II-28 nos muestra un comparador de última generación, en la que se ve un soporte con mesa de verificación y sobre éste cuelga el comparador digital.

Figura II-28. Comparador digital con salida de datos a impresora y mando a distancia. El comparador consta de un palpador y una caja en la que tenemos un visualizador de seis dígitos (véase detalle de la figura). También nos da la posibilidad de poner a cero el marcador en cualquier posición y apoyados del mando a distancia podemos fijar tolerancias. También consta de una impresora para la salida de datos.

MAQUINAS DE VERIFICACIÓN TRIDIMENSIONAL Para comenzar, lo primero que vemos es una de estas máquinas tridimensionales donde se puede apreciar una máquina de verificación tridimensional, la que consta de una mesa de apoyo de tipo mármol para conseguir la mayor planitud posible (el apoyo de las piezas a verificar se realiza bien directamente sobre la mesa o sobre algún útil, mordaza, etc.). También se aprecia el pulsador, que sólo tenemos que apoyarlo en la pieza y la cara a verificar (esto se realiza moviendo el pulsador sobre las vías en las tres dimensiones del espacio). Estas máquinas constan de las siguientes partes:  La propia máquina de medida, compuesta de una mesa donde se apoyan y sujetan las piezas a verificar, y un pulsador con el que se palpa en la pieza y nos facilita la medida deseada.  El ordenador personal, que contiene el software necesario para gestionar y calcular las medidas requeridas que le transmite el pulsador de la máquina.

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 Una impresora que nos facilita en papel el valor de las medidas realizadas. En el esquema de la figura II-29 vemos estos tres componentes de la máquina tridimensional. El encendido de estas máquinas se realiza como cualquier otra máquina electrónica, pulsando el interruptor a la posición ON de la máquina, el ordenador y la impresora. En estas circunstancias si el autoexec.bat del ordenador está configurado para arrancar el programa de verificación éste entra en algún menú de iniciación que nos pide un dato inicial, como son las coordenadas de referencia (los ceros absolutos). Esta máquina contiene un software (programa que suministra el fabricante de la misma) que hay que aprender a manejar para usarla correctamente. Cualquier persona que esté acostumbrada a utilizar los programas actuales de ordenador no le será difícil manejarse con uno de éstos, pues funcionan con formatos de ventanas y son muy simples de manejar. El manejo de las funciones se aprende fácilmente si se tienen claros algunos conceptos algebraicos, como son los sistemas de coordenadas, las distancias entre rectas, planos, etc. Estos son los elementos que la máquina utiliza bajo un programa para realizar las medidas oportunas. Las fases de medida del programa se reducen a la elección de los ejes de coordenadas, es decir, el sistema de referencia para posterior mente realizar las medidas. Los programas nos ofrecen la posibilidad de trabajar con los siguientes sistemas de coordenadas:  Coordenadas cartesianas.  Coordenadas polares.  Cosenos directores. La elección de la figura geométrica que de seamos medir y que el propio programa nos facilita una serie de ellas en distintas ventanas. También ofrece la posibilidad de medida di recta, la posibilidad de programar medidas nominales y realizar cálculos de errores que enviará al vídeo, la impresora o a los dos periféricos si así se desea. Para entender la diferencia fundamental entre estas máquinas tridimensionales y las vistas anteriormente vamos a realizar un ejemplo.

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Figura II-29. Elementos principales de una MMC.

PROYECTORES DE PERFILES En la foto II-2 podemos ver un proyector de última generación para realizar el control de las piezas pequeñas de forma compleja.

Foto II-2. Proyector de Perfiles (Laboratorio de Metrología y Calidad de la UNEXPO Vicerrectorado Barquisimeto)

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Se hace mucho más fácilmente observando sobre una pantalla su imagen aumentada (x 10 a x 100). Para ello se utiliza un aparato denominado proyector que reproduce superficies y perfiles todo tipo de útiles. La proyección luminosa realiza de dos maneras diferentes: a) Proyección diascópica (día = a través de). La iluminación se efectúa por la parte posterior de la pieza que se examina, obteniéndose sobre la pantalla una silueta oscura limitada por el perfil que se trata de controlar. Entre la lámpara y la pieza se sitúa un condensador que concentra sobre ella los rayos luminosos. Los que no son detenidos por la pieza atraviesan el objetivo de aumento y tras ser desviados por espejos planos, van a iluminar la pantalla. El aumento es de x 10 a x 100. b) Proyección episcópica (epi = desde arriba) La iluminación se efectúa sobre la superficie a examinar, siendo los detalles de esa superficie los que aparecen en la pantalla, sobre todo si el relieve es claro y poco acentuado. El aumento episcópico está limitado a 20 aumentos. Para conseguir esto se utilizan los proyectores. Este aparato permite aumentos de 10, 20, 50 y 100 aumentos. Dispone de una pantalla circular giratoria dividida en grados con nonios de 1/12, lo que asegura la lectura de ángulos con una aproximación de 5’. Las piezas se sitúan sobre un soporte apropiado, por ejemplo mesa de vidrio, prismas en «V», etc. El conjunto del soporte es orientable y permite el examen de superficies oblicuas o helicoidales con una inclinación de hasta 10 Este soporte está montado sobre un carro doble y permite hacer mediciones en coordenadas rectangulares. Por medio de compara dores se indican los desplazamientos cortos del carro; suplementado éste con una serie de bloques-patrón, pueden medirse también los desplazamientos largos. La proyección se utiliza para el control de piezas pequeñas, por ejemplo: útiles, calibres de forma, fresas; brocas, machos de roscas, etc. La posición vertical de la pantalla favorece el control de series de piezas sobre dibujo o plantilla. Este dibujo de referencia se hace generalmente en papel transparente y se fija después sobre la pantalla. Para los trabajos en series muy grandes pueden grabarse directamente sobre el vidrio deslustrado que hace de pantalla.

LA RUGOSIDAD Y EL RUGOSÍMETRO El rugosímetro es el aparato que, como su nombre indica, mide la rugosidad, en concreto de las superficies mecanizadas que son las de nuestro interés. Comenzaremos realizando un estudio de la rugosidad para posteriormente ocuparnos del aparato que la mide. Para comprender cómo es evaluada la rugosidad de las superficies, consideremos las distintas características de éstas: Superficie ideal - la que está perfectamente plana y lisa y exenta de todo tipo de irregularidades (esta superficie es teórica).

II. Instrumentos de Medición.

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Superficie real - Es la que se obtiene con la mecanización y sobre la cual se encuentran los errores dimensionales, geométricos, de ondulación y rugosidad. Superficie medida - Es la que detecta el instrumento de medida microgeométrico (rugosímetro), que tiene por misión revelar las asperezas superficiales de un valor mínimo del orden de una milésima. Dada la alta sensibilidad de este instrumento, se puede considerar que la superficie real y la medida son coincidentes. Superficie técnica - Es la superficie leída por el instrumento de medida macrogeométrico, formado por un palpador con una punta esférica, el cual detecta los errores dimensionales (Ed), geométricos (Eg) y macrogeométricos (Mg). Sobre esta superficie técnica detectada se realizan los estudios adecuados para determinar el acabado superficial final y para determinar también qué elementos de mecanización son los apropiados para su realización. La figura II-30 muestra esquemáticamente el aspecto que presenta una superficie mecanizada, obsérvese el detalle del oscilógrafo. Las irregularidades constantes que presenta son de dos tipos: Irregularidad microgeométrica, que se debe a la acción de la herramienta de corte que mecaniza la superficie. La rugosidad se caracteriza por una sucesión de crestas y valles de pequeña amplitud. Se entiende por rugosidad total (Rt) la distancia entre la cresta más alta y el valle más profundo. Normalmente, la rugosidad muestra una orientación que depende del movimiento de trabajo de la herramienta que ha elaborado la superficie. Irregularidad macrogeométrica u ondulación, en las que las crestas y los valles de la superficie de la pieza no están normalmente dispuestos en un plano, pero en la superficie que presenta la ondulación se marcan la altura (h) y el paso de la ondulación (Po), que son muy superiores a los de la rugosidad, como vemos en esta misma figura. Estas ondulaciones macrogeométricas derivan casi siempre de un defecto de la máquina, como pueden ser las vibraciones de carácter periódico o también la excentricidad, aunque sea mínima, de los útiles dotados de motores rotatorios.

Figura II-30. Superficie Mecanizada

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La diferencia entre rugosidad microgeométrica y ondulación macrogeométrica es sólo convencional y consiste principalmente en la diferencia de paso entre los dos tipos de irregularidades. Al medir la rugosidad superficial se cometen errores. La forma de una superficie consiste en la desviación de la superficie real (Sr) respecto la superficie técnica (St). Como la rugosidad posee un carácter irregular, para calcularla se deben seguir numerosos relieves en planos diversos. Pero, en la práctica, la medida viene efectuada sólo si algún perfil prevalece perpendicularmente sobre la orientación del control. Deformando con un aumento vertical superior al aumento horizontal, el perfil real de una superficie viene a esclarecer el método de medida de la rugosidad, definiendo: L = Longitud del trazo de medida. Es el trazo de perfil técnico sobre el cual se efectúa el relieve de la rugosidad. Lm = Línea media del perfil. Es la línea ideal, paralela al perfil técnico, que divide el perfil real de modo que el área rayada sobre éste (cresta) sea igual al área rayada bajo el mismo (valle). El valor de la rugosidad Ra se obtiene por la media aritmética de trece mediciones sobre distintos puntos de la superficie de la pieza, es decir: Ra = Σ y / N Por ejemplo: suponiendo que las medidas realizadas en una pieza han dado los siguientes resultados: 10, 12, 11, 13, 15, 10, 14, 11, 13, 16, 14, 12 y 13, la rugosidad será: Ra = Σ y / N = 10 + 12 + 11 + 13 ÷ 15÷10) / 13 = (+14+11 +13+16+14+12+13) / 13= 164 / 13 = 12,61 =13 mm.

El rugosímetro El rugosímetro es un aparato electrónico que dispone de un palpador más difundido y está construido de manera que pueda satisfacer las más variadas exigencias (laboratorio, taller y portátil). En la figura II-31 podemos ver dos de estos equipos: uno portátil y otro para laboratorio. Está constituido por un palpador, afilado, con un radio de 0,0025 mm (en la actualidad se construyen con radios de 1 mm), que se mueve sobre la superficie a examinar con dirección, velocidad, presión y longitud de carrera preestablecidas por las normas para la medida de la rugosidad. El palpador está unido rígidamente a un dispositivo de conversión que transforma su movimiento alternativo en una característica eléctrica, la cual será después amplificada de modo suficiente para mover visiblemente el índice de un instrumento a cuadrante o la aguja escribiente de un instrumento registrador. El perfilograma queda trazado por el registrador siguiendo fielmente el perfil real de la superficie, la cual será aumentada sobre el gráfico con un aumento de 100.000 veces (altura de la rugosidad) y 200 veces (paso de la rugosidad). El registro gráfico consiste en una fuerte deformación vertical del perfil.

II. Instrumentos de Medición.

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Utilizando en vez del aparato indicador el índice del instrumento al cuadrante, señalará directamente el valor de la rugosidad (Ra). El aparato está constituido por un palpador, intercambiable, el cual se apoya sobre la superficie a controlar. El cuerpo está montado sobre una cabeza medidora en la cual es posible regular la velocidad de la carrera.

Figura II-31. Rugosimetro de Laboratorio y Portátil.

III. Tipos de los Errores de Medida.

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UNIDAD III TIPOS DE LOS ERRORES DE MEDIDA

Cuando se mide, se obtiene solamente un resultado bruto, en el cual están incluidos los errores de medida, por lo cual es necesario introducir en ellos métodos correctivos que determinen la confiabilidad de las mediciones. Un resultado de medida, efectuado de esta manera, se denomina ―resultado de medida corregido‖. Las técnicas de la metrología hacen posible la determinación y eliminación de los siguientes errores: 1. Los errores sobrantes (errores gruesos o gordos). 2. Los errores sistemáticos. 3. Los errores casuales.

Errores Sistemáticos (fx) La mayor dificultad en la definición de los errores sistemáticos es descubrir los motivos que los ocasionan. Los errores sistemáticos unas veces pueden calcularse, y otras veces es posible determinarlos por ensayos. Los valores y los signos de los errores sistemáticos se obtienen a través de los aparatos o instrumentos de medición. La liberación del resultado de medida de un error sistemático se efectúa añadiendo a él una corrección, que es equivalente al error absoluto del resultado bruto de medida, pero de signo contrario. La corrección está basada sobre el camino experimental.

Notación: El error sistemático corregido se denota con el siguiente símbolo N  , para lo cual el valor exacto de la magnitud N es: N  Ne  N ó N  N  Ne

En el cual: Ne: es el resultado bruto de la medida. N: es el valor correcto de la magnitud medida.

III. Tipos de los Errores de Medida.

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Dentro de los errores sistemáticos se encuentran estos errores que no varían su valor ni su signo durante el proceso de medición; efectuadas por el mismo instrumento de medición. Por ejemplo, si un calibrador tiene las superficies de los topes desgastadas y en consecuencia la escala no es exacta, entonces todas las mediciones efectuadas por el uso de este calibrador presentan el mismo error de medida (error sistemático). El cambio de la temperatura influye directamente sobre los resultados de las mediciones, ocasionando los errores sistemáticos, los cuales son una función de temperatura. Cuando el cambio de temperatura no es verificado, los errores de medida ocasionan los errores casuales. El error sistemático puede determinarse también a través de los resultados de medida indirecta; el resultado depende de los errores sistemáticos ocasionados después de las mediciones directas. Para ello se toma en consideración todas las dependencias entre la magnitud medida y las magnitudes medias directamente. Este procedimiento se puede hacer de una manera muy sencilla; es decir, liberando a todos los resultados parciales directos de los errores sistemáticos. Para los cálculos finales se toman los valores parciales sin los errores sistemáticos.

Definición de Errores Sistemáticos indeterminados Si los errores sistemáticos no están determinados totalmente, pero se conoce el valor isible del error de indicación ∆i, entonces se toma el error de indicación, como el error sistemático sumárico. El valor de ∆i entra como un componente en la ecuación del cálculo de inexactitud de la medida.

Definición de los errores sistemáticos, definidos parcialmente Cuando los errores sistemáticos están determinados parcialmente, y cuando es también posible obtener un error isible de indicación, se toma para los cálculos estos dos valores. Es decir, que en los cálculos de la inexactitud de medida, se toma en consideración y se utiliza el valor conocido de δN∑ y el valor del error de indicación ∆i conjuntamente.

Errores casuales Todos los errores casuales ocurren de una manera incontrolada; es decir, que ellos son el resultado de la sumatoria de todos los pequeños errores de medición. Solamente se pueden determinar en base a una serie de mediciones; en las cuales es probable determinar unos límites, dentro de los cuales se hallan estos errores. Puesto que existe la hipótesis de que todas las mediciones de una serie deben tener la misma exactitud. Esto implica, que dichas mediciones deban ser hechas con la misma

III. Tipos de los Errores de Medida.

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magnitud, por el uso del mismo instrumento de medida, por el mismo operario y dentro de unas condiciones de trabajo establecidas. Cuando se hace una serie de mediciones de una pieza, en condiciones desconocidas y fijas, se obtienen resultados diferentes, debido a la presencia de los errores casuales. Estos resultados pueden ser tomados como la variable aleatoria, que depende de las reglas de la estadística, por lo que se le pueden aplicar los métodos del cálculo de probabilidad, en el caso de que queramos examinarlos. Al obtener un número n de resultados de xi valores medidos, en igualdad de condiciones (idénticas) del objeto medido; entonces, nos preguntamos, cómo obtener los resultados como medidas parciales. Para hacer esto se pueden aplicar varios métodos diferentes; por ejemplo se puede calcular el valor medido para el cual a menudo se aplica el valor de la media aritmética. La media aritmética se determina en base a la fórmula siguiente: x

1 n  xi n i1

El postulado, en el cual se establece, que la suma de los cuadrados de las desviaciones de los resultados de las mediciones según el cual, el valor medio aritmético alcanza un mínimo, ha sido obtenido por Gauss, y es la base del método de los mínimos cuadráticos, aplicados principalmente en la elaboración de los resultados de las mediciones. Este método facilita la eliminación de los errores casuales de medida, con cual existe la posibilidad de obtener un resultado de medición sin la presencia de una gran parte de estos errores. El objetivo de todas las medidas es halar el verdadero valor de la dimensión medida. Con el objeto de evitar cometer errores de un valor considerable, las medidas deben hacerse como mínimo dos veces, ya que los errores casuales hacen que todas las medidas realizadas en un mismo lugar den resultados diferentes; por lo que el verdadero valor de la dimensión N se obtiene de la media aritmética del número de medidas realizadas; es decir: Nx

si los resultados de una serie de mediciones x1,x2,x3,…,xn se consideran libres de los errores sistemáticos; entonces, la media aritmética de estos resultados x es considerada como la mejor magnitud buscada N. n

x

x1  x2  x3  ...  xn  n

x i 1

n

i

N

La desviación media cuadrática de una medida de una serie de mediciones, como la variable aleatoria, varia entre una serie de mediciones, y otra.

III. Tipos de los Errores de Medida.

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Para la apreciación numérica de la exactitud de la medida real de la magnitud N, y de la media aritmética x , se necesite la determinación de la función f(x), que caracteriza la gran cantidad de medidas, la distribución resultante de ellos en forma gráfica, tiene un cuadro con una curva parecida a una campana. Esta curva de distribución se denomina ―curva de Gauss‖, o curva de la distribución normal de los errores. La curva de Gauss (distribución normal) cumple con la ecuación siguiente: 1  x  N 2 2

 1 y  f x   e 2  2

donde

 

n

N  xi 2

i 1

n



x: es la variable aleatoria, que presenta los resultados de las mediciones, de una desconocida, pero fija medida de la magnitud medida N. e: es la base del logaritmo natural. y

f(x) yi

N

N-xi

x

xi en la práctica se acostumbra a utilizar la desviación media cuadrática:

S 

n

 i 1

x  xi 2 n 1

Para aquellas series de mediciones, con n mediciones en cada una de las series, las medias aritméticas x de ellas tienen también la dispersión normal, pero de forma más estrecha, en comparación con la dispersión de los resultados de las respectivas series; entonces se utiliza da desviación media cuadrática de la media aritmética:

Sr 

S n

III. Tipos de los Errores de Medida.

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y

f(x) yi

x

N-xi

N xi

para obtener una alta exactitud de las mediciones, es necesario aumentar la cantidad de mediciones, sin sobrepasar un valor crítico. De una serie de mediciones se toma el valor x como la mayor aproximación medida para un valor diferente. La probabilidad obtener un resultado de n mediciones con un valor medido x , representa el intervalo:

x   ; x    el cual deberá contener la medida real de la dimensión medida N; de la formula siguiente: p x    N  x   

en la cual:  : exactitud de igualdad aproximada. xN

esta probabilidad está representada por un campo rayado, sobre el dibujo siguiente: y

-

+

x

x

Los límites x    y x    de los cálculos de probabilidad se denominan ―límites de confianza‖. Estos campos (con la distribución normal), tienen en los límites de su superficie los siguientes valores: Para  S el campo de superficie vale 0.6326

III. Tipos de los Errores de Medida.

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Para  2S el campo de superficie vale 0.9546 Para  3S el campo de superficie vale 0.9973 Se ha establecido experimentalmente, que de dos (2) hasta noventa (90) mediciones, todos los posibles errores casuales de la misma serie no podrán tener un valor máximo de:

Smax  3S Donde S max es igual al error límite de una serie de mediciones. Por lo tanto, la probabilidad p=0.9973 se ha tomado como un factor de seguridad, ya que dentro de sus límites (-3S hasta +3S) se encuentran la mayoría de los resultados de las mediciones. Por eso, en el resultado corregido de una serie de mediciones se deben considerar las influencias de todos los errores casuales, y para lo cual se tiene la siguiente inscripción: n  x  3S

La descripción de esta inscripción se explica de la manera siguiente: el valor real medido, pero desconocido N se obtiene de la probabilidad p=0.9973, en los intervalos x  3S; x  3S  . El empleo de este principio, solamente se justifica cuando la cantidad de mediciones es suficientemente grande. En la práctica se toma entre 25 y 30 el número de medidas. Cuando la cantidad de medidas no es muy grande, entonces se debe introducir una corrección sobre la probabilidad; o introducir una corrección, en la hipótesis de probabilidad, sobre el intervalo de dispersión. Este problema fue resuelto por un inglés, de nombre W. Gossez, quien es conocido por el seudónimo de Student. Cuando la variable aleatoria x depende de la distribución normal de Gauss, entonces la variable aleatoria es: t

xN Sr

La curva imaginaria de esta distribución se parece a la curva de Gauss. La distribución t de Student facilita la determinación de la probabilidad, en los casos donde el valor t este dentro del intervalo

 t N  t  t N  para cada un cualquier tN>0, junto a cualquiera n≥2, y cualquiera desviación media cuadrática de la media aritmética Sr. La probabilidad de que una dimensión efectiva N se encuentre dentro del intervalo  t N ;t N  , es determinada por la ecuación:

III. Tipos de los Errores de Medida.

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p 1  a

la desigualdad  t N  t  t N

se puede inscribir de la manera siguiente x  t N Sr  N  x  t N Sr

Luego, sustituyendo a tNSr por  t N Sr    , se tiene: x   N  x 

Que es lo que se denomina el intervalo de confianza. Cuando se toman en cuenta todos los errores sistemáticos y todos los errores límites casuales del resultado de una medida, se está considerando el término ―inexactitud de medida‖. La inexactitud de medida representa al error máximo que puede estar presente en el resultado de una medida.

Errores Sobrantes Los errores sobrantes se definen como los errores causados por la mala ejecución de las mediciones. Los causantes de este error pueden ser: 

La lectura errónea de la indicación del instrumento de medición.



La inscripción equivocada del resultado de medida



El uso de un instrumento de medida con deterioro.



Error de los cálculos.

Los errores descritos se consideran realmente grandes comparados con los errores casuales; por lo que es muy fácil determinarlos. Esta evaluación es muy subjetiva, y a veces se presentan situaciones, en las cuales existen las dudas respecto a si es un error sobrante, o es un error casual. En estos casos, se toma en consideración el principio de los errores límites, en el interpolo de las ―tres sigma‖. Se sabe, que cuando el error de una medida sobrepasa el error limite de las tres sigma; entonces, es necesario eliminar este resultado de medida, y considerarlo como un resultado con errores sobrantes. Cuando se efectúa una serie de mediciones n; la media aritmética se calcula en base a la fórmula siguiente:

III. Tipos de los Errores de Medida.

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b

1 n  bi n i1

después se determina el valor de la desviación de la media cuadrática (a menudo llamada desviación estándar):

b  b 

2

S

i

n 1

se calcula el error límite por el principio de los tres sigma: 3S

todos los resultados, obtenidos durante las mediciones, deben ser comparados con la desigualdad:

b  b   3S i

todos los valores que cumplen con esta desigualdad deben ser eliminados. Para realizar los cálculos de la exactitud de medida, se toman solamente los valores que cumplen con la siguiente desigualdad:

b  b   3S i

Inexactitud de las medidas La inexactitud de las medidas se basa en todos los errores presentes durante el proceso de medición. La inexactitud de las medidas señala por tanto, los límites sobre los que no debe pasar el error sumárico. La definición de esta concepto se representa con siguiente desigualdad: f máx   m

en la cual: f máx : es el mayor error sumárico.

 m : es la inexactitud de la medida. El error total de medida debe considerar, tanto la sumatoria de los errores sistemáticos, como la de los errores casuales; es decir, que para determinar y calcular la inexactitud de medida es necesario; primero determinar o calcular los componentes de ella. Como componentes de la inexactitud de medida se pueden mencionar los siguientes: 

Los errores sistemáticos, como por ejemplo, inexactitud de indicación, inexactitud de lectura, influencia de la temperatura, influencia de presión,

III. Tipos de los Errores de Medida.

102

rugosidad, etc. 

Los errores casuales.

No se debe olvidar el principio general; en el cual se establece, que el error sumárico de medida no debe ser mayor pero si menor o igual a la inexactitud de la medida. Este principio está representado en la fórmula siguiente: f máx   m

Determinación de la inexactitud de medida cuando los errores sistemáticos están determinados totalmente Teniendo la corrección sumárica Nz y después el cálculo de la exactitud de la igualdad aproximada S, se puede determinar el error sumárico máximo f máx en base al principio de la sumatoria de los errores:

f máx  Nz   Después de determinar el error sumárico máximo, se deben comparar los valores calculados con la inexactitud de medida isible, según la dependencia establecida: f máx   m

A partir de este momento no existen obstáculos para determinar el valor real de la dimensión medida: N  x  Nz  

En la práctica, cuando no se exige el análisis detallado de los errores; debido a que lo importante en ella es la determinación de los límites de inexactitud de medida  m (a el error sumárico máximo f máx ); considerando que estos errores no sobrepasan los límites establecidos, se tiene que:

 m  i   L en la cual:

 i : es el error (o inexactitud) de indicación.

 L : es el error (o inexactitud) de lectura. El error de indicación  i se obtiene dentro de las instrucciones de servicio, o catálogos del aparato, o también en los libros de metrología. Con mucha frecuencia, el error de indicación recibe el nombre de ―inexactitud de indicación‖. El error de lectura  L para las condiciones de laboratorio se toma igual a:

III. Tipos de los Errores de Medida.

103

 L  t0.1a

donde: a : es el valor de la división elemental (apreciación). Para las condiciones de producción, el error de lectura tiene un valor diferente:  L  t0.5a

Determinación de la inexactitud de medida cuando los errores sistemáticos no están determinados Se los errores sistemáticos no están totalmente determinados, pero se conoce el valor isible del error de indicación  i , entonces se toma este error de indicación, como el error sistemático sumárico. Puesto que, todos los errores casuales se obtienen en base a la sumatoria geométrica (principio de adición de los errores casuales):

   12   22   32  ...   n2 con lo cual se podrá obtener el error máximo sumárico de la siguiente manera:

f max   l   s 2 2

tomando en consideración la dependencia f máx   m

se puede determinar la inexactitud de la medida. Si se quiere determinar, también, el valor real de la dimensión medida, se debe usar la dependencia siguiente:

Nx

i 2   2

Determinación de la inexactitud de medida cuando los errores sistemáticos están definidos parcialmente Si los errores sistemáticos están determinados parcialmente, y es posible obtener un error de indicación isible, el error máximo sumárico f máx se podrá obtener de la fórmula:

f máx  N  

i 2   2

Después de determinar el error máximo sumárico, se debe comparar los valores calculados con la inexactitud isible de medida, según la dependicia: f máx   m

III. Tipos de los Errores de Medida.

104

Cuando se quiere determinar, también el valor real de la dimensión medida, se debe usar las dependencias siguientes:

N  x  N 

i 2   2

IV. Incertidumbre en la Medición.

105

UNIDAD IV INCERTIDUMBRE EN LA MEDICIÓN

1.- El Mensurando: El propósito de una medida es determinar el valor de una magnitud, llamada el mensurando, que de acuerdo al VIM (Vocabulario Internacional de Metrología, es el atributo sujeto a medición de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativa mente y determinado cuantitativamente. Una definición completa del mensurando incluye especificaciones sobre las magnitudes de la entrada relevante. Los mensurandos son las magnitudes particulares objeto de una medición. En calibración, es frecuente que sólo se disponga de un mensurando o magnitud de salida Y, que depende de una serie de magnitudes de entrada Xi (i =1,2,...,N), de acuerdo con la relación funcional. Y  f  X1 , X 2 , X 3 ,..., X n 

La función modelo f representa el procedimiento de medición y el método de evaluación. Describe cómo se obtienen los valores de magnitud de salida Y a partir de los valores de las magnitudes de entrada. En la mayoría de los casos, la función modelo corresponde a una sola expresión analítica, pero en otros casos se necesitan varias expresiones de este tipo que incluyan correcciones y factores de corrección de los efectos sistemáticos, en cuyo caso existe una relación más complicada que no se expresa explícitamente como una función. Es más, f puede determinarse experimentalmente, existir sólo como un algoritmo de cálculo que deba ser numéricamente evaluado, o ser una combinación de todo ello. El conjunto de magnitudes de entrada Xi puede agruparse en dos categorías, según la forma en que se haya calculado el valor de la magnitud y la incertidumbre asociada al mismo:  Magnitudes cuyo valor estimado y cuya incertidumbre asociada se determinan directamente en la medición. Estos valores pueden obtenerse, por ejemplo, a partir de una única observación, observaciones reiteradas o juicios basados en la experiencia. Pueden exigir la determinación de correcciones de las lecturas del instrumento y de las magnitudes de influencia, como la temperatura ambiental, la presión barométrica o la humedad relativa. La definición del mensurando usualmente alude, casi siempre de manera implícita, a una estimación de la incertidumbre requerida.

IV. Incertidumbre en la Medición.

106

2.-Incertidumbre: De acuerdo con el VIM, es un parámetro que caracteriza la dispersión de los valores que pueden ser atribuidos razonablemente al mensurando. El principio, el método y el procedimiento de medición son determinantes en el valor de la incertidumbre de la medición. Un conocimiento insuficiente de ellos muy probablemente conducirá a una estimación equivocada, o incompleta en el mejor de los casos, de la incertidumbre de la medición. El conocimiento del principio de medición permite al Metrólogo dominar la medición, esto es, modificarla, diseñar otra, evaluar su convivencia, etc., además es indispensable para estimar la incertidumbre de la medición. En el caso de las variables aleatorias, la varianza de su distribución o la raíz cuadrada positiva de la varianza, llamada desviación típica, se utiliza como medida de la dispersión de los valores. La incertidumbre típica de medida asociada a la estimación de salida o al resultado de la medición Y, expresada por u(y), es la desviación típica del mensurando Y. Se determina a partir de los valores estimados Xi y sus incertidumbres típicas asociadas U(Xi). La incertidumbre típica asociada a un estimado tiene la misma dimensión que éste. En algunos casos, puede utilizarse la incertidumbre típica relativa de medida, que es la incertidumbre típica de medida asociada a un estimado dividida por el módulo de dicho estimado'), por consiguiente, es adimensional. Este concepto no es aplicable cuando el estimado es igual a cero.

3.- Modelo Matemático: El modelo matemático supone aproximaciones originadas por la representación imperfecta o limitada de las relaciones entre las variables involucradas. Considerando a la medición como un proceso, se identifican magnitudes de entrada denotadas por el conjunto, {xi}, expresión en la cual el índice i toma valores entre 1 y el número de magnitudes de entrada N. La relación entre las magnitudes de entrada y el mensurando y como la magnitud de salida se representa como una función, Y=f({X1})=f(X1,X2,...,Xn), representada por una tabla de valores correspondientes, una gráfica o una ecuación. Aunque para el propósito de este trabajo se considerará y como escalar, puede aplicarse el mismo formalismo para elementos matemáticos más complejos como vectores o matrices. En este trabajo se denota con xi, al mejor estimado de las magnitudes de entrada Xi. Los valores de las magnitudes de entrada pueden ser resultados de mediciones recientes realizadas por el o tomados de fuentes como certificados, literatura, manuales, etc. El mejor estimado del valor del mensurando es el resultado de calcular el valor de la función f evaluada en el mejor estimado de cada magnitud de entrada. Y=f(Xi,X2,...,Xn).

4.-Identificación de las Fuentes de Incertidumbre Una vez determinados el mensurando, el principio, el método y el procedimiento de la medición, se identifican las posibles fuentes de incertidumbre. Estas provienen de los diversos factores involucrados en la medición, por ejemplo:

IV. Incertidumbre en la Medición.

107

 Los resultados de la calibración del instrumento.  La incertidumbre del patrón o del material de referencia.  La repetibilidad de las lecturas.  La reproducibilidad de las mediciones por cambio de observadores, instrumentos u otros elementos.  Características del propio instrumento, como resolución, histéresis, deriva, etc.  Variaciones de las condiciones ambientales  La definición del propio mensurando  El modelo particular de la medición.  Variaciones en las magnitudes de influencia. No es recomendable desechar alguna de las fuentes de incertidumbre por la suposición de que es un poco significativa sin una cuantificación previa de su contribución, comparada con las demás, apoyadas en mediciones. Es preferible la inclusión de un exceso de fuentes que ignorar algunas entre las cuales pudiera descartarse alguna importante. No obstante, siempre estarán presentes efectos que la experiencia, conocimientos y actitud crítica del Metrólogo permitirán calificar como irrelevantes después de las debidas consideraciones.

4.1-¿Qué no son incertidumbres de medición?  Las tolerancias, no son incertidumbres. Ellas son los límites de aceptación que se han elegido para un proceso o un producto.  Las especificaciones, no son incertidumbres. Una especificación indica a Usted lo que se espera de un producto. Las especificaciones pueden tener un alcance amplio, incluso cualidades no técnicas, como el aspecto.  La Exactitud o su antónimo la Inexactitud, no es lo mismo que incertidumbre. Desafortunadamente, el uso de los dos términos es confuso. Hablando correctamente, exactitud es un término cualitativo, o sea se puede decir que una medición es exacta o inexacta. La incertidumbre es cuantitativa.  Los Errores, aunque en el pasado se tomaban como equivalentes, en frases tales como "análisis de error‖.  El análisis estadístico no es el mismo que el análisis de la incertidumbre. La estadística puede usarse para establecer un sinnúmero de conclusiones que no tienen que ser acerca de incertidumbres. El análisis de la incertidumbre solamente utiliza una parte de la estadística.

IV. Incertidumbre en la Medición.

108

5.- Métodos Principales para cuantificar las fuentes de la Incertidumbre. 5.1 Método de Evaluación Tipo A: Está basado en un análisis estadística de una serie de mediciones. Esta se utiliza cuando se han realizado n observaciones independientes de una de las magnitudes de entrada xi bajo las mismas condiciones de medida. Si este proceso de medida tiene suficientemente resolución, se podrá observar una dispersión o fluctuación de los valores obtenidos. Supóngase que la magnitud de entrada Xi, medida repetidas veces, es la magnitud Q. Con n(n > 1) observaciones estadísticamente independientes, el valor estimado de la magnitud

q

1 n  q j  qn  n j 1

Q es q. La media aritmética o el promedio de todos los valores de observados qj(j=1,2,3,...,n). La incertidumbre de medida asociada al estimado q, se evalúa de acuerdo con uno de los métodos siguientes: (a) El valor estimado de la varianza de la distribución de probabilidad es la varianza experimental S2(q) de los valores qj' que viene dada por:

s 2 q  

1 n q j  q 2  n  1 j 1

Su raíz cuadra (positiva) se denomina desviación típica experimental. La mejor estimación de la varianza de la media aritmética q es la varianza experimental de la media aritmética, que viene dada por:

sr2 q  

s 2 q  n

Su raíz cuadrada positiva se denomina desviación típica experimental de la media aritmética. La incertidumbre típica u(q) asociada a la estimación de entrada q es la desviación típica experimental de la medida.

uq   sr q  Advertencia: Generalmente, cuando el número n de mediciones repetidas es pequeño (n <10), la evaluación tipo A de la incertidumbre típica, expresada en la ecuación anterior (IV) puede no ser fiable. Si resulta imposible aumentar el número de observaciones, tendrán que considerarse otros métodos que serán descritos en este trabajo para evaluar la incertidumbre típica. (b) Cuando una medición está correctamente caracterizada y bajo control estadístico, es posible que se disponga de una estimación combinada de la varianza Sr2 que caracteriza

IV. Incertidumbre en la Medición.

109

mejor la dispersión que la desviación típica estimada a partir de un número limitado de observaciones. Si, en ese caso, el valor de la magnitud de entrada Q se calcula como la media aritmética q de un pequeño número n de observaciones independientes, la varianza de la media aritmética podrá estimarse como:

sr q  

s 2 q  n

Así la incertidumbre estándar de Xi:

u xi  

1 n

1 n qk  q 2  n  1 k 1

5.2.- Método de Evaluación Tipo B: La evaluación tipo B de la incertidumbre típica es la evaluación de la incertidumbre asociada a un estimado Xi, por otros medios distintos al análisis estadístico de una serie de observaciones. La incertidumbre típica u{xi} se evalúa aplicando un juicio científico basado en toda la información disponible sobre la posible variabilidad de Xi, Los valores que caigan dentro de esta categoría pueden derivarse:  Datos obtenidos de mediciones anteriores  Experiencia o conocimientos generales sobre el comportamiento y las propiedades de los materiales e instrumentos relevantes.  Especificaciones de los fabricantes.  Datos obtenidos de calibraciones y de otros certificados.  Incertidumbres asignadas a los datos de referencia obtenidos de manuales. El uso apropiado de la información disponible para una evaluación Tipo B de la incertidumbre típica de medición exige un juicio basado en la experiencia y en conocimientos generales. Es una destreza que pueda adquirirse con la práctica. Una evaluación Tipo B de la incertidumbre típica que tenga una base sólida puede ser tan fiable como una evaluación tipo A, especialmente cuando ésta se basa sólo en un número comparativamente pequeño de observaciones estadísticamente independientes. Deben distinguirse los siguientes casos:  Cuando sólo se conoce un valor único de la magnitud Xi, por ejemplo, el valor de una única medición el valor resultante de una medición previa, un valor de referencia obtenido de la literatura o el valor de una corrección, este valor debe utilizarse como Xi, La incertidumbre típica U{Xi} asociada a Xi debe adoptarse siempre que se conozca. En caso contrario, debe calcularse a partir de datos inequívocos sobre la incertidumbre. Si no se dispone de este tipo de datos, la incertidumbre tendrá que estimarse sobre la base de la experiencia.  Cuando se pueda suponer una distribución de probabilidad para la magnitud Xi, ya sea basándose en la teoría o en la experiencia, la expectativa o el valor esperado y

IV. Incertidumbre en la Medición.

110

la raíz cuadrada de la varianza de su distribución deben tomarse como el estimado Xi y la incertidumbre típica asociada U{Xi} respectivamente.  Si sólo pueden estimarse unos límites superior e inferior a+ y a- respectivamente para el valor de la magnitud Xi (por ejemplo, especificaciones del fabricante de un instrumento de medición, intervalo de temperaturas, error de redondeo o de truncamiento resultante de la reducción automatizada de los datos). Puede suponerse una distribución de probabilidad con densidad de probabilidad constante entre dichos límites (distribución de probabilidad rectangular) para la variabilidad de la magnitud de entrada Xi, Según el anterior caso, se obtiene: xi 

1 a  a  2

para el valor estimado de y:

u 2 xi  

1 a  a  12

Para el cuadrado de la incertidumbre típica. Si la diferencia entre los valores límites se expresa como 2a, la ecuación anterior se convierte en: 1 u 2 xi   a 2 3

La distribución rectangular es una descripción razonable en términos de probabilidad del conocimiento que se tenga sobre la magnitud de entrada Xi cuando no existe ninguna otra información más que sus límites de variabilidad. Pero si se sabe que los valores de la magnitud en cuestión son próximos a los extremos, un modelo más adecuado sería una distribución triangular o normal. Por otro lado, cuando los valores cercanos a los extremos son más probables que los valores cercanos al centro, es más apropiada una distribución con forma U. Por otro lado, cabe destacar que la clasificación (Tipo A y Tipo B), no exista alguna diferencia en la naturaleza de los componentes que resultan de cada uno de los dos tipos de evaluación, puesto que ambos tipos están basados en distribuciones de probabilidad. La única diferencia es que en las evaluaciones tipo A se estima esta distribución basándose en mediciones repetidas obtenidas del mismo proceso de medición mientras en el caso de tipo B se supone una distribución con base en experiencia información externa al Metrólogo. En la práctica esta clasificación no tiene consecuencia alguna en las etapas para obtener una estimación de la incertidumbre combinada.

5.3.-Distribuciones de Probabilidad a) Distribución Normal: Los resultados de una medición repetida por una o más magnitudes de influencia que varían aleatoriamente, generalmente siguen en buena aproximación una distribución normal. También la incertidumbre indicada en certificados de calibración se refiere generalmente a una distribución normal.

IV. Incertidumbre en la Medición.

111

b) Distribución Rectangular: En una distribución rectangular cada valor en un intervalo dado tiene la misma probabilidad, o sea la función de densidad de probabilidad es constante en este intervalo. En general cuando exclusivamente hay conocimiento de los límites superior e inferior del intervalo de variabilidad de la magnitud de entrada, lo más es suponer una distribución rectangular. c) Distribución Triangular: Si además del conocimiento de los límites superior e inferior hay evidencia de que la probabilidad es más alta para valores en el centro del intervalo y se reduce hacia los límites, puede ser más adecuado basar la estimación de la incertidumbre en una distribución triangular. d) Otras Distribuciones: Pueden encontrarse también distribuciones como la U, en la cual los extremos del intervalo presentan los valores con probabilidad máxima, típicamente cuando hay comportamientos oscilatorios subyacentes. También se encuentran distribuciones triangulares con el valor máximo en un extremo como en las asociadas a "errores de coseno".

6.- Combinación El resultado de la combinación de las contribuciones de todas las fuentes es la incertidumbre combinada uc(y), la cual contiene toda la información esencial sobre la incertidumbre del mensurando Y. La contribución ui{y} de cada fuente a la incertidumbre combinada depende de la incertidumbre estándar u(Xi) de la propia fuente y del impacto de la fuente sobre el mensurando. Es posible encontrar que una pequeña variación de alguna de las magnitudes de influencia tenga un impacto importante en el mensurando, y viceversa. Se determina ui(y) por el producto de u(Xi) y su coeficiente de sensibilidad Ci (o factor de sensibilidad).

ui  y   ci  uxi 

6. l.-Coeficiente de Sensibilidad El coeficiente de sensibilidad describe, qué tan sensible es el mensurando con respecto a variaciones de la magnitud de entrada correspondiente. Para se determinación existen dos métodos: a) Determinación a partir de una relación funcional: Si el modelo matemático para el mensurando y =f(X1,X2,X3,...,Xn) describe la influencia de la magnitud de entrada Xi, suficientemente bien mediante una relación funcional, el coeficiente de sensibilidad ci se calcula por la derivada parcial de f con respecto a X1:

IV. Incertidumbre en la Medición.

ci 

112

f  X 1,..., X n  X i  X 1,..., X N  xn X i

b) Otros métodos de determinación: Si la influencia de la magnitud de entrada Xi, en el mensurando y no está representada por una relación funcional, se determina el coeficiente de sensibilidad ci por una estimación del impacto de una variación de xi en y según: c

Y X i

Esto es, manteniendo constantes las demás magnitudes de entrada, se determina el cambio de y producido por un cambio en xj por una medición o a partir de la información disponible.

6.2.- Propagación de la incertidumbre para magnitudes de entrada no correlacionadas. En el caso de magnitudes de entrada no correlacionadas, la incertidumbre combinada uc(v) se calcula por la suma geométrica de la contribuciones particulares: N

u   ui2  y  2 c

i 1

Considerando las ecuaciones al principio resulta finalmente:

uc  y  

2

N

 c , ux  i 1

i

i

 f    u xi  i 1  X i  N

2

La regla presentada es llamada ley de propagación de incertidumbre. Esta ecuación se aplica cuando se dispone de la relación funcional entre X y {xi}

6.3.- Magnitudes de entrada relacionadas con más de una fuente de incertidumbre. En la mayoría de los casos una magnitud de entrada Xi es afectada por varias fuentes de incertidumbre, que pueden ser por ejemplo la resolución del instrumento, la dispersión de datos obtenidas por mediciones repetidas y la incertidumbre de la calibración del instrumento. En este caso hay dos maneras (equivalentes) de calcular la incertidumbre combinada. a) Como primera alternativa, se calcula la incertidumbre total (combinada) relacionada con cada magnitud de entrada Xi por la suma geométrica de las incertidumbres individuales:

IV. Incertidumbre en la Medición.

113

 u x  Mi

u xi  

2

j

J 1

i

donde Uj(xi) es la incertidumbre estándar de la fuente de incertidumbre número j de las fuentes relacionadas con la magnitud de entrada Xi. Después se introducen los valores de u (xi) de la ecuanción uc(y) b) Si uno está interesado en ver el efecto particular que tiene cada una de las fuentes en la incertidumbre combinada uc(y), cada fuente puede entrar individualmente en la ecuación, sustituyendo el número de magnitudes de entrada N en la suma por el número total de fuentes de incertidumbre. Cabe mencionar que el coeficiente de sensibilidad Ci es igual para todas las fuentes de incertidumbre relacionadas con la misma magnitud de entrada Xi. Cuando el coeficiente de sensibilidad Ci es cero o cuando la función no ite una representación lineal adecuada (únicamente con la primera derivada) en el intervalo ±U(Xi) es conveniente y aun indispensable considerar términos de segundo orden (que dependen de las segundas derivadas).

6.4. Cálculo con incertidumbres relativas Si el modelo matemático se compone de productos de las magnitudes de entrada Xi: N

f  X 1,..., X N   const.  X i 

pi

i 1

donde const. es una constante y los exponentes pi son constantes reales (positivas o negativas), el cálculo (numérico) de la incertidumbre combinada se facilita utilizando incertidumbres relativas. Los coeficientes de sensibilidad en este caso son pi, y la ley de propagación de incertidumbre para calcular la incertidumbre combinada relativa U(y) se simplifica:

uc , rel  y  

N

  p  u x  i 1

2

i

rel

i

 u xi     pi   xi  i 1  N

2

Un caso particular muy común es que todos los exponentes pi son +1 o -1, o sea Y es un producto o cociente de las magnitudes de entrada, puesto que en este caso las coeficientes de sensibilidad son 1 y la incertidumbre combinada relativa uc,re (y) es la suma geométrica de las incertidumbres relativas de las magnitudes de entrada: uc , rel  y  

2

N

 u x  i 1

rel

i

6.5. Propagación de la incertidumbre para magnitudes de entrada correlacionadas. Si algunas de las magnitudes de entrada están correlacionadas, hay que considerar las covarianzas entre las magnitudes correlacionadas y la ecuación se modifica a:

IV. Incertidumbre en la Medición.

114 2

N  f  f f uc , rel  y      u xi      u xi   u x j  r xi , x j  i 1  X i  ii ,j j1X i X i N

donde r(Xi,Xj) es el factor de correlación entre las magnitudes de entrada Xi Y Xj.

7. Correlación A menudo los resultados de mediciones de dos magnitudes de entrada están ligados, ya sea porque existe una tercera magnitud que influye sobre ambas, porque se usa el mismo instrumento para medir o el mismo patrón para calibrar, o por alguna otra razón. Desde el punto de vista estadístico, dos variables son independientes cuando la probabilidad asociada a una de ellas no depende de la otra, esto es, si q y w son dos variables aleatorias independientes, la probabilidad conjunta se expresa como el producto de las probabilidades de las variables respectivas

pq, w  pq  pw

8. Incertidumbre expandida La forma de expresar la incertidumbre como parte de los resultados de la medición depende de la conveniencia del . A veces se comunica simplemente como la incertidumbre estándar combinada, otras ocasiones como un cierto número de veces tal incertidumbre, algunos casos requieren se exprese en términos de un nivel de confianza dado, etc. En cualquier caso, es indispensable comunicar sin ambigüedades la manera en que la incertidumbre está expresada.

8.1. Factor de cobertura y nivel de confianza La incertidumbre estándar Uc representa un intervalo centrado en el mejor estimado del mensurando que contiene el valor verdadero con una probabilidad p de 68% aproximadamente, bajo la suposición de que los posibles valores del mensurando siguen una distribución normal. Generalmente se desea una probabilidad mayor, lo que se obtiene expandiendo el intervalo de incertidumbre por un factor k, llamado factor de cobertura. El resultado se llama incertidumbre expandida u.

U  k  uc La incertidumbre expandida U indica entonces un intervalo que representa una fracción p de los valores que puede probablemente tomar el mensurando. El valor de p es llamado el nivel de confianza y puede ser elegido a conveniencia. En el medio industrial, a menudo se elige el nivel de confianza de manera tal que corresponda a un factor de cobertura como un número entero de desviaciones estándar en una distribución normal. Cuando es necesaria una estimación más rigurosa de la incertidumbre expandida se consideran las Secs. 8.2 hasta 8.4; cuando no son necesarias estimaciones muy rigurosas de

IV. Incertidumbre en la Medición.

115

la incertidumbre, como en mediciones de baja exactitud, entonces es suficiente seguir con la Secc 8.4.

8.2. Distribución t de Student Frecuentemente, los valores del mensurando siguen una distribución normal. Sin embargo, el mejor estimado del mensurando, la media (obtenida por muestreos de n mediciones repetidas) dividida entre su desviación estándar, sigue una distribución llamada t de Student, la cual refleja las limitaciones de la información disponible debidas al número finito de mediciones. Esta distribución coincide con la distribución normal en el límite cuando n tiende a infinito, pero difiere considerablemente de ella cuando n es pequeño. La distribución t de Student es caracterizada por un parámetro v llamado número de grados de libertad. Considerando lo anterior, es necesario ampliar el intervalo correspondiente al nivel de confianza p, por lo que la ecuación de U se transforma en: U  t p v   uc

El factor t p (v) indica los límites del intervalo correspondiente al nivel de confianza p de la distribución y su valor siempre es mayor o igual que el factor k (tomado de la distribución normal). Sus valores se encuentran en tablas. Cuando se combinan varias fuentes de incertidumbre con sus respectivas distribuciones para obtener la incertidumbre combinada Uc del mensurando, el Teorema del Límite Central permite aproximar la distribución resultante por una distribución normal. La aproximación será mejor mientras más grande sea el número de fuentes y sus contribuciones sean similares, independientemente de la forma particular de sus distribuciones. Nuevamente, la disponibilidad limitada de información hace necesario el uso de la distribución t de Student para determinar la incertidumbre expandida de manera rigurosa. (con la suposición de que los valores del mensurando obedecen una distribución normal). El número efectivo de grados de libertad vef para esta situación se discute en esta sección. Cuando sólo es relevante la contribución de una fuente cuya distribución no sea normal, lo más conveniente es estimar la incertidumbre expandida directamente de los parámetros de la distribución. Por ejemplo, cuando las lecturas obtenidas con un instrumento de baja exactitud son idénticas debido a la resolución del instrumento y las otras fuentes de incertidumbre son insignificantes, es plausible suponer que los valores razonables del mensurando siguen una distribución rectangular cuyos límites están determinados por el valor de la escala del instrumento, al que se le ha asignado una cierta incertidumbre, entonces puede estimarse directamente el ancho del intervalo que contiene la fracción p de los valores que pueden atribuirse razonablemente al mensurando. Por ejemplo, sí se considera una medición tomada con un instrumento analógico con resolución de 2 unidades, con incertidumbre del 10% en la resolución, el 95% de los valores está contenido en un intervalo de ancho 2(1+0.1)O.95~2.1 unidades.

IV. Incertidumbre en la Medición.

116

8.3. Grados de libertad De cierta manera el número v de grados de libertad asociado a una distribución de una magnitud (Xi, Y) puede considerarse una medida de incertidumbre de la incertidumbre de esa magnitud. Entre mayor sea v la estimación de la incertidumbre será más confiable. El número efectivo de grados de libertad vef del mensurando considera el número de grados de libertad vi de cada fuente de incertidumbre. En las incertidumbres tipo A, vi; depende directamente del número de datos considerados y disminuye conforme el número de parámetros estimados a partir de los mismos datos. La repetibilidad de una medición, estimada por la desviación estándar experimental de n lecturas tiene n-l grados de libertad. Una regresión lineal de M puntos mediante una ecuación de m parámetros tiene M-m grados de libertad. La determinación del número de grados de libertad de una incertidumbre tipo B implica el criterio del Metrólogo soportado por su experiencia, aun cuando sea subjetiva, para determinar la incertidumbre relativa de la propia incertidumbre, y calcular el número de grados de libertad para esa fuente específica i con la ecuación. 1  u xi  1  u xi   v1       2  u xi   2  u xi  2

2

La cantidad Δu(xi) es una estimación de la incertidumbre de la incertidumbre u(Xi) de la fuente; cuantificada por el Metrólogo. Es recomendable aproximar el resultado del cálculo con la ecuación anterior al entero cercano más bajo. Por ejemplo, si ΔU(Xi) es cero, es decir, el i nefrólogo está completamente seguro del valor de u(xi), el número de grados de libertad asociado a esa fuente es infinito. Si el Metrólogo considera que u(xi) tiene una incertidumbre del 50%, el número de grados de libertad es de sólo 2, y si la considera del 20% el número de grados de libertad asciende a 12.

9. Algoritmo para el cálculo de incertidumbre Aquí vamos a presentar un algoritmo para calcular la incertidumbre asociada a un proceso de calibración, usando el estudio de incertidumbre estándar tipo A Paso 1: Fenómeno de Calibración: 1. El valor nominal d cada patrón, X0j es dado 2. La incertidumbre asociada a cada patrón, Uoi es dada. 3. Se toma una serie de mediciones: Xcj1, Xcj2,..., Xcji,..., Xcjn n

4. Se calcula la media de dichas mediciones: xcj 

x i 1

ncj

cji

IV. Incertidumbre en la Medición.

117

 x n

5. Se calcula la desviación estándar muestral: S cj 

i 1

 xcj 

2

cji

ncj  1

Si la serie es pequeña (20
S cj

2

ncj

Paso 2: Fenómeno de medición: 1. Se tiene una serie de medidas realizadas con el instrumento: (nm): x1’, x2’,..., xm’ n

2. Se calcula la media de dichas medidas x ' 

x i 1

mi

nm

3. Cálculo del valor del mesurando corregido: xm  x 'xc nm

4. Se calcula la desviación estándar de muestra: S m 

  x' k 1

k

 xm 

2

nm  1 2

5. Cálculo de la incertidumbre de medición: U m   U cj

2

S  m nm

Paso 3: Fenómeno de correlación residual: aquí se considera el efecto residual debido al uso de una considerable cantidad de patrones diferentes en la calibración

1 N 1. Cálculo de la correlación Global: xc      xcj  N  j 1 2. Cálculo del factor de correlación residual:  cj  xcj  xc 3. Cálculo de la incertidumbre residual: U R 

 cj 3

Paso 4: Cálculo de la incertidumbre de medición, considerando el efecto residual

U j  U cj2  U m2  U R2 Recordemos que cuando se calcula la desviación media muestral, se calcula sobre la base de que el número de medidas se encuentra entre 20 y 90, es decir, una serie

IV. Incertidumbre en la Medición.

118

intermedia, ya que es lo más común en estos estudios. Si la serie es pequeña, es decir menos de 20 mediciones, calculamos la desviación estándar de la media aritmética, la cual S se define como: S r  c n

Ejemplo He aquí un ejemplo de cómo calcular la incertidumbre asociada a un proceso de calibración. Se tienen los siguiente patrones con sus respectivas incertidumbres asociadas. Las medidas están dadas en milímetros. Patrón P1 P2 P3 P4

Medida nominal (X0i) 18 19 20 21

Incertidumbre asociada (Uoi) 0.002 0.001 0.002 0.001

Durante el proceso de calibración de un micrómetro, de apreciación 0.01mm, se arrojaron los siguientes resultados por cada patrón. Patrón P1 Patrón P2 Patrón P3 Patrón P4

Medida 1

18.10

19.05

20.10

21.10

Medida 2 Medida 3 Medida 4 Medida 5

17.95 18.08 17.96 17.90

19.20 18.97 19.10 18.90

20.03 20.10 20.08 19.98

20.90 20.95 21.07 21.10

Hallar la incertidumbre asociada a la calibración del instrumento, utilizando el criterio de incertidumbre estándar tipo A. Se recomienda en los cálculos utilizar a lo sumo 6 cifras decimales de exactitud (usando truncamiento) y al presentar el valor de la incertidumbre usar tantas cifras decimales como tenga la incertidumbre asociada al patrón. Solución: para la resolución de estos problemas es recomendable analizar uno a uno los patrones, ya que así se evita el desorden y los cálculos se realizan de una forma más rápida. Análisis del patrón 1: 

Cálculo de la media de las mediciones realizadas n

xc1  

 xc1i i 1

nc1

5



x i 1

5

c1i

 17.998000

Cálculo de la desviación media cuadrática o desviación estándar muestral

IV. Incertidumbre en la Medición. 5

 x

S c1 

i 1

 xc1 

119

2

c1i

 0.087292

nc1  1

Como es una serie pequeña, utilizamos la desviación estándar de la media aritmética S r1 



S c1 nc1

0.087292



 0.039038

5

Cálculo del factor de corrección de calibración

xc1  x01  xc1  18  17.988000  xc1  0.002000



Cálculo de la incertidumbre de calibración para el patrón 1: S r1 0.0390382  0.017572 2   0.002  nc1 5 2

U c1   U 01  2

Análisis del patrón 2: 

Cálculo de la media de las mediciones realizadas n

xc 2  

x i 1

5

c 2i



nc 2

x i 1

c 2i

5

 19.044000

Cálculo de la desviación media cuadrática o desviación estándar muestral 5

 x

Sc2 

i 1

 xc 2 

2

c 2i

nc 2  1

 0.115887

Como es una serie pequeña, utilizamos la desviación estándar de la media aritmética Sr2 



Sc2 nc 2



0.115887 5

 0.051826

Cálculo del factor de corrección de calibración

xc 2  x02  xc 2  19  19.044000  xc 2  0.044000



Cálculo de la incertidumbre de calibración para el patrón 1: Sr2 0.0518262  0.023198 2   0.001  nc 2 5 2

U c 2   U 02  2

Análisis del patrón 3:

IV. Incertidumbre en la Medición. 

Cálculo de la media de las mediciones realizadas n

5

 x c 3i

xc 3  

120



i 1

nc 3

x i 1

c 3i

5

 20.058000

Cálculo de la desviación media cuadrática o desviación estándar muestral 5

 x

S c3 

i 1

 xc 3 

2

c 3i

 0.052153

nc 3  1

Como es una serie pequeña, utilizamos la desviación estándar de la media aritmética Sr3 



S c3 nc 3

0.052153



 0.023323

5

Cálculo del factor de corrección de calibración

xc3  x03  xc3  20  20.058000  xc1  0.058000



Cálculo de la incertidumbre de calibración para el patrón 1:

Sr3 0.0233232  0.010620 2   0.002  nc 3 5 2

U c3   U 03  2

Análisis del patrón 4: 

Cálculo de la media de las mediciones realizadas n

xc 4  

x i 1

5

c 4i



nc 4

x i 1

c 4i

5

 21.024000

Cálculo de la desviación media cuadrática o desviación estándar muestral 5

Sc4 

 x i 1

 xc 4 

2

c 4i

nc 4  1

 0.092897

Como es una serie pequeña, utilizamos la desviación estándar de la media aritmética Sr4 



Sc4 nc 4



0.092897 5

 0.041544

Cálculo del factor de corrección de calibración

xc 4  x04  xc 4  21  21.024000  xc 4  0.024000

IV. Incertidumbre en la Medición. 

121

Cálculo de la incertidumbre de calibración para el patrón 1: Sr4 0.0415442  0.018605 2   0.001  nc 4 5 2

U c 4   U 04  2

Una vez analizados cada uno de los patrones, se debe proceder a analizar la incertidumbre asociada al fenómeno de medición, pero como no se realizaron mediciones a otros elementos distintos a los patrones no se considera este análisis en nuestro ejemplo. Ahora, analizamos paso a paso el fenómeno de correlación residual. 

Cálculo del factor de correlación global

1 N 1 4 xc      xcj      xc 4  0.031000  N  j 1  4  j 1 

Cálculo del factor de correlación residual para cada patrón

 c1  xc1  xc  0.002000   0.031000  0.033000 Para el patrón 1  c 2  xc 2  xc  0.044000   0.031000  0.013000 Para el patrón 2  c 3  xc 3  xc  0.058000   0.031000  0.027000 Para el patrón 3  c 4  xc 4  xc  0.024000   0.031000  0.007000 Para el patrón 4  U R1  U R2  U R3  U R4 

Cálculo de la incertidumbre residual para cada patrón

 c1 3

 c2 3

 c3 3

 c4 3

 0.011000  0.004300  0.009000  0.002333

Una vez analizado el proceso de medición, procedemos al paso final al calcular la incertidumbre de medición corregida para cada patrón 2

U 1   U 01  2

S r1 2  U R1  0.020731  U 1  0.021 nc1 2

U 2   U 02

2

S 2  r 2  U R 2  0.023600  U 2  0.024 nc 2 2

U 3   U 03 

Sr3 2  U R 3  0.013920  U 3  0.014 nc 3

U 4   U 04 

Sr4 2  U R 4  0.018751  U 4  0.019 nc 4

2

2

2

V. Ajustes y Tolerancias.

122

UNIDAD V AJUSTES Y TOLERANCIAS Las tolerancias Se da el nombre de tolerancia, o campo de tolerancia a la inexactitud isible en una determinada dimensión de una pieza al fabricar ésta. Se designa con las letras IT, y es igual a la diferencia entre las medidas máxima y mínima itidas para la dimensión de la pieza. a) Limite Superior (B); es la medida máxima que puede tener la dimensión. b) Limite Inferior (A); es la medida mínima que puede tener la dimensión. Según la definición de tolerancia tenemos que: IT = B – A El campo de tolerancia es el espacio isible de la variabilidad del valor real contenido entre las dimensiones limitadas.

Objeto de las tolerancias El objeto de las tolerancias consiste en: a) Permitir las producciones de pieza en serie, en la cual se obtiene una reducción en el costo unitario de éstas y un abastecimiento adecuado de las mismas. b) Facilidad de intercambiar piezas en un conjunto dado, siempre y cuando las dimensiones de las piezas que han de sustituir a las originales estén dentro de los limites de tolerancias establecidos para la pieza a sustituir, además, de que adopten la forma y se coloquen en la posición de la pieza sustituida.

Dimensión nominal: Se llama dimensión nominal a la medida que teóricamente tendría que tener la dimensión de la pieza, o sea a la indicada por la cota de aquella dimensión, y esta medida se toma como referencia de valor cero para tomar las tolerancias por encima o por debajo de ella, dándosele el nombre de línea de 0 (cero). Es evidente que, en la practica, al fabricar una pieza no se obtendrá nuca la medida nominal exacta, debido a las inevitables inexactitudes de fabricación (maquinas herramientas, instrumentos de medida, operarios).

Dimensión efectiva: Se llama dimensión efectiva a la medida de una dimensión real de una pieza ya fabricada; es decir, es la medida que se aprecia con un instrumento de medida sobre una pieza ya elaborada.

V. Ajustes y Tolerancias.

123

La intercambiabilidad: Esta estrechamente ligada a la producción en serie (producción de un gran numero de piezas iguales en forma y dimensiones, que pueden intercambiarse entre si sin necesidad de retoque alguno), la cual permite grandes producciones con reducción de coste unitario; esta la fabricación de piezas de recambio, o sea de piezas que deberán sustituir en un conjunto dado a los elementos originales rotos o desgastados. Teóricamente, para alcanzar la intercambiabilidad seria necesario que los elementos homólogos tuvieran exactamente las mismas dimensiones; en la practica esto no es posible, ya sea porque las elaboraciones no alcanzan nunca una precisión absoluta, o ya porque las dimensiones de control varían entre los limites de aproximación de los aparatos de medida. Por lo tanto, para lograr la intercambiabilidad se busca otro camino, que es el de fijar unos limites a las dimensiones reales que pueden tener las piezas que forman un acoplamiento, y mediante adecuada elección de estos limites lograr que los ajustes entre cualquier par de piezas respondan a las exigencias requeridas. La intercambiabilidad puede realizarse si: a) Las dimensiones de la pieza están dentro de los limites prefijados b) Las formas de la pieza son semejantes c) La situación de la pieza respecto a la superficie es la misma

Tipos de intercambiabilidad: Existen dos tipos de intercambiabilidad: a) Total: Es decir, cuando el número de piezas o elementos que forman el conjunto dentro de una maquinaria puede ser sustituido totalmente. b) Parcial: Es decir, cuando el número de piezas o elementos que forman el conjunto dentro de una maquinaria puede ser sustituido totalmente. Al porcentaje con que puede realizarse la intercambiabilidad parcial, se le llama grado de intercambiabilidad.

Las desviaciones de las dimensiones Las desviaciones de las dimensiones se estudiaran tomando como referencia la línea de base 0-0, que es una recta auxiliar denominada ―línea de valor nominal D‖; la cual se considera limitada por el campo de tolerancia: a) La Desviación Superior (G); que es la diferencia entre la dimensión máxima isible (B) y la dimensión nominal (D): G=B–D b) La Desviación Inferior (F); que es la diferencia entre la dimensión nominal (D) y la dimensión mínima isible (A): F=D–A

V. Ajustes y Tolerancias.

124

Por lo tanto la tolerancia (IT) se puede expresar como la diferencia entre la desviación superior y la desviación inferior. IT = G – F

Valor de la desviación El valor de la desviación puede ser: c) POSITIVO: cuando la cota nominal es menor que la dimensión limite. d) NEGATIVO: cuando la cota nominal es mayor que la dimensión limite. e) NEUTRO: cuando la cota nominal es igual que la dimensión limite.

F

G

IT

En la figura a continuación se muestra la colocación de la zona de tolerancia en dependencia de la desviación superior G, desviación inferior F y la línea de base 0-0

0

D

A

B

0

Cuando la desviación superior e inferior de una dimensión se da acompañado del índice ―e‖; se está refiriendo a la desviación de la dimensión en los ejes: Ge ; Fe Cuando la desviación superior e inferior de una dimensión se da acompañado del índice ―a‖; se está refiriendo a la desviación de la dimensión en los agujeros: Ga ; Fa Cada una de las dimensiones anteriores (G ó F) puede ser escrita en dos versiones a saber: a) La versión directa, por ejemplo:

- 0,013 Ø10 – 0,023

b) La versión indirecta, por ejemplo: Ø10f7 Generalmente, para referirse al eje, se emplean las letras minúsculas, como h, m, p, etc.; y para referirse al agujero se usan las letras mayúsculas, como H, M, P, etc. Estas letras aparecen en una dimensión, ya sea del eje o del agujero. Nota Se debe tener en presente, que todas las dimensiones de un material están toleranciadas.

V. Ajustes y Tolerancias.

125

Normalización de las dimensiones lineales nominales y de las tolerancias (ISO – Internacional Standard Organization) A fin de unificar las normas de tolerancias existentes en los distintos países, se ha creado un sistema internacional, llamado Sistema de Tolerancias ISO Nº R-286-1962. este sistema ha establecido el símbolo IT, el cual significa tolerancia internacional. El sistema de tolerancia ISO comprende 18 clases de exactitudes de fabricación, tanto para ejes como para agujeros. En el sistema de tolerancias ISO, tenemos tres elementos característicos: 1) Una serie de grupos de diámetros de 1 a 500 mm. 2) Una serie, tolerancias fundamentales o simplemente tolerancias, que determinan precisión: existen 18 que nos definen, por lo tanto, 18 calidades distintas de los ajustes. 3) Una serie de posiciones de la tolerancia; es decir, en que punto las tolerancias tenemos colocadas con relación a la línea de referencia, determinado, por lo tanto, el juego o apriete del ajuste.

Posiciones de las tolerancias. Representación gráfica Generalizamos y llamamos: D, la cota nominal del árbol o del eje; Dmáx, la cota limite máxima; Dmín, la cota limite mínima; IT, la tolerancia; ds, la diferencia superior; di, la diferencia inferior. Según los ejemplos precedentes elegidos, pueden presentarse los cincos casos siguientes, ilustrados mediante las figuras 1 y 2, donde hemos exagerado, ex profeso, las diferencias de los diámetros para aumentar la claridad. a) Dmín < D y Dmáx < D con di < 0 y ds < 0 b) Dmín < D y Dmáx = D con di < 0 y ds = 0 c) Dmín < D y Dmáx > D con di < 0 y ds > 0 d) Dmín = D y Dmáx > D con di = 0 y ds > 0 e) Dmín > D y Dmáx > D con di > 0 y ds > 0 El examen de las figuras y los ejemplos de los párrafos precedentes, permiten escribir las igualdades y dar las definiciones siguientes: ds = Dmax – D y = Dmax = D + ds. La diferencia superior es la diferencia entre la cota limite máxima y la cota nominal. Es positiva, negativa o nula, según que Dmin es superior, inferior o igual a D. IT = Dmax – Dmín. = ds – di. La tolerancia es la diferencia entre la cota limite máxima y la cota limite mínima o entre la diferencia superior y la diferencia inferior. Es siempre positiva

V. Ajustes y Tolerancias.

126

NORMALIZACIÓN DE LAS DIFERENCIAS Y DE LAS POSICIONES DE LAS TOLERANCIAS Ya indicamos precedentemente en el párrafo anterior que se habían normalizado las tolerancias y las diferencias. Esto significa que se han normalizado las posiciones de las tolerancias por relación a la cota nominal, dando cada posición, evidentemente, cotas limites diferentes, inferiores, superiores o iguales a la cota nominal. En las figuras 3 y 4 indican como están situadas en el sistema ISO, las tolerancias en relación a la línea 0. como en estas ultimas figuras, hemos materializado las tolerancias por rectángulos situados en las diversas posiciones determinadas por la magnitud y el signo de las diferencias. En la figura 3 hemos representado, para ayudarnos la explicación, el cilindro de diámetro nominal D, así como los correspondientes a los diámetros límites menores D´min y D´max y a los diámetros mayores. Para los agujeros hemos dibujado una semicorona de diámetro nominal interior D, acompañada de rectángulos que representan las diversas posiciones de la tolerancia. Figura 3. minúsculas para los ejes y en general para todos los salientes. Posiciones a, b, c, d, e, f, g. Corresponden al caso a. Figura 1 las dos diferencias ds y di son negativas, y los dos diámetros limites Dmax y Dmin son inferiores al diámetro nominal D. Posición h. Es el caso b de la figura 1. la diferencia superior ds es nula; la diferencia inferior di negativa e igual, en valor absoluto, a la tolerancia IT(di = IT). Se tiene Dmax = D; Dmin = D – IT (Dmin 0; Dmax > D. Posición k. Existen dos posiciones: k1 para las calidades 8 a 16; nos encontramos en el caso d de la figura 1, es decir, di = 0 Dmin = D ds = IT > 0, Dmax = D + IT > D. k2 para las calidades 5, 6, y 7; estamos en el caso c de la figura 1 con di> 0 Dmin > ds > Dmax > D. Posiciones. m, n, p, s, t, u, v, x, y, z. Caso e figura 1 di> 0 Dmin > D ds > 0 Dmax. < D Figura 4. Posiciones A, B, C, D, E, F, G. Caso e de la figura 2 Ds>0

Dmax>D

di>0

Posición H. caso d, de la figura 2. ds= IT>0 Dmax = D + It> D di = 0 Dmin=D Posición J. K.Caso e de la figura 2. ds > 0 Dmax > D di < 0 Dmin < D

Dmin>D

V. Ajustes y Tolerancias.

127

Posición M. se encuentra en un número de tres y no se relacionan más que con las calidades 6, 7, y 8 M8. esta a caballo, pero no se aplica más que a los diámetros nominales de la calidad 8, como es lógico, superiores a 6 mm. El valor absoluto de ds es muy inferior al de di. Se tiene siempre ds>0 Dmax > D

di < 0

Dmin < D

M7. corresponde al caso b de la figura 2 y se aplica a todos lo diámetros de calidad 7, así como a los de la calidad 6 que tienen diámetros comprendidos entre 1,6 y 3 mm. Se tiene: ds = 0

di = - IT < 0 Dmin = D – IT < D

Dmax = D

M6. corresponde al caso a de la figura 2 para la cual se tiene ds < 0

Dmax < D

ds

< 0

dmin < 0

y se aplica en la calidad 6, a todos los diámetros nominales superiores a 3 mm. Posición N. Se tienen dos casos: N1 para las calidades 9 y 16, es aquella para la que: ds = 0

Dmax = D

di = - IT < 0

Dmin = D – IT < D.

N2 para las calidades 6, 7, 8 y se tiene: ds < 0 Dmax < D

di < 0

Dmin < D

Posiciones P, R, S, T, U, V, X, Y, Z. Es todavía el caso a de las figuras 2, con las dos diferencias negativas y los dos diámetros limites inferiores al diámetro nominal.

CALIDAD DE TOLERANCIA Para dimensiones de hasta 500 mm Las dimensiones nominales comprendidas entre 1 y 500 mm se subdividen en 13 grupos principales y 22 intermedios tal como puede verse en la siguiente tabla. VER PAGINA SIGUIENTE

V. Ajustes y Tolerancias.

128

 Los valores que delimitan los distintos grupos son números nominales. Grupos principales desde

Grupos intermedios

hasta

Desde

hasta

18

10

14

14

18

18

24

24

30

30

40

40

50

50

65

65

80

80

100

100

120

120

140

140

160

160

180

180

200

200

225

225

250

250

280

280

315

315

355

355

400

400

450

450

500

1 3 6 10 18 30 50 80 120

180

250 315 400

30 50 80 120 180

250

315 400 500

V. Ajustes y Tolerancias.

129

Unidad de tolerancia  El sistema ISO adopta para la medición de tolerancia en dimensiones comprendidas entre 1 y 500 mm la unidad de tolerancia. 3

i= 0 , 4 5D + 0 , 0 0 1 D  La unidad i queda expresada en micras si d esta en milímetros. La ley de variación de la unidad i en función del diámetro nominal d esta representada aproximadamente por una parábola cúbica.  El termino 0,001 D se introduce para tener en cuenta la incertidumbre de la medición, que aumenta proporcionalmente al diámetro. Este sumando adquiere un valor apreciable únicamente para diámetros mayores de 80 mm.

Calidad de elaboración Para cada grupo de dimensiones, el sistema ISO establece 19 calidades de elaboración, designadas por los símbolos: IT 01, IT 0, IT 1 ... IT 17.  El símbolo IT 01 indica la calidad más precisa.  El símbolo IT 17 indica la calidad mas basta. Las calidades 14, 15, 16, y 17 están previstas para dimensiones superiores a 1 mm.

Elección de la calidad La calidad de elaboración se elige según los siguientes criterios:  De 01 a 1, para pequeña mecánica de precisión, óptica, relojería;  De 1 a 5 para calibres;  De 5 a 11 para piezas que deban acoplarse;  De 12 a 17 para piezas sueltas.

Amplitud de las tolerancias  La amplitud de la tolerancia para las calidades desde 5 a 17 se calcula en función de 3

0 , 4 5D + 0 , 0 0 1 D la unidad de tolerancia i= , asignando a D el valor de la media

geométrica de los valores extremos del grupo, redondeando a µ m.  A cada calidad se le atribuye un cierto número de unidades de tolerancia i, en la forma indicada a continuación:

V. Ajustes y Tolerancias.

130

IT5

IT6

IT7

IT8

IT9

IT10 IT11 IT12 IT13 IT14 IT15 IT16

IT17

7i

10 i

16 i

25 i

40 i

64 i 100 i 160 i 250 i 400 i 640 i 1000 i 1600 i

Ejemplo: Para dimensiones comprendidas entre 10 y 18, con calidad IT 10 tendremos:  Media geométrica

D = √10.18 = 13,4164 mm

0 , 4 5 1 3 , 4 1 6 4 + 0 , 0 0 1 . 1 3 , 4 1 6 4 = 1 , 0 8 2 2 4 2  Unidad de tolerancia i = µm.  Amplitud

IT = 64 i = 64 . 1,08242 = 69,27 µm  70 µm.

 Para las calidades 01, 0 y 1, la amplitud de la tolerancia se calcula con las formulas abajo indicadas, tomando para D la media geométrica de los valores extremos del grupo.



IT 01

IT 0

IT 1

0,3+0,008 D

0,5+0,012 D

0,8+0,020 D

Las tolerancias de las calidades 2, 3 y 4 están escalonadas aproximadamente en progresión geométrica entre los valores IT 1 y IT 5.

Para dimensiones superiores a 500 mm Grupos dimensiónales De acuerdo con las recomendaciones ISO R 286, las dimensiones superiores a 500 mm y hasta los 3150 mm se subdividen en 8 grupos principales y 16 grupos intermedios, tal como se indica en la siguiente tabla. Los grupos intermedios se utilizan para las posiciones desde la r hasta la u en los ejes, y desde la R hasta la U en los taladros. Grupos principales más de

hasta

500

630

630

800

1000 1250

Grupos intermedios más de

hasta

500

500

560

630

630

710

710

800

800

900

900

1000

1000

1120

1120

1250

1250

1400

800

1000

1250 1600

V. Ajustes y Tolerancias.

131

1600

1400

1600

1600

1800

1800

2000

2000

2240

2240

2500

2500

2800

2800

3150

2000

2000

2500

2500

3150

Calidad de elaboración 

Para estas dimensiones se prevén 11 calidades, desde 6 hasta 16 que se identifican por los símbolos: IT6, IT7, IT8... IT16.

Amplitud de las tolerancias Los valores de la amplitud se calculan en función de la unidad de la tolerancia. I = 0,004 D + 2,1 en µm. En la que D es la dimensión nominal expresada en milímetros. 

Para cada calidad de elaboración se ha fijado un cierto numero de unidades I, tal como se indica en la siguiente tabla. IT6

IT7

IT8

IT9

IT10

IT11

IT12

IT13

IT14

IT15

IT16

10 I

16 I

25 I

40 I

64 I

100 I 160 I 250 I 400 I 640 I 1000 I

Ejemplo: Calcular la tolerancia para las dimensiones comprendidas entre 500 y 630 mm, y calidad 6 

Media geométrica: D = √500.630 = 561,2 mm



Unidad de tolerancia: I = (0,004.561,2) + 2,1 = 4,344 µm.



Amplitud según su calidad IT6: 10.4,344 µm = 43,44  44 µm.

LAS DESVIACIONES Y LOS AJUSTES Las desviaciones Es la máxima o mínima dimensión itida respecto a la línea del cero; es decir, son los valores posibles, fijados por encima y/o por debajo de esta línea, la cual esta determinada por el valor nominal de la dimensión de la pieza. Ver las siguientes figuras:

V. Ajustes y Tolerancias.

132

0

0 Fa

Ga

Desviación del agujero Las desviaciones del agujero se pueden calcular de la manera siguiente: a) Desviación Superior del agujero Ga = Fa + IT b) Desviación Inferior del agujero Fa = Ga – IT Ga Fa 0

0

Desviación del eje La desviación del eje se puede calcular de la manera siguiente: c) Desviación Superior del eje Ge = Fe + IT d) Desviación Inferior del eje Fe = Ge – IT

MÉTODOS DE APLICACIÓN DE LOS AJUSTES Método Directo este método se aplica generalmente en la construcción de piezas por arranque de virutas, también asegura un mínimo de errores que se pueden cometer en una construcción.

Método Indirecto es un método experimental, el cual se realiza considerando el tipo de ajuste. Para aplicar este método es necesario determinar el grupo de tolerancia; es decir, eje o agujero base.

V. Ajustes y Tolerancias.

133

Método Analítico existe gran posibilidad de obtener los tipos o clases de ajustes, que no corresponden con los tipos y clases recomendados. Este procedimiento es muy difícil y casi siempre conduce a resultados erróneos. Para usarlo, se necesita mucha experiencia

TOLERANCIAS DE ENGRANAJES Generalidades El engranaje como elemento en cierta forma compleja, en cuanto respecta a los ajustes, pues ya en sí su funcionamiento exige intercambiabilidad múltiple, no puede comenzarse a estudiar en sus tolerancias sin antes conocer toda la terminología, tipos de engranajes, formación, mecanización, etc. Nuestro estudio lo basaremos en las normas ISO de tolerancias de engranajes, referidas a engranajes rectos. La primera parte la dedicaremos a familiarizarnos con la terminología y tipos de errores de los engranajes. Posteriormente, pasaremos a estudiar las fijaciones de tolerancia, magnitudes de las mismas, etc.

Errores en los engranajes Fundamentalmente, para controlar los errores en la fabricación de engranajes, es preciso seguir su proceso de formación y funcionamiento. Este proceso de formación al que nos referimos, transcurre fundamentalmente por las siguientes fases: a) Fabricación de la rueda como cuerpo del engranaje. En definitiva, hasta el momento de proceder a su tallado o dentado. b) Ejecución del tallado o dentado. c) Montaje de los grupos de ruedas en disposición de funcionamiento. La forma, pues, más racional de observar los errores de fabricación, será aquella que sigue el proceso de enumerado. El orden de controles a que nos referimos, será: a) Control de la rueda en sí como cuerpo del engranaje. b) Control del dentado o tallado. c) Control del montaje en disposición de funcionamiento.

CONTROL DE LA RUEDA EN SI COMO CUERPO DEL LENGUAJE En todo proceso de fabricación es primordial fijar las que podemos denominar referencias básicas, que son aquellos puntos fundamentales en el funcionamiento o en las referencias de cogida, en torno a los cuales se establecen todas las acotaciones. Al proceder a disponer la fabricación e inspección, todo el utillaje ha de tender a fijar sus referencias a estos puntos básicos.

V. Ajustes y Tolerancias.

134

El eje de referencia básico para la medición del cuerpo de engranaje es el propio eje de giro. Este eje de giro, como referencia de montaje en maquinas mediante el utillaje oportuno, puede ser definido según los casos por un eje común con el engranaje(Fig. 1) o por el agujero si es montado posteriormente en un eje (Figs. 2, 3). En ambos casos ha de cuidarse de dar referencias precisas a aquellas partes que, posteriormente han de definir su posicionamiento en la máquina de tallar, comúnmente, con aquellas otras referencias que integran sus ajustes de montaje, pues de lo contrario se obtendrán grandes errores en el tallado. Ejemplos: a) Si el eje (Fig. 1) es tomado en la talladora por una pinza hidráulica o mecánica, será preciso que aquella parte del eje por la que se ha de coger presente gran calidad, para que las desviaciones en la colocación sean mínimas y, por supuesto, esta parte de cogida habrá de solicitarse completamente concéntrica con el diámetro exterior del engranaje y con los cuellos de apoyo del eje sobre los cojinetes de giro. Por otra parte, si la longitud de la pieza lo aconseja, ha de fijarse unas estrechas tolerancias de enderezado, para contrarrestar las deformaciones que pueden sobrevenir de la elevaciones de temperatura debidas a la mecanización en tornos rápidos. b) Si el engranaje presenta la forma de las figuras 2 y 3, también el agujero habrá de tener una calidad acorde con el empleo, pues las oscilaciones de este agujero en la pinza o en el mandril de tallado y el tipo de ajuste que presenta este agujero con el eje, en su montaje definitivo, serán fundamentales para la bondad del mecanismo. Diámetro exterior (en las Fig. D3) El diámetro exterior o diámetro de cabeza de los dientes, no presenta una importancia decisiva en el funcionamiento del engranaje. Sin embargo, es preciso tener en cuenta que en su montaje ha de preverse juego entre los fondos de los dientes de una rueda y las cabezas de dientes de la otra. Las tolerancias de este diámetro han de tender, por tanto a favorecer este juego. Las variantes que surjan en torno al diámetro exterior, se tendrán en cuenta como fundamentales si los aparatos de medida de espesor del diente de que se dispone hacen referencia en la cabeza del mismo. Es de gran interés fijar en el diseño de engranajes superficies auxiliares de inspección y referencias axiales y radiales, que permiten efectuar los controles de errores que en el apartado ―Control del dentado‖ enumerados (en las Figs. 1, 2 y 3, diámetros D1 y D2 y superficies a, b, c, d).

CONTROL DEL DENTADO Los engranajes, como ya hemos dicho, han de asegurar, aparte de la intercambiabilidad de la pieza en sí, otra intercambiabilidad múltiple en su funcionamiento. Por tanto, los controles necesarios en el dentado y los errores han de ser en gran parte correlacionados entre dientes para asegurar un buen funcionamiento que mantenga: marcha suave, buena

V. Ajustes y Tolerancias.

135

relación de transmisión, ausencia de razonamiento globales o localizados, facilidad de lubricación, etc.

División del dentado Para poder definir correctamente las relaciones o dimensiones que ligan entre sí los dientes, es preciso enumerarlos. Esta operación no real, sino imaginaria, se realiza observando la rueda por una superficie de referencia lateral, o sea, viendo el perfil de los dientes por uno de los costados. Los nombres o numeración correspondiente a cada uno de los dientes, son: 0, 1, 2, 3, ............... (K – 2), K, ...... (Z –1) asignados a partir de uno cualquiera de los dientes y correlacionados en el sentido de giro de las agujas del reloj, ya sean dientes exteriores o interiores. Como puede observarse, hemos designado (Z – 1) a la numeración del ultimo diente para, en adelante, estimar como designación del numero de dientes Z (Fig. 4). ual vid i d n or i Err

Circulo de control

2

4 5

1

M Origen

3

Desplazamientos Positivos. -3. 4. 6. Negativos. -1. 2. 5.

0

6

Figura 4

Flanco derecho En el flanco o superficie lateral derecha de un diente cuando es observado con la cabeza sobre el pie, desde la superficie de referencia o de numeración (Fig. 5). Puede denominarse, en algunos casos, línea de flanco derecho la intersección del mencionado flanco con la superficie de referencia. Flanco izquierdo Es el flanco o superficie lateral izquierda de un diente, cuando es observado con la cabeza sobre el pie desde la superficie de referencia o de numeración (Fig. 5). Puede denominarse, en algunos casos, línea de flanco izquierdo la intersección del mencionado flanco con la superficie de referencia.

V. Ajustes y Tolerancias.

136

Paso de número K Es el paso comprendido entre el perfil del diente (K –1) y el perfil homólogo del diente K. Este paso es circunferencial y se denomina paso derecho o paso izquierdo, según se mida entre dos flancos derechos o dos izquierdos, respectivamente (Fig. 5). Paso primitivo Es el valor nominal del paso circunferencial del dentado sobre la circunferencia primitiva (Fig. 5). o Flanco derech

Flanco Izquierdo

e la numerac tido d ión Sen Paso de base

Circulo de base Circulo primitivo Circulo de control ( de paso circular )

Figura 5

Paso circular Es el valor del paso circunferencial sobre un circulo próximo a la circunferencia primitiva (Fig. 5). Paso base Es la distancia entre los flancos homólogos consecutivos, medida sobre una tangente del círculo base (Fig. 5). Error individual de paso circular Es la diferencia algébrica entre el paso circular efectivo o real y el paso circular teórico o nominal. El paso circular teórico o nominal tiene como valor aproximado la media aritmética de todos los pasos circulares efectivos. Las figuras 4 y 6 dan la exposición de los errores de paso circular y la representación grafica o curva de errores individuales de paso circular. La curva se ha obtenido dividiendo el eje de abscisas en tantas partes (arbitrariamente elegidas), a partir del origen, como número de diente tiene el engranaje, anotándose sobre cada división el error individual del paso circular correspondiente a cada uno de los dientes.

V. Ajustes y Tolerancias.

0

1 2

3

4

137

5

6

Z

Figura 6

De la curva de errores podemos deducir el error individual máximo y mínimo, así como el eje de abscisas del grafico, respecto al paso teórico. Este error individual máximo o mínimo puede deducirse simplemente midiendo la máxima y mínima ordenada, respectivamente, independientemente del signo, puesto que la desviación tendrá valor absoluto. El eje de abscisas del gráfico de los errores individuales respecto del paso teórico, coincidirá con la suma algebraica A de los errores individuales de los Z pasos, dividida por el número de dientes Z. Error individual de paso base Es la diferencia algebraica entre el paso efectivo real y el paso base teórico o nominal. Error acumulado sobre un sector En la figura 4 se ha anotado un punto M de origen y se ha definido, en trazo interrumpido, el perfil teórico y en trazo continuo el perfil real. El desplazamiento o decalaje circular K, como esta referido a un mismo origen M, pues en la figura 4 en M coinciden el perfil teórico y real, es la suma algébrica de los errores individuales desde el perfil de origen. El desplazamiento o decalaje será positivo o negativo, según que el perfil real este en avance o retroceso respecto del perfil teórico, según el giro de las agujas del reloj. En la figura 7 se ha representado gráficamente los errores acumulados sobre un determinado sector o, más concretamente, los desplazamientos o decalajes circulares en una rueda de Z dientes. La composición del grafico representativo de los desplazamientos o decalajes circulares ya mencionados, se ha realizado sobre dos ejes de coordenados. El eje de abscisas se ha dividido en tantas partes iguales de longitud arbitraria, como número de dientes tiene el engranaje cuya representación se efectúa, coincidiendo la división Z con la cero. Sobre estas divisiones del eje de abscisas se han llevado los valores algebraicos de los

V. Ajustes y Tolerancias.

138

desplazamientos o decalajes circulares, obteniéndose así el grafico representado a continuación. Cualquiera de los valores referidos al eje de abscisas del citado grafico es el error acumulado sobre el sector abarcado desde el diente cero al diente correspondiente a la lectura.

0

1

2

3

4

5

Z

6

Figura 7 Si se deseara terminar el error acumulado entre dos dientes cualquiera, bastaría con medir la diferencia de cota en vertical entre los puntos representativos de los desplazamientos o decalajes circulares de los dientes elegidos. Error de concentridad o excentridad Es la distancia entre el eje de referencia y el eje geométrico del dentado. Este error da origen a una curva de desplazamientos circulares de forma sinusoidal, cuya amplitud es igual sensiblemente al doble del error de concentridad. El mencionado error de concentridad o excentridad, afecta a la perfecta regularidad de la transmisión.

Figura 6

V. Ajustes y Tolerancias.

139

La medición de este error, denominado también de redondez, se determina midiendo la oscilación total radial que da un elemento de medida (Figura 8) convenientemente posicionado en los dientes, durante una revolución completa, según se esquematiza. De la amplitud de oscilación así medida, se deduce el error de concentridad, puesto que este error es la mitad de la amplitud de la oscilación, sin cortar con la influencia de los flancos del diente. Error total de perfil Para la determinación del error de perfil real, hay que encerrar o limitar el perfil real obtenido mediante una máquina especial que lo amplía, entre dos perfiles de referencia paralelos, que limitan con su posicionamiento tangencial las oscilaciones del perfil real (Fig. 9). La distancia entre los dos perfiles de referencia, medida sobre su normal común, se denomina error total de perfil.

Chaflán Zona de exámen

Error total de perfil

Círculo activo de pie Círculo de fondo Figura 9 La zona de observación será comprendida entre el chaflán de cabeza y la circunferencia activa de fondo, o sea, la zona de o real del diente. En esta observación el perfil de referencia será aquel que se desee obtener, pudiendo coincidir con el perfil teórico del diente o contener variantes impuestas en el diseño. Error total de distorsión El error de distorsión se debe a la falta de correcta alineación relativa entre los ejes de los engranajes y los flancos de los dientes. En los engranajes rectos, la alineación a que nos referimos a de ser completamente paralela, y en los engranajes helicoidales deben tener los flancos unas determinadas relaciones angulares con los ejes. El error de distorsión es suma de dos errores combinados, pudiendo ser uno de ellos nulo. Estos errores son: error de inclinación del trazo del flanco sobre un cilindro coaxial al primitivo y error de forma longitudinal del diente. El error de distorsión será determinado sobre la longitud total del dentado, siendo la distancia entre los dos trazos de referencia.

V. Ajustes y Tolerancias.

140

Error compuesto radial La determinación de los errores globales de un dentado, puede ser determinado sobre un símil de funcionamiento en el cual se monta una rueda patrón de ejecución perfecta, y gran dureza superficial, engranada con la rueda a controlar. Uno de los ejes va montando solidario con la bancada de la máquina, mientras el otro sobre un carro deslizante. Un resorte obliga al carro deslizante a mantener a los dos engranajes con presión radial entre sí. Al ponerse en marcha el sistema, las variantes (errores) del engranaje a inspeccionar se exteriorizan mediante oscilaciones del carro móvil, que pueden ser recogidas en gráficos polares o cartesianos. Error compuesto tangencial En el símil descrito se podría obtener la desviación debida a los errores de dentado, que producirán en las posiciones de la rueda controlada ciertas desviaciones respecto de aquella otra posición que en teoría debería ocupar, es decir dimensionar las variaciones de regularidad de marcha respecto de la teórica. El registro de estos errores puede representarse gráficamente, y el error compuesto tangencial será la amplitud total del diagrama, en el que el mayor de los errores parciales acusados recibe el nombre de salto tangencial.

Control de montaje en disposición de funcionamiento Error de distancia entre centros Es la diferencia entre la distancia real o efectiva y la teórica o nominal. Paralelismo de ejes El error de paralelismo de ejes puede ser: a) De inclinación o perdida de paralelismo, cuando los dos ejes definen un plano. b) Desviación del plano de situación, o sea aquellos casos en que los ejes pueden estar contenidos en dos planos no paralelos y no en uno común. c) Desviación e inclinación, o sea, la combinación de los dos casos anteriores. Este último caso combinado es el más generalizado. Juego entre dientes Es la mínima distancia entre los flancos que no toman o en la marcha real (Fig. 10).

V. Ajustes y Tolerancias.

141

TOLERANCIAS ISA PARA ROSCAS MECANIZADAS DE AJUSTES DESLIZANTES

CONCEPTOS BÁSICOS Generalidades El sistema de tolerancias ISA para roscas, ha sido estudiado para ser aplicado en usos corrientes sin que se le exijan un ejemplar ajuste, salvo en lo que respecta a la intercambiabilidad y buen comportamiento mecánico, o sea, que no se ha previsto en el actual estado de normas ISA, el empleo en aparatos de grandes exigencias a los sistemas roscados, tales como, por ejemplo, tornillos micrométricos, etc. Nos limitaremos a exponer lo concerniente a roscas métricas por ser éste el dimensionamiento más universal. Los elementos susceptibles de mediad en una rosca, son: 

Diámetro externo.



Diámetro medio.



Diámetro de núcleo.



Paso.



Angulo de filete.

Dimensiones afectadas por las tolerancias de roscas Los dimensionamientos que afectan a las tolerancias de roscas, son: 

Diámetro exterior.



Diámetro medio.



Diámetro de núcleo.

Controlados estos dimensionamientos, ya que se tiene en cuenta los errores de paso y ángulo de los filetes, pues estos resultan ligados al diámetro medio. Las tolerancias de roscas se dan en función de las medidas que contribuyen a que con una ligera variante se produzcan interferencias, siendo estas dimensiones: 

Paso



Diámetro de rosca (exterior)



Longitud del ajuste o de acoplamiento.

Pasos. Los pasos normales en las roscas métricas son en milímetros:

V. Ajustes y Tolerancias.

142

0,2

1,25

0,25

1,5

0,3

1,75

0,35

2

0,4

2,5

0,45

3

0,5

3,5

0,6

4

0,7

4,5

0,75

5

0,8

5,5

1

6

Diámetro de roscas Los diámetros en rosca métrica normales son prácticamente todos. Las normas examinan los diámetros nominales desde 0,8 mm hasta 500 mm siguiendo los valores de la serie R10 de los números normales. Para las tolerancias de roscas se han establecido como para las tolerancias dimensiónales de pieza lisas, los criterios de que para establecer la tolerancias es preciso fijar una posición de tolerancia y una de ambas en función de unas dimensiones. Los grupos de dimensiones de diámetros establecidos, son: Más de 0,8 hasta 2

Media geométrica 1,25

Más de 2 hasta 5

Media geométrica 3,15

Más de 5 hasta 12,5

Media geométrica 8

Más de 12,5 hasta 31,5

Media geométrica 20

Más de 31,5 hasta 80

Media geométrica 50

Más de 80 hasta 200

Media geométrica 125

Más de 200 hasta 500

Media geométrica 315

Longitudinales de ajustes o acoplamientos Las magnitudes de los ajustes al igual que los diámetros se dividen en grupos, que van desde 0,25 hasta 2500 mm.

V. Ajustes y Tolerancias.

143

A efectos de cálculo se ha considerado, como para los diámetros, la media geométrica de los valores extremos así: Más de 0,25 hasta 0,63

Media geométrica 0,4

Más de 0,63 hasta1,6

Media geométrica 1

Más de 1,6 hasta 4

Media geométrica 2,5

Más de 4 hasta 10

Media geométrica 6,3

Más de 10 hasta 25

Media geométrica 16

Más de 25 hasta 63

Media geométrica 40

Más de 63 hasta 160

Media geométrica 100

Más de 160 hasta 400

Media geométrica 250

Más de 400 hasta 1000

Media geométrica 630

Más de 1000 hasta 2500

Media geométrica 1600

Calidades Las calidades establecidas son: 

Precisa.



Media.



Basta.

Las tolerancias de: 

Diámetro exterior del tornillo.



Diámetro del fondo de roscas de tuerca o de núcleo.



Diámetro de crestas de la tuerca o exteriores.

Son comunes por considerarse que grandes juegos en las crestas no afectan a las roscas. Las tolerancias de: 

Diámetros medios del tornillo.



Diámetros medios de la tuerca.



Diámetros de núcleo del tornillo.

Varían con las calidades. La zona de tolerancias resulta de la adicción de tres sumandos resultantes cada uno de ellos, de los dimensionamientos que influyen sobre el ajuste a efectos de la tolerancia. Paso, ángulo de filete y diámetro medio.

V. Ajustes y Tolerancias.

144

t = tp + ta + td Siendo: t = Tolerancia absoluta. tp = Tolerancia del paso ta = Tolerancia del ángulo del filete. td = Tolerancia del diámetro medio. Los valores de estas tolerancias son: 0,6

tp =12. 1 1

Ñp ta=39 P 3 td=40(0,45 d +0,001d)

Siendo: l = Longitud del acoplamiento p = Paso d = Diámetro medio Al sustituir en las formulas los valores medios geométricos de los diámetros y de las longitudes manteniendo constante la relación longitud a diámetro: Se obtienen para cada valor del paso de las tolerancias. Si se estudia para cada diámetro los pasos de frecuente empleo, se forma una serie de valores de tolerancia denominada serie S. Se han estudiado nueve valores de la relación l/d que dan las nueve series S principales y se han intercalado por interpolación una serie anterior y dos posteriores, con lo que las series S son 12, asignándole a cada una los números: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, cuyos valores anotados (tabla LXIX).

V. Ajustes y Tolerancias.

145

Tabla LXIX – VALORES DE LAS SERIES FUNDAMENTALES Grupos de Diámetros

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

De 0,8 a 1,7

18

22

28

36

45

56

71

90

112

140

180

224

De 2 a 5,5

25

32

40

50

63

80

100

125

160

200

250

315

De 6 a 11

36

45

56

71

90

112

140

180

224

280

355

450

De 11,5 a 33

50

63

80

100 125

160

200

250

315

400

500

630

De 34 a 80

71

90

112

140 180

224

280

355

450

560

710

900

De 82 a 200

100

125

160

200 250

315

400

500

630

800

1000

1250

De 202 a 500 140

180

224

280 355

450

500

710

900

1120 1400

1800

Posiciones de la tolerancia y diferencias Las posiciones de tolerancias para roscas vienen expresadas en función del diámetro medio y designados por una letra minúscula para ejes y una letra mayúscula para agujeros o tuercas. Las diferencias fundamentales o diferencias de referencia para el diámetro medio, se establecen en cero, es decir, que las tolerancias se corresponden por analogía con las posiciones H y h de las piezas lisas. Posiciones y tolerancias para los diámetros exteriores de tornillos Las tolerancias de los diámetros exteriores de los tornillos resultan, a efectos de agujeros, análogas en su elección a cuanto se ha indicado en ajustes de piezas lisas, teniendo en cuenta que la zona de o entre tuerca y tornillo no debe ser inferior al 60% de su valor teórico en pasos de 1,5 mm y mayores. Es igualmente isible para pasos menores hasta un 50%, siempre teniendo en cuenta la tolerancia del diámetro medio, pues una tolerancia se liga a la otra por el proceso empleado en la fabricación. Así, cuando la mecanización de la rosca se efectúa con una herramienta completa, o sea, con peines de roscar, la tolerancia del diámetro medio no deberá ser superior que la del diámetro exterior. En el caso de herramientas generadoras o múltiples, como una fresa madre, la tolerancia del diámetro medio se vincula a la del diámetro extremo por la relación: t = 2r Siendo: t = Tolerancia del diámetro medio. r = radio del redondeado del fondo de la herramienta. Tolerancias de los diámetros de núcleo de tornillo y tuercas. La tolerancia de núcleo es 1,6, la tolerancia del diámetro medio. Las diferencias de referencias son:

V. Ajustes y Tolerancias.

146



Para el tornillo: 0



Para la tuerca: un valor sobre la línea cero que se establece de tal forma que el diámetro mínimo no disminuye la zona de o.

La diferencia superior es: +1,4 veces la tolerancia del diámetro exterior del tornillo para pasos menores o iguales a 1,5 mm y 1,12 para pasos mayores de 1,5 mm.

TOLERANCIAS DE CONOS Los conos, como elementos de unión, empleados generalmente como embragues fijos de arrastre, necesitan de una gran precisión de ejecución, máxime cuando por su especial constitución de no quedar perfectamente ajustados, sufren una rápida degradación durante su funcionamiento que los inutiliza completamente. Las tolerancias de los conos no tienen una especificación especial y están sujetas, en general, a las dimensiones externas solicitadas. En calderería las tolerancias dimensiónales suelen fijarse en calidades ₤s 14 a ₤s 16, estando ligadas a ellas, por supuesto, las conicidades. En los ajustes mecanizados o de precisión, cabe distinguir dos tipos: ajuste con precisión de o o aquellos en los que no importa el desplazamiento en el ajuste de las piezas entre sí, pero, sin embargo, se exige una precisión en este; y aquellos otros ajustes de gran precisión de posicionamiento y de ajuste. En el primer grupo o conos de gran precisión de o, la variable fundamental a mantener con rigurosidad es la conicidad, no importando que la tolerancia diametral tenga mayor o menor amplitud. En el segundo grupo de ajuste cónicos han de reunir, aparte de un perfecto ajuste en la conicidad, una gran coincidencia de posición de piezas unas respecto de otras, o sea, una gran rigurosidad en los diámetros. Las tolerancias de los diámetros van ligadas a la rigurosidad del proyecto en sí, mientras que las conicidas varían según el grado de precisión entre el 0,01% al 0,04%, para producir ajustes de buena calidad y gran facilidad de arrastre.

TOLERANCIAS EN LOS MONTAJES DE RODAMIENTOS Tolerancias de ejes Los ejes para montajes de rodamiento presentan tolerancias muy variadas según el empleo. Por ello damos reseña de las normales, ajustándonos a los siguientes apartados: 

Cojinetes radiales con agujero cilíndrico.



Cojinetes radiales con agujero cónico y manguito.



Cojinetes de empuje axial.

V. Ajustes y Tolerancias.

147

Cojinetes radiales con agujero cilíndrico En este tipo de cojinetes pueden distinguirse tres grandes grupos de empleo: 

Cojinetes cargados en el anillo interior.



Cojinetes con carga giratoria o indeterminada en el anillo interior.



Cojinetes radiales empleados para soportar cargas axiales puras.

Cojinetes radiales cargados en el anillo interior Este tipo de trabajo es aquel que se presenta en los rodamientos cuando la pista interna permanece fija en su sujeción al eje sin giro, mientras la pista externa es la que tiene movimiento. Este tipo de cojinetes recibe continuamente en una misma zona de su pista interna la tensión de trabajo por el paso interrumpido de los elementos rodantes, mientras que en la pista externa se homogeniza el trabajo. Los empleos clásicos en estas condiciones son: ruedas locas, poleas tensoras, poleas intermedias de cable, ejes intermedios de cajas de cambio, bujes de vehículos, ejes de vagones, etc. Tolerancias: Según los acoplamientos el anillo interior puede ser fácilmente desplazable sobre el eje impuesto por una necesidad, y entonces para cualquier diámetro suelen adoptarse tolerancias: Rodamientos de bolas en general { g6 Montajes Fáciles ........... g6 Rodamientos de agujas

Montajes normales ......... h6 Montajes de precisión .... h5

Si el anillo interior no tiene necesidad de desplazarse fácilmente sobre el eje, suele emplearse tolerancia: Rodamientos de bolas en general { h6 Rodamientos de agujas

{ h5

Cojinetes radiales con carga giratoria o indeterminada en el anillo interior Este tipo de trabajo es aquel que se presenta en los rodamientos cuando la pista externa permanece fija en su sujeción al alojamiento sin giro, mientras que la pista interna es la que tiene movimiento. En este tipo de trabajo la pista externa recibe en una misma zona y de forma continuada la tensión de trabajo por el paso ininterrumpido de los elementos rodantes, mientras que en la pista interna se homogeniza el trabajo. Puede distinguirse tres tipos de carga sobre estos rodamientos: cargas ligeras y variables, cargas normales y pesadas, cargas muy pesadas o con condiciones duras de choque.

V. Ajustes y Tolerancias.

148

Cargas ligeras y variables: se sobre entienden por cargas ligeras las inferiores al 6 o 7% de la capacidad de carga. Tal sucede en el caso de aparatos electrodomésticos, bombas, algunos empleos de máquinas herramientas, etc. Tolerancias: Diámetros hasta 18 mm Cojinetes de bolas

Diámetros de 18 a 100 mm

empleos corrientes.. j6 empleos precisos.. j5 empleos corrientes ..k6

Diámetros de 100 a 200 mm

empleos precisos...k5

Diámetros hasta 40 mm

empleos corrientes ..j6 empleos precisos... j5

Cojinetes de rodillo

Diámetros de 40 a 140 mm

empleos corrientes..k6

Cilíndricos y cónicos

empleos precisos ..k5 Diámetros de 140 a 200 mm

empleos corrientes..m6 empleos precisos ..m5

Diámetros hasta 40 mm

empleos corrientes ..k6 empleos precisos... k5

Cojinetes de rodillos

Diámetros de 40 a 140 mm

Oscilantes

empleos corrientes..k6 empleos precisos ..k5

Diámetros de 140 a 200 mm

empleos corrientes..m6 empleos precisos ..m5

Diámetros hasta 50 mm ........ j5 Cojinetes de agujas

Diámetros de 50 a 150 mm ...... m5 Diámetros de 150 mm en adelante

Cargas normales y pesadas. Las cargas normales y pesadas se presentan en reductores de engranajes de gran potencia, grandes motores eléctricos, maquinaria pesada de mecanización, etc.

V. Ajustes y Tolerancias.

149

Tolerancias: Diámetros hasta 18 mm ....................... j5 Diámetros de 18 a 100 mm .................. k5 Cojinetes de bolas

Diámetros de 100 a 140 mm .................. m5 Diámetros de 140 a 200 mm .................. m6 Diámetros de 200 a 280 mm .................. n6

Diámetros hasta 40 mm ....................k5 Diámetros de 40 a 140 mm .............. m5 Cojinetes de rodillos

(Rodamientos de rodillos cónicos pueden ir en m6)

Cilíndricos y cónicos

Diámetros de 140 a 200 mm ........... n6 Diámetros de 200 a 400 mm ............ p6

Diámetros hasta 40 mm ...................... k5 Cojinetes de rodillo

Diámetros de 40 a 65 mm ................... m5

Oscilantes

Diámetros de 65 a 100 mm .................. m6 Diámetros de 100 a 140 mm ................. n6 Diámetros de 140 a 280 mm ................. p6 Diámetros de 280 a 500 mm ................ r6 Diámetros superiores a 500 mm ............ r7 Diámetros hasta 50 mm ....................... k5

Cojinetes de agujas

Diámetros de 50 a 150 mm ................. m5

Con pista interior

Diámetros superiores a 150 mm ... m6 o m5

Cargas muy pesadas o con condiciones duras de choque. El empleo más generalizado con este tipo d carga, se obtiene en: apisonadoras, tractores, rodados de ferrocarriles, etc. Tolerancias:

V. Ajustes y Tolerancias.

150

No damos tolerancias de los rodamientos de bolas por no ser aconsejable su empleo en este tipo de carga. Cojinetes de rodillo

Diámetros de 50 a 140 mm ................ n6

Cilíndricos y cónicos

Diámetros de 140 a 200 mm .............. p6 Diámetros de 50 a 100 mm ................. n6

Cojinetes de rodillos

Diámetros de 100 a 140 mm ................ p6

Oscilantes

Diámetros de 140 a 200 mm ................r6 Diámetros de 200 a 500 mm .............. r7

Cojinetes de agujas

Diámetros hasta 160 mm .................. n6

con pista interior

Diámetros superiores a 160 mm ..........p6

Cojinetes radiales empleados para soportar cargas axiales puras Este tipo de empleo es conveniente realizarlo siempre con cojinetes axiales, pues si bien existen algunas clases que los soportan bien, como, por ejemplo, los cojinetes rígidos u oscilantes de bolas y los cojinetes cónicos, no dan nunca un resultado óptimo en un empleo axial puro. Quedan totalmente descartados, por supuesto, los cojinetes radiales de agujas. Tolerancias Las tolerancias aconsejables para cualquier diámetro son: Cojinetes de bolas

Todos los Diámetros ................................ j6

rígidos y oscilantes Cojinetes de rodillos Cilíndricos, cónicos y Oscilantes

Todos los Diámetros ................................. j6

V. Ajustes y Tolerancias.

151

COJINETES RADIALES CON AGUJERO CÓNICO Y MANGUITO Este tipo de rodamientos se emplea para cualquier maquinaria y permite la fijación del rodamiento en cualquier lugar del eje, sin precisar para ello resaltos, y bastando simplemente el empleo de ejes calibrados. Tolerancias: Todos los diámetros h9 No debe sobrepasar el valor máximo de las diferencias de forma, excentridad, Maquinaria en general

poligonalidad, conicidad, etc., el valor IT5 Todos los diámetros h10 No debe sobrepasar el valor máximo de las diferencias de forma, excentridad, poligonalidad, conicidad, etc., el valor IT7

COJINETES CON EMPUJE AXIAL Los cojinetes de empuje axial suelen montarse con los siguientes ajustes: Cojinetes con carga axial pura. Cojinetes con carga axial, radial y rodillos oscilantes. Cojinetes con carga axial pura Tolerancias: Todos los tipos de Rodamientos (excepto

Todos los diámetros .............. j6

agujas) Rodamientos de agujas

{ Todos los diámetros ............... h10

Cojinetes con carga axial, radial y rodillos oscilantes Tolerancias: Todos los tipos de

Diámetros hasta 200 mm ...................k6

rodamientos (salvo

Diámetros de 200 a 400 mm ............. m6

los de agujas)

Diámetros superiores a 400 mm ........ n6

V. Ajustes y Tolerancias.

152

TOLERANCIAS DE ALOJAMIENTOS Los alojamientos para rodamientos pueden ser diseñados de muy diversas formas y en sus tolerancias no influyen las asociaciones que se realicen de piezas en sentido axial, tales como, por ejemplo retenes, tapas, anillos elásticos, etc. Más lo que si presenta interés es que el alojamiento en si quede partido en dos mitades abrochadas en algunos casos. La influencia en este tipo de diseño, consiste fundamentalmente en una mayor deformabilidad del conjunto. En los montajes de alta precisión o grandes esfuerzos, no son interesante alojamientos en dos mitades, recurriendo a ellos solamente en el caso que no se puedan eludir. Las tolerancias que vamos a enumerar son las aconsejables para alojamientos en materiales férreos, siendo interesantes mayores aprietos para aleaciones ligeras y plásticos. Para la exposición de las tolerancias estableceremos fundamentalmente las divisiones: 

Alojamientos para rodamientos radiales.



Alojamientos para rodamientos axiales.

ALOJAMIENTOS PARA RODAMIENTOS RADIALES Dentro de los cojinetes radiales y atendiendo a las condiciones de aplicación de carga, cabe distinguir: 

Cojinetes con carga giratoria sobre la pista externa.



Cojinetes con carga de dirección indeterminada.



Cojinetes con carga fija sobre la pista externa.

Cojinetes con carga giratoria sobre la pista externa. Empleos clásicos de este tipo de carga son: piñones locos de cajas de cambio, bujes de rueda, cojinetes de pie de biela, poleas locas, poleas de cable, poleas tensoras, etc. Tolerancias: Para su exposición atenderemos a los siguientes apartados: Cojinetes para fuertes cargas y grandes brusquedades con alojamientos de pared delgada y pista externa fija. Todos los diámetros de rodamientos

Todos lo diámetros ............. P7

(incluidos los de aguja) Cojinetes para cargas normales y pesadas con pista externa fija. Todos los tipos de rodamientos

Todos lo diámetros ............. N7

V. Ajustes y Tolerancias.

153

(incluidos los de aguja) Cojinetes para cargas ligeras y variables con pista externa fija. Todos los tipos de rodamientos

Todos lo diámetros ............. M7

(incluidos los de aguja) Cojinetes con carga indeterminada. Empleos clásicos de este tipo de carga son: excéntricas de bombas, motores eléctricos, compresores, cojinetes de bancada de cigüeñal, etc. Tolerancias: Para su exposición atenderemos a los siguientes apartados: Cojinetes para cargas fuertes con choque. Todos los tipos de rodamientos

Todos lo diámetros ............. M7

(incluidos los de aguja) Cojinetes para cargas fuertes y normales con desplazamiento de la pista externa. Todos los tipos de rodamientos

Todos lo diámetros ............. K7

(incluidos los de aguja) Cojinetes para cargas normales y ligeras con desplazamientos de la pista externa. Todos los tipos de rodamientos

Todos lo diámetros ............. λ7

(incluidos los de aguja) Cojinetes con carga fija sobre la pista externa. Empleo clásicos de este tipo de carga son: transmisores, molinos de bolas, gran parte de la maquinaria en general, cajas de cambio, etc. Tolerancias: Para su exposición atenderemos a los siguientes apartados:

V. Ajustes y Tolerancias.

154

Cojinetes para cualquier tipo de carga o aplicaciones en general, con pista externa fácilmente desplazable. Todos los tipos de rodamientos

Todos lo diámetros ............. H7

(incluidos los de aguja) Cojinetes para cargas con choque sufriendo alteraciones y descargas ocasionales, con pista externa generalmente desplazable. Todos los tipos de rodamientos

Todos lo diámetros ............. λ7

(incluidos los de aguja) Cojinetes para cargas normales y bajas, sin grandes exigencias y con pista externa fácilmente desplazable. Todos los tipos de rodamientos

Todos lo diámetros ............. H8

(incluidos los de aguja) Cojinetes con paso de calor a través del eje, con pista externa fácilmente desplazable. Todos los tipos de rodamientos

Todos lo diámetros ............. G7

(incluidos los de aguja) Montaje de cojinetes radiales con gran precisión. Estos montajes de gran precisión, como sucede por ejemplo en el caso de los ejes principales de máquinas herramientas, utillaje de control, etc., han de forzarse en su diseño para ser realizados en el tipo de alojamientos de una sola pieza. Tolerancias: Para su exposición atenderemos a los siguientes apartados: Cojinetes con exigencias de precisión en el giro, pequeñas flexiones bajo carga variable y pista externa no desplazable. Todos los tipos de rodamientos

Diámetros hasta 125 mm ............. M6

(excepto agujas)

Diámetros hasta 125 mm ............. N6

V. Ajustes y Tolerancias.

155

Cojinetes con exigencias de precisión, cargas pequeñas con dirección indeterminada y pista externa generalmente no desplazable. Todos los tipos de rodamientos

Todos lo diámetros ............. K6

(incluidos los de aguja) Cojinetes con exigencias de precisión de giro y pista externa generalmente desplazable. Todos los tipos de rodamientos

Todos lo diámetros ............. λ7

(exceptuando los de aguja)

ALOJAMIENTOS PARA RODAMIENTOS CON EMPUJE AXIAL Tolerancias: Cojinetes axiales de bolas con

Todos los diámetros ............ H8

Carga axial pura sin que se

Observación: Se montará el aro fijo

Requiera gran exactitud de giro.

o la contraplaca con juego radial.

Cojinetes axiales de agujas con

Todos los diámetros .............H10

Carga axial pura Cojinetes axiales de rodillos a

Observación: Se montara el aro fijo

Rótula con ejes perfectamente

con radial, todos los diámetros ... G6

Guiados por otros cojinetes.

V. Ajustes y Tolerancias.

156

Observación: Carga fija en el aro exterior o dirección de carga indeterminada Todos los diámetros ................... λ7 Cojinetes axiales de rodillos a

Observación: Carga rotativa sobre

Rótula u oscilantes con carga

aro exterior

Compuesta axial y radial

Todos los diámetros .................. K7 Observación: Carga rotativa sobre el aro exterior con carga radial relativamente grande Todos los diámetros ................. M7

APÉNDICE. Repaso de Estadística.

157

APÉNDICE REPASO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA ¿Qué es la estadística? En nuestro trabajo, por conversaciones con otras personas y por los medios masivos de comunicación de diversos tipos (libros, periódicos, televisión, Internet, etc.) nos enfrentamos a una gran cantidad de datos o información. El campo de la estadística tiene que ver con la recopilación, presentación, análisis y uso de datos para tomar decisiones y resolver problemas. Puesto que los ingenieros y los científicos obtienen y analizan datos de manera rutinaria, el conocimiento de la estadística tiene una importancia especial en estos campos. El papel de la estadística en la ciencia y la ingeniería La importancia de la estadística en la ingeniería y la ciencia ha sido subrayada por la participación de la industria en el aumento de la calidad. Muchas compañías se han dado cuenta que la baja calidad de un producto (ya sea en la forma de defectos de fabricación, en una baja confiabilidad en su rendimiento o en ambos) tiene un efecto muy pronunciado en la productividad global de la compañía, en el mercado y la posición competitiva y finalmente, en la rentabilidad de la empresa. Mejorar estos aspectos de la calidad puede eliminar desperdicio, disminuir la cantidad de material de desecho, la necesidad de volver a maquinar piezas, los requerimientos para inspección y prueba y las perdidas por garantía, además de mejorar la satisfacción del consumidor y permitir que la empresa se convierta en un productor de alta calidad y bajo costo en el mercado. La estadística es un elemento decisivo en el incremento de la calidad, ya que las técnicas estadísticas pueden emplearse para describir y comprender la variabilidad. Virtualmente todos los procesos y sistemas de la vida real exhiben variabilidad. Por ejemplo, considere la situación donde, de un proceso de maquinado, se seleccionan varios componentes del motor de una aeronave y se mide la altura de la turbina del propulsor de cada parte. Si el instrumento de medición tiene una resolución suficiente, la altura de cada turbina será diferente; esto es, habrá variabilidad en la dimensión. ¿Por qué se presenta la variabilidad? En general, la variabilidad es el resultado de cambios en las condiciones bajo las que se hacen las observaciones. En el contexto de la manufactura, estos cambios pueden ser diferencias en las propiedades de los materiales utilizados, en la forma en que trabajan los obreros, en las variables del

APÉNDICE. Repaso de Estadística.

158

proceso (tales como la temperatura, la presión o el tiempo de ocupación) y en factores ambientales (como la humedad relativa). La variabilidad también se presenta debido al sistema de medición utilizado. Por ejemplo, la medición obtenida a partir de una escala puede depender del lugar del en que se coloque el objeto a medir. El campo de la estadística y la probabilidad consiste en métodos tanto para describir y modelar la variabilidad, como para tomar decisiones en presencia de ésta. En la estadística inferencial lo que se desea hacer es tomar una decisión acerca de una población en particular. El término población se refiere a la recolección de mediciones de todos los elementos del universo con respecto al cual se quieren obtener conclusiones o tomar decisiones. En la mayoría de las aplicaciones de la estadística, los datos disponibles consisten de una muestra de la población de interés. Ésta muestra es solo un subconjunto de observaciones seleccionadas de una población. El campo de la estadística inferencial se ha desarrollado principalmente desde comienzos de este siglo. Es resultado de los métodos para organizar y resumir datos, cuyos orígenes se remontan a varios siglos atrás. Estos métodos para resumir y organizar datos se denominan estadística descriptiva. La mayor parte del uso moderno de la estadística, particularmente en la ciencia y la ingeniería, se dirige más hacia la inferencia que a la descripción. Por ejemplo, un ingeniero que diseña una nueva máquina agrícola fabricará una muestra (prototipo) de varias de ellas, y entonces querrá obtener conclusiones sobre la forma en que estos dispositivos funcionaran una vez que se produzcan a gran escala. El enfoque de este apéndice se encuentra en la presentación de los conceptos básicos de la probabilidad. El conocimiento de este tema constituye la base que permite comprender la forma en que se desarrollan las técnicas de la inferencia estadística y la toma de decisiones, por qué funcionan y cómo pueden presentarse e interpretarse de manera correcta las conclusiones obtenidas con estos procedimientos. Es de suma importancia para el objetivo del libro tener referencias rápidas sobre conceptos de probabilidad, ya que es lo más usado en los capítulos 3, 4 y 5 de nuestro libro. Sin embargo no abordaremos los temas de estadística inferencial, ya que van más allá de nuestro objetivo y extenderían demasiado el contenido de este apéndice. En la bibliografía consultada se recomendaran ciertas publicaciones de interés para ahondar más en este tema.

APÉNDICE. Repaso de Estadística.

159

Probabilidad El término probabilidad se refiere al estudio de la aleatoriedad y la incertidumbre. En cualquier situación en la que pueda ocurrir uno de varios resultados, la teoría de la probabilidad proporciona métodos para cuantificar las oportunidades, o probabilidades, que están asociadas con los diversos resultados. En ésta sección se introducirán algunos conceptos elementales de probabilidad, indicamos cómo es que se pueden interpretar las probabilidades y demostramos la forma en que las reglas de las probabilidades pueden aplicar para calcular las probabilidades de muchos eventos de interés.

1. Espacios muestrales y eventos Un experimento es cualquier acción o proceso que genere observaciones. Los experimentos que pueden ser de interés incluyen lanzar al aire una moneda una o varias veces, medir el diámetro de n ejes fabricados en un mismo proceso, seleccionar una o varias barajas de una mano, etc. El espacio muestral de un experimento, denotado por S, es el conjunto de todos los posibles resultados de ese experimento. El experimento más sencillo en el cual se aplica la probabilidad es aquel que tiene dos posibles resultados, por ejemplo, el examinar un fusible para ver si está defectuoso. El espacio muestral para este experimento se puede abreviar como S  N , D , donde N representa no defectuoso, D representa defectuoso y las llaves se utilizan para encerrar los elementos de un conjunto. Si examinamos tres fusibles en secuencia y observamos el resultado de cada examen, entonces un resultado para todo el experimento es cualquier secuencia de letras N y D de largo 3, asÍ que: S  NNN , NND, NDN , NDD, DNN , DND, DDN, DDD. Un evento es cualquier conjunto (subconjunto) de resultados contenido en el espacio muestral S. Se dice que un evento es simple si está formado exactamente por un resultado y compuesto si consta de más de un resultado. Cuando se realiza un experimento, se dice que ocurre un evento particular A si el resultado experimental está contenido en A. En general, exactamente ocurrirá un evento simple, pero ocurrirán muchos eventos compuestos de forma simultanea. En nuestro ejemplo anterior podemos considerar que ocurren, al menos, los siguientes tres eventos:

A  DNN , NDN , NND  El evento en que exactamente uno de los tres fusibles está defectuoso.

APÉNDICE. Repaso de Estadística.

160

B  NNN , DNN , NDN , NND  El evento en que a lo sumo uno de los tres fusibles está defectuoso. C  NNN , DDD  El evento en que tres fusibles están defectuosos y tres no lo están.

2. Algunas relaciones de teoría de conjuntos Se puede decir que un evento es un conjunto, de modo que se pueden emplear las relaciones y resultados de la teoría básica de conjuntos para estudiar eventos. Los siguientes conceptos de teoría de conjuntos se emplearán para construir nuevos eventos a partir de eventos dados. a) La unión de dos eventos A y B, denotada por AB y que se lee ―A o B‖, es el evento formado por todos los resultados que están, ya sea en A o en B o en ambos eventos, por lo que la unión incluye resultados que ocurren A y B, así como resultado para los que ocurre exactamente uno. b) La intersección de dos eventos A y B, denotada por AB y que se lee ―K y B‖ es el evento formado por todos los resultados que están en A y en B. c) El complemento de un evento A, denotado por A’, es el conjunto de todos lo resultados en S que no están contenidos en A. A veces A y B no tienen resultados en común, de modo que la intersección de A y B no tiene resultados. Cuando esto sucede, se dicen que son eventos mutuamente excluyentes o disjuntos.

3. Axiomas, interpretaciones y propiedades de probabilidad Dado un experimento y un espacio muestral S, el objetivo de la probabilidad es asignar a cada evento A un número P(A), que recibe el nombre de probabilidad del evento A, que darse una medida precisa de la probabilidad de que A ocurra. Para asegurarse de que las asignaciones de probabilidad sean consistentes con nuestras nociones intuitivas de probabilidad, todas las asignaciones deberían satisfacer los siguientes axiomas (propiedades básicas) de probabilidad. 

Axioma 1: Para cualquier evento A, P A  0



Axioma 2: PS   1



Axioma 3:

APÉNDICE. Repaso de Estadística.

161

a) Si A1 , A2 ,..., An es un conjunto finito de eventos mutuamente excluyentes, n

entonces P A1  A2  ...  An    P Ai  i 1

b) Si

A1 , A2 , A3 ,..., es un conjunto infinito de eventos mutuamente 

excluyentes, entonces P A1  A2  A3 ...   P Ai  i 1

Propiedades de probabilidad: Aquí enumeramos algunas propiedades básicas de la probabilidad. 

Para cualquier evento A, P A  1  P A'



Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces P A  B   0



Para dos eventos A P A  B  P A  PB  P A  B . probabilidad de la unión.

y

B Esto

se

cualesquiera: denomina

La probabilidad de una unión de más de dos eventos se puede calcular de manera análoga. Para tres eventos A, B, y C, el resultado es:

P A  B  C   P A  PB  PC   P A  B  P A  C   PB  C   P A  B  C 

4. Técnicas de conteo Los experimentos a veces tienen tantos eventos simples que no resulta practico enumerarlos todos. Sin embargo, muchos de estos experimentos pueden ser analizados usando técnicas o reglas generales de conteo, sin necesidad de crear una lista de todos los resultados posibles. Éstas reglas son útiles también en problemas en donde los resultados no son igualmente probables y muchas de estas técnicas se usan para estudiar las distribuciones de probabilidad, que son la base de este apéndice.

La regla del producto para pares ordenados Esta se define de la manera siguiente: si el primer elemento u objeto de un par ordenado se puede usar en n1 formas y por cada una de estas n1 formas se puede seleccionar el segundo elemento del par en n2 formas, entonces el número de pares es n1n2.

5. Una regla del producto más general

APÉNDICE. Repaso de Estadística.

162

Si se tira un dado de seis caras en cinco ocasiones sucesivas en lugar de solo dos, entonces cada posible resultado es un conjunto ordenado de cinco números tales como (1, 3, 1, 2, 4)o (6, 5, 2, 2, 2). A un conjunto ordenado de K objetos le daremos el nombre de k-ada (un par es 2-ada, y un triple es 3-ada, etc.). Cada resultado del experimento de lanzar dados es entonces una 5-ada. Entonces, la regla del producto sería la siguiente: suponiendo que cada grupo está formado por grupos ordenados de K-elementos (k-adas) y que hay n1 posibles opciones para el primer elemento; por cada opción del primer elemento hay n2 posibles opciones del segundo elemento; ..., por cada posible opción de los primeros k-1 elementos hay nk opciones del k-ésimo. Hay entonces n1, n2,..., nk posibles k-adas.

6. Permutaciones Hasta los momentos, los sucesivos elementos de una k-ada se seleccionaron de conjuntos por completo diferentes. En varios tiros de un dado, el conjunto del cual se seleccionan sucesivos elementos es siempre {1, 2, 3, 4, 5, 6}, pero las opciones se hacen con ―reemplazo‖ para que el mismo elemento pueda aparecer más de una vez. Ahora consideramos un conjunto fijo formado de n distintos elementos y suponemos que se forma una k-ada al seleccionar sucesivamente de este conjunto sin reemplazo para que un elemento pueda aparecer en a lo sumo k posiciones. Dicho lo anterior se llamará Permutación de tamaño k de los objetos, a cualquier secuencia ordenada de k-objetos tomados de un conjunto de n objetos distintos. El número de permutaciones de tamaño k que puede construirse de los n objetos se denota por Pk,n y se define matemáticamente como:

Pk ,n 

n! n  k !

7. Combinaciones Dado un conjunto de n objetos distintos, cualquier subconjunto no ordenado de tamaño k de los objetos se llama Combinación. El número de combinaciones de  n tamaño K que se puede formar de n objetos distintos se denotará por   y k matemáticamente se define por:  n  Pk ,n n!     Y se lee combinatorio de n en k. k! k!n  k ! k 

APÉNDICE. Repaso de Estadística.

163

 n  n Observemos que    1 y    1 y puesto que hay sólo una forma de  n  0  n seleccionar un conjunto de (todos) los n elementos o de no elementos, y    n 1 puesto que hay n subconjuntos de tamaño 1.

8. Probabilidad condicional Aquí analizaremos la forma en que la información, ―ha ocurrido un evento B‖, afecta la probabilidad asignada a A. Por ejemplo, A pudiera referirse a un individuo que tiene una enfermedad en particular en la presencia de ciertos síntomas. Si se realiza una prueba sanguínea en el individuo y el resultado es negativo (B = prueba sanguínea negativa), entonces la probabilidad de tener la enfermedad cambiará (debe disminuir, pero por lo general no es cero porque las pruebas sanguíneas no son infalibles). Utilizaremos la notación P(A|B) para representar la probabilidad condicional de A dado que el evento B ha ocurrido. La probabilidad condicional de A dado que B ha ocurrido, para dos eventos A y B P A  B  cualesquiera con P(B)>0, se define como: P A | B   P B  Por ejemplo: supongamos que de todos los individuos que compran cierta computadora personal, 60% incluye un programa procesador de palabras en su compra, 40% incluye un programa de hoja de cálculo y 30% incluye ambos tipos de programas. Consideremos que se selecciona al azar un comprador y sea A={programa procesador de palabras incluido} y B={programa de hoja de cálculo incluido}. Entonces P(A)=0.60, P(B)=0.40 y P(ambos incluidos)= P(AB)=0.30 dado que el individuo seleccionado incluyó un programa de hoja de cálculo, la probabilidad de que un programa procesador de palabras esté incluido es:

P A | B  

P A  B  0.30   0.75 P B  0.40

Esto es, de los que compran un programa de hoja e cálculo, 75% compraron un programa procesador de palabras. Análogamente,

Phoja de cálculo | procesador de palabras   P A | B   Observemos que: P A | B  P A y PB | A  PB

9. La regla de multiplicación para P(AB)

P A | B  0.30   0.50 P A 0.60

APÉNDICE. Repaso de Estadística.

164

La definición anterior produce el siguiente resultado, obtenido al multiplicar ambos lados por P(B).

P A  B  P A | B  PB Esta regla es importante porque con frecuencia es el caso en el que se desea P(AB) mientras que P(B) y P(A|B) se puede especificar de la descripción del problema. Una consideración de P(B|A) dará P(AB)=P(B|A)P(A)

10. Teorema de Bayes El cálculo de una probabilidad posterior P(Ak|B) de probabilidades anteriores dadas P(Ai) y probabilidades condicionales P(B|Ai) ocupa una posición central en la probabilidad elemental. Para expresar la regla general para tales cálculos, que es realmente sólo una aplicación simple de la regla de la multiplicación, necesitamos primero otro resultado. Recordemos que los eventos A1 ,..., An son mutuamente excluyentes si no hay dos que tengan algún resultado en común. Los eventos son exhaustivos si debe ocurrir una Ai, de modo que A1 ...  An  S La ley de probabilidad total, entonces viene expresada por lo siguiente: sean A1 ,..., An eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos. Luego, para cualquier otro evento B, n

PB   PB | A1 P A1   ...  PB | An P An    PB | Ai P Ai  I 1

El teorema de Bayes, se basa en el resultado anterior: sea A1 ,..., An un conjunto de n eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos con P Ai   0 para i  1,..., n . Entonces para cualquier otro evento B para el que P(B)>0: P Ak | B  

P Ak  B  PB | Ak   P Ak   n P B   PB | Ai   P Ai  i 1

11. Independencia Hay situaciones en que la probabilidad de que A ocurrirá o ha ocurrido no es afectada al saber que B ha ocurrido, de modo que P(A|B) = P(A). Entonces es natural que consideremos a A y B como eventos independientes, lo que quiere decir que la ocurrencia o no de un evento no tiene relación con la probabilidad de que ocurra otro.

APÉNDICE. Repaso de Estadística.

165

Se dice entonces que dos eventos A y B son independientes si P(A|B)=P(A) y son dependientes de otro modo. También se puede decir que A y B son eventos independientes si y sólo si la probabilidad de que ambos ocurran (AB) es el producto de las dos probabilidades individuales, es decir:

P A  B   P A  PB La definición anterior puede aplicarse a conjuntos de más de dos eventos, al entenderse que los eventos son mutuamente excluyentes si la probabilidad de la intersección de cualquier subconjunto de los n eventos es igual al producto de las probabilidades individuales. Matemáticamente se define: los eventos A1 ,..., An son mutuamente independientes si para toda k(k = 2, 3,..., n) y todo subconjunto de índices i1, i2,..., ik,



    

 

P Ai1  Ai2  ...  Aik  P Ai1  P Ai2  ...  P Aik

APÉNDICE. Repaso de Estadística.

166

Variables aleatorias y discretas y distribuciones de probabilidad En cualquier experimento hay numerosas características que se pueden observar o medir, pero, en la mayoría de los casos, un espectador se concentrará en algún aspecto o aspectos específicos de una muestra. En general, el resultado de cada experimento se puede relacionar con un número si se especifica una regla de asociación (por ejemplo, el número dentro de una muestra de diez componentes que fallaron durante 1000 horas de servicio, o el peso total del equipaje para una muestra e 25 pasajeros de una línea aérea). Esta regla de asociación recibe el nombre de variable aleatoria: es variable porque son posibles valores numéricos, y aleatoria porque el valor observado depende de cuál de los posibles resultados experimentales aparezca. Se define entonces: para un espacio muestral S dado algún experimento, una variable aleatoria (va) es cualquier regla que asocia un número con cada resultado de S. De ahora en adelante denotaremos a una variable aleatoria con una letra mayúscula como X o Y. La notación X(s)=x quiere decir que x es el número asociado con el resultado s por la va X, por lo cual x recibe el nombre de valor de la variable asociada con s. Por ejemplo, cuando un estudiante intenta utilizar una computadora conectada a un sistema de tiempo compartido, todos los puertos podrían estar ocupados (F), en cuyo caso el estudiante no tendría , o habrá por lo menos un puerto libre (S), en cuyo caso el estudiante tendrá éxito en tener al sistema. Con S = {S, F}, definimos una va X mediante: X(S) = 1, X(F) = 0. La va X indica si el estudiante puede (1), o no puede (0) tener . Cualquier variable aleatoria cuyos únicos valores posibles son 0 y 1 recibe el nombre de variable aleatoria de Bernoulli. Se dice que un conjunto es discreto, si está formado por un número finito de elementos, o si sus elementos se pueden enumerar en secuencia de modo que haya un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y así sucesivamente, en la lista. Un conjunto discreto que es infinito recibe a veces el nombre de infinito numéricamente, ya que de acuerdo con la definición podemos contar (1, 2, 3,...) sus elementos. Además se puede afirmar que una variable aleatoria es discreta si su conjunto de valores posibles es un conjunto discreto.

APÉNDICE. Repaso de Estadística.

167

1. Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas Cuando se asignan probabilidades a varios resultados en S, éstos, a su vez, determinan las probabilidades asociadas con los valores de cualquier va X en particular. La distribución de probabilidad de X dice cómo es que la probabilidad total de 1 está distribuida entre (asignada a) los diversos valores posibles de X. En esta parte analizaremos el comportamiento de varias distribuciones de probabilidad usadas para el estudio de variables aleatorias discretas.

Distribución de probabilidad de masa La distribución de probabilidad o función de probabilidad de masa (pmf: probability mass function) de una va discreta está definida para todo número x por px   P X  x   Ptoda s  S ; X s   x  . P(X = x) se lee ―la probabilidad de que la va X tome el valor x‖. Por ejemplo, P(x = 2) denota la probabilidad de que el valor X resultante sea 2. En otras palabras, para todo valor posible de x de la variable aleatoria, la pmf especifica la probabilidad de observar ese valor cuando el experimento se realiza. Las condiciones px   0 y toda x posible px   1 se requieren para cualquier pmf. Por ejemplo: supongamos que vamos a una tienda de electrónica, y observamos si la siguiente persona que compra una calculadora la adquiere del tipo RPN o del tipo algebraico, y sea: si el cliente compra RPN 1 X  0 si el cliente compra algebraica

Si 20% de todos los compradores durante esa semana selecciona una del tipo RPN, la pmf para X es: p0  P X  0  Psiguiente cliente compra algebraica   0.8 p1  P X  1  Psiguiente cliente compra RPN   0.2 p0  P X  x   0 para x  0 o 1

Una descripción equivalente es:

0.8 si x  0  px   0.2 si x  1 0 si x  0 o 1  Supongamos que p(x) depende de una cantidad que se puede asignar a un número cualquiera de varios valores posibles, con cada valor diferente determinando una

APÉNDICE. Repaso de Estadística.

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distribución diferente. Tal cantidad se llama parámetro de la distribución. El conjunto de todas las distribuciones de probabilidad para diferentes valores del parámetro se llama familia de distribuciones de probabilidad. Por ejemplo, en el caso anterior se puede formar una familia de distribuciones si se estudiasen ―varias tiendas‖, quedando, por dar algunos valores, de la siguiente forma: 0.8 si x  0 0.4 si x  0 1   si x  0    px;0.2  0.2 si x  1 px;0.6  0.6 si x  1 px;    si x  1 0 si x  0 o 1 0 si x  0 o 1 0 si x  0 o 1   

Cada distribución de probabilidad para una va de Bernoulli tiene la forma anterior, así que dicha forma se denomina familia de distribuciones de Bernoulli.

La distribución acumulativa La función acumulativa de distribución (cdf: cumulative distribution function) F(x) de una variable X de va discreta con pmf p(x), está definida para todo número x mediante:

F  x   P X  x  

 p y 

y: y  x

Para cualquier número x, F(x) es la probabilidad de que el valor observado de X sea a lo sumo x.

Valores esperados de variables aleatorias discretas Vamos a analizar el siguiente ejemplo, consideremos una universidad con 15000 estudiantes, haciendo X = número de cursos en los que está registrado un estudiante seleccionado al azar. La pmf de X aparece a continuación. Como p(1) = 0.01, sabemos que (0.01)(15000) = 150 de los estudiantes están inscritos por curso, para el resto de los valores de x, se construye la siguiente tabla: X 1 2 3 4 5 6 7 0.01 0.03 0.13 0.25 0.39 0.17 0.02 p(x) Número registrado 150 450 1950 3750 5850 2550 300 Entonces, el número promedio de cursos por estudiante, o el valor promedio de X de la población, se calcula el número total de cursos se divide entre el número total de estudiantes. El valor promedio es, así: 1150  2450  31950  43750  55850  62550  7300  4.57 15000

Una expresión equivalente para lo anterior será:

APÉNDICE. Repaso de Estadística.

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1 p1  2 p2  ...  7 p7  10.1  20.3  ...  70.7  4.57 Definimos entonces: sea X una va discreta con un conjunto de posibles valores D y pmf p(x). El valor esperado o la media de X, denotado por E(X) o X, es: E  X    X   x  p x  xD

En el caso anterior,  = 4.57¸ es la media poblacional considerando que la población está formada por los valores X de 1, 2,..., 7.

El valor esperados de una función Con frecuencia estaremos interesados en el valor esperado de alguna función h(X) y no en la X misma. Si la va X tiene un conjunto de posibles valores D y pmf p(x), entonces el valor esperado de cualquier función h(X), denotado por E[h(X)] o h(X), se calcula mediante: Eh X    hx   px  D

Según esta proposición, E[h(X)] se calcula en la misma forma que E(X) misma, excepto que h(x) se sustituye en lugar de x.

La varianza de X El valor esperado de X mide dónde la distribución de probabilidad está centrada. Si se utiliza la analogía física de poner una masa puntual p(x) en el valor x en un eje de una dimensión, si el eje estuviera entonces apoyado en un fulcro colocado en  no habría tendencia del eje a inclinarse. Lo anterior se puede ilustrar en las figuras siguientes:

Aun cuando ambas distribuciones ilustradas en la

APÉNDICE. Repaso de Estadística.

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anterior tienen el mismo centro  la distribución de la figura b) tiene mayor dispersión o variabilidad que la de la figura a). Utilizaremos la varianza de X para medir la cantidad de variabilidad (la distribución) en X. Hagamos que X tenga una pmf p(x) y valor esperado . Entonces la varianza de X, denotada por V(X) o X2, o simplemente 2, es:



V  X     x     p x   E  X    2

2



D

La desviación estándar (DE) de X es:

 X   X2 La cantidad h X    X    es el cuadrado de la desviación de X desde su media, y 2 es el cuadrado de la desviación esperada. Si la mayor parte de la distribución de probabilidad está cerca de , entonces 2 será relativamente pequeña, en tanto que si hay valores de x lejanos de  que tengan p(x) grandes, entonces 2 será muy grande. 2

El número de operaciones aritméticas para calcular 2 se puede reducir mediante una fórmula opcional de cálculo:   2 V  X    2   x 2  px    2  E X 2  E  X  D 

 

Al utilizar esta fórmula, E(X2) se calcula primeramente sin ninguna sustracción, luego se calcula E(X), se eleva al cuadrado y se resta (una vez) de E(X2)

La distribución de probabilidad binomial Un experimento que satisfaga las siguientes condiciones se llama experimento binomial. 

El experimento consiste en una secuencia de n intentos, donde n se fija desde el principio



Los intentos son idénticos, y cada uno de ellos puede resultar en uno de dos posibles resultados, que denotamos por éxito (S) o fracaso (F).



Los intentos son independientes, por lo que el resultado de cualquier intento particular no influye sobre el resultado de cualquier otro intento.



La probabilidad de éxito es constante de un intento a otro, denotamos esa probabilidad por p.

APÉNDICE. Repaso de Estadística.

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Un ejemplo sería el lanzamiento de una moneda, si ésta se lanza n veces de forma sucesiva e independientemente. Si se utiliza S para denotar H (caras) y F para denotar el resultado T (cruces). Entonces este experimento satisface las condiciones anteriores. Supongamos que cada intento de un experimento puede resultar en S o F, pero el muestreo es sin devolución de una población de tamaño N. Si el tamaño muestral (número de intentos) n es a lo sumo 5% del tamaño de la población, el experimento se puede analizar como si fuera exactamente un experimento binomial. Dado un experimento binomial formado por n intentos, la variable X aleatoria binomial asociada con este experimento está definida como: X = el número de S entre los n intentos Debido a que la pmf de una va binomial X depende de los parámetros n y p, denotamos la pmf por b(x; n, p). Y matemáticamente se define como:  n  x n x   p 1  p  bx; n, p    k   0 

x  0,1,2,..., n de otro modo

En adelante escribiremos X~Bin(n, p) para indicar que X es una va binomial con probabilidad p de éxitos Veamos el siguiente ejemplo, a cada una de las seis personas que toman refresco de cola, seleccionadas al azar, se les da un vaso que contiene refresco de cola S y uno que contiene refresco de cola F. Los vasos son idénticos en apariencia pero realmente pertenecen a marcas diferentes. Supongamos que en realidad no hay preferencia entre las personas que beben refresco de cola para preferir entre una marca y otra. Entonces p = P(un individuo seleccionado prefiere S) = 5, así que con X = el número entre los seis que prefieren S, X~Bin(6,0.5). Dicho lo anterior se puede calcular lo siguiente: 

La probabilidad de que exactamente 3 prefieran S:  6 3 3 P X  3  b3;6,0.5   0.5 0.5  0.313 3  



La probabilidad de que al menos tres prefieran S 6 6  6 x 6 x P X  3   bx;6,0.5    0.5 0.5  0.656 x 3 x 3  x 



La probabilidad de que al menos uno prefiera S

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1 1  6 x 6 x P X  1   bx;6,0.5    0.5 0.5  0.109 x x 0 x 0  

Al final del apéndice, en la tabla 1 se tabula la cdf F(x) = P(X < x) para n = 5, 10, 15, 20, 25 en combinación con valores seleccionados de p. El valor esperado de una distribución binomial, la varianza y la desviación estándar se definen, respectivamente, como:

E X   np ; V  X   np1  p  ;  X  np1  p 

La distribución hipergeométrica Las suposiciones que llevan a la distribución hipergeométrica son: 

La población o conjunto donde deba hacerse muestreo consta de N individuos, objetos o elementos (una población finita)



Cada individuo puede ser caracterizado como un éxito (S) o un fracaso (F), y hay M éxitos en la población.



Se saca una muestra de N individuos en forma tal que sea igualmente probable que se seleccione cada conjunto de tamaño n.

La variable aleatoria de interés es X = número de las S de la muestra. La distribución de probabilidad de X depende de los parámetros n, M y N, así que deseamos obtener P(X = x) = h(x; n, M, N). Si X es el número de las S de una muestra completamente aleatoria de tamaño n sacada de una población formada por M S y (N – M) F entonces la distribución de probabilidad de X, llamada distribución hipergeométrica, está dada por:  M  N  M     x  n  x   P X  x   hx; n, M , N   N   n

Para un x entero que satisfaga máx.(0, n – N + M) < x < mín.(n, M). Veamos el siguiente ejemplo: cinco ejemplares de una población animal han sido atrapados, marcados y puestos en libertad para que se mezclen en la población. Después de que habían tenido una oportunidad de mezclarse, se seleccionó una muestra aleatoria de 10 de estos animales. Sea X = número de animales marcados de la segunda muestra. Si hay en realidad 25 animales de este tipo en la región, ¿cuál es la probabilidad de que a) X = 2, b) X < 2?

APÉNDICE. Repaso de Estadística.

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Los valores de parámetro son n = 10, M = 5 (5 animales marcados en la población), y N = 25, por lo que:  5  20     x 10  x  hx;10,5,25    25      10 

x  0,1,2,3,4,5

Para (a),  5  20     2 8 P X  2  h2;10,5,25      0.385  25     10 

Para (b), 2

Px  2  P X  0,1, o 2   hx;10,5,25  0.57  0.257  0.385  0.699 x 0

Como en el caso binomial, hay expresiones sencillas para E(X) y V(X) para va hipergeométricas. Estas se definen matemáticamente como: EX   n 

M N

M  M  N n V X      n   1   N  N  N 1 

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2. Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas Una variable aleatoria discreta es aquella cuyos posibles valores constituyen un conjunto finito o se pueden enumerar en una secuencia infinita (una lista en la que hay un primer elemento, un segundo elemento, etc.). Una variable aleatoria cuyo conjunto de posibles valores es todo un intervalo de números no es discreta. Se dice entonces que una va es continua si su conjunto de posibles valores es todo un intervalo de números, esto es, si para algún A < B, cualquier número x entre A y B es posible.

Función de densidad de probabilidad para variables aleatorias continuas Sea X una va continua. Entonces una distribución de probabilidad o función de densidad de probabilidad (pdf: probability density function) de X es una función f(x) tal que para cualesquiera dos números a y b siendo a < b,

Pa  x  b    f x dx b

a

Esto es, la probabilidad e que X tome un valor en el intervalo [a, b] es el área bajo la gráfica de la función de densidad. La gráfica de f(x) se conoce a veces como curva de densidad. Para que f(x) sea una pdf legítima, debe satisface las siguientes dos condiciones: 1. f(x) > 0 para toda x 2.







f x dx  área bajo toda la curva de f(x) = 1

La función acumulativa de distribución (cdf: cumulative distribution function) F(x) para una va X continua está definida para todo número x por:

F x   P X  x    f  y dy x



Para cada x, F(x) es el área bajo la curva de densidad a la izquierda de x. La importancia de la cdf aquí, al igual que para va discretas, es que se pueden calcular probabilidades de varios intervalos a partir de una formula o tabla para F(x). Sea X una va continua con pdf f(x) y cdf F(x), entonces para cualesquier dos números a, b con a < b,

Pa  X  b  F b  F a 

APÉNDICE. Repaso de Estadística.

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Percentiles de una distribución continua Cuando decimos que la calificación de prueba de un individuo estuvo en el 85avo percentil de la población, queremos decir que 85% de las calificaciones de toda la población estuvieron debajo de esa calificación y 15% estuvieron arriba. Entonces, si p es un número entre 0 y 1, el (100p)avo percentil de la distribución de una va X continua, denotado por (p), está definido por:  p

p  F   p   



f  y dy

Según la expresión anterior, (p) es el valor en el eje de medición, tal que 100p% del área bajo la gráfica de f(x) está a la izquierda de (p) y 100(1 – p)% está a la derecha. La mediana de una distribución continua, denotada por  , es el50avo percentil, así que  satisface 0.5 = F(  ). Esto es, la mitad del área bajo la curva de densidad está a la izquierda de  y la mitad está a la derecha de  .

Valores esperados para variables aleatoria continuas Para una va X, E(X) se obtuvo al sumar xp(x) sobre los posibles valores de X. En este caso sustituiremos la sumatoria por integración y la pmf por la pdf para obtener un promedio ponderado continuo. El valor esperado o valor medio de una va X continua con pdf f(x) es: 

 X  E  X    x  f x dx 

Si X es una va continua con pdf f(x) y h(X) es cualquier función de X, entonces

Eh X    h X    hx   f x dx 



La varianza de una variable aleatoria continua La varianza de una va X continua con pdf f(x) y valor medio  es:

 X2  V  X   





x   2  f x dx  Ex   2 

La desviación estándar (DE) de X es  X  V  X  Como en el caso discreto, X2 es el cuadrado de la desviación esperada o promedio alrededor de la media  y da una medida de cuánta dispersión hay en la distribución o población de x valores. La forma más fácil de calcular 2 es usar otra vez una fórmula abreviada como la usada en el caso de las va continuas.

APÉNDICE. Repaso de Estadística.

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La distribución normal La distribución normal es lo más importante en probabilidad y estadística. Muchas poblaciones numéricas tienen distribuciones que se pueden ajustar muy cercanamente mediante una curva normal apropiada. Como ejemplos pueden citarse las estaturas, pesos y otras características físicas, errores de medición en experimentos científicos, mediciones antropométricas efectuadas en fósiles, tiempos de reacción en experimentos psicológicos, mediciones de inteligencia y aptitud, calificaciones en diversas pruebas y numerosas medidas e indicadores económicos. Aun cuando la distribución fundamental sea discreta, la curva normal da con frecuencia una aproximación excelente. Además, una cuando las variables individuales mismas no están normalmente distribuidas, en condiciones apropiadas las sumas y promedios de las variables tendrán aproximadamente una distribución normal. Se dice que una va X continua tiene una distribución normal con parámetros  y

 (o  y 2), donde –<< y 0<, si la pdf de X es: f x;  ,   

1 2 

2 2  e  x    2     x  

Es claro que f(x; , ) > 0 para cualquier número x, pero deben emplearse técnicas de cálculo multivariado para demostrar que



 f x;  , dx  1 . Se puede demostrar 

que E(X) =  y V(X) =  , así que los parámetros son la media y la desviación estándar de X. La figura muestra gráficas de f(x; , ) para diversos pares de (, ) diferentes. Cada gráfica es simétrica alrededor de  y tiene forma de campana, por lo cual el centro de la campana (punto de simetría) es tanto la media como la mediana de la distribución. El valor de  es igual a la distancia desde  hasta los puntos de inflexión e la curva. Valores grandes de  dan gráficas que están bastante dispersas alrededor de , en tanto que valores pequeños de  producen gráficas con un pico alto arriba de  y la mayor parte del área bajo la gráfica estará muy cerca de . Por lo tanto, una  grande implica que puede observarse bien un valor de X lejos de , mientras que tal valor es muy poco probable cuando  es pequeña. 2

APÉNDICE. Repaso de Estadística.

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La distribución estándar normal Para calcular P(a < X < b) cuando X es una va normal con parámetros  y  debemos evaluar:



b

a

1

e  x   

2

2 

2 2

dx

Ninguna de las técnicas de integración estándar se puede emplear para evaluar la expresión anterior. En lugar de esto, para  = 0 y  = 1, la expresión anterior ha evaluado y tabulado numéricamente para ciertos valores de a y b. Ésta tabla también se puede utilizar para el cálculo de probabilidades para cualesquier otros valores de  y  bajo consideración. La distribución normal con valores de parámetros  = 0 y  = 1 recibe el nombre de distribución normal estándar. Una variable aleatoria que tiene una distribución normal estándar se llama variable aleatoria normal estándar y se denota por Z. La pdf de Z es:

f z;0,1 

1 2

e z

2

2

  z  

La cdf de Z es PZ  z    f  y;0,1dy que se denota por (z). z



Distribuciones normales no estándar Cuando XN(, 2), las probabilidades donde aparezca X se calculan por ―estandarización‖. La variable estandarizada es  X     . Al estar  se desplaza la media de  a 0, y luego al dividir entre  se gradúa la variable para que la desviación estándar sea 1 en lugar de . Matemáticamente se define lo siguiente: si X tiene una distribución normal con media  y desviación estándar , entonces: Z

x



Es una va normal estándar. Veamos un ejemplo: el tiempo que tarda un automovilista en reaccionar a las luces de freno traseras de otro vehículo que desacelera es crítico para evitar una colisión. Se sugiere que este tiempo se puede modelar con una distribución normal que tenga un valor medio de 1.25seg y desviación estándar de 0.46seg. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de reacción se encuentre entre 1.00seg y 1.75seg?. Si denotamos por X el tiempo de reacción, entonces la estandarización da:

APÉNDICE. Repaso de Estadística.

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1.00  x  1.75

Sí y solo sí:

1.00  1.25 X  1.25 1.75  1.25   0.46 0.46 0.46 De esta forma: 1.75  1.25   1.00  1.25 P1.00  X  1.75  P Z  0.46   0.46

 P 0.54  Z  1.09  1.09   0.54  0.8621  0.2954  0.5675 Hay algunas características que son necesarias recordar sobre la distribución normal. 

Alrededor de 68% (68.26%) de los valores están dentro de 1 de la media



Alrededor de 95% (95.44%) de los valores están dentro de 2 de la media



Alrededor de 99.7% (99.74%) de los valores están dentro de 3 de la media

Estas características se usan mucho en los cálculos de tolerancias Que se muestran en el capítulo 5 de nuestro libro, y además son características que permiten medir la calidad de ciertas muestras, ya que indican dentro de que rango de error se puede encontrar una muestra de una población.

Bibliografía

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BIBLIOGRAFÍA

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