1.3 La Geometria De Las Operacion Vectoriales Y 1.4 Operaciones Con Vectores 1a2k5w

1.3 LA GEOMETRIA DE LAS OPERACIONES VECTORIALES.

Representación geométrica del producto por escalar. La multiplicación de un vector por un escalar

. F IGURA N O 1.5

Si el vector conserva su dirección; si dirección contraria.

el vector obtenido tiene la

Representación geométrica de la suma y la resta de vectores. Para vectores posición la suma

es el vector representado por la diagonal

principal del paralelogramo cuyos lados están conformados por los vectores . La resta

o

es el vector representado por la otra diagonal (al hacer

el punto final del vector es punto final sería el de

y

y el inicial , por eso la flecha, si fuera

y el vector tendría la dirección opuesta)

F IGURA N O 1.6

el

1.4 OPERACIONES CON VECTORES Y SUS PROPIEDADES.

Multiplicación y división de un vector por un escalar. El producto de un vector A y un escalar a, que da aA, se define como un vector con magnitud │aA│. El sentido de aA es el mismo que A siempre que a sea positivo, y es opuesto a A si a es negativo. En particular, el negativo de un vector se forma multiplicando el vector por un escalar (-1) La división de un vector entre un escalar se puede definir usando las leyes de la multiplicación, ya que A/a= (1/a), a≠0. Suma de vectores Dos vectores A y B, tal como los de fuerza o posición, figura 1.7a, pueden sumarse para formar un vector resultante R= A + B, usando la ley del paralelogramo. Para hacer esto, A y B se unen en sus colas, figura 1.7b. Se trazan líneas desde la cabeza de cada vector cortándose en un punto común, formando así los lados adyacentes de un paralelogramo. Como se muestra, la resultante R es la diagonal del paralelogramo, la cual se extiende desde las colas de A y B hasta la intersección de las líneas. También podemos sumar A y B usando una construcción triangular, un caso especial de la ley del paralelogramo, en donde el vector B se suma al vector A en forma de cabeza de cola, esto es, conectado la cabeza de A a la cola de B, figura 1.7c. La resultante R se extiende desde la cola de A hasta la cabeza de B. De manera similar, R también puede ser obtenida sumando A y B, figura 1.7d. Por comparación, se ve que la suma vectorial es conmutativa; en otras palabras, los vectores pueden sumarse en cualquier orden, es decir: R= A + B = B + A. Como un caso especial, si los 2 vectores A y B son colineales, es decir, si ambos tienen la misma línea de acción, la ley del paralelogramo se reduce a una suma algebraica o suma escalar R= A + B, como se muestra en la figura 1.7 B

A

R=A + B

A R=A + B

A B

B

(A)

( B ) L EY DEL PARALELOGRAMO

R=A + B

(C)

(D) F IGURA N O 1.6.

Suma vectorial. R A

B

F IGURA N O 1.7 S UMA

DE VECTORES COLI NEALES .

A

B

Resta de vectores: La diferencia entre 2 vectores A y B, del mismo tipo puede ser expresada como: R’ = A - B = A + (- B) Esta suma vectorial se muestra gráficamente en la figura 1.8. Dado que la resta se define como un caso especial de la suma, las reglas de la suma vectorial también se aplican a la resta vectorial. -B A ῾R

῾R

A A

B -B L EY

DEL

PARALELOGRAMO

F IGURA 1.8 R ESTA

C ONSTRUCCIÓN TRIANGULAR .

VECTORIAL .

Respecto a la suma y resta de vectores en los vectores resultantes son igual que l para la diagonal. Principal del paralelogramo para la suma y la otra diagonal con las mismas observaciones para la resta como podemos ver en la siguiente figura.

F IGURA N O 1.9