03-geometria Analtica 1f3c4a

MATEMÁTICA

GEOMETRIA ANALÍTICA Se P pertence ao quarto quadrante, então xp > 0 e yp < 0 . A convenção pode ser representada como a se-

1. REPRESENTAÇÃO NO PLANO CARTESIANO

Dado um sistema de coordenadas cartesianas

guir.

xOy.

y

y

( , +)

(+, +)

x O

(-, -)

x

(+, -)

2.1. Propriedade dos eixos cartesianos Se P ( xp , yp ) pertence ao eixo das abscissas, então yp = 0 .

Cada ponto do plano Cartesiano é representado por um par ordenado P ( xp , xp ) , em que xp representa

Se P ( xp , yp ) pertence ao eixo das ordenadas, então xp = 0 .

a abscissa (eixo horizontal) e yp representa a ordenada (eixo vertical). Os eixos coordenados separam o plano em quatro regiões denominadas quadrantes e ordenadas no sentido anti-horário, conforme a figura. II Q

3. BISSETRIZ DOS QUADRANTES y

bissetriz dos quadrantes ímpares

Q (a, b)

P (x, y)

IQ 45º 45º 45º

segundo quadrante

primeiro quadrante

III Q

IVQ

terceiro quadrante

quarto quadrante

Q’

O

P’

x

bissetriz dos quadrantes pares

Observe que os ∆OPP ' ∆QQ ' O são isósceles.Logo a=b e x=y. Analisando os sinais, temos: Bissetriz dos quadrantes ímpares: y=x (Coordenadas iguais). Bissetriz dos quadrantes pares: a=−b (coordenadas opostas). Exemplo E.1) Represente os pontos A(2,4), B(1,0), C(−2,−1), D(2,−3) e E(0,3).

2. CONVENÇÃO DOS SINAIS NO PLANO

Considere um ponto P ( xp , yp ) do plano cartesiano. Se P pertence ao primeiro quadrante, então xp > 0 e yp > 0 . Se P pertence ao segundo quadrante, então x p < 0 e yp > 0 . Se P pertence ao terceiro quadrante, então, x p < 0 e yp < 0 .

Editora Exato

45º

8

Resolução:

Conclui-se pela equação (l) que x M = yM =

e

y A + yB 2

Exemplo E.1) Determine as coordenadas do ponto médio do segmento formado pelos pontos A( −2, −6) e B ( 4,10 ) .

E

B

C

x A + xB 2

Resolução: D

 −2 + 4 −6 + 10  M ,  ⇒ M (1, 2) 2   2

4. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

6. BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO

Considere como ilustração os pontos abaixo.

Se A(xA, xA), B(xB, yB) e C(xC, yC) são vértices de um triângulo, então o baricentro G(xG, yG) desse triângulo é tal que:

B

y

B

xG = d

B

x A + xB + x c y + yB + y C e yG = A 3 3

.

yB - y

7. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS POR DETERMINANTE

y xB - x x

x

Três pontos A(xA, xA), B(xB, yB) e C(xC, yC) são colineares se, e somente se:

B

Aplicando Pitágoras no triângulo:

( xB − x A )

dAB = ∆x 2 + ∆y 2 ⇒ dAB = 2

2

+ ( yB − y A )

2

xA

yA

1

D = xB

yB

1 =0.

xC

yC

1

5. PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO 8. ÁREA DO TRIÂNGULO (S)

Dado o sistema cartesiano e o segmento formado pelo ponto A ( x A, x A ) e B ( xB, xB ) .

Dados A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), vértixA

y

B

1

ces de um triângulo e D = x B

yB

1

xC

yC

1

ângulo ABC é dada por S =

B

D 2

, a área do tri-

.

M

yM

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

y

1 x

xM

x

 X + X B Y A +Y B  M = A ,  2 2    2 + 8 2 + 12  M = ,  2   2

mos: AM X M − X A YA − YM = = = 1 (I) , MB X B − X M YB − YM

lembre-se de que M é

ponto médio, ou seja,

Ache as coordenadas de M, ponto médio do segmento AB , sendo A(2, 2) e B(8, 12): Resolução: A ( 2, 2)

B

Aplicando o teorema de Tales, na figura, te-

Editora Exato

yA

 10 14  M = ,   2 2 M = ( 5,7 )

AM = 1. MB

9

B ( 8,12)

EXERCÍCIOS

7

(U.O FUNDO-RS) Os pontos A(-1,1), B(2,-2) e C(3,4): a) estão alinhados. b) formam um triângulo retângulo. c) formam um triângulo isósceles. d) formam um triângulo escaleno de 42 u.a. e) formam um triângulo com 10,5 u.a.

1

(FMU-SP), As coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades (5,-2) e ( -1, -4) são: a) (3,1) b) (1,3) c) (-3,2) d) (2,-3) e) (3,3)

2

(UFES) As coordenadas do ponto médio de um segmento AB são (-1,2). Sabendo-se que as coordenadas do ponto A são (2,5), então as coordenadas de B são: a) (4,1) b) (-4,-1) c) (4,-1) d) (-1,-4) e) Nenhuma.

8

Qual a área do quadrilátero cujos vértices são A(3,-2); B(2,0); C(1,3) e D(-2,1) a) 9 u.a b) 10 u a. c) 11 u.a. d) 12 u.a. e) 15 u.a.

3

(MACK-SP) Os vértices de um triângulo ABC são A(2,5), B(4,7) e C(-3,6). O baricentro desse triângulo tem como coordenadas: a) (3,6) b) (1,6)

9

(CEFET-PR) Seja o quadrilátero ABCM de vértices A(1;2), B(-3;1), C(-5;-3), sendo o quarto vértice o ponto médio do segmento de extremidades (5, -2) e(-1,4). O valor da área do quadrilátero ABCM é: a) 25/2 b) 12/5 c) 31/2 d) 11 e) 20

1 11 c)  − , 

3 d)  , 9  2

 2 2





e) (9,3) 4

5

6

(CESGRANRIO) A distância entre os pontos M(4,-5); e N(-1, 7) do plano xoy vale: a)14 b)12 c) 8 d) 13 e) 9

GABARITO

(U-PR) A distância da origem do sistema cartesiano ao ponto médio do segmento de extremos (-2,-7) e (-4,1) é: a) 5 b) 2 2 c) 2 3 d) 3 3 e) 3 2 (FGV-SP) A área da figura hachurada, no diagrama a seguir, vale: y 4 3 2 1 0

a) 4,0 b) 3,5 c) 3,0

Editora Exato

1

2

3

4

x

d) 5,0 e) 4,5

10

1

D

2

B

3

B

4

D

5

E

6

E

7

E

8

D

9

A