2. Transformacion Esfuerzos 6n2j6n

Mecánica de Materiales

Transformación de Esfuerzos Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental

Profesor: Juan F. Correal Daza, Ph.D. Ph.D.,, P.E.

Concepto de esfuerzo en el plano Viga de Concreto sin Refuerzo Longitudinal g

Viga de Concreto con Refuerzo Longitudinal y sin Refuerzo Transversal

Concepto de esfuerzo en el plano σZ τZY

τZX τXZ

τYZ

σY σY

τXY τYX σX Estado General de Esfuerzos

τXY τYX

σX

σY

Esfuerzo Plano

τXY σX

Esfuerzo Plano (vista en 2D)

Concepto de esfuerzo en el plano Y

σY τXY θ

σX θ X

Y

Y´

Y

X´ θ X

X

Ecuaciones generales de la transformación de esfuerzo plano Convención de signos positivos Y

+σY +τXY

Y

Y´

Y

X´ θ X

+σX

X ƒEsfuerzo Ef normall + actúa ú hacia h i afuera sobre todas las caras. ƒEsfuerzo cortante + actúa hacia arriba sobre la cara derecha del elemento.

X ƒAngulo θ + se mide desde el eje x positivo en dirección contraria a las manecillas del reloj (regla de mano derecha).

Ecuaciones generales de la transformación de esfuerzo plano σY

Y

Y´

τXY θ

Y X´

σX

θ ∆ A cos θ

θ ∆A ∆ A sen θ

X

X

Ecuaciones generales de la transformación de esfuerzo plano Y´

Y´

Y

τx’y’∆ A

X´ θ

θ

∆A

∆ A cos θ

∆ A sen θ +

ΣFX’=0:

+

ΣFy’=0:

σY’ =

X

σx ∆A cos θ

θ

X´ σx’∆ A θ X

θ

τxy ∆A cos θ θ

θ τxy ∆A sen θ σy∆A sen θ

σX+σY σ -σ cos2θ + τxysen2 sen2θ θ …(1) + X Y cos2θ 2 2 σ -σ …(2) sen2θ θ + τxycos2 cos2θ θ τX’Y’= − X Y sen2 2 σX’ =

σX+σY σ -σ cos2θ θ − τxysen2 sen2θ θ − X Y cos2 2 2

reemplazando θ = θ+90 en (1)

Esfuerzo planoplano- Ejemplo Los esfuerzos en un punto B de una viga de acero son mostrados en la figura. fi Determine D i ell esfuerzo f en dicho di h punto a un ángulo á l orientado i d a 41° 41° con respecto a la horizontal y medido en contra de las manecillas del reloj. j Muestre el estado de esfuerzos planos p en un diagrama. g

Elevación

Sección

Esfuerzo planoplano- Ejemplo

Esfuerzo planoplano- Ejemplo Una placa rectangular de 3.0 pulg. pulg. x 5.0 pulg. pulg. esta formada por dos placas triangulares unidas por una soldadura soldadura. La placa está sometida a un esfuerzo de tensión y de compresión como se muestra en la figura. Encuentre el esfuerzo normal y de cortante en la soldadura.

Esfuerzo planoplano- Ejemplo

Esfuerzos actuando en la soldadura:

Esfuerzo Principales Axiales y Máximo de Corte Como puedo encontrar el plano que me produce los esfuerzos normales l máximos á i o mínimos? í i ? σX+σY σ -σ σX’ = cos2θ θ + τxysen2 sen2θ θ + X Y cos2 2 2 dσX’ dθ

…(1)

σX-σY 2sen2θ 2sen2 θ + 2τxycos2 cos2θ θ =0 = − 2

Resolviendo para θ: Tan2θ Tan2 θp =

τxy (σX-σY) /2

Dos posibles soluciones θp1 y θp2 y difieren en 90º 90º

σY

Esfuerzo Principales Axiales y Máximo de Corte

θp2 = θp1+90 +90°°

Y´

τXY

σ2

σ1

X´

θp1 X

σX

=

Al reemplazar θp1 y θp2 en Eq. (1): σ1,2 =

σX+σY ± 2

( σX2-σY )

2

+ τxy2

Si se reemplaza θp1 y θp2 en Eq. (2): τx’y’ = 0

Esfuerzos normal máximo y mínimo se define como: esfuerzos principales en el plano y los planos donde actúan se denominan planos principales

En planos principales no actúa el esfuerzo cortante

Esfuerzo Principales Axiales y Máximo de Corte Como puedo encontrar el plano que me produce el esfuerzo cortante t t máximo? á i ? σX-σY sen2θ + τxycos2 sen2θ cos2θ θ τXX’Y’ Y =− 2 dτXX’Y’ Y dθ

=0

Tan2θ T 2θ Tan2 2θs =

…(2) ( )

y resolviendo para θ: −(σX-σY) /2 τxy

Dos posibles soluciones θs1 y θs2 y difieren 90 º entre si y 45º 45º entre los planos principales

Los planos del esfuerzo cortante máximo se pueden encontrar orientando a un elemento a 45° con respecto a la posición de un elemento l t que defina d fi los l planos l del d l esfuerzo f principal i i l

Esfuerzo Principales Axiales y Máximo de Corte

Al reemplazar θs1 y θs2 en Eq. (2): τmax en plano =

(

σX-σY 2

2

)

Esfuerzo cortante máximo en el plano xy

+ τxy2

Si se reemplaza S ee p θs1 y θs2 een Eq. q. (1): ( ): σprom=

σX+σY 2

Esfuerzo normal sobre el p plano de máximo cortante

σ2

Y´

σprom σ1

=

τmax

σprom

X´

45ºº 45 X

Esfuerzo Principales Axiales y Máximo de CorteCorte- Ejemplos Un muro de cortante en un edificio de concreto reforzado es sometido tid a una carga vertical ti l (muerta ( t y viva) i ) uniforme if de d intensidad i t id d q, y a una carga horizontal puntual H (sismo o viento). El esfuerzo debido a estas cargas g en el ppunto A es mostrado en la figura. g a) Determine los esfuerzos principales y muestre un diagrama de dichos esfuerzos con su respectiva orientación. b) Determine D t i ell esfuerzo f cortante t t máximo á i y los l esfuerzos f normales l asociados y muéstrelos en un diagrama de un elemento orientado apropiadamente. p p

Esfuerzo Principales Axiales y Máximo de CorteCorte- Ejemplos a) Esfuerzos principales:

Luego:

Esfuerzo Principales Axiales y Máximo de CorteCorte- Ejemplos b) Esfuerzo cortante máximo:

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano σX+σY σ -σ cos2θ θ + τxysen2 sen2θ θ …(1) + X Y cos2 (1) 2 2 σX-σY …(2) ( ) sen2θ sen2 θ + τxycos2 cos2θ θ τXX’Y’ Y =− 2

Y´

σX’ =

La ecuación (1) se puede expresar como: σX’ -

τx’y’ σx

X´ σx’ θ

τxy

σX+σY σ -σ cos2θ θ + τxysen2 sen2θ θ …(1) = X Y cos2 2 2

σy

Para eliminar el parámetro θ , se eleva al cuadrado cada ecuación (1) y (2) y sumando las ecuaciones:

[

σXX’ -

(

σX+σY 2

)]

2

+ τ2x´y´ =

(

σX-σY 2

2

)

+ τ2xy

X

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano [

σX’ -

(

σX+σY 2

)]

2

+ τ2x´y´ =

(

σX-σY 2

2

)

+ τ2xy

Ya que σx, σy y τxy so son co constantes s es co conocidas, oc d s, la ecuación ecu c ó anterior e o se puede escribir como: (σX’ - σprom) 2 + τ2x´y´ = R2 donde: σX+σY σprom= 2

R=

(

σX-σY 2

2

)

+ τxy2

σ

C

O

R σprom τ

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano

1. Dibuje un eje de coordenadas con σ como abscisa (positivo hacia la derecha) y τ como ordenada (positivo hacia abajo)

τXY

90°° 90

σX X

A

B

−τXY

180°° 180 σ

C

O

4. Localizar el punto B (representa las condiciones di i de d esfuerzo f sobre b la l cara B del d l elemento) se localiza diametral con respecto a A (σ (σY,-τXY) 5. Con C como centro, trace el circulo de Mohr por los puntos A y B.

B

σY

2. Localice el centro C del circulo en el punto con coordenadas (σ (σprom, 0) 3. Localizar el punto A (representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara A del elemento) con coordenadas (σ (σX,τXY)

σY

Y

Pasos para la construcción del circulo de Mohr: Dados σx, σy y τxy:

R

τX Y

σprom σX τ

A

2θ en Mohr es θ elemento

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano Pasos para encontrar los esfuerzos en un plano inclinado θ: Una vez construido el circulo de Mohr con σx, σy y τxy:

σY’

D’ τX’Y’

1. Medimos un ángulo 2θ 2θ (sentido antihorario) desde CA. El ángulo 2θ 2θ localiza el punto D.

σX’

θ

2. El punto D’ se localiza a un angulo de 180 grados desde CD. CD Los esfuerzos en un plano inclinado definido por el ángulo θ en el elemento, elemento se encuentran en un punto sobre el circulo, en donde el ángulo desde el punto de referencia es 2θ 2θ.

D

σY’ D’

B

− O τX’Y’

σ

C 2θ

σprom τ

σX’

A

τX’Y D

’

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano Pasos para los esfuerzos principales:

σ2

Una vez construido el circulo de Mohr con σx, σy y τxy: 1. El esfuerzo principal σ1 es el punto en el circulo en donde esfuerzo normal alcanza su valor algebraico máximo y el cortante es 0. El plano principal está a un ángulo 2θ 2θp1 desde el ppunto de referencia A. 2. El otro plano principal, asociado con el esfuerzo normal menor en términos algebraicos, l b i σ2, esta representado d por ell punto P2, diametralmente opuesto al P1. σ1= OC+ OC 1= R=

(

σX-σY 2

σX+σY +R 2 2

)

+

τxy2

σX-σY 2R τXY = sen2θ sen2 θp1 R

P2 P1

σ1 θ

σ2

O

B P2

2θp1 σprom

cos2θ cos2 θp1 =

A σ1

τ

P1

C

σ

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano Pasos para el esfuerzo cortante máximo:

σprom τmax

Una vez construido el circulo de Mohr con σx, σy y τxy:

θ

1. Los puntos S1 y S2 representan los planos de esfuerzos cortantes máximo positivo y negativo y se localizan en la parte inferior y superior del circulo, respectivamente. Los planos de esfuerzo cortante máximo están a 2θ 2θ=90 =90°° de los planos principales en el circ lo de Mohr, circulo Mohr es decir a 45° 45° en elemento elemento. τmax= R

R=

σX+σY σprom= 2

(

σX-σY 2

2

)

+

σprom

B

S2

−τmax O

2θ

τxy2 σprom τ

σ

C

S1

A

τmax

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano Plano-- Ejemplo Un elemento es sometido a un esfuerzo uniaxial de tensión con σx = 55 MP MPa, como se ve en lla fi figura. Usando el circulo de Mohr, determine: a) El esfuerzo que actúa en un elemento orientado a un ángulo θ = -30° 30° (sentido horario) b) El máximo esfuerzo de cortante y su esfuerzo normal asociado. asociado Muestre los esfuerzos respectivos sobre un diagrama de un elemento orientado apropiadamente.

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano Plano-- Ejemplo Esfuerzo Uniaxial:

a) Elemento a θ = -30° 30°: Punto C:

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano Plano-- Ejemplo b) Máximo esfuerzo cortante:

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano Plano-- Ejemplo Un elemento es sometido a un esfuerzo biaxial como se ve en la figura. U d ell circulo Usando i l de d Mohr, M h determine: d t i a) El esfuerzo que actúa en un elemento orientado a un ángulo θ = 22.5° 22.5° ((sentido antihorario). ) b) El máximo esfuerzo de cortante y su esfuerzo normal asociado. Muestre los esfuerzos en un diagrama de un elemento orientado apropiadamente. apropiadamente

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano Plano-- Ejemplo Esfuerzo biaxial: a) Elemento a θ = 22.5 22.5°°:

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano Plano-- Ejemplo b) Máximo esfuerzo cortante:

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano Plano-- Ejemplo Un elemento es sometido a un esfuerzo plano como se ve en la figura. U d ell circulo Usando i l de d Mohr, M h determine: d t i a) Los esfuerzos principales. b)) El máximo esfuerzo de cortante y su esfuerzo normal asociado. Muestre los esfuerzos en un diagrama orientado apropiadamente. Datos:

Sistema de Convenciones (+)

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano Plano-- Ejemplo a) Esfuerzos principales

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano Plano-- Ejemplo b) Máximo esfuerzo cortante:

Circulo de Mohr Esfuerzo Triaxial σZ

σ3 τZY

τZX τXZ

τYZ

σY

σ2

τXY τYX σX

σ1

Estado General de Esfuerzos

Esfuerzos Triaxiales

σ1, σ2, σ3 = Esfuerzos Ef Principales Pi i l

Circulo de Mohr Esfuerzo Triaxial y

σ3

σ

x σ2

z

τ σ2 σ1

σ1

σ3 τ(max)z=

De modo similar se pueden obtener los esfuerzos máximos de corte: τ(max)x=

θ

σ1-σ3 2

τ(max)y=

σ1-σ2 2

σ2-σ3 2

Circulo de Mohr Esfuerzo Triaxial

A B

C

O

σ σ3 σ2

σ1

τ(max)z ) =

σ 2- σ 3 2

τ(max)y=

σ1-σ2 2

τ(max)x=

σ 1- σ 3 2

τ σprom=

σ1+σ3 2

Cortante Máximo Absoluto Circulo con mayor radio

Circulo de Mohr Esfuerzo TriaxialTriaxial-Ejemplo Un cubo de hierro fundido se prueba en el laboratorio sometiéndolo a esfuerzo triaxial. Los esfuerzos normales que actúan en cada cara son σ1=-2100 psi σ2 =-2100 psi y σ3 =-4200 psi. Encuentre los esfuerzos máximos de corte en cada cara y dibuje los círculos de Mohr respectivos.

Circulo de Mohr Esfuerzo TriaxialTriaxial-Ejemplo

A

O σ1 , σ2 σ3 τ

σ

Circulo de Mohr Esfuerzo TriaxialTriaxial-Ejemplo Debido a la carga aplicada, el elemento en el punto indicado en la figura está sometido al estado de esfuerzo plano que se muestra. Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo absoluto en el punto. punto P1 P2 20 lb/pulg2

40 lb/pulg2

Circulo de Mohr Esfuerzo TriaxialTriaxial-Ejemplo Esfuerzos principales: C

A 40

σ x+ σ y = (-20+0)/2 2 σprom= -10 psi σprom=

−2θp

α C

σ

O 10

R=

20 τ σmax= 41.2 41.2--10 = 31.2 psi σmin= -10 - 41.2 = -51.2 psi

Tan α=

R= 40 (20 20--10)

(

σX-σY 2

(

-2020-0 2

2

)

2

)

+ τxy2 + −402 = 41.2 psi

α = 38º 38º

180 – α = -2θp θp = -52º 52º

Circulo de Mohr Esfuerzo TriaxialTriaxial-Ejemplo Esfuerzo cortante máximo absoluto: σ1= 31.2 psi σ2= 0 σ1+σ3 σprom= 2

σ -σ τ(max)abs= 1 3 = 41.2 psi 2 2θs= 76º 76º+90º=166º +90º=166º

A

= 10 psi

σ2

θs= 83º 83º 2θs

σ3= -51.2 psi

σ

C

τ(max)abs σ3

σ1 τ

Concepto de Deformación Unitaria Plana y dx

εx dx

y εy dy dy

x Deformación unitaria normal en x, εx y γxy/2

x Deformación unitaria normal en y, εy

γxy/2 x Deformación unitaria cortante γxy

Concepto de Deformación Unitaria Plana Convención de signos positivos y ƒDeformaciones unitarias normales εx y εy son + si causan alargamiento a lo largo de los j respectivos i ejes

+εydy d d dy

ƒDeformación unitaria de cortante es + si el ángulo interno que se distorsiona es menor a 90ºº 90

Esta convención de signos es consecuente con la de esfuerzos planos

+ γxy/2

dx

+εxdx

x

Circulo de Mohr para Deformación Plana y

Pasos para construcción del circulo de Mohr: Dados εx, εy y γxy:

εydy

2. Localice el centro C del circulo en el punto con coordenadas (ε (εprom, 0)

x dx

B −γXY/2

180°° 180

εxdx

ε

C R εprom εX

γ/2

A

εY

O

4. Localizar el punto B (representa las condiciones di i de d deformación d f ió sobre b la l cara B del elemento) se localiza diametral con respecto a A (ε (εY,-γXY/2) 5. Con C como centro, trace el circulo de Mohr por los puntos A y B.

γxy/2

dy

1. Dibuje un eje de coordenadas con ε como abscisa (positivo hacia la derecha) y γ/2 como ordenada (positivo hacia abajo)

3. Localizar el punto A (representa las condiciones de deformación sobre la cara A del elemento) con coordenadas (ε (εX,γXY/2)

B

γXY/2 A

2θ en Mohr es θ elemento

Circulo de Mohr para Esfuerzo PlanoPlanoEjemplo Un elemento de material sometido a deformación plana (vea la figura) tiene l siguientes las i i t deformaciones d f i unitarias: it i εx = 220 X 10-6, εy = 480 X 10 10--6 y γxy = 180 x 10 10--6. Calcule las deformaciones unitarias ppara un elemento orientado a un ángulo g θ = 50º 50º y muestre sus deformaciones unitarias sobre un croquis de un elemento orientado apropiadamente.

Circulo de Mohr para Esfuerzo PlanoPlanoEjemplo

Circulo de Mohr para Esfuerzo PlanoPlanoEjemplo