2. Momentos De Inercia 3j1y27

UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA ANALISIS DE DATOS EXPERIMENTALES: MOMENTO DE INERCIA María De Los Ángeles Fonseca, Santiago Martínez Ramírez, Andrea Peñates Ramos y Jhesyca Paola Garcia Peralta 5400043, 5800416, 5400095, 5400082 15 Agosto de 2017

1. RESUMEN: Para la realización de la práctica fue necesario utilizar diferentes instrumentos como: Mesa rotatoria con polea y porta pesas, un Disco, un Anillo, y Balanza. Por medio de estos materiales tomamos las dimensiones de los diferentes objetos y los tiempos que demora en caer la masa y en parar el disco; con los datos obtenidos hallamos el momento de inercia del anillo y de las pesas. Por ultimo hallamos el error a las medidas tomadas en la práctica. 2. INTRODUCCIÓN: La resistencia que un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de giro se conoce como El momento de inercia. En el siguiente laboratorio se estudiara el momento de inercia de objetos como el disco y las pesas; basándonos en lo dicho anteriormente y con conceptos como el de la energía mecánica, potencial gravitacional, cinética, rapidez angular y MUA, hallamos los momentos inerciales. 3. OBJETIVOS: 3.1.

OBJETIVO GENERAL:

Medir experimentalmente el momento de inercia de un cuerpo regular rotando con respecto a un eje que pasa por su centro de masa. 3.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS:  Medir experimentalmente el momento de inercia de un disco y de un aro, comparar con el valor teórico.  Medir experimentalmente el momento de inercia de un cilindro utilizando el teorema de los ejes paralelos.  Hacer el análisis de errores correspondiente. 4. MARCO TEORICO: MOMENTO DE INERCIA: El Momento de Inercia es una magnitud que establece la resistencia que presenta un cuerpo a cambiar su velocidad angular, con relación un eje específico: el torque externo aplicado a un cuerpo rígido se relaciona con la aceleración angular adquirida según la relación: ζ= Iα (1) En donde I es el momento de inercia, α aceleración angular, ζ el momento o torque externo aplicado. Para una distribución de masa discreta el Momento de Inercia puede calcularse con la ecuación: I = Σmr² (2) Donde m son las masas puntuales y r la distancia la distancia al eje de rotación. Si la distribución de masas es continua el cálculo se hará con un integral. I = ∫r²dm

(3)

Si se conoce el Momento de inercia Io con relación a un eje que pasa por el centro de masa, es posible calcular el Momento de Inercia I de un cuerpo de masa M, con relación a un eje paralelo al primer eje situado a una distancia r, con el Teorema Steiner o de ejes paralelos, expresado por: I= Io + mr² (4)

Para cuerpos rígidos con una distribución continua de masa y considerando un eje de rotación arbitrario, viene dado por la ecuación (3), siendo la distancia perpendicular del elemento de masa al eje de rotación. Si el eje de rotación es el eje de simetría que pasa a través del centro de masa (CM) del cuerpo, el momento de inercia toma su valor mínimo.

Figura 1. Momento de inercia alrededor del eje de simetría. (a) Cilindro sólido o disco. (b) Esfera sólida.

Así por ejemplo, el ICM alrededor del eje de simetría del cilindro sólido, disco y esfera sólida, cada uno de masa M y radio R, se muestran en la figura 1. Si se desplaza paralelamente el eje de rotación una distancia d respecto al eje de simetría del cuerpo de masa M, su momento de inercia I es dado por: I= ICM+Md2 (5) Esta relación es llamada el Teorema de Steiner o Teorema de los ejes paralelos. La figura 2 muestra un cuerpo rígido sobre un eje de torsión con un resorte espiral. Si desplazamos un ángulo respecto a la posición de equilibrio (P.E), el resorte ejerce un momento de torsión de restitución sobre el cuerpo hacia la P.E., según la ley de Hooke: (6)

Figura 2. El resorte espiral ejerce un momento de torsión hacia la P.E. proporcional a Ø.

Donde K es la constante de torsión del resorte. Si dejamos oscilar libremente el cuerpo, despreciando el rozamiento del aire, se origina un movimiento armónico simple (MAS) angular, cuyo periodo T viene dado por la expresión: 1

𝑇 = 2𝜋√𝑘

(7)

Donde obtenemos que: 𝑇

𝐼 = 𝐾 (2𝜋) 2 (8) El teorema de los ejes paralelos o teorema Huygens-Steiner se usa para determinar el momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje siempre y cuando sea dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular entre ejes (d). El momento de inercia de ambos ejes está dado por la ecuación (5) En donde: I: Es el momento de inercia del cuerpo según el eje que no pasa a través del centro de masas Icm: Es el momento de inercia del cuerpo según el eje que pasa por el centro de masas. igura 3: Demostración m: Es la masa del objeto grafica teorema de Steiner. d: Es la distancia entre los ejes El teorema de los ejes perpendiculares se puede utilizar para determinar el momento de inercia de un objeto rígido que se encuentra en un plano, alrededor del eje perpendicular al plano, como se muestra en la ilustración 2 todos los ejes deben pasar a través de un único punto en el plano debido a que los momentos de inercia están sobre los dos ejes x y y. igura 4a: Demostración grafica teorema de ejes perpendiculares.

Figura 4 b: Demostración teorema

5. PROCEDIMIENTO:  Análisis Cualitativo: Se realizó un montaje como el que se muestra en la figura 6, procedimos a seleccionar una masa control m adecuada y soltarla desde una altura h. Dejamos que el sistema de la cruceta se active libremente, este procedimiento se realizó varias veces cambiando la masa m.  Análisis Cuantitativo: Se realizó un montaje con pesas y una barra como se muestra en la figura 7. y se colocó una masa m desde una altura h seleccionada. Luego se soltó la masa m y se dejó que las masas junto a la barra adquirieran movimiento. Se midió tres veces el tiempo que gasta la masa en llegar al piso, luego se realizó lo mismo con diferentes masas m.

Figura 7Montaje análisis cuantitativo.

6. DATOS: MASA 1 (60,53g)

MASA 2 (80,53g)

1 2 3

13.97 13.53 13.35

11.12 11.40 11.35

Promedio

13.62

11.29

DATOS

PRIMER MONTAJE (Análisis cualitativo) MASA 3 MASA 4 MASA 5 MASA 6 (100,53 g) (120,53g) (140,53) (160,53g) TIEMPO (s) 9.72 9.16 9.06 7.85 10.03 9.10 8.25 7.81 9.97 9.22 8.44 7.87 9.91

9.16

8.58

Tabla 1: análisis cualitativo.

MASA 7 (170,53g)

MASA 8 (180,53g)

MASA 9 (190,53g)

7.72 7.56 7.40

7.35 7.06 7.19

7.31 7.07 7.28

7.56

7.20

7.22

7.84

R (cm) D (cm) MASA SOPORTE (g) H (cm)

15.95 31.90 10.53 105.40

Tabla 1.1: Radio ( R) Diametro (D) Masa Altura de la masa al suelo.

SEGUNDO MONTAJE (Análisis cuantitativo) DATOS

TIEMPO (s) MASA 1 (60,53g)

MASA 2 (90,53g)

MASA 3 (120,53g)

MASA 4 (150,43g)

1

11.94

9.69

8.25

7.18

2

11.22

9.44

8.34

7.28

3

11.88

9.32

8.15

7.28

Promedio

11.68

9.48

8.25

7.25

Tabla 2: Analisis Cuantitativo MASA ROJA (g) R(g) D(g) H(cm) MASA VERDE(g)

243.20 15.60 4.70 4.20 243.90

R(g) D(g) H(cm) MASA BARRA (g) MASA DISCO (g)

11.50 4.70 4.20 242.92 878.00

Tabla 2.2: Masas Cilindro Rojo y verde, radio ( R), diametro (d), altura (h), masa de la barra, masa del disco.

 Momento de Inercia primer montaje Dada la masa (m) en gramos, el radio (r) en cm, la gravedad (g) en

𝑐𝑚 𝑠2

, el tiempo (t) en segundos y la altura

(h), en cm. La inercia será dada por la siguiente formula en todos los casos: 𝑔𝑡 2

𝐼𝑒𝑥𝑝 = 𝑚1 𝑟 2 ( 2ℎ − 1)



(980)(13.6)2

𝐼𝑒𝑥𝑝 = (50)(15.95)2 (

2(105.4)

− 1)

𝑰𝒆𝒙𝒑 = 𝟏𝟎𝟗𝟐𝟒𝟗𝟒𝟔. 𝟎𝟕 

(980)(11.29)2

𝐼𝑒𝑥𝑝 = (70)(15.95)2 (

− 1)

2(105.4)

𝑰𝒆𝒙𝒑 = 𝟏𝟎𝟓𝟑𝟒𝟖𝟕𝟏. 𝟖



(980)(9.907)2

𝐼𝑒𝑥𝑝 = (90)(15.95)2 (

− 1)

2(105.4)

𝑰𝒆𝒙𝒑 =10424394.48 

𝐼𝑒𝑥𝑝 = (110)(15.95)2 (

(980)(9.16)2 2(105.4)

− 1)

𝑰𝒆𝒙𝒑 =10887939.05 

𝐼𝑒𝑥𝑝 = (130)(15.95)2 (

(980)(8.583)2 2(105.4)

− 1)

𝑰𝒆𝒙𝒑 =11293497.88 

𝐼𝑒𝑥𝑝 = (150)(15.95)2 (

(980)(7.843)2 2(105.4)

− 1)

𝑰𝒆𝒙𝒑 =10874547.59 

𝐼𝑒𝑥𝑝 = (160)(15.95)2 (

(980)(7.56)2 2(105.4)

− 1)

𝑰𝒆𝒙𝒑 =10774641.60 

𝐼𝑒𝑥𝑝 = (170)(15.95)2 (

(980)(7.2)2 2(105.4)

𝑰𝒆𝒙𝒑 = 𝟏𝟎𝟑𝟕𝟗𝟕𝟎𝟒. 𝟎𝟕  Momento de Inercia segundo montaje

7. ANALISIS DE RESULTADOS: 8. CONCLUSIONES: 9. BIBLIOGRAFIA:

− 1)

 Tomado de: https://www.fisicalab.com/apartado/ecuaciones-mcu#contenidos Consultado 03/08/2017  Tomado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_circular Consultado el: 07/08/2017  Tomado de: blog.espol.edu.ec/alealjim/files/2012/01/Fuerza-Centripeta.docx Consultado 07/08/2017  Tomado de: fisicauniversal.com Consultado el:12/08/2017

el:

el: