17. Soal-soal Program Linear 2a3to

17. SOAL-SOAL PROGRAM LINEAR EBTANAS2000 1. Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 5x + y ≥ 10 2x + y ≤ 8 y ≥2

daerah 5x + y ≥ 10 berada pada garis persamaan tersebut dan di atas garis (I, II,III, V) ---(a) 2. B adalah persamaan garis 2x + y = 8 titik potong dengan sumbu x jika y=0 x = 4 Æ (4,0) titik potong dengan sumbu y jika x = 0 y = 8 Æ (0,8) daerah 2x + y ≤ 8 berada pada garis persamaan tersebut dan di bawah garis (III, V) ….(b) 3. C adalah garis y = 2 daerah di atas garis y = 2 adalah I, II, III, IV …(b)

dari (a) , (b) dan (c) : 1. I 2. 3. I

B. II

C. III

II

III III III

V V IV

Yang memenuhi ketiga-tiganya adalah daerah III

ditunjukkan oleh daerah A. I

II

D. IV

E. V

jawab:

Jawabannya adalah C SIPENMARU1985 2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan 2x+y ≥ 4 ; 3x + 4y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 dapat digambarkan dengan bagian bidang yang diarsir sebagai berikut :

.

1. Terlihat pada gambar bahwa A adalah persamaan garis 5x + y = 10 titik potong dengan sumbu x jika y = 0 x = 2 Æ titik (2,0) titk potong dengan sumbu y jika x = 0 y = 10 Æ titik (0,10) www.matematika-sma.com - 1

Jawab : 2x+y ≥ 4 ; 2x + y = 4 titik potong dengan sumbu x , y = 0 x = 2 Æ (2,0)

Jawabannya adalah E

titik potong dengan sumbu y, x = 0 y = 4 Æ (0,4)

UN2005 SMK 3. Daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear…

3x + 4y ≤ 12 3x + 4y = 12 titik potong dengan sumbu x, y = 0 x = 4 Æ (4,0) titik potong dengan sumbu y, x = 0 y=3 Æ (0,3) gambar sbb:

A. x+2y ≤ 8, 3x+2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 B. x+2y ≥ 8, 3x+2y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 C. x-2y ≥ 8, 3x-2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 D. x+2y ≤ 8, 3x-2y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 E. x+2y ≤ 8, 3x+2y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 Jawab : persamaan garis melalui titik (0,6) dan (4,0) adalah:

(0,a)

Himpunan penyelesaiannya berada di atas persamaan garis 2x + y = 4 dan di bawah 3x + 4y = 12

Persaman garis =

(b,0)

x y + = 1 ⇔ ax + by = a.b b a

6x+4y = 24 ⇔ 3x + 2y = 12 karena daerah arsiran dibawah persamaan garis maka 3x + 2y ≤ 12 …(1) www.matematika-sma.com - 2

persamaan garis melalui titik (0,4) dan (8,0) adalah:

Jawab: 1. persamaan garis melalui titik (0,6) dan (10,0) adalah:

(0,a) Persaman garis =

(b,0)

x y + = 1 ⇔ ax + by = a.b b a

4x+8y = 32 ⇔ x + 2y = 8 karena daerah arsiran dibawah persamaan garis maka x + 2y ≤ 8 ….(2)

(0,a)

(b,0)

ax + by = a.b ⇒ 6x + 10y = 60 3x + 5y = 30 karena daerah arsiran dibawah persamaan garis maka 3x + 5y ≤ 30 ….(1)

2. persamaan garis melalui titik (0,-4) dan (2,0) adalah:

Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x ≥ 0 dan y ≥ 0 ….(3) dan (4)

(0,a)

sehingga daerah penyelesaiannya adalah: (1), (2), (3) dan (4)

(b,0)

ax + by = a.b ⇒ -4x + 2y = -8 -2x + y = -4

3x + 2y ≤ 12, x + 2y ≤ 8 dan x ≥ 0, y ≥ 0

karena daerah arsiran di sebelah kiri maka persamaan garisnya :

jawabannya adalah A

EBTANAS2001 SMK Teknologi 4. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan…

-2x + y ≥ -4 atau 2x – y ≤ 4 …(2)

ingat untuk a < 0 dan b > 0 -ax + by ≥ -ab (b,0) x

(0,-a)

-ax + by ≤ -ab

y

3. Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x ≥ 0 dan y ≥ 0 ….(3) dan (4) A. 5x + 3y ≤ 30, x - 2y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 B. 5x + 3y ≤ 30, x - 2y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 C. 3x + 5y ≤ 30, 2x - y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 D. 3x + 5y ≤ 30, 2x - y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 E. 3x + 5y ≥ 30, 2x - y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0

sehingga daerah penyelesaiannya adalah: (1), (2), (3) dan (4) 3x + 5y ≤ 30 ; 2x – y ≤ 4 ; x ≥ 0 dan y ≥ 0 jawabannya adalah D

www.matematika-sma.com - 3

SIPENMARU1985 5. Daerah yang diarsir pda gambar di bawah ini menunjukkan himpunan titik (x,y) yang memenuhi pembatasan di bawah ini, yaitu ….

ax + by = a.b ⇒

4x + 6y = 24 2x + 3y = 12

karena daerah arsiran di bawah persamaan garis maka : 2x + 3y ≤ 12 …(2) 3. Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x ≥ 0 dan y ≥ 0 ….(3) dan (4)

sehingga daerah penyelesaiannya adalah: (1), (2), (3) dan (4) -x + y ≤ 2 ; 2x +3y ≤ 12 ; x ≥ 0 dan y ≥ 0 A. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 12, - x + y ≥ 2 B. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≥ 12, -x + y ≥ 2 C. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 12, -x + y ≤ 2 D. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≥ 12, -x + y ≤ 2 E. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 12, -x + y ≤ 2

jawabannya adalah C EBTANAS1998 6. Daerah yang diarsir pada gambar merupakan grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan… y

jawab:

B(3,6)

1. persamaan garis melalui titik (0,2) dan (-2,0) adalah: C(0,4) (0,a)

(b,0)

ax + by = a.b ⇒ 2x - 2y = -4 x - y = -2

A(7,0)

karena daerah arsiran di sebelah kanan persamaan garis maka x – y ≥ -2 atau –x + y ≤ 2….(1)

untuk a > 0 dan b <0 y ax - by ≤ -ab

A. 3x + 2y ≤ 21, -2x +3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 B. 2x + 3y ≤ 21, -2x - 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 C. -3x +2y ≥ 21, -2x+3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 D. -3x-2y ≥ 21, 2x +3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 E. 3x -2y ≥ 21, 2x -3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 jawab: . Persamaan garis melalui titik (x 1 , y 1 ) dan (x 2 , y 2 ) adalah:

(0,a) ax - by ≥ -ab

x

y − y1 x − x1 = y 2 − y1 x 2 − x1

(-b,0)

2. persamaan garis melalui titik (0, 4) dan (6,0) adalah:

(0,a)

1. persamaan garis melalui titik (0,4) dan (3,6) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) y−4 x−0 y−4 x = ⇔ = 6−4 3−0 2 3

(b,0) www.matematika-sma.com - 4

3(y-4) = 2x 3y – 12 = 2x 2x – 3y = -12 daerah yang diarsir berada di kanan sehingga 2x – 3y ≥ -12 atau -2x+3y ≤ 12 ….(1)

Sistem pertidaksama-an linier itu adalah …… A. y ≥ 0, 3x + y ≥ 6, 5x + y ≤ 20, x – y ≥ -2 B. y ≥ 0, 3x + y ≤ 6, 5x + y ≥ 20, x – y ≥ -2 C. y ≥ 0, x + 3y ≥ 6, x + 5y ≤ 20, x - y ≤ 2 D. y ≥ 0, x + 3y ≤ 6, x +5y ≥ 20, x – y ≥ -2 E. y ≥ 0, 3x - y ≥ 6, 5x -y ≤ 0, x - y ≥ -2

untuk a > 0 dan b <0 y ax - by ≤ -ab

(0,a) ax - by ≥ -ab

Jawab: y − y1 x − x1 = y 2 − y1 x 2 − x1 terdapat 3 persamaan garis:

x (-b,0) 2. persamaan garis melalui titik (3,6) dan (7,0) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) y−6 x−3 y−6 x−3 = ⇔ = 0−6 7−3 −6 4 4(y-6) =-6(x-3) 4y – 24 = -6x + 18 6x + 4y = 42 ⇔ 3x + 2y = 21 daerah yang diarsir berada di bawah grafik sehingga 3x + 2y ≤ 21 ….(2) 3. Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x ≥ 0 dan y ≥ 0 ….(3) dan (4) sehingga daerah penyelesaiannya adalah: (1), (2), (3) dan (4) -2x+3y ≤ 12 , 3x + 2y ≤ 21, x ≥ 0 dan y ≥ 0

1. persamaan garis melalui titik (2,0) dan (1,3) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) y x−2 y−0 x−2 = ⇔ = 3−0 1− 2 3 −1

3(x-2) = -y 3x – 6 = -y 3x + y = 6 daerah yang diarsir berada di atas sehingga 3x + y ≥ 6 ….(1)

2. persamaan garis melalui titik (4,0) dan (3,5) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) y x−4 y−0 x−4 = ⇔ = 5−0 3− 4 5 −1 5(x - 4) = -y 5x – 20 = -y 5x + y = 20

Jawabannya adalah A EBTANAS1994 7. Daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier.

daerah yang diarsir berada di bawah grafik sehingga 5x + y ≤ 20 ….(2)

3. persamaan garis melalui titik (1,3) dan (3,5) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) y −3 x −1 y −3 x −1 = ⇔ = 5−3 3 −1 2 2

(3,5) 5 (1,3) 3

2(x -1) =2(y-3) 2x – 2 = 2y-6 2x - 2y = -4 ⇔ x – y = -2 1

2

3

4

www.matematika-sma.com - 5

x – y = -2 Æ memenuhi kriteria ax – by = -ab dengan a > 0 dan b < 0

Jawab: tentukan titik ekstrim terlebih dahulu: .

y ax - by ≤ -ab

32 •

…(a)

(0,a) ax - by ≥ -ab

24

•

…….(b)

16

x (-b,0)

•

daerah yang diarsir berada di kanan grafik sehingga x - y ≥ -2 atau y – x ≤ 2 ….(3) 4. Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x ≥ 0 dan y ≥ 0 ….(4) dan (5) sehingga daerah penyelesaiannya adalah: (1), (2), (3), (4) dan (5)

16

24

…(c) …(d) 36

• 48

Terdapat 4 titik ekstrim, yang sudah diketahui 2 titik yaitu titik a (0,32) dan titik d (48,0), tinggal mencari posisi 2 titik ekstrim yang lain. Tentukan persamaan garis:

3x + y ≥ 6 , 5x + y ≤ 20 , x - y ≥ -2 atau y – x ≤ 2 , x ≥ 0 dan y ≥ 0 Jawaban yang memenuhi adalah A

1. persamaan garis melalui titik (0,24) dan (36,0) ( 0,a) (b,0) ax + by = ab 24x + 36y = 864 Æ : 6 4x + 6y = 144 2x + 3y = 72 … (1)

EBTANAS2001 8.

2. persamaan garis melalui titik (0,32) dan (16,0) ( 0,a) (b,0)

32

ax + by = ab 32x + 16y = 512 Æ : 16 2x + y = 32 …..(2)

24

16 3. persamaan garis melalui titik (0,16) dan (48,0) ( 0,a) (b,0) 16

24

36

48

Nilai minimum fungsi objektif 5x + 10y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan yang grafik himpunan penyelesaiannya disajikan pada daerah berarsir seperti gambar di atas adalah ....... A . 410 B . 320 C . 240 D . 200 E . 160 Jawab:

ax + by = ab 16x + 48y = 768 Æ : 16 x + 3y = 48 …..(3) titik b didapat dari perpotongan grafik (1) dengan (2) 2x + 3y = 72 2x + y = 32 2 y = 40 Æ y = 20 2x + 3y = 72 2x = 72 – 3y 2x = 72 – 3.20 x = 12/2 = 6 Æ titik b = (6,20)

www.matematika-sma.com - 6

Titik c didapat dari perpotongan grafik (1) dan (3) 2x + 3y = 72 x + 3y = 48 x

= 24

x + 3y = 48 3y = 48 - x 3y = 48 – 24 y = 24/3 = 8 Æ titik c = (24,8) Buat tabel: (0,32) 5x + 10y 320

(6,20) 230

(24,8) 200

(48,0) 240

Dari tabel terlihat bahwa nilai minimum adalah nilai yang terkecil yaitu 200. Jawabannya adalah D

“Sketsa grafik diperlukan untuk melihat daerah himpunan penyelesaian dan titik-titik ekstrim, dibutuhkan skala yang tepat untuk mendapatkan grafik yang optimum (benar atau mendekati kebenaran) untuk memudahkan penyelesaian”

UAN2006 Daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian 9. Seorang tukang roti mempunyai bahan A,B dan C masing- dari tiga grafik tsb. Didapat 4 titik ekstrim yaitu masing sebanyak 160 kg, 110 kg dan 150 kg. (0,50), (80,0), titik A dan titik B Roti I memerlukan 2 kg bahan A, 1 kg bahan B dan 1 Kg bahan C Roti II memerlukan 1 kg bahan A, 2 kg bahan B dan 3 Kg bahan C

perpotongan (1) dan (2) Æ titik B 2x + y = 160 |x1| ⇒ 2x + y = 160 x + 2y = 110 |x2| ⇒ 2x +4y = 220 -

Sebuah roti I dijual dengan harga Rp.30.000 dan sebuah roti II dijual dengan harga Rp.50.000, pendapatan maksimum yang dpat diperoleh tukang roti tersebut adalah…

- 3y = -60 y = 20 2x + y = 160 2x = 160 – 20 x = 140/2 = 70

A. Rp. 8000.000,- C. Rp. 3900.000,- E. 2900.000,B. Rp. 4500.000,- D. Rp. 3100.000,-

titik B = (70,20) Jawab: perpotongan (2) dan (3) Æ titik A Buat persamaan : Misal roti I = x dan roti II = y didapat persamaan sbb: 2x + y ≤ 160 …..(1) x + 2y ≤ 110 …..(2) x + 3y ≤ 150 ….(3) buat sketsa grafiknya:

x + 2y = 110 x + 3y = 150 - y = -40 y = 40 x + 2y = 110 x = 110 – 2.40 x = 30 titik A = (30,40)

yang ditanyakan adalah nilai maksimum dari : 30.000 x + 50.000 y www.matematika-sma.com - 7

Titik A adalah perpotongan dari dua grafik: buat tabelnya: 30.000x+50.000y

(0,50) 2500.000

(30,40) 2900.000

(70,20) 3100.000

(80,0) 2400.000

x + 5y = 440 x + y = 200

-

4y = 240 y = 60

Didapat nilai maksimumnya adalah Rp. 3100.000 Jawabannya adalah D

UN2007 10. Luas daerah parkir 1.760 m 2 . Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m 2 dan mobil besar 20 m 2 . Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parker mobil kecil Rp. 1000/jam dan mobil besar Rp.2000/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan dating, maka hasiul maksimum tempat parkir itu adalah:

x + y = 200 x = 200 – y = 200 – 60 = 140 titik A = (140, 60)

Buat tabel : 1000x + 2000y

(0,88) (200,0) 176.000 200.000

(140,60) 260.000

A. Rp.176.000,- C. Rp.260.000,- E. Rp.340.000,B. Rp. 200.000,- D. Rp. 300.000,-

Didapat nilai maksimumnya adalah Rp.260.000

Jawab:

Jawabannya adalah C

Dibuat persamaan-persamaannya terlebih dahulu: Misal mobil kecil = x dan mobil besar = y 4 x + 20 y ≤ 1760 x + 5y ≤ 440 …..(1) x + y ≤ 200

….(2)

nilai maksimum 1000x + 2000y = ? buat sketsa grafiknya:

(0,200)

Titik potong (A) (0,88)

(200,0)

(440,0)

Dari grafik didapatkan tiga titik ekstrim yaitu: (0,88), (200,0) dan titik A

www.matematika-sma.com - 8