Ingenierc3ada-de-fluidos-dr-antonio-valiente.pdf 6o1n13

250 psig

0.05 a 0.25 0.25 a 0.5 0.5 a 2 0.2% de P absoluta 0.5 a 1.5 1a2 0.25 a 0.5 0.7% de P absoluta

186

187

Ejemplo 15. Se hace fluir agua a 5 ° C a través de una tubería horizontal de acero comercial con una longitud de 305 m a razón de 568 litros por minuto. Se dispone de altura de agua de 6.1 m para contrarrestar la pérdida por fricción. Calcule el diámetro apropiado de la tubería. 1.- Traducción. 1 Z=6.1 m T=5°C F  6.1m M

2 D=?

Ca = 568 l / min

2.- Planteamiento. 2.1.-Planteamiento. Ec. De Darcy.

P

F u2L   fD  M 2 gcD

3.- Cálculos. 3.1.- Datos. Viscosidad = 1.55 x 10-3 kg / m s Densidad 1000 kg / m3 Caudal = 568 litros / min = 9.46 x 10-3 m3/s. 3.2.- Ecuación de Darcy  u 2 305 k gm 6.1  fD kg 2(9.81)(D) Se desconoce D, u, por lo tanto el Re y el fD. La resolución se puede efectuar por

medio de tanteos. 3.2.- Primer tanteo Sea D = 0.09m Entonces el área transversal de la tubería sería: 188

A

 4

D 2  0.785(0.09) 2  0.0063585m 2

Velocidad

m3 0.00946 Ca s  1.48 m u  A s 0.00635m 2 Re 

Para una tubería comercial

Du

  D



0.09(1.48)(1000)  85935 1.55  10 3

 0.005

De la gráfica de Moody FD=0.02 Sustituyendo nos queda:  F (1.48) 2 (305) k gm  0.02  7.56 M 2(9.81)(0.09) kg

La velocidad es muy alta, por lo que el diámetro deberá ser mayor. 3.2.- Segundo tanteo. D = 0.095 A = 0.00708m2 Velocidad u = 1.335 m /s Re = 81840

 D

 0.005

Y fD =0.02 (el factor Darcy cambia poco en la región turbulenta). Por lo tanto:  F (1.335) 2 (305) kgm  0.02  5.83 M 2(9.81)(0.095) kg El valor buscado de D deberá ser un poco menor. Por ello se debería hacer un

nuevo tanteo. 4.- Resultado. El diámetro será de aproximadamente 0.0945 m

Ejemplo 16. 189

Por una tubería circula un flujo de 29 litros por segundo de agua a 15 grados centígrados. Si la caída de presión permisible es de 0.135 kg /cm 2 por 100 m (0.59 psia por 100ft), determine el diámetro de la tubería de acero comercial más adecuado para estas condiciones. Datos del agua: Densidad a 15 ° C = 999.13 kg / m3 ; viscosidad a 15 ° C =1.14 s= 1.14 x10-3 Pa-s. ; Rugosidad = 0.00015 ft = 0.00004575 m Utilizando la ecuación 21 (21)

Y= Como la sumatoria de fricciones

está expresada en altura de líquido hay que

cambiar los datos del problema.

Utilizando la ecuación 18 se obtiene:

Finalmente se lee el valor para r en la gráfica y se resuelve la ecuación r= E/D. r= 0.0003 y por lo tanto D=

=0.1525 m = 6 pulgadas

La velocidad en la línea sería de

190

191

Ejercicios de autoevaluación. 1.- Una bomba extrae agua de un tanque a razón de 570 L /min a través de una tubería de 5 pulgadas, cédula 40. La toma de la bomba tiene 25 m de tubo e incluye una válvula de globo y 3 codos de 90°, La descarga de la bomba consiste en una tubería de 5 pulgadas de 3 m de longitud en la que se encuentra una válvula de globo y posteriormente hay una reducción de 5 a 2 pulgadas. El tramo de 2 pulgadas es de 300 m y sobre él se encuentran 2 codos de 90 °, una válvula d retención y una de globo. La descarga es a la intemperie a 6 m sobre el nivel del tanque. La tubería es de acero comercial. ¿Cuál es la potencia de la bomba? La temperatura de operación es de 30 ° C. R.- La potencia requerida es de 16.91 HP. 2.-Para abastecer de agua a una caldera se trae líquido desde un tanque elevado. El agua está a 28 ° C y se bombea a razón de 380L /min. La tubería es de acero comercial. La temperatura de salida del vapor de la caldera es de 200 ° C y está saturado. La eficiencia de la bomba es del 85 % ¿Cuál debería ser la potencia de la bomba?

R.- Se requieren 14.9 H.P. 3.-Se bombea agua desde un depósito hasta un tanque de almacenamiento situado en la parte superior de un edificio, utilizando para ello una bomba centrífuga. Entre las dos superficies existe una diferencia de nivel de 60 m. La tubería de entrada está a 3 m por debajo de la superficie del agua y las condiciones son tales que el nivel permanece constante. El tanque de almacenamiento está abierto a la atmósfera y el nivel permanece constante. La tubería de entrada al tanque de almacenamiento está a 2 m por debajo de la superficie. El sistema de tuberías antes de la bomba está formado por 60 m de tubería de 6 pulgadas Cd 40 de hierro y contiene dos codos de 90 ° y una válvula de compuerta abierta. Después de la bomba hay 100 m de tubo de 4 pulgadas Cd 192

40 de hierro galvanizado con una válvula de compuerta abierta y 3 codos de 90°. Se desea mantener un flujo de agua de 2500 L / min. La temperatura del agua es de 20 °C. Si la eficiencia del motor bomba es del 60%, ¿cuál sería el costo del bombeo diario si el Kw-h cuesta 10 pesos?

R.- El costo del bombeo sería de 13, 517 pesos /día. 4.- Determine el caudal de agua a 15 ° C que pasa por una tubería de acero galvanizado de 25 cm de diámetro interno y con una longitud de 800 m si las pérdidas de fricción son de 5 kgm /kg. R.- El caudal es de 62 L /s. 5.- A través de una línea de acero de 15 cm de diámetro interno y de 900 m de longitud fluye un combustóleo con una viscosidad cinemática de 4.13 x 10 -4 m2/s y una densidad relativa de 0.918. Si la caída de presión en ese tramo es de 10.65 kg/cm2, ¿cuál será el caudal en L/s? R.-38 L /s. 6.- ¿Qué diámetro de tubería será necesario para transportar 22 L/s de un combustóleo pesado si la pérdida de carga de que se dispone en 1000 m de longitud de tubería horizontal es de 22 kgm/kg? Datos del combustóleo: Densidad relativa 0.912, viscosidad cinemática 2.05X10-4 m2/s R.- El diámetro mínimo es de 0.17 m. 7.- A través de una tubería horizontal de hierro cuya longitud es de 350 m se han de transportar 100 m3/h de una solución amoniacal al 26 % y a 20 ° C, disponiéndose de una carga de 20 kgm /kg. Determine el diámetro mínimo de tubería que habrá de emplearse. R.-El diámetro mínimo es de 0.115 m. 193

Capítulo 8 Flujo de fluidos a régimen transitorio.

194

Flujo de fluidos a régimen transitorio. En flujo de fluidos se puede encontrar el régimen transitorio cuando se presenta el fenómeno de la descarga de tanques. Supongamos por ejemplo, que se tiene un tanque como el que se presenta a continuación, el cual tiene un orificio en su parte inferior por el que escapa el agua.

Sea H la altura del líquido dentro del tanque en un momento dado, D T el diámetro del tanque y Do el diámetro del orificio a través del cual escapa el agua. Mediante un balance de materia podremos encontrar que: Entrada = Salidas + Acumulación (1) Pero en este caso las Entradas son igual a cero, por lo que: 0= Salidas + Acumulación

(2)

En un momento dado, las salidas son iguales a: Salida = u o  Ao (3), en donde uo = velocidad del agua en el orificio; ρo = densidad del líquido; Ao= área del orificio La acumulación está dada por: Acumulación =

dM T d ( VT ) AT dH =  d d d

(4)

En donde AT es el área transversal del tanque, VT es el volumen del tanque. Sustituyendo (3 y 4 en 2) tenemos,

 AT dH (5) d A dH De donde uo   T (6) Ao d 0  u o  Ao 

195

En la ecuación número (6) se puede observar que la velocidad en el tanque es una función del tiempo y que la velocidad decrece con la altura del líquido en el tanque. Para encontrar cuál será esa velocidad haremos un balance de energía en un momento dado. Entre las energías a considerar están, la energía potencial, la cinética y la de presión: u 2 P (7) Hg   0 2  Pero u 2  uo2  uT2 y como uT puede considerarse despreciable con respecto a la velocidad en el orificio, entonces u 2  uo2 (8) P El término  0 ya que la presión sobre el tanque y sobre el orificio es la  misma. Si consideramos que H en el orificio es 0, entonces H g   H g Colocando los nuevos valores en la ecuación (7) tendremos que: u2  H g  o  0 (9) y por lo tanto: 2 u o  2 gH (10). Venturi encontró que al salir el líquido toca el contorno del orificio y continúa convergiendo hasta una sección A2, en la cual el chorro tiene un área sensiblemente menor a la del orificio. Esta sección A 2 recibe el nombre de sección contraída o vena contracta.

Ao

A2

La relación entre el área de la sección contraída y el área del orificio recibe el nombre de coeficiente de contracción. A Kc  2 (11) Ao Kc= coeficiente de contracción, cuyo valor medio es de 0.62 196

A2 =área de la sección contraída. Ao=área del orificio. La ecuación (10) nos indica que en un momento dado la velocidad es función de la altura H. Sin embargo, esa velocidad no contempla las pérdidas por fricción, por lo que se tiene que incluir un coeficiente de reducción de velocidad, que siempre será menor que 1: u o  Cv 2 g H (12) En donde Cv es el coeficiente por reducción de velocidad, cuyo valor numérico medio es igual a =.985 Igualando 6 con 12 tendremos que:

AT dH (11) Ao d La ecuación anterior la podemos poner como: AT dH O como d   Ao Cv 2 gH uo  Cv 2 gH  

1

 AT d   H 2 dH (12) Ao Cv 2 g Que integrando nos da: 1   Hf AT 0 d   Ao Cv 2 g Hi H 2 dH

1  12  2   O H  H f i   (13)   Cambiando el signo:

2 AT   Ao Cv 2 g





2 AT Hi  H f (14) Ao Cv 2 g En donde Hi es la altura inicial y Hf la altura final del agua en el tanque.



Para el cálculo de descarga de tanques a través de orificio también se cuenta con ecuaciones empíricas como las que se presentan a continuación:

197

198

Ejemplo 1. En un experimento efectuado en el laboratorio de ingeniería se midió la descarga de agua en el tanque obteniéndose los siguientes resultados: Altura del agua en el tanque H en cm. 122 102 82 62 42 22 2

Tiempo de descarga en segundos 0 20 42 67 96 133 196

Descarga de un tanque 140

120

altura en cm

100

80 Serie1 60

40

20

0 0

50

100

150

200

250

tiempo en segundos

¿Se podría predecir este resultado sin efectuar el experimento? Descarga de un tanque que tiene una tubería en su base. La descarga de tanques que poseen una tubería y una serie de rios sobre ella es un problema clásico en el cual se necesita usar la ecuación de continuidad en unión con la ecuación de balance de energía en la versión macroscópica (véase el libro de Bird (1) para la mejor exposición de los balances macroscópicos o también el libro de Morton Denn (2)). 199

Se debe hacer notar que en el balance de masa la velocidad de acumulación o des acumulación es la que proporciona las corrientes de salida ya sea en los tanques cilíndricos horizontales o verticales. En ambos casos la ecuación diferencial final se da en términos de la altura del líquido en el tanque y de la velocidad de salida. En el caso de del tanque cilíndrico vertical, la integración de la ecuación final para obtener el tiempo de descarga es trivial. El análisis de los datos es también una simple aplicación de los datos experimentales. En el caso de un tanque cilíndrico horizontal el problema es un poco más complejo debido a que la superficie libre no es constante, como sucede en el caso de los tanques verticales. Sin embargo la aplicación de consideraciones geométricas y el uso de las ecuaciones de continuidad y de energía nos proporcionan la ecuación diferencial, sin embargo, la integración de esa expresión final no es simple y es entonces recomendable hacer la integración en forma numérica. A continuación se presenta el caso de descarga de tanques cilíndricos verticales con rios El sistema que se analiza es el siguiente:

El tanque descarga el líquido a la atmósfera. Para este caso el balance de materia daría:

AT dH Ecuación (6) Ao d Siendo uT la velocidad a la salida de la tubería, AT el área transversal del tanque de descarga y Ao el área transversal de la tubería de descarga. El balance de energía sería para este caso el siguiente, considerando que hay energía potencial, cinética, de presión y de fricción presentes: u 2 P F Hg    2  M Haciendo las simplificaciones pertinentes nos queda que: uT  

200

uT2 Le uT2 (15) H g   fD 2 2D En donde uT es la velocidad promedio en la tubería de descarga, Le es la longitud equivalente de la descarga, D es el diámetro de la tubería de descarga y f D es el factor Darcy. Haciendo arreglos tendremos que: uT2  Le  1  f D   Hg (16) 2  D

De donde: 2H g uT  (17) 1 K Siendo K  f D

Le D

(18)

Uniendo (6) con (17) A dH 2H g  uT   T 1 K Ao d De donde: A d   T Ao

dH (20) 2 Hg 1 K 

AT

d   Ao

(19)

2g 1 K

1

H 2 dH (21)

Que integrando nos da: 1   Hf AT 2 d    H dH (22) 0  Hi 2g Ao 1 K



2 AT 2g Ao 1 K



Hi  H f



(23)

201

Ejemplo. En un sistema parecido al siguiente se efectuaron unos experimentos de descarga de tanques, dando los resultados siguientes:

Figura 2

Tabla 1. Altura total Z en cm. 273 271 269 267 265 263 261 259 257 255 253 251 249 247 245 243

Tiempo θ en segundos 0 7 14.57 22 29.7 36.9 44.7 52 60 67.7 75.3 83 90.8 99.3 106.6 114

Altura total Z en cm. 235 233 231 229 227 225 223 221 219 217 215

202

Tiempo θ en segundos 146.7 154.2 162.3 170.8 180 188.8 197.4 208 217.2 227.6 237.7

241 239 237

122.3 130.5 138.6

descarga del tanque

y = 2.7309e-0.001x R2 = 0.9998

altura total en m

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0

50

100

150

200

250

tiempo en segundos

Grafico 1 En el caso mostrado, la longitud de tubo recto es de 3.72 m, la longitud equivalente de los rios es de 4.6 m. El diámetro de la tubería es de 2.093 L cm., por lo que K = f D =12.72. D El área del tanque es de 0.255 m2 y el área transversal de la tubería es de 3.439 x 10-4 m2. Por lo tanto la ecuación es para nuestro caso igual a:   1240( Z A1  Z A2 ) (8) Aplicando la ecuación anterior a los datos de altura se obtiene que: Tabla 2. Tiempo real en seg. 0 7 14.57 22 29.7 36.7 44.7 52 60 67.7

ZA m

2.73 2.71 2.69 2.67 2.65 2.63 2.61 2.59 2.57 2.55

Tiempo incremento

Tiempo calculado total en segundos

0 7.51861708 7.54641262 7.57451873 7.60294124 7.63168613 7.66075953 7.69016776 7.7199173 7.75001478

0 7.51861708 15.0650297 22.6395484 30.2424897 37.8741758 45.5349353 53.2251031 60.9450204 68.6950352

203

75.3 83 90.8 99.3 106.6 114 122.3 130.5 138.6 146.7 154.2 162.3 170.8 180 188.8 197.4 208 217.2 227.6

2.53 2.51 2.49 2.47 2.45 2.43 2.41 2.39 2.37 2.35 2.33 2.31 2.29 2.27 2.25 2.23 2.21 2.19 2.17

7.78046706 7.81128115 7.84246428 7.87402388 7.90596757 7.93830322 7.97103891 8.00418295 8.03774391 8.0717306 8.10615209 8.14101774 8.17633719 8.21212036 8.24837749 8.28511914 8.32235619 8.36009989 8.39836181

76.4755022 84.2867834 92.1292477 100.003272 107.909239 115.847542 123.818581 131.822764 139.860508 147.932239 156.038391 164.179409 172.355746 180.567866 188.816244 197.101363 205.423719 213.783819 222.182181

Lo cual concuerda bastante bien con los datos experimentales. La discrepancia en los últimos datos se debe a la aparición de remolinos que alteran el patrón de flujo. Ejemplo 2. ¿En cuánto tiempo se descargaría el tanque representado en la figura siguiente, desde la posición inicial a la final? Por el sistema fluye agua a 20°C. La tubería es de acero galvanizado Cd 40.

2.- Cálculos. 2.1.- Datos. Diámetro del tanque = 2 m Área del tanque =0.785 X (2)2=3.14 m2 Diámetro interno de la tubería = 4.089 cm Área de la tubería de descarga =0.785 X (0.04089)2=1.3X 10-3 m2. 204

Longitud del tubo 64.5 m Longitud de los rios = 1 entrada+7 codos+ 1 vál. Compuerta+1 válvula de globo+1 válvula de retención+1 salida. L rios = 0.5+7(0.9)+0.3+13.4+3.2+1 = 24.7 Rugosidad relativa = 0.0045 Viscosidad = 1.005 s Densidad 998.23 kg / m3 2.1.- Ecuación de diseño 2 AT  Hi  H f 2g Ao 1 K





2.2.- Cálculos. Altura inicial Hi = 10+4-2+1 =13 m, Altura fina Hf =11m Factor de fricción considerando flujo turbulento. f D =0.02

2.3.- Tiempo de descarga.

3.- Resultados. El tanque se descargará en 2568 segundos. Descarga de tanques cilíndricos horizontales.

L

HA

l

HB

Figura 4 205

En este caso el balance de energía daría una ecuación semejante a la 4. H A 2g uB  (4) f D Le   1   D   Y el balance de materia daría:   dH  CA = AA    AB u B (9) por lo que igualando 1 con 4 tendremos:  d 

H A 2g   dH A  AA  (10)   AB f D Le    d  1   D   Pero en este caso el área AA varía con la altura H. Ya que AA  l  L Siendo l , la cuerda y L la longitud del cilindro.

l D

d HA

r

HT

Figura 5.

l  2 r 2  d 2 (11) y d=altura del líquido sobre el nivel del diámetro del tanque= H A  H T  r (7) Por lo tanto uniendo 6 y 7 con 5 tendremos que: 2 gH A 2   dH A  L  2 r 2  H A  H T  r   (12)   AB f D Le  d  1 D De donde:

206

f D Le D H 21 dH (13) d   A A AB 2g La cual no es fácil de integrar. Sin embargo la ecuación (13) se puede poner como: 1

L  2 r 2  H A  H T  r 

2

   K r 2  H A  H T  r  H A 2 H A (14) 2

Siendo K=

1

L2 AB



1

f D Le D (15) 2g

Nótese que para encontrar el tiempo de descarga se tiene que integrar desde HT+2r que es la Ha inicial hasta La Ha final que es simplemente HT. Por lo tanto para obtener los tiempos parciales de descarga se puede integrar (numéricamente) desde las fracciones de la altura inicial (HT+2r).

Ejemplo 3.

L=3 m

HA

D=1m

l

217 cm.

79 cm.

HB DT=1.5”

Haciendo un experimento en el tanque anterior se encontraron los datos siguientes: Tabla 3. Litros

tiempo en segundos 100 200 300 400 500 600 700 800

0 38 75 116 158 195 234 271

altura en cm. 164 158.5 153.5 149.2 145 141.3 137.7 134.5

207

900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100

309 347 389 427 468 516 556 596 640 685 727 771 816

131.2 127.9 124.5 121.1 117.4 113.6 110 106.3 102.7 98.8 94.6 90.1 84.3

¿Se podría predecir el resultado sin hacer experimentos? 1.- Discusión. Nótese que para encontrar el tiempo de descarga se tiene que integrar desde HT+2r que es la Ha inicial hasta La Ha final que es simplemente HT. Por lo tanto para obtener los tiempos parciales de descarga se puede integrar (numéricamente) desde las fracciones de la altura inicial (HT+2r).

2.- Datos. Para el caso que nos ocupa: Longitud equivalente del sistema Le = 9.26 m Diámetro de la tubería de descarga 1.5 pulgadas, Cd. 40 = 0.04089 m.  Rugosidad de la tubería  0.0015 D Factor de fricción a plena turbulencia f D  0.023 Longitud del tanque L= 3m Área del tubo de descarga AB=0.0013125 m2. Por lo tanto K =2572 3.- Cálculos. La ecuación (10) para nuestro sistema queda:   2572 r 2  H A  H T  r  H A 2 H A (16) Con la ecuación anterior se puede calcular los incrementos de tiempo en función de la altura. 2



1

Tabla 6 altura en cm.

Tiempo real 164

0

158.5 153.5

38 75

Incremento de H

-0.055 -0.05

incremento de tiempo

42.564832 43.3299263

208

Tiempo calculado 42.56 85.8947583

149.2 145 141.3 137.7 134.5 131.2 127.9 124.5 121.1 117.4 113.6 110 106.3 102.7 98.8 94.6 90.1 84.3

116 158 195 234 271 309 347 389 427 468 516 556 596 640 685 727 771 816

-0.043 -0.042 -0.037 -0.036 -0.032 -0.033 -0.033 -0.034 -0.034 -0.037 -0.038 -0.036 -0.037 -0.036 -0.039 -0.042 -0.045 -0.058

40.2082381 41.5128754 38.1434457 38.3232733 34.9171332 36.7098687 37.2829204 38.8604803 39.1521766 42.7361497 43.7821277 41.1125223 41.5861421 39.4787639 41.2272956 41.9269788 40.9628292 43.8297489

126.102996 167.615872 205.759317 244.082591 278.999724 315.709593 352.992513 391.852993 431.00517 473.74132 517.523447 558.63597 600.222112 639.700876 680.928171 722.85515 763.817979 807.647728

Tiempo en segundos

Descarga del tanque

800 600

tiempo real

400

tiempo calculado

200 0 70

90

110

130

150

Altura en cm.

209

170

Descarga de un tanque que va a otro tanque (Flujo entre tanques) Sea el sistema siguiente:

2

H2 1

El tanque 1 y el tanque dos están abiertos a la atmósfera. Si en un momento dado se abre la válvula el agua fluirá desde el tanque 2 hasta el tanque 1 por la diferencia de energía potencialEl balance de materia sería: Para el tanque 1. Entradas =Acumulación dH1 (24) u t AT  A1 d

A1 dH1 (25) AT d En donde uT es la velocidad en el tubo y AT es la sección transversal del tubo, A1 es el área transversal del tanque 1 Para el tanque 2 0= Salidas + Acumulación uT 

0  uT AT  A2

dH 2 d

(26)

A2 dH 2 (27) AT d El balance de energía de 2 a 1 sería: uT  

210

u 2 P  F (28)   2  M  F son las pérdidas por fricción en la línea En donde M Pero en este caso: Hg 

P



y u  0

0

Por lo tanto.  F   f uT2 Le  (H  H )  ( H  H ) (29) Hg   D 1 2 2 1 M 2D Siendo fD el factor de fricción Darcy y Le la longitud equivalente de la línea y D el diámetro interno de la línea. 2Hg 2Hg uT   (30) Le K fD D Uniendo 30 con 25.

2Hg A1 dH1  K AT d

d 

A1 AT

K dH1 2Hg



Hf

0

Hi

 d  

(32)

A1 K dH1 AT 2Hg

En donde K m  f Dm y H m 

(31)

(33)

Le (34) y D

Hf  Hi (36) Hf ln Hi

f Dm 

f Di  f Df 2

(35)

y Hf  ( H 2  H1 ) f

El subíndice f es para final y el subíndice i expresa las condiciones iniciales. Entonces: Hf Km A  1 dH1 (37) AT 2H m g Hi

211



Km ( Hf  Hi) 2H m g

A1 AT

(38)

En el caso de que el fluido sea agua se tienen ecuaciones especiales que dan con más precisión la relación entre las caídas de presión y las velocidades o caudales en función de los diámetros y las longitudes equivalentes. Una de esas ecuaciones es la de Hazen –Williams:  F k gm  F  6.823 C 1.852 u1.852 L (30)   En donde son las pérdidas por M M km D1.167 fricción en la línea. Sustituyendo 30 en 29. g  F  6.823 C u1.852 L H  gc M D1.167 1.852

u

1.852

(31)

g D1.167 C 1.852 (32)  H gc 6.823L

u  1.852 H

g D1.167 C 1.852 gc 6.823L

u  1.852 H

A dH1 g D1.167 C 1.852 (34)  1 gc 6.823L AT d

d 

La

A1 AT

(33) ; sustituyendo 33 en 25

1

dH1 (35)

g D 1.167 C 1.852 1.852 H gc 6.823L

anterior se Hf  Hi H como H m  Hf ln Hi



ecuación

A1 AT

1 g D 1.167 C 1.852 1.852 H m gc 6.823L

puede

integrar

( Hf  Hi ) (36)

212

fácilmente

si

tomamos

a

Ejemplo 4. Se tienen dos tanques de almacenamiento de agua conectados entre sí mediante una línea de 2.5 pulgadas, Cd. 40 y 240 m de longitud, tal y como se muestra en la figura siguiente:

El tanque 1 tiene un diámetro de 6 m y el tanque 2 uno de 4.5 m. Al abrir la válvula calcule el tiempo en que el nivel del tanque 1 llegará a los 7.5 m 1, Planteamiento. 1.1.- Bernoulli Km A  1 ( Hf  Hi) AT 2H m g 3.- Cálculos. 3.1.- ΔHmedia

Volumen desplazado (6) Altura en el tanque 2.

3.2.- fD medio. Velocidad en la tubería al tiempo cero es:

213

Entonces

De la gráfica de Moody se obtiene que Segundo tanteo, sea Velocidad final

Si Segundo tanteo sea

3.3.- Tiempo



A1 AT




A1 AT


(6-1.84)=12904s 4.- Resultado. El tiempo necesario es de 3 horas, 35 minutos y 3 segundos.

214

Ejercicios de autoevaluación 1.-Calcule el tiempo requerido para que el nivel del agua en un tanque caiga desde 9 m a 4 m sobre el nivel de descarga de una tubería a partir de los siguientes datos:

R.- 6.87 h. Bibliografía. *Valiente Barderas Antonio.- Problemas de flujo de fluidos- Limusa - México-1998. *Prácticas de laboratorio- Flujo de fluidos- Facultad de Química- UNAM-C.U.México D.F. 2006 * Streeter, Víctor L.- Mecánica de los fluidos- Mc Graw Hill- México- 1979. * Bird,Byrond et allí- Transport Phenomena-Wiley- Japan- 1960

215

Capítulo 9 Medidores de flujo.

216

Medidores de flujo Un medidor de caudal es un aparato que se coloca en las líneas por donde se mueve un fluido para obtener la velocidad o el caudal de la materia que está fluyendo. FACTORES PARA LA ELECCIÓN DEL TIPO DE MEDIDOR DE FLUIDO

Rango: los medidores disponibles en el mercado pueden medir flujos desde varios mililitros por segundo (ml/s) para experimentos precisos de laboratorio hasta varios miles de metros cúbicos por segundo (m3/s) para sistemas de irrigación de agua o agua municipal o sistemas de drenaje. Para una instalación de medición en particular, debe conocerse el orden de magnitud general de la velocidad de flujo así como el rango de las variaciones esperadas. Exactitud requerida: cualquier dispositivo de medición de flujo instalado y operado adecuadamente puede proporcionar una exactitud dentro del 5 % del flujo real. La mayoría de los medidores en el mercado tienen una exactitud del 2% y algunos dicen tener una exactitud de más del 0.5%. El costo es con frecuencia uno de los factores importantes cuando se requiere de una gran exactitud. Pérdida de presión: debido a que los detalles de construcción de los distintos medidores son muy diferentes, éstos proporcionan diversas cantidades de pérdida de energía o pérdida de presión conforme el fluido corre a través de ellos. Excepto algunos tipos, los medidores de fluido llevan a cabo la medición estableciendo una restricción o un dispositivo mecánico en la corriente de flujo, causando así la pérdida de energía. Tipo de fluido: el funcionamiento de algunos medidores de fluido se encuentra afectado por las propiedades y condiciones del fluido. Una consideración básica es si el fluido es un líquido o un gas. Otros factores que pueden ser importantes son la viscosidad, la temperatura, la corrosión, la conductividad eléctrica, la claridad óptica, las propiedades de lubricación y homogeneidad. Calibración: se requiere de calibración en algunos tipos de medidores. Algunos fabricantes proporcionan una calibración en forma de una gráfica o esquema del flujo real versus indicación de la lectura. Algunos están equipados para hacer la lectura en forma directa con escalas calibradas en las unidades de flujo que se deseen. En el caso del tipo más básico de los medidores, tales como los de cabeza variable, se han determinado formas geométricas y dimensiones estándar para las que se encuentran datos empíricos disponibles. Estos datos relacionan el flujo con una variable fácil de medición, tal como una diferencia de presión o un nivel de fluido. 1. MEDIDORES DE CABEZA VARIABLE. El principio básico de estos medidores es que cuando una corriente de fluido se restringe, su presión disminuye por una cantidad que depende de la velocidad de flujo a través de la restricción, por lo tanto la diferencia de presión entre los puntos 217

antes y después de la restricción puede utilizarse para indicar la velocidad del flujo. Los tipos más comunes de medidores de cabeza variable son el tubo Venturi, la placa orificio y el tubo de flujo de tobera. El Tubo Venturi.

El Tubo de Venturi fue creado por el físico e inventor italiano Giovanni Battista Venturi (1.746 – 1.822). Fue profesor en Módena y Pavía. En Paris y Berna, ciudades donde vivió mucho tiempo, estudió cuestiones teóricas relacionadas con el calor, óptica e hidráulica. En este último campo fue que descubrió el tubo que lleva su nombre. Según él este era un dispositivo para medir el gasto de un fluido, es decir, la cantidad de flujo por unidad de tiempo, a partir de una diferencia de presión entre el lugar por donde entra la corriente y el punto, calibrable, de mínima sección del tubo, en donde su parte ancha final actúa como difusor. DEFINICIÓN. El Tubo de Venturi3 es un dispositivo que origina una pérdida de presión al pasar por él un fluido. En esencia, éste es una tubería corta recta, o garganta, entre dos tramos cónicos. La presión varía en la proximidad de la sección estrecha; así, al colocar un manómetro o instrumento registrador en la garganta se puede medir la caída de presión y calcular el caudal instantáneo, o bien, uniéndola a un depósito carburante, se puede introducir este combustible en la corriente principal. Las dimensiones del Tubo de Venturi para medición de caudales, tal como las estableció Clemens Herschel4, son por lo general las que indica la figura 1. La entrada es una tubería corta recta del mismo diámetro que la tubería a la cual va unida. El cono de entrada, que forma el ángulo a1, conduce por una curva suave a la garganta de diámetro d2. Un largo cono divergente, que tiene un ángulo a2, restaura la presión y hace expansionar el fluido al pleno diámetro de la tubería. El diámetro de la garganta varía desde un tercio a tres cuartos del diámetro de la tubería.

3

Este efecto, demostrado en 1797, recibe su nombre del físico italiano Giovanni Battista Venturi (17461822). 4

Este medidor fue inventado por Clemens Herschel en 1881 y lleva el nombre de Venturi por el científico italiano que fue el primero en experimentar en tubos divergentes.

218

La presión que precede al cono de entrada se transmite a través de múltiples aberturas a una abertura anular llamada anillo piezométrico. De modo análogo, la presión en la garganta se transmite a otro anillo piezométrico. Una sola línea de presión sale de cada anillo y se conecta con un manómetro o registrador. En algunos diseños los anillos piezométricos se sustituyen por sencillas uniones de presión que conducen a la tubería de entrada y a la garganta. La principal ventaja del Venturi estriba en que sólo pierde un 10 - 20% de la diferencia de presión entre la entrada y la garganta. Esto se consigue por el cono divergente que desacelera la corriente. Es importante conocer la relación que existe entre los distintos diámetros que tiene el tubo, ya que dependiendo de los mismos es que se va a obtener la presión deseada a la entrada y a la salida del mismo para que pueda cumplir la función para la cual está construido. Esta relación de diámetros y distancias es la base para realizar los cálculos para la construcción de un Tubo de Venturi y con los conocimientos del caudal que se desee pasar por él. Deduciendo se puede decir que un Tubo de Venturi típico consta, como ya se dijo anteriormente, de una isión cilíndrica, un cono convergente, una garganta y un cono divergente. La entrada convergente tiene un ángulo incluido de alrededor de 21º, y el cono divergente de 7º a 8º. La finalidad del cono divergente es reducir la pérdida global de presión en el medidor; su eliminación no tendrá efecto sobre el coeficiente de descarga. La presión se detecta a través de una serie de agujeros en la isión y la garganta; estos agujeros conducen a una cámara angular, y las dos cámaras están conectadas a un sensor de diferencial de presión.

219

FUNCIONAMIENTO DE UN TUBO DE VENTURI. En el Tubo de Venturi el flujo desde la tubería principal en la sección 1 se hace acelerar a través de la sección angosta llamada garganta, donde disminuye la presión del fluido. Después se expande el flujo a través de la porción divergente al mismo diámetro que la tubería principal. En la pared de la tubería en la sección 1 y en la pared de la garganta, a la cual llamaremos sección 2, se encuentran ubicados ramificadores de presión. Estos se encuentran unidos a los dos lados de un manómetro diferencial de tal forma que la deflexión h es una indicación de la diferencia de presión p1 – p2. Por supuesto, pueden utilizarse otros tipos de medidores de presión diferencial. La ecuación de la energía y la ecuación de continuidad pueden utilizarse para derivar la relación a través de la cual podemos calcular la velocidad del flujo. Utilizando las secciones 1 y 2 en la fórmula 2 como puntos de referencia, podemos escribir las siguientes ecuaciones:

Estas ecuaciones son válidas solamente para fluidos incomprensibles, en el caso de los líquidos. Para el flujo de gases, debemos dar especial atención a la variación del peso específico  con la presión. La reducción algebraica de las ecuaciones 1 y 2 es como sigue:

Pero:

Por consiguiente tenemos que:

220

Se pueden llevar a cabo dos simplificaciones en este momento. Primero, la diferencia de elevación (Z1- Z2) es muy pequeña, aun cuando el medidor se encuentre instalado en forma vertical. Por lo tanto, se desprecia este término. Segundo, el término es la pérdida de la energía del fluido conforme este corre de la sección 1 a la sección 2. El valor

debe determinarse en forma experimental. Pero es más conveniente

modificar la ecuación (3) eliminando

e introduciendo un coeficiente de

descarga Cv:

La ecuación (4) puede utilizarse para calcular la velocidad de flujo en la garganta del medidor. Sin embargo, usualmente se desea calcular la velocidad de flujo del volumen. Puesto que, tenemos: Ca=A2 u2 Entonces:

(5)

El valor del coeficiente Cv depende del número de Reynolds del flujo y de la geometría real del medidor. La siguiente figura muestra una curva típica de Cv Vs número de Reynolds en la tubería principal.

221

La experiencia recomienda que C = 0.984 para un Tubo Venturi fabricado o fundido con las siguientes condiciones:

La ecuación (5) se utiliza para la boquilla de flujo y para el orificio, así como también para el Tubo de Venturi. Para gases la ecuación anterior debe modificarse mediante un factor empírico, que para el caso del comportamiento ideal es:

Siendo k la relación de las capacidades caloríficas a presión y volumen contantes.

Por lo tanto:

222

Y Ejemplo.1 Una corriente de nitrógeno seco a 20 ° C y 710 mm de Hg de presión fluye a través de una tubería de 4 pulgadas con caudal constante. Calcule el caudal si se dispone de un tubo Venturi con una garganta de 1.3 pulgadas, siendo la caída de presión de 0.12 kg fuerza / cm2. 1.- Traducción.

2.- Planteamiento. 2.1.- Ecuaciones del Venturi.

Y

3.- Cálculos. 3.1.- Densidad

3.2.- Factor Y K=1.4

223

3.3.- Caudal en el Venturi.

Ca=0.119367 m3/s 4.- Resultado. El caudal medido por el Venturi es de 0.119367 m3/s APLICACIONES TECNOLÓGICAS DE UN TUBO DE VENTURI. El Tubo Venturi puede tener muchas aplicaciones entre las cuales se pueden mencionar: En la Industria Automotriz: en el carburador del carro, el uso de éste se pude observar en lo que es la Alimentación de Combustible. Los motores requieren aire y combustible para funcionar. Un litro de gasolina necesita aproximadamente 10.000 litros de aire para quemarse, y debe existir algún mecanismo dosificador que permita el ingreso de la mezcla al motor en la proporción correcta. A ese dosificador se le denomina carburador, y se basa en el principio de Venturi: al variar el diámetro interior de una tubería, se aumenta la velocidad del paso de aire.

Medidor de Placa de orificio. Cuando una placa se coloca en forma concéntrica dentro de una tubería, esta provoca que el flujo se contraiga de repente conforme se aproxima al orificio y después se expande de repente al diámetro total de la tubería. La corriente que fluye a través del orificio forma una vena contracta y la rápida velocidad del flujo resulta en una disminución de presión hacia abajo desde el orificio. El valor real del coeficiente de descarga Co depende de la ubicación de las ramificaciones de presión, igualmente es afectado por las variaciones en la geometría de la orilla del orificio. El valor de Co es mucho más bajo que el del tubo 224

Venturi o la boquilla de flujo puesto que el fluido se fuerza a realizar una contracción repentina seguida de una expansión repentina. Algunos tipos de placas orificios son los siguientes:

La concéntrica sirve para líquidos, la excéntrica para los gases donde los cambios de presión implican condensación, cuando los fluidos contienen un alto porcentaje de gases disueltos. Son dispositivos que consisten en una reducción en la sección de flujo de una tubería, de modo que se produzca una caída de presión, a consecuencia del aumento de velocidad.

Haciendo un balance de energía entre el orificio (punto 1) y la sección posterior al orificio (punto 2), despreciando las pérdidas por fricción tenemos:

.....(1) Para un fluido incomprensible y de la ecuación de continuidad:

225

.................................(2) Sustituyendo 2 en 1:

.......(3) Despejando v1 y sabiendo que D1 = Dorificio

........(4) En caso de que se consideren las pérdidas de fricción, es necesario agregar el coeficiente de orificio Co, teniendo lo siguiente:

....(5) Siendo v1: velocidad en el orificio. Si se requiere conocer el Caudal:

.....(6) Co: Coeficiente de orificio o coeficiente de descarga para el caudal. Este coeficiente varía entre 0.6 y 0.62 para orificios concéntricos de bordes afilados y si 226

el Número de Reynolds es mayor de 20 000 y si la toma posterior está en la vena contracta. D0: Diámetro de orificio. D2: Diámetro de la tubería.

Usualmente el diámetro del orificio está entre 50 y 76% del diámetro de la tubería. La toma corriente arriba debe quedar a una distancia correspondiente a un diámetro de la tubería de la cara del orificio y la de corriente abajo a una distancia de 0.5 del mismo diámetro, D2. En los medidores instalados la manera más simple de obtener la caída de presión consiste en el empleo de un manómetro diferencial en “U”.

La pérdida de carga o pérdidas permanentes por fricción se obtienen por: 227

...(7) Para gases la ecuación debe modificarse mediante un factor empírico que, para el caso de comportamiento ideal es:

....(8) Siendo K la relación de las capacidades caloríficas a presión y volumen constantes.

....(9) Por lo tanto:

....(10) Las ecuaciones anteriores se aplican cuando las tomas de presión están situadas en las bridas, 1 diámetro de la tubería antes de la placa y 0.5 diámetro después, si la toma posterior está situada después de la vena contracta se utiliza un factor K que es función de la relación  para Reynolds mayores de 20 000.

228

Dónde:

....(11) La gran ventaja de la placa de orificio en comparación con los otros elementos primarios de medición, es que debido a la pequeña cantidad de material y al tiempo relativamente corto de maquinado que se requiere en su manufactura, su costo llega a ser comparativamente bajo, aparte de que es fácilmente reproducible, fácil de instalar y desmontar y de que se consigue con ella un alto grado de exactitud. Además que no retiene muchas partículas suspendidas en el fluido dentro del orificio. El uso de la placa de orificio es inadecuado en la medición de fluidos con sólidos en suspensión pues estas partículas se pueden acumular en la entrada de la placa, el comportamiento en su uso con fluidos viscosos es errático pues la placa

229

se calcula para una temperatura y una viscosidad dada y produce las mayores pérdidas de presión en comparación con los otros elementos primarios. Las mayores desventajas de este medidor son su capacidad limitada y la pérdida de carga ocasionada tanto por los residuos del fluido como por las pérdidas de energía que se producen cuando se forman vórtices a la salida del orificio. Ejemplo 2. Se instala un orificio de bordes afilados con un diámetro de 0.05 m en una tubería de 0.15 m de diámetro interno. Por la tubería fluye petróleo con una densidad de 878 kg / m3 y una viscosidad de 4.1 s. La diferencia de presión medida cuando la toma posterior está situada a 5 diámetros es de 93.2 kN/m 2. Calcule el gasto en m3/s. 1.- Traducción.

2.- Planteamiento. 2.1.- Ecuación de diseño.

;

3.- Cálculos. Suponiendo un Re > 20 000 230

Por lo tanto K= 0.66

3.2.- Caudal.

4.- Resultado. Por la línea pasan 18.85 litros cada segundo. Ejemplo 3. ¿Cuál es la potencia necesaria para la bomba instalada en el siguiente sistema, si la eficiencia es del 70 %? Por la línea fluye ácido sulfúrico al 100% y a la temperatura de 20 ° C. Las tuberías son de plomo. La toma posterior en el orificio de 1.5 pulgadas, está situada en la vena contracta. La presión atmosférica es de 0.8 atm y la presión en el reactor es de 2 atmosferas absolutas.

2.- Planteamiento. 2.1.- Medidor de orificio.

231

2.2.- Bernoulli.

3.- Cálculos. 3.1.- Datos Viscosidad del ácido 30 s, densidad del ácido 1831 kg /m3. Diámetro interno de las tuberías: D4 =0.10226; D3=0.07793; D2=0.0525 Rugosidad relativa Para 4 pulgadas 0.00045, para 3 pulgadas 0.0006, para los pulgadas 0.0009. 3.2.- Velocidad en el orificio.

Do = 1.5, Dt= 3 por lo tanto β=0.5 y β4 = 0.0625 ; Co = 0.61 si Re > 20 000

Entonces Co = 0.66 y uo = 2.42. 3.3.- Velocidades y Reynolds en las líneas.

=1.2745m/s

232

Re3=2762; Re2= 4083 3.4.- Factores de fricción. =0.0445; 3.5.- Longitudes equivalentes. Línea de 4 pulgadas L tubo = 10 m; Le = 0.7+3.2; LT = 13.9 m Línea de tres pulgadas L tubo = 20.5 m, Le = 3 codos (6.3 m)+ 2 válvulas (1)+1 Válvula retención (2.2) m, Longitud total = 30 m Línea de 2 pulgadas. Longitud de tubo 20 m, Le = 3codos (4.2)+1 válvula (4.2)+1 salida (1.5) +1 contracción (0.326m) Longitud total = 30.226 m 3.6.- Pérdidas por fricción =0.0445;

Perdidas por medidor de orificio.

Total de pérdidas por fricción = 2.7166 kgm /kg.

233

3.7.- Bernoulli.

3.8.- Potencia.

4.- Resultado. Se requiere una bomba de 2 caballos. BOQUILLA O TOBERA DE FLUJO. Es una contracción gradual de la corriente de flujo seguida de una sección cilíndrica recta y corta. Debido a la contracción pareja y gradual, existe una pérdida muy pequeña. A grandes valores de Reynolds (106) C es superior a 0.99. La tobera de flujo, es un instrumento de medición que permite medir diferencial de presiones cuando la relación de ß, es demasiado alta para la placa orificio, esto es, cuando la velocidad del flujo es mucho mayor y las pérdidas empiezan a hacerse notorias. Luego, al instalar un medidor de este tipo se logran mediciones mucho más exactas. Además este tipo de medidor es útil para fluidos con muchas partículas en suspensión o sedimentos, su forma hidrodinámica evita que sedimentos transportados por el fluido queden adheridos a la tobera.

234

Boquilla o tobera de flujo. La instalación de este medidor requiere que la tubería donde se vaya a medir caudal, este en línea recta sin importar la orientación que esta tenga. Recuperación de la presión: La caída de presión es proporcional a la pérdida de energía. La cuidadosa alineación del tubo Venturi y a expansión gradual larga después de la garganta provoca un muy pequeño exceso de turbulencia en la corriente de flujo. Por lo tanto, la pérdida de energía es baja y la recuperación de presión es alta. La falta de una expansión gradual provoca que la boquilla tenga una recuperación de presión más baja, mientras que la correspondiente al orificio es aún más baja. La mejor recuperación de presión se obtiene en el tubo de flujo. Ejemplo 4. En una tubería de 10 pulgadas se instala una tobera para medir la velocidad de flujo y el caudal del agua. Si el diámetro de la tobera es de 6 pulgadas y si la caída de presión en el manómetro es de 5 cm de Hg, ¿Cuál será la velocidad y el caudal de agua? 1.- Traducción.

235

2.- Planteamiento. 2.1.- Ecuación de la tobera.

3.- Cálculos. 3.1.- Velocidad

Si Re > 105 entonces C=1.015 y por lo tanto: =3.568 m /s La velocidad en la línea será:

Por lo tanto el Reynolds en la línea es:

Por lo tanto la velocidad es la correcta. 3.2.- Caudal

4.- Resultado. El caudal es de 65 litros por segundo. 2. MEDIDORES DE AREA VARIABLE. 2.1. ROTÁMETRO. El rotámetro es un medidor de área variable que consta de un tubo transparente que se amplia y un medidor de "flotador" (más pesado que el líquido) el cual se 236

desplaza hacia arriba por el flujo ascendente de un fluido en la tubería. El tubo se encuentra graduado para leer directamente el caudal. La ranura en el flotador hace que rote y, por consiguiente, que mantenga su posición central en el tubo. Entre mayor sea el caudal, mayor es la altura que asume el flotador. El fluido entra por la parte inferior del tubo y ejerce una fuerza ascendente sobre la base del flotador; al subir el flotador permite que pase una determinada cantidad de flujo por el área anular, área formada entre el flotador y la pared del tubo y será tal que la caída de presión en ese estrechamiento baste para equilibrar la fuerza de gravedad y el peso del flotador, en ese momento el flotador permanece estacionario en algún punto del tubo. La pérdida de presión se mantiene constante sobre el intervalo completo del flujo. Entonces para cada flujo. El flotador alcanza una altura determinada. El tubo cónico lleva grabada una escala lineal en unidades del flujo o indica el porcentaje del flujo máximo. Los rotámetros no necesitan tramos rectos de tubería antes y después del punto donde se instalan.

La ecuación correspondiente al flujo o caudal (Ca) viene dada por: 237

....(14) Cada magnitud tiene el significado indicado en la figura anterior y K es el coeficiente del rotámetro. Generalmente el rotámetro se calibra con el fluido para el cual se empleará como medidor del caudal. Sin embargo, si se calibra con un fluido A de densidad A y después se emplea para medir el caudal de otro fluido B de B, la relación de caudales viene dada por:

....(15)

2.2. FLUXOMETRO DE TURBINA. El fluido provoca que el rotor de la turbina gire a una velocidad que depende de la velocidad de flujo. Conforme cada una de las aspas de rotor pasa a través de una bobina magnética, se genera un pulso de voltaje que puede alimentarse de un medidor de frecuencia, un contador electrónico u otro dispositivo similar cuyas lecturas puedan convertirse en velocidad de flujo. Velocidades de flujo desde 0.02 L/min hasta algunos miles de L/min se pueden medir con fluxómetros de turbina de varios tamaños.

2.3. FLUXOMETRO DE VORTICE. Una obstrucción chata colocada en la corriente del flujo provoca la creación de vórtices y se derrama del cuerpo a una frecuencia que es proporcional a la velocidad del flujo. Un sensor en el fluxómetro detecta los vórtices y genera una indicación en la lectura del dispositivo medidor.

238

Esta figura muestra un bosquejo del fenómeno de derramamiento de vórtice. La forma del cuerpo chato, también llamada elemento de derramamiento de vórtice, puede variar de fabricante a fabricante. Conforme el flujo se aproxima a la cara frontal del elemento de derramamiento, este se divide en dos corrientes. El fluido cerca del cuerpo tiene una velocidad baja en relación con la correspondiente en las líneas de corrientes principales. La diferencia en velocidad provoca que se generen capas de corte las cuales eventualmente se rompen en vórtices en forma alternada sobre los dos lados del elemento de derramamiento. La frecuencia de los vórtices creados es directamente proporcional a la velocidad del flujo y, por lo tanto, a la frecuencia del flujo del volumen. Unos sensores colocados dentro del medidor detectan las variaciones de presión alrededor de los vórtices y generan una señal de voltaje que varía a la misma frecuencia que la de derramamiento del vórtice. La señal de salida es tanto un cadena de pulsos de voltaje como una señal analógica de cd (corriente directa). Los sistemas de instrumentación estándar con frecuencia utilizan una señal analógica que varía desde 4 hasta 20 mA cd (miliamperes de corriente directa). Para la salida de pulso el fabricante proporciona un fluxómetro de factor-K que indica los pulsos por unidad de volumen a través del medidor. Los medidores de vórtice pueden utilizarse en una amplia variedad de fluidos incluyendo líquidos sucios y limpios, así como gases y vapor. 2.4. FLUXOMETROS DE VELOCIDAD. Algunos dispositivos disponibles comercialmente miden la velocidad de un fluido en un lugar específico más que una velocidad promedio. 2.4.1 TUBO PITOT. Cuando un fluido en movimiento es obligado a pararse debido a que se encuentra un objeto estacionario, se genera una presión mayor que la presión de la corriente del fluido. La magnitud de esta presión incrementada se relaciona con la velocidad del fluido en movimiento. El tubo pitot es un tubo hueco puesto de tal forma que los extremos abiertos apuntan directamente a la corriente del fluido. La presión en la punta provoca que se soporte una columna del fluido. El fluido en o dentro de la punta es estacionario o estancado llamado punto de estancamiento.

239

Haciendo un balance de energía entre el punto 0 y el punto 1

Pero la velocidad en el punto 1 es u1=0 (el fluido está estancado). Entonces:

Y entonces:

Si hay fricción la ecuación anterior se modifica para dar:

En donde es el coeficiente del tubo Pitot generalmente de 0.98 o 0.99. Ejemplo 5. A través de una tubería fluye aire con una densidad de 1.045 kg /m3. Si la velocidad es de 25 m/s, determine las lecturas en los manómetros a y b de las figuras.

240

2.- Planteamiento. 2.1.- Ecuación del tubo Pitot.

3.- Cálculos. 3.1.- Lectura manométrica en a)

2.2.- Lectura manométrica en b)

4.-Resultadios. La diferencia de altura en a es de 0.033 m La diferencia de altura en b es de 0.0163 m 241

Ejemplo 6. A través de un ducto fluye aire. Dentro del tubo se instala un tubo Pitot para medir la velocidad del aire. El tubo Pitot está conectado aun manómetro diferencial que contiene agua como líquido medidor. Si la diferencia de niveles en el manómetro es de 10 cm y la temperatura y presión absoluta del aire son 300° K y 2 atm, ¿cuál es la velocidad del aire? 1.-Traducción.

2.- Planteamiento. 2.1.- Ecuación del Pitot

3.-Cálculos. 3.1.- Densidad del aire.

3.2.- Velocidad Suponiendo un =1

4.-Resultado. La velocidad es de 28.8 m/s.

242

FLUXOMETRO ELECTROMAGNÉTICO.

Su principio de medida está basado en la Ley de Faraday, la cual expresa que al pasar un fluido conductivo a través de un campo magnético, se produce una fuerza electromagnética (F.E.M.), directamente proporcional a la velocidad del mismo, de donde se puede deducir también el caudal. Está formado por un tubo, revestido interiormente con material aislante. Sobre dos puntos diametralmente opuestos de la superficie interna se colocan dos electrodos metálicos, entre los cuales se genera la señal eléctrica de medida. En la parte externa se colocan los dispositivos para generar el campo magnético, y todo se recubre de una protección externa, con diversos grados de seguridad. El flujo completamente sin obstrucciones es una de las ventajas de este medidor. El fluido debe ser ligeramente conductor debido a que el medidor opera bajo el principio de que cuando un conductor en movimiento corta un campo magnético, se induce un voltaje. Los componentes principales incluyen un tubo con un material no conductor, dos bobinas electromagnéticas y dos electrodos, alejados uno del otro, montados a 180° en la pared del tubo. Los electrodos detectan el voltaje generado en el fluido. Puesto que le voltaje generado es directamente proporcional a la velocidad del fluido, una mayor velocidad de flujo genera un voltaje mayor. Su salida es completamente independiente de la temperatura, viscosidad, gravedad específica o turbulencia. Los tamaños existentes en el mercado van desde 5 mm hasta varios metros de diámetro.

243

2.6. FLUXOMETRO DE ULTRASONIDO.

Consta de unas Sondas, que trabajan por pares, como emisor y receptor. La placa piezo-cerámica de una de las sondas es excitada por un impulso de tensión, generándose un impulso ultrasónico que se propaga a través del medio líquido a medir, esta señal es recibida en el lado opuesto de la conducción por la segunda sonda que lo transforma en una señal eléctrica. El convertidor de medida determina los tiempos de propagación del sonido en sentido y contrasentido del flujo en un medio líquido y calcula su velocidad de circulación a partir de ambos tiempos. Y a partir de la velocidad se determina el caudal que además necesita alimentación eléctrica. Hay dos tipos de medidores de flujo por ultrasonidos: 



DOPPLER: Miden los cambios de frecuencia causados por el flujo del líquido. Se colocan dos sensores cada uno a un lado del flujo a medir y se envía una señal de frecuencia conocida a través del líquido. Sólidos, burbujas y discontinuidades en el líquido harán que el pulso enviado se refleje, pero como el líquido que causa la reflexión se está moviendo la frecuencia del pulso que retorna también cambia y ese cambio de frecuencia será proporcional a la velocidad del líquido. TRÁNSITO: Tienen transductores colocados a ambos lados del flujo. Su configuración es tal que las ondas de sonido viajan entre los dispositivos con una inclinación de 45 grados respecto a la dirección de flujo del líquido.

La velocidad de la señal que viaja entre los transductores aumenta o disminuye con la dirección de transmisión y con la velocidad del líquido que está siendo medido Tendremos dos señales que viajan por el mismo elemento, una a favor de la corriente y otra en contra de manera que las señales no llegan al mismo tiempo a los dos receptores. Se puede hallar una relación diferencial del flujo con el tiempo transmitiendo la señal alternativamente en ambas direcciones. La medida del flujo se realiza determinando el tiempo que tardan las señales en viajar por el flujo. Características   

Temperatura ambiente 0º 55º Temperatura de almacenamiento -20º 150º Humedad <80% 244

          

 

Temperatura del líquido 20º 150º Máx. presión de conexión 25 bar Las medidas no se ven afectadas por la presencia de sustancias químicas, partículas contaminantes. Tienen un alto rango dinámico Diseño compacto y pequeño tamaño Costes de instalación y mantenimiento pequeños Las medidas son independientes de la presión y del líquido a medir No se producen pérdidas de presión debido al medidor No hay riesgos de corrosión en un medio agresivo Aunque el precio no es bajo, sale rentable para aplicaciones en las que se necesite gran sensibilidad (flujos corporales) o en sistemas de alta presión. Operan en un gran rango de temperaturas (-10º a 70º) (-30º 180º) dependiendo del sensor y se ofrece la posibilidad de comprar sensores con características especiales para aplicaciones concretas. Las medidas son no invasivas (especialmente importantes cuando hablamos del cuerpo humano) Ofrecen una alta fiabilidad y eficiencia

ANEXOS. COMPARATIVA DE LOS DISTINTOS SENSORES DE FLUJO Sensor flujo

Pérdida Exactitud Medidas de Líquidos Efecto Coste de típica en y recomendados viscoso Relativo presión % diámetros

Orificio

Líquidos sucios y limpios; algunos Medio líquidos viscosos

±2 a ±4 of 10 a 30 full scale

Alto

Bajo

Tubo Venturi

Líquidos viscosos, Bajo sucios y limpios

±1

5 a 20

Alto

Medio

Tubo Pitot

Líquidos limpios

Muy bajo

±3 a ±5

20 a 30

Bajo

Bajo

Turbina

Líquidos limpios viscosos

y Alto

±0.25

5 a 10

Alto

Alto

±0.5

5

No

Alto

Electromagnet. Líquidos sucios No y limpios;

245

líquidos viscosos conductores

y

Ultrasonic. (Doppler)

Líquidos sucios y líquidos No viscosos

±5

5 a 30

No

Alto

Ultrasonic. (Time-oftravel)

Líquidos limpios líquidos viscosos

±1 a ±5

5 a 30

No

Alto

y

No

CONCLUSIONES. 





Se debe tener en cuenta que los Medidores de Flujos son dispositivos, el cual pueden ser utilizado en muchas aplicaciones tecnológicas y aplicaciones de la vida diaria, en donde conociendo su funcionamiento y su principio de operación se puede entender de una manera más clara la forma en que este nos puede ayudar para solventar o solucionar problemas o situaciones con las cuales son comunes. Reconocer que con la ayuda de un medidor de flujo se pueden diseñar equipos para aplicaciones específicas o hacerle mejoras a equipos ya construidos y que estén siendo utilizados por empresas, en donde se desee mejorar su capacidad de trabajo utilizando menos consumo de energía, menos espacio físico y en general muchos aspectos que le puedan disminuir pérdidas o gastos excesivos a la empresa en donde estos sean necesarios. El Tubo de Venturi es un dispositivo que por medio de cambios de presiones puede crear condiciones adecuadas para la realización de actividades que nos mejoren el trabajo diario, como lo son sus aplicaciones tecnológicas.

Ejercicios propuestos de autoevaluación. 1.- ¿Cuál es el gasto másico de metano que pasa por una tubería de 0.1 m de diámetro interno en la que se ha instalado un tubo Venturi de 5 cm de diámetro de garganta? La temperatura y la presión del metano antes del Venturi son de 30° C y 1.386 kg /cm2 absolutos. El manómetro diferencial indica una caída de presión de 25 cm de Hg. R.- El gasto másico será de 0.44 kg /s. 2.- En una tubería de 10 pulgadas se instala una tobera para medir la velocidad del flujo y el caudal del agua. Si el diámetro de la tobera es de 6 pulgadas y si la caída de presión en el manómetro es de 5 cm de Hg, ¿cuál será la velocidad y el caudal del agua? R.- El caudal será de 65 litros por segundo. 246

3.-En una planta de hidrogenación se conduce hidrógeno a través de una tubería de dos pulgadas a 30 ° C. Para medir el caudal se instala un medidor de orificio de 2 cm de diámetro. La lectura obtenida en el manómetro diferencial es de 5 cm de Hg. La presión del orificio es de 1.5 atm. La toma posterior de presión está conectada en la vena contracta. R.-El flujo volumétrico o caudal es de 0.0631 m3/s. 4.- Una tobera se instala en una tubería de 3 pulgadas Cd 40 para medir el caudal de un aceite. La tobera es de 2 pulgadas y la caída de presión en el manómetro diferencial es de 10 cm de Hg. ¿Cuál es el caudal? Datos del aceite; viscosidad 38 s, densidad 870 kg /m 3. R.- El caudal es de 0.0107 m3/s. 5.- Un tubo Pitot que tiene un coeficiente de 0.98 se emplea para medir la velocidad del agua en el centro de una tubería. La altura de la presión dinámica es de 5.58 m y la altura de la presión estática en la tubería es de 4.65 m de agua. ¿Cuál es la velocidad? R.-La velocidad es de 4.186 m /s.

247

Capítulo 10

Flujo de fluidos incompresibles a través de sistemas complejos.

248

Flujo de fluidos a través de sistemas complejos. La mayoría de los sistemas por los que se desplazan los fluidos incompresibles, verbigracia el agua, son complejos , es decir, consisten en uno o más tramos de tuberías de diferentes diámetros o en tuberías que forman ramales, redes y otros complejos sistemas de distribución como las del agua de alcantarillas o las redes de distribución de agua potable. SISTEMAS DE TUBERÍAS EN SERIE. Las tuberías en serie son aquel conjunto de tuberías que forman parte de una misma conducción y que tienen diferente diámetro.

Para obtener una solución al problema se deben considerar lo siguiente: 

Continuidad: M1=M2=M3



Velocidad media:



Balance de energía:



Lo que puede reducirse a: 

en donde

fD

factor de fricción de Darcy, L es la longitud de la tubería, Le la longitud equivalente de los rios, D el diámetro de la tubería y u la velocidad promedio en la tubería que se está analizando. Ejemplo 1. Dos tanques están conectados por una tubería que tiene 6" de diámetro en los primeros 6m. y 10" en los 15. Restantes. La embocadura es con bordes agudos y el cambio de sección es brusco. La diferencia de nivel entre las superficies libres de ambos estanques es de 6m. La tubería es de fierro fundido Cd.40. La temperatura del agua es de 20°C. Calcular el gasto. 249

1.- Traducción.

2.- Planteamiento. 2.1.- Balance masa. M6=M10

2.2.- Balance de energía.

+ En nuestro caso haciendo el balance entre A y B a régimen permanente.

Entonces:

3.- Cálculos. 3.1.- Datos D10=25.451 cm; D6=15.405 cm; viscosidad del agua = 1.005 s, ρ=998 kg /m 3 Rugosidades relativas

250

3.2.- Velocidades

3.3.-Longitudes equivalentes. L6= 6 m de tubo +entrada (2.5) =8.5 m L10=15 m de tubo + una salida (7.5)+ expansión (1.93) =24.43 m 3.4.- Bernoulli

Suponiendo inicialmente que los factores de fricción sean iguales a 0.02 entonces:

Por lo tanto 3.4.- Comprobación Los Reynolds a esas velocidades son: =1.4

Con estos Reynolds y los factores de rugosidad se calculan los nuevos f D

Entonces el Bernoulli queda:

De donde Con estos valores los nuevos Reynolds darían: Lo que da fD iguales a los anteriores con lo que queda terminado el tanteo. 3.5.- Caudales.

El caudal sería 4.- Resultado. El caudal sería de 11.8 litros por segundo.

Conducciones en paralelo 251

En este tipo de sistema, la corriente principal de un fluido se bifurca para producir dos o más conducciones que corren en paralelo y que posteriormente confluyen en un punto. Sistema de 3 tuberías en paralelo entre A y B

El balance de materia para estos sistemas es: MA = MB = M1 + M2 + M3 El balance de energía daría en el caso de que ΔZ fuera igual a cero:

Lo que indica que: = La resolución de estos sistemas se lleva a cabo mediante tanteos. Si se conoce el caudal, la caída de presión ΔP se puede obtener mediante la ecuación de Darcy:

Si se conoce el ΔP pero se desconoce el caudal, la caída de presión se puede obtener mediante la aplicación de las ecuaciones de Karman.

= El caudal total que se quiere transportar se divide entre las tuberías existentes y que la pérdida de carga en cada una de ellas es la misma. 252

Ejemplo 2. Para un sistema de dos tuberías en paralelo se dispone de los siguientes datos: L1=1500 m , D1= 12 “ , L2= 900 m, D2 = 16 “. El gasto total es de 456 litros/segundo. Calcular el gasto en cada una de las tuberías si estas son de fierro fundido Cd. 40 y si el líquido que pasa por el sistema es agua a 20 ° C. 1.-Traducción.

2.- Cálculos. 2.1.- Datos D1= 0.2889 m; D2=0.381; viscosidad =1.005 s; densidad = 998kg /m 3 Factores de rugosidad E/D1=0.008; E/D2= 0.0005 2.2.- Masa que viaja por el sistema.

253

2.3.- Primer tanteo. Sea la masa que pasa por la línea 1 igual a 100 Kg /s. Entonces:

El Reynolds en esa línea sería entonces: 1.38 El factor Darcy sería entonces de 0.02 Y la sumatoria de fricciones sería: =12.31 = Pero para las conducciones en paralelo: 2= Entonces, para la línea 2.

De la gráfica de Karman.

Por lo tanto:

=7.7

Y la masa que pasa por la línea dos será: = La masa total sería entonces de 3.3.- Segundo tanteo:

254

El nuevo factor de Darcy será: fD =0.019

Pero:

2=

Entonces, para la línea 2.

De la gráfica de Karman.

Por lo tanto:

=7.7

Y la masa que pasa por la línea dos será: = Por lo tanto la masa total será: MA= 120 +327.3= 447.3 kg /s ≠445 Con un tercer tanteo se obtiene que M1=122 y M2=334 Kg/s 4.- Resultado. Los gastos másicos son de 122 kg /s para la línea uno y de 334 kg /s para la línea dos. SISTEMAS DE TUBERÍAS RAMIFICADAS. Otro sistema de tuberías que es muy común de encontrar es el problema de depósitos múltiples.

Aplicando balance de energía entre los estanques, se tiene que 255

Balance de masa: MA+ MB=Mc Para fluidos incompresibles (líquidos). CaA+CaB=CaC El balance de energía o Bernoulli quedaría: Entre a y d

Entre b y d

Entre d y c

Si despreciamos los cambios en la energía cinética y sabiendo que la Presión en a es igual a la presión en b y en c o sea la presión atmosférica tendremos:

Si se designa a:

Entonces:

Si Zc

se toma como cero 256

Las ecuaciones se pueden resolver mediante tanteos suponiendo un cierto gasto en una de las líneas para comenzar el proceso o suponiendo un Hd y determinando las caídas de presión en cada línea. Para que el resultado sea el correcto se debe cumplir que: CaA+CaB=CaC Ejemplo 3. En el sistema mostrado, la tubería es de acero comercial Cd. 40. Las válvulas son de globo y están abiertas. La presión en B es de 2 kg /cm2 manométricos. El líquido que se maneja es tolueno a 25° C. El medidor de flujo es de orificio y tiene su toma posterior en la vena contracta. La diferencia de niveles en el medidor de orificio es de 10 cm de Hg y el orificio es de 1 pulgada. La presión en C es de 1.5 kg /cm2 manométricos. La longitud de la T a C es de 180 m, el diámetro de esa línea es de 1 pulgada. La longitud de la T a B es de 250 m y la tubería es de 1.5 pulgadas. La longitud de A a la T es de 150 m, el diámetro de esa línea es de 2 pulgadas. La presión atmosférica es de 586 mm de Hg (Ciudad de México, altitud 2500 m sobre el nivel del mar). ¿Cuál es el gasto másico que circula por cada línea? ¿Cuál es la potencia de la bomba si su eficiencia es del 50%?

1.- Cálculos. 1.1.- Medidor de flujo.

Caída de presión en el medidor: =

257

=0.1m (13600-860)=1274 kg /m2 Si hay flujo turbulento entonces Co = 0.61

Por lo tanto la suposición de turbulencia es válida.

1.2.-Bernoulli en la línea de T a B Velocidad en la línea

Caudal en la línea T-B

258

Benoulli de T a B + =-

+

fD = 0.02

=0.02 Por lo tanto el Bernoulli queda:

1.3.- Línea T-C + =-

259

L+Le= 180+globo+2 codos = 200 m; D=1 pulgada = 0.0254m =

=6087

E/d=0.0019 de la gráfica de Karman

= Por lo tanto uC= 1.177 m/s El caudal en la línea sería: =1.177 1.4.- Línea A-T Caudal en la línea A-T = D = 2 pulgadas = 0.0525 m. Velocidad en la línea

Bernoulli de A a T

El factor de rugosidad es e/D = 0.0009 y el factor darcy es fD= 0.024 L+Le = 150 + 17.4x2 (Válvulas de globo)+2.8 (codos)+3.5 (te)+2(entrada a tubería)= 193.1 Por lo tanto las pérdidas de fricción en esa línea serían:

Entonces:

Masa =1.0523X 0.785 X (0.025)2X860 =1.958 kg /s Potencia hidráulica 𝒫=1.958 X 45.994 = 90 kgm / kg Si la eficiencia es del cincuenta por ciento entonces: 260

𝒫 = 180 kgm /kg = 2.5 H.P. 4.- Resultado. La potencia es de 2.5 caballos. Ejemplo 4. Se tienen los tanques A y B que contienen agua a 15 ° C y que están situados sobre el tanque C. De los tanques A y B parten tuberías de acero comercial siendo la tubería de A de 30 cm y de una longitud de 800 metros con todo y rios. La tubería que parte de B a D es 25 cm y tiene una longitud total de 200 m. Determine el caudal que llega al tanque C si la tubería de Da C es de 50 cm y tiene una longitud de 500 m.

1.- Planteamiento. 1.1.- Balance de materia. Para un fluido incompresible:

1.2.- Balances de energía Si se prescindo de los cambios de la energía cinética es decir si

=-

A

+

261

* Pero como PA = PB = PC = P atmosférica Entonces sí:

-

A

;

=

Pero si hacemos que ZC = = entonces: 2.- Cálculos. 2.1.- Primer tanteo. Este tipo de problemas se debe resolver por tanteos. Para ello se deben hacer ciertas suposiciones. Suponiendo que comenzamos con que h D = 2 kgm /kg Entonces: Resolviendo para el tramo A D e/D =0.00014

De la gráfica de Karman:

Resolviendo el tramo BD

e/D = 0.00014

UB= 3.676. m/s; CaB= 0.184 m3/s Resolviendo el tramo CD

e/D = 0.00009 262

UD = 1.782 m /s; CaD=0.3497 m3 / s Balance de materia. CaA+CaB=0.202+0.184=0.386≠0.3497 =CaD 2.2.- Segundo tanteo. Nuevo hD

Por lo tanto:

Tramo A D

=1.228

Tramo BD

Tramo DC

Balance de materia: CaA+CaB=0.202+0.181=0.383≠0.3669 1.4.- Tercer tanteo

Tramo AD U = 2.86, Ca = 0.2013; Tramo BD u = 3.606, Ca = 0.1789 Tramo CD u= 1.911; Ca= 0.3753 Balance CaA+CaB=0.2013+0.1789 =0.3802≠0.3753 263

Se requerirían entonces otros tanteos más. 4.- Resultados. Aproximadamente pasarían 200 litros por segundo por la línea A, 179 litros por segundo por la línea B.

Redes. Las redes son un conjunto de tuberías unidas entre sí y que tienen por objeto transportar un fluido desde uno o más orígenes hasta uno o más destinos. Existen diversos tipos de redes: Redes abiertas.

Este tipo de sistema es muy económico, se ahorra en cantidad de tubería para poder llegar a todos los puntos de demanda, pero a la vez tienen una gran desventaja: es poco seguro, ya que si la red se corta , se produce un problema de abastecimiento en el tramo posterior. Este tipo de red se utiliza frecuentemente para abastecer lugares lejos de la(s) fuente(s). Redes cerradas.

264

Este tipo de red, si bien es menos económica que la red abierta, presenta una ventaja muy importante, su seguridad, se puede aislar un sector, o circuito interno, sin dejar sin agua el resto del sistema. Redes mixtas.

Es un sistema que conecta o reúne, sistemas abiertos y cerrados. En general, para el abastecimiento de agua se utilizan mallas cerradas. Un diseño eficaz de una red de agua debe considerar múltiples factores, como caudal a transportar, presiones adecuadas y diámetros mínimos. A continuación se enumeran las consideraciones de diseño más importantes: 

Demanda de agua = f (cantidad de población, tipo de industrias)



Dotación para el consumo doméstico: entre 200 y 300 l/hab/día.



Rango óptimo de alturas de presión en zonas residenciales: 28 - 35 mca.



Límites de presión en hogares: mínima: 20mca.

Máxima: 60 mca. 

Rango óptimo de velocidades: 0.6 m/s - 1.2 m/s.



Altura de presión mínima en grifos de bomberos: 20 mca.



Altura de presión mínima en unión domiciliaria: 4 mca.



Tuberías comerciales de 75 mm de diámetro o más: 75 - 100 - 125 - 150 200 - 250 - 300 - 350. Resolución de redes por el método de Hardy - Cross

Las condiciones hidráulicas básicas en la aplicación del método de Cross son: 

1) Por continuidad de gastos, la suma algebraica de los flujos de las tuberías que se reúnen en un nodo es cero.



2) Por continuidad de energía, la suma algebraica de todas las pérdidas de energía en cualquier circuito cerrado o malla dentro del sistema, es cero.

265

Suponiendo conocidas las características de la red (D, L, material), los caudales entrantes al sistema y los caudales salientes de él, entonces lo que se requiere conocer son los caudales que circulan por cada una de las tuberías de la malla. Procedimiento: Dada una malla cerrada, como la que se muestra en la figura:

1) Dividir la red cerrada en un número tal de circuitos cerrados que asegure que cada tubería está incluida, al menos, en un circuito. Se hace una distribución de los flujo dándoles sentido positivo si se mueven en dirección a las agujas del reloj y negativo si se mueven en sentido contrario. 2) Conocidos los caudales que entran y salen, atribuir caudales hipotéticos Ca a las diversas tuberías del sistema, de tal manera que se cumpla la ecuación del balance de masa. 3) Calcular el valor de pérdida de carga en cada tubería de acuerdo a la expresión

4) Determinar la suma algebraica de las pérdidas de carga en cada circuito y verificar si se cumple.

Por lo general, en las primeras iteraciones esto no se cumple. 5) Determinar el valor:

Para cada circuito cerrado. 6) Determinar el caudal de corrección, ( , que se debe aplicar a cada flujo supuesto en los circuitos. Por lo que se tiene que el nuevo caudal será:

266

Para un circuito: 7) Corregir los gastos connotar que para una tubería que forma parte de 2 mallas, se corrige por los dos circuitos. 8) Repetir el proceso hasta obtener una convergencia adecuada. Con frecuencia en los circuitos complejos el fluido que se transporta es el agua por ello los ingenieros civiles han desarrollado fórmula específicas para el flujo de ese líquido. Entre las fórmulas empíricas están las de Hazen Williams: *L

En donde C es el coeficiente De Hazen –Williams, Ca es el caudal en m3/s, L es la longitud (de tubería +rios), y

son las pérdidas por fricción en

. Las

fórmulas anteriores son recomendables para tuberías de 2 o más pulgadas. Para el cálculo de alcantarillas y drenajes es muy empleada la ecuación de Manning

En donde n es el coeficiente de Manning. Para pequeños diámetros hasta 50 mm y tubos de acero galvanizado que transportan agua fría se puede usar la correlación de Fair-Whipple y Hsiao.

Una correlación que puede emplearse para tubos de cobre o latón que transportan agua caliente es:

267

Ejemplo 5. ¿Cuál será el caudal que pasa por cada una de las líneas de distribución de agua en la malla siguiente si las tuberías son de acero comercial y nuevas?

1.- Procedimiento. 1.1.- Se emplearán las ecuaciones de Hazen y Williams por tratarse de agua y el método de Hardy-Cross. *L

2.- Cálculos. 1.1.- Datos Del apéndice C= 130. 1.2.- Distribución de los sentidos. Suponiendo que el sentido en que van las corrientes sea el que indican las fechas.

268

1.3.- Flujos. Ya que el sistema conduce un fluido incompresible e isotérmico entonces: Nudo A Suponiendo que el flujo de AB sea de 200L/s, entonces el flujo de AE será de 300 L/s Nudo B 200+100 = CBC= 300 L/s Nudo C 300+CCD=300 Por lo tanto CCD=0 Nudo D CED=CCD+200 CED=200 1.4.- Ecuaciones para obtener las pérdidas por fricción

Pero si C= 130 entonces: 3

Línea

Diámetro en m

L en m

Caudales en m /s

Ecuación para obtener las pérdidas por fricción

AB

0.5

1000

0.2

37.84Ca1.852

BC

0.4

1100

0.3

123.4Ca1.852

CD

0.5

600

0

22.7Ca1.852

ED

0.3

950

0.2

432.6 Ca1.852

AE

0.25

800

0.3

885.23 Ca1.852

269

1.5.- Primer tanteo. Línea

Caudal en m3/s

ƩF/M

ƩF/M/Ca

AB

0.2

1.92

9.6

BC

0.3

13.27

44.23

CD

0

0

0

ED

-0.2

-21.95

109.75

AE

-0.3

-95.21

317.36

Sumatorias Por lo tanto la corrección es:

-101.97

480.9

1.6.- Segundo tanteo. Línea

Caudal

ƩF/M

ƩF/M/Ca

AB

0.2+0.114=0.314

4.42

14.07

BC

0.3+0.114=0.414

24.09

58.18

CD

0.114

0.406

3.56

ED

-0.2+0.114=-0.086

-4.6

53.48

AE

-0.3+0.114=-0.186

-39.28

245.5

-14.96

374.79

Sumatorias Nueva corrección.

1.7.- Tercer tanteo Línea

Caudal

ƩF/M

ƩF/M/Ca

AB

0.314 +0.02155=0.33555

5.0

14.92

BC

0.414+0.02155=0.43555 26.47

60.78

CD

0.114+0.02155=0.13555 0.56

4..13

ED

-0.086+0.02155=0.06445

-2.69

41.83

AE

-0.186+0.02155=0.164455

-31.27

190.16

270

Sumatorias

-1.93

311.82

Nueva corrección.

1.7.- Cuarto tanteo Línea

Caudal

ƩF/M

ƩF/M/Ca

AB

0.33555+0.0034=0.33895

5.102

15.05

BC

0.43555+0.0034=0.43895

26.85

61.86

CD

0.13555+0.0034=0.13895

0.587

4.22

ED

-0.06445+0.0034=-0.06105

-2.438

39.94

AE

-30.08 0.164455+0.0034=0.161055

Sumatorias Nueva corrección

0.021

186.80 307.87

Esta corrección es despreciable con lo que se aceptan los caudales del cuarto tanteo. Ejemplo 6. ¿Cuál será el caudal que pasa por cada una de las líneas de distribución de agua de la malla siguiente, si la tubería es de acero comercial y nueva?

271

1.-Planteamiento. 1.1.- Se emplearán las ecuaciones de Hazen y Williams por tratarse de agua y el método de Hardy-Cross. *L

2.- Cálculos. 2.1.-Distribución inicial de los sentidos.

2.2.- Caudales supuestos. Nudo A CA=CAB+CAE ; 500=CAB+CAE si CAB= 200 entonces CAE=300 Nudo B CAB+CB=CBC+CBD; 200+500=CBC+CBD ; si CBC=400 entonces CBD=300 Nudo C CBC=CC+CCD ; 400=250+CCD ; CCD=150 Nudo D CBD+CED+CCD=CD ; 300+CED+150=500 ; CED=50 Nudo E CAE=CE+CED ; 300=250+50 2.3.- Ecuaciones para predecir la pérdida por fricción. Utilizando las ecuaciones de Hazen y Williams se tiene que: C=130 272

Línea

Caudal supuesto en 3 m /s

Longitud de la línea en m

Diámetro de la línea en m

Ecuación para obtener las pérdidas por fricción

AB

0.2

900

0.5

ƩF/M=34.06Ca1.852

BC

0.4

1100

0.4

ƩF/M=123.42Ca1.852

CD

0.15

600

0.45

ƩF/M=37.93Ca1.852

BD

0.3

500

0.35

ƩF/M=107.49Ca1.852

ED

-0.05

1000

0.3

ƩF/M=455.47Ca1.852

AE

-0.3

800

0.25

ƩF/M=885.43Ca1.852

2.4.- Primer tanteo Circuito I Línea

Caudal en m3/s

ƩF/M en kgm/kg

ƩF/M/Ca

AB

0.2

1.728

8.64

BD

0.3

11.56

38.53

ED

-0.05

-1.77

35.4

AE

-0.3

-95.23

317.43

Sumatorias

-83.712

400

Línea

Caudal

ƩF/M en kgm/kg

ƩF/M/Ca

BC

0.4

22.61

56.525

CD

0.15

1.13

7.533

BD

-0.3

-11.56

38.53

Sumatorias

12.18

102.59

Corrección.

Circuito II

2.5.-Segundo tanteo. 273

Circuito I Línea

Caudal en m3/s

ƩF/M en kgm/kg

ƩF/M/Ca

AB

0.2+0.113=0.313

3.96

12.66

BD

0.3+0.113-(0.064)=0.477

27.28

57.2

ED

0.05+0.113=0.063

2.72

43.2

AE

-0.3+0.113=-0.187

-39.68

212.2

Sumatorias

-5.72

325.26

Línea

Caudal

ƩF/M en kgm/kg

ƩF/M/Ca

BC

0.4-0.064=0.336

16.37

48.78

CD

0.15-0.064=0.086

0.4033

4.68

BD

-0.3-0.064(0.113)=-0.477

-27.28

57.2

Sumatorias

-10.5

110.6

Circuito II

2.7.-Tercer tanteo Circuito I Línea

Caudal en m3/s

AB

0.313+0.00949=0.32249 4.18

12.98

BD

0.477+0.009490.051=0.43549

52.93

ED

0.063+0.00949=0.07249 3.529

438.68

AE

-0.187+0.00949=0.17751

-36.03

202.99

Sumatorias

-5.27

317.58

ƩF/M en kgm/kg 23.05

274

ƩF/M/Ca

Circuito II ƩF/M en kgm/kg

ƩF/M/Ca

Línea

Caudal

BC

0.336+0.051=0.387 21.27

54.96

CD

0.086+0.051=0.137 0.955

6.97

BD

-0.477+0.0510.00949=-0.43549

-23.05

52.93

Sumatorias

-0.825

114.86

Por lo tanto los flujos serán los calculados en el tercer tanteo.

Ejercicios propuestos para autoevaluación. 1.- Por una tubería de cobre se transporta agua a 80°C. Si la velocidad en la línea, que es de ¾ de pulgada, es de 3 m/s. ¿Cuál será la caída de presión si la tubería tiene una longitud equivalente de 300 m? R.-La caída de presión es de 0.012 kg/cm2. 2.-Determine el caudal de agua en m 3/día a 20 ° C que pueden transportarse a través de 2000 m de tubería de hierro de 2 pulgadas con una diferencia de presión de 5 kg /cm2. R.-El caudal es de 194 m3/día. 3.- Resuelva el sistema siguiente, si el caudal que llega a A es de 456 L /s.

275

R.- El caudal es de 127 L/s en la línea 1 y de 329 L/s en la línea 2. 3.- Una instalación petrolera descarga petróleo en dos depósitos (A y B) situados a 25 m y 10 m de altura respectivamente sobre un tercer tanque ©. De los depósitos A y B parten tuberías de acero de 30 cm de diámetro que confluyen en un punto D, conectándose allí a una tubería de 50 cm de diámetro que va al depósito C. La longitud de las tuberías que parten de A y B a D es de 800 m y la tubería de D a C es de 200 m. La viscosidad del petróleo es de 7 X 10-4 kg/ms y la densidad de 870 kg /m3. Determine el caudal que llega a C.

R.- El caudal que llega a C es de 412 L /s. 4.- ¿Cuál será la potencia que debe tener la bomba en el sistema siguiente?

276

R.- Se requiere una bomba de 1.5 C.V. 5.- El agua fluye a través del sistema de tuberías mostrado. En el punto A la altura es de 60 m, en el punto F la altura es de 30 m. La presión en A es de 2.9 atm. Determine los caudales a través de la red y la presión en F. Utilizar C= 100.

R.- La presión en F es de 4.66 atm. Los caudales son:

277

6.- Por la siguiente red circula agua, siendo las tuberías de fundición. Obtenga los caudales que pasan por cada uno de los ramales.

R.- Los caudales son los que se muestran en la siguiente figura:

278

Capítulo 11

Bombas.

279

Bombas centrífugas

D

entro de un líquido en reposo, la presión absoluta que existe en cualquier punto es función del peso del líquido sobre ese punto (expresado en pascales, kilogramos fuerzas sobre metro cuadrado u en otras unidades de presión), más la presión de trabajo expresada en pascales ejercida sobre la superficie del líquido (presión atmosférica si el recipiente está abierto). Esta presión es la misma en todas las direcciones y se ejerce perpendicularmente a cualquier superficie en o con el líquido. Las presiones dentro de un líquido pueden verse también como causadas por una columna de líquido, que 280

debido a su peso, ejerce una presión igual a la presión que se mide en ese punto. Esta columna líquida ya sea real o imaginaria, es llamada en ingeniería, la carga, columna o cabeza estática y se expresa por lo general en metros o pies de líquido. Las presiones, columnas, cargas o cabezas son formas diferentes de expresar los mismos conceptos. En la industria, cuando se usa el término presión, se refiere  kg por lo general a unidades medidas en Pa, , psi , etc., mientras que con el cm 2 término de cabeza, columna o carga se utilizan metros o pies de líquido que se están bombeando. Esos valores son mutuamente convertibles, uno en el otro tal como se indica a continuación:

psi  2.31

R

 cabeza en pies

 kg cm 2  columna en metros

R

Pa  1.023 104

R

 c arg a en metros

Las presiones o columnas se miden por lo general con manómetros. El manómetro mide la presión que existe por arriba de la atmosférica; por lo que para convertir esa presión en absoluta se debe recordar que:

Pabsoluta  Pmanométrica  Patmosférica La presión atmosférica al nivel del mar es:  kg 760mm de Hg  10.33 m de agua  1 atm  14.7 psi  1.033 2  101,000Pa cm

Como en muchos problemas de bombeo se usan presiones diferenciales, las presiones manométricas tal como se leen se usan sin convertirlas en presiones absolutas. Las bombas son aparatos o equipo diseñados para mover líquidos. Existen cuatros curvas características para conocer las propiedades de una bomba, todas en función del caudal las cuales se muestran a continuación: 1) Carga Total del sistema 2) Eficiencia 3) BHP NPSH

281

La cabeza requerida para causar el flujo de un sistema y la definición de ese término se puede comprender si se examinan las siguientes figuras:

Figura 1

Figura 2

282

Para la figura 1 con succión por debajo de la bomba, el manómetro dará una lectura de vacío. Vd 2 H  hd  hs  fd  fs  2 gc Para la figura 2 con succión por arriba de la bomba, el manómetro dará lectura positiva. Vd 2 H  hd  hs  fd  fs  2 gc En donde: H = cabeza total = cabeza proporcionada por la bomba en metros (cabeza dinámica). hd = cabeza estática de descarga en metros = distancia vertical entre el centro de la bomba (datum) y la superficie del líquido en la descarga. hs =Cabeza estática de succión en metros = distancia vertical entre la superficie del líquido en la succión y el centro de la bomba. fd = cabeza de fricción en la descarga = pérdidas por fricción en la línea de descarga causadas por tubos, válvulas, conexiones, codos, etc. expresada en metros. fs = cabeza de fricción en la succión. Vd 2 = cabeza de velocidad en la descarga de la bomba en metros = Energía 2 gc requerida para hacer que el líquido obtenga la velocidad V. Esta cabeza puede ser relativamente pequeña.

Cabeza de velocidad o energía cinética hv: 2

 Bbl  0.00127  2 2 0.00254 GPM V h   2 hv   0.0155V   2 gc D4 D4 D= in; Bbl = barriles = 42 galones = 159 litros. V = ft /s; hv = ft.

V2 Ca 2  0.0509V 2  0.0826 4 2 gc D V= m /s ; hv = m ; D =m ; Ca = m3/s hv 

Ejemplo 1. ¿Cuál será la cabeza de velocidad si por un sistema con un diámetro interno de 0.254 m pasa un caudal de 100 L /s? V2 Ca 2 2 hv   0.0509V  0.0826 4 =0.198 m 2 gc D

283

Como la cabeza de velocidad en la mayoría de las instalaciones es menor a 0.5 m, en los sistemas con grandes cargas o cabezas de bombeo este término es una parte relativamente pequeña de la cabeza total. Sin embargo, en las instalaciones con pequeñas cabezas de bombeo puede ser una parte significativa de la cabeza total. Al hacer las pruebas de bombeo, la cabeza se mide por lo general mediante manómetros. Como un manómetro sólo indica la cabeza de presión, las cabezas de velocidad se pueden calcular mediante las ecuaciones anteriores. Los líquidos son aproximadamente incompresible, de hecho, lo suficientemente, para que no sean necesarias las correcciones a baja y mediana presión. Sin embargo, a muy altas presiones hay que tomar en cuenta el cambio en la densidad. Cuando se considera a los líquidos como incompresibles, se tiene una relación entre la cantidad de líquido que fluye por un conducto y la velocidad de flujo, esta relación es: Ca o también u  Ca  A u A En el sistema SI m Ca Ca LPM u   1.2732 2  2.122  105  s D D2 D2 4 En donde: Ca = m3/s; D = m En el sistema inglés:  Bbl  0.2859  ft 0.4085 GPM h   u   s D2 D2 D= in , 42 galones = 1 barril Ejemplo 2. ¿Cuál es la velocidad que tenía el líquido en la línea del ejemplo anterior? m Ca Ca LPM =1.97 m /s u   1.2732 2  2.122  105 s  2 D D2 D 4 Ejemplo 3. En una instalación de bombeo desea calcularse la cabeza desarrollada por una bomba que impulsa un caudal de 8.4 m 3 de agua por minuto. La tubería de descarga de la bomba tiene un diámetro de 30 cm y tiene instalado un manómetro que indica una presión de 3.8 kg fuerza/cm 2. En la tubería de aspiración, de 35 cm de diámetro, se cuenta con vacuómetro, que da una lectura de 21 cm de Hg de vacío. La distancia vertical entre el manómetro y el vacuómetro es de 41 cm. La presión atmosférica es de 76 cm de Hg.

284

2.- Planteamiento. 2.1.- Cabeza, carga o columna.

Si se desprecia la energía potencial ΔZ=0, si se desprecia la energía cinética Δu2 =0, entonces:

3.- Cálculos. 3.1.- Presiones.

Presión en 1

3.2.- Cabeza despreciando las energías cinéticas y potenciales.

3.3.- Cabeza sin despreciar las energías cinéticas y potenciales.

4.- Resultados. Si se desprecia la energía cinética y potencial, la cabeza es de 40.53 kgm /kg; si no se desprecian de 41 kgm/kg. 285

Densidad relativa y cabeza. La cabeza desarrollada por una bomba centrífuga depende de la velocidad periférica del impulsor y se expresa como: u2 H 2 gc H= cabeza total a caudal cero desarrollada por la bomba en metros de líquido; u= velocidad del impulsor en m/s. La cabeza desarrollada por la bomba es independiente de la densidad del líquido bombeado.

En la figura mostrada, la cabeza, H desarrollada por la bomba debe ser igual independientemente de si el líquido es agua con  R  1 , gasolina con  R  0.7 o una salmuera con  R  1.2, tal como se muestra en las figuras 4a, 4b y 4c. La presión que se leerá en el manómetro será, sin embargo, diferente aunque el diámetro del impulsor y la velocidad sean las mismas. Véase las figuras 4a, 4b y 4c.

286

En referencia con la figura 5 todas las bombas están mandando el líquido a 50 psi, pero debido a la diferencia en el peso específico de los líquidos cada bomba maneja una cabeza diferente. Por lo tanto, si la velocidad de las tres bombas es la misma, la bomba de la figura 5c debe tener un impulsor más grande que el de la figura 5 a, que es el menor. El comportamiento estándar de las bombas se dibuja graficando la cabeza total en metros o pies contra las capacidades en metros cúbicos por hora o en galones por minutos o en otra unidad. Por lo general se emplea agua para probar las bombas. Como la cabeza en metros desarrollada por una bomba es independiente de la densidad, la cabeza puede leerse sin corrección si la viscosidad del líquido es parecida a la del agua. Los caballos de fuerza mostrados en las curvas se aplican sólo a líquidos parecidos al agua en densidad, para los otros líquidos se deben multiplicar los Hp por la densidad relativa del líquido bombeado. Los caballos Hp requeridos para mover una bomba se pueden obtener de: Potencia hidráulica: En el sistema MKS, la potencia hidráulica será igual a:

En el sistema inglés la potencia hidráulica sería: 287



libras de líquido/ min H ( ft ) GPM  H   R  33000 3960

La potencia al freno será:

 = eficiencia de la bomba

Consumo de energía por el motor eléctrico =

KW consumidos por el motor =

PHp  0.746

eficiencia del motor H  0.00315 Kwh por 100 galones de agua = eficiencia total Ejemplo 4. ¿Cuál será la potencia de la bomba requerida si la cabeza requerida es de 10m y el caudal de agua es de 100 L /s? La eficiencia de la bomba es del 60 % ¿Cuál será la potencia al freno? Respuesta: La cabeza en pies será de 32.7 pies, El caudal en galones por minutos será de: 1585 galones por minuto y por lo tanto: Potencia hidráulica: PH 

libras de líquido/ min H ( ft ) GPM  H   R =13  33000 3960

La potencia al freno será: WHp = 21.8 B Hp   Eficiencia La eficiencia del motor está dada por las pérdidas de energía en el estator y en el roto y se pueden obtener por el siguiente método: a) (PeEJ)Pérdidas por el calentamiento del motor o pérdidas por el efecto Joule sin acoplar (S/A) el motor a la bomba. Es la intensidad de la corriente (medida en la salida de los transformadores), con electro pinzas. Ro es la resistencia en ohms Para motor de 1 HP es de 5.25 ohms, para 2 HP 2.45 ohms, para 3 HP 1.65 ohms, para 5 HP ,0.925 ohms.

Pérdidas mecánicas y magnéticas del motor sin acoplar a la bomba (PeMM). 288

Pérdidas por el calentamiento del motor acoplado (a) a la bomba (PeEJ). En donde I es la intensidad de la corriente (medida a la salida de los transformadores para cada gasto) y Ro es la resistencia en ohms. d) Pérdidas totales en el estator (PeTE). e) Potencia comunicada al rotor (PCR). W son los watts consumidor por el motor para gasto.

f) Pérdidas por deslizamiento del rotor. (PeDR). PeDR=PCR*S En donde S es el factor de deslizamiento.

En donde RPM son las revoluciones por minuto del motor con que se opera. g) Potencia final en la flecha del motor. Potencia al freno (PFM). PFM= PCR-PeDR. Por lo tanto la eficiencia del motor

Todos estos cálculos están en watts. Si se hace el cambio de unidades a HP, la potencia al freno (PFM) será el conocido Break Horse Power (BHP), y si la potencia eléctrica está también en HP se denominará EHP, entonces:

Ejemplo 5. Para abastecer de agua a una caldera se trae el líquido desde un tanque elevado. El agua está a 18°C. La tubería es de acero Cd. 80. La presión en la caldera es de 15 atm manométrica. ¿Cuál es la potencia de la bomba si la eficiencia es del 60%? El medidor es de orificio de una pulgada de diámetro. La toma posterior está situada a tres diámetros del orificio ¿Cuál es el costo de la energía eléctrica si el sistema trabaja 24 horas al día? Dato: Costo del KW-h = 12 pesos.

289

3.- Cálculos. 3.1.- Medidor de orificio. Datos: Densidad del agua 970 kg /m3, diámetro de la tubería 4.925 cm, viscosidad del agua 0.3478 s, e/D = 0.009

=0.515 Como la toma posterior no está situada en la vena contracta entonces = Por lo tanto uo=7.27 m/s Caída de presión si la toma estuviera en la vena contracta:

=

=52.3

1.2.- Velocidades en las líneas Línea de 2pulgadas 290

Flujo en la línea = 3.685X10-3 m3/s Velocidad en la línea de 2 “= 0.04925 m u = 1.93 m /s Línea de 4 pulgadas = 0.09718 m u = 0.497 m /s Velocidad en la línea de 1 pulgada = 0.02431 m; u =7.32 m/s 1.3.- Pérdidas de presión en la línea de 1 pulgada.

La rugosidad relativa es e/D =0.0018 y por lo tanto el factor de fricción de Darcy es fD= 0.024 L (total) = 57 + 2 codos+ contracción = 57+2(0.7)+0.5 = 58.9

1.4.- Pérdidas por fricción en la línea de 2 pulgadas. D =0.04925; e/D = 0.0009 Re = 2.65 X 105 ; fD= 0.02 Longitud total = 135 + 2 codos+válvula = 135+2(1.4)+4.2 = 142

1.5.- Pérdidas por fricción en la línea de 4 pulgadas. D=0.09718, u = 0.497, e/D = 0.00035; Re = 1.34X 105; fD=0.018 Longitud total = 50+ entrada + codo + válvula = 50+1+2.8+34 = 87.8 =0.018 1.6.- Energía potencial.

1.7.-Energía de presión. P2= 15.857 kg /cm2= 1 550, 394 Pa; P1= 586 mm de Hg = 77876 Pa

1.8.- Bernoulli.

291

1.9.- Costo.

Velocidad específica. Se define como aquella velocidad en revoluciones por minuto a la cual un impulsor dado operará para mandar 1 GPM contra una cabeza dinámica de un pie. Esta definición se usa para clasificar impulsores y para predecir otras características de las bombas tal como las limitaciones en la succión. D Relación entre la velocidad específica Ns y las proporciones de las bombas, 2 D1

292

Entre los aspectos más importantes que afectan la operación de una bomba centrífuga están las condiciones en la succión. Cuando hay altos requerimientos en la succión (bajos NPSH) se reduce la capacidad y la eficiencia y con frecuencia se producen vibraciones y cavitaciones. El efecto de la succión sobre la bomba centrífuga está relacionado con la cabeza, la capacidad y la velocidad. La relación entre estos factores se expresa como un número llamado la velocidad específica.

Velocidad específica, Ns 

RPM GPM 3

H4 En donde H = cabeza por etapa en pies.

293

La velocidad específica de un impulsor es un índice. Se usa en el diseño de impulsores para lograr diferentes condiciones de cabeza, capacidad y velocidad. Los impulsores para dar altas cabezas tienen bajas velocidades específicas y los impulsores utilizados para bajas cabezas tienen altas velocidades específicas. La velocidad específica es un criterio valioso para determinar la máxima succión permisible, o la cabeza mínima en la succión requeridas para evitar la cavitación. Para una cabeza y capacidad dadas una bomba con baja velocidad de succión operará con seguridad con grandes requerimientos en la succión que otra con alta velocidad específica. Si la succión es alta (más de tres metros) es con frecuencia necesario usar menor velocidad y en consecuencia una bomba mayor, mientras que si la succión es baja o hay cabezas positivas en la succión, la velocidad puede aumentarse y se usarán bombas menores. Aumentar la velocidad si condiciones apropiadas de succión puede causar problemas de vibración y ruidos. Dos curvas de velocidades específicas (fig. 8 y Fig. 9) representan los límites superiores de velocidades específicas contra la capacidad, velocidad, cabeza y carga en la succión. Las bombas centrífugas, de flujo mixto y flujo axial se pueden seleccionar dentro de los límites mostrados en estas gráficas con una razonable seguridad de que no cavitarán. Las curvas muestran las velocidades específicas máximas recomendadas para las operaciones normales y están basadas en la premisa de que la bomba en las condiciones señaladas está operando cerca del punto de Eficiencia óptima. La columna en la succión o cabeza se mide desde el centro de la bomba. Las curvas se aplican a bombas con una sola etapa de doble succión y de succión simple. La primera curva Fig. 8 cubre las bombas centrífugas con velocidades específicas que van de 1500 a 6000 para bombas con doble succión y de 1100 a 4000 para bombas con succión simple. Este tipo de bombas encuentra su aplicación principalmente en el rango de cabezas medias y altas. La segunda gráfica Fig. .9 cubre a las bombas de succión simple, flujo mezclado y las de flujo tipo axial para velocidades específicas que van de 4000 a 20000. Estas bombas se emplean ventajosamente para bajas cabezas de bombeo.

294

Ejemplo 6. Una bomba con succión simple y con la flecha a través del ojo del impulsor. Si se tiene una cabeza de 100 pies y una columna de succión negativa de 15 pies ¿Cuál es el límite superior de velocidad específica requerido para evitar el peligro de cavitación? Si se utiliza la Fig.8 se encontrará que la velocidad específica límite es de 2250.

295

296

Ejemplo 7. Bomba con doble succión. Si se tiene una cabeza total de 100 pies y una succión de 15 pies, ¿Cuál es el límite seguro de la velocidad específica? Si se usa la curva de la figura 8 se encuentra que este límite es de 3200 este es el valor de RPM GPM Velocidad específica, Ns  3

H4 En la cual el volumen manejado o GPM, es la capacidad en galones por minuto de la bomba incluyen ambas succiones; y es el valor máximo que debe usarse para esta cabeza y carga en la succión. Ejemplo 8. Una bomba está diseñada para moverse a 600 RPM operando a la máxima eficiencia cuando manda 1135.5 m3/h con una cabeza de 20 m. Calcule la velocidad específica. 1.- Planteamiento. 1.1.- Velocidad específica.

2.- Cálculos. 2.1.- Velocidad específica.

3.- Resultado. La velocidad específica es de 130 Ejemplo 9. Una bomba con succión simple flujo mezclado o una bomba con flujo axial. Dado una cabeza de 35 pies y una succión de 10 pies, correspondiente a un impulsor sumergido, ¿Cuál es el límite seguro de la velocidad específica? En referencia a la curva de la figura 9 se encuentra que este límite es de 9400 sobre la escala en el lado izquierdo de la gráfica. Carga positiva neta de succión (Net positive suction head) NPSH. La carga positiva neta de succión NS, es el valor que debe tener la presión en la succión para evitar que el líquido se vaporice. La carga positiva neta de succión NPSH (por sus siglas en inglés) también puede definirse como la cabeza que causa que el líquido fluya a través de la tubería de succión y finalmente entre al ojo del impulsor. 297

Esta cabeza que causa el flujo se obtiene de la presión atmosférica o de la cabeza estática más la presión atmosférica. Una bomba que opera bajo una columna de succión negativa tiene sólo la presión atmosférica. Por ello el trabajo que puede hacerse es limitado, así que el NPSH se hace importante para que opere la bomba satisfactoriamente. Hay dos valores de NPSH que deben considerarse. NPSH requerido es una función del diseño de la bomba. Es diferente para cada fabricante de bombas y también varía con la velocidad y capacidad de una bomba dada. Este valor debe ser suministrado por el vendedor de la bomba. NS o NPSH disponible.

1 Z1

2

En donde es la presión de vapor del líquido a la temperatura de succión. NS requerido está dado por el fabricante

El NPSH disponible es función del sistema en el cual opera la bomba y se puede calcular para cada instalación. Cada bomba en un sistema para que opere satisfactoriamente debe tener un NPSH disponible igual o mayor que NPSH requerido. Cuando la fuente de líquido está sobre la bomba NPSH = presión barométrica en m ó ft + Cabeza estática en la succión en m ó ft – las pérdidas por fricción en la tubería de succión, en m ó ft – presión de vapor del líquido en m ó ft. Cuando la fuente del líquido está bajo la bomba; NPSH = Presión barométrica en m ó ft- La cabeza estática de succión en m ó ftpérdida por fricción en la tubería de succión en m ó ft – presión de vapor del líquido en m o ft Para ilustrar el uso de esas ecuaciones veremos los siguientes ejemplos:

298

Ejemplo 8. Los NPSH requeridos en una bomba de agua son de 17 ft. La temperatura del agua es de 85 ° F. la altura es de 1000 ft sobre el nivel del mar. Las pérdidas calculadas por fricción a la entrada y en la succión son de 2 ft- ¿cuál puede ser la máxima altura en la succión permisible? Para visualizar mejor la solución del problema observe la figura 10. Las dos líneas horizontales están espaciadas a una distancia igual a la altura barométrica en pies.

299

300

301

Ejemplo 9. Consideremos que tenemos los mismos datos excepto que la temperatura del agua es ahora de 190 ° F. ¿Cuál sería ahora la altura en la succión permitida? El agua a 190°C tiene una densidad relativa de 0.97. La presión de vapor es de 9.3 psi= 22.3 pies.

En este caso debido a que la suma de la presión de vapor+ NPSH requerido + las perdidas en la succión sobrepasan a la presión barométrica del lugar, se debe suministrar una cabeza positiva o una sumergencia para asegurar el flujo ininterrumpido de agua. EL NPSH se aplica a toda clase de bombas, ya sean centrífugas, de desplazamiento positivo, periféricas, etc. Posibles soluciones al problema de bajo NPSH: a) Diámetro insuficiente de la tubería de succión: Aumentarlo. b) Alta viscosidad del fluido manejado; Calentarlo 302

c) Diferencia de altura insuficiente entre el tanque o recipiente que contiene el líquido y la succión de la bomba (cuando la bomba está por debajo del recipiente): Incrementar la diferencia de altura; (cuando la bomba está por arriba del recipiente; pozos p.ej. : verificar que la tubería de succión esté llena de líquido, las bombas centrifugas no bombean gases y de ser necesario y posible disminuir la diferencia de altura entre el nivel del líquido y la succión de la bomba bajando la bomba para acercarla al nivel del líquido teniendo en cuenta que la altura máxima desde la que se puede succionar un líquido, es la correspondiente a la presión atmosférica del lugar, menos la presión de vapor del líquido, en el caso del agua fría de un pozo a nivel del mar la profundidad máxima debe ser menor a 10 m, si es cercana o mayor: usar el tipo de bombas que van sumergidas en el líquido). d.- Líquidos en equilibrio con su vapor (esferas o "salchichas") o a su temperatura de ebullición: la altura hidrostática deberá ser suficiente para compensar las pérdidas de presión en la línea de succión. e.-Cualquier combinación de las anteriores. Cavitación. La cavitación en un término usado para describir un fenómeno complejo que puede producirse en las instalaciones de bombeo. En una bomba centrífuga esto puede explicarse de la siguiente manera: Cuando un líquido fluye a través de la línea de succión y entra al ojo del impulsor de la bomba tiene lugar un aumento de velocidad. Este aumento de velocidad es acompañado por una reducción en la presión y si está cae por debajo de la presión de vapor del líquido correspondiente a la temperatura que este tiene, el líquido se vaporizará y en la corriente habrá líquido y burbujas de vapores. Continuando su camino por el impulsor, el líquido llega a una región de mayor presión y las burbujas de vapor colapsan. Es este colapso de las burbujas de vapor el que causa los ruidos en la cavitación. La cavitación no se presenta si la instalación está bien diseñada. La cavitación causa ruidos y bajas en la eficiencia y una cavitación severa además de ruidos puede destruir el impulsor de la bomba u otras partes de la misma. Todas las bombas pueden cavitar, así que se debe seleccionar con cuidado la bomba y las instalaciones. Para el caso de las bombas centrífugas se deben evitar tanto como sea posible las condiciones siguientes: 1.- Cabezas menores que las cabezas en la mayor eficiencia de la bomba. 2.- Capacidades mayores que las capacidades que se tienen a la mayor eficiencia de la bomba. 3.- Cargas negativas grandes en la succión o cargas positivas en la succión menores que las recomendadas por el fabricante. 4.- Temperaturas de los líquidos mayores que aquellas para las que fue diseñado el sistema. 5.- Velocidades mayores que las recomendadas por el fabricante.

303

Ejemplo 10. Se descarga benceno a una temperatura de 37°C por un sistema de tuberías a una velocidad de 60 galones por minuto. El tanque en que está contenido el benceno está a la presión atmosférica. La presión manométrica a la descarga de la bomba es de 50 psig. La presión de succión de la bomba es de 0.5 psig. El tanque está colocado a tres metros por arriba de la bomba. La tubería de descarga es de 1.5 pulgadas Cd. 40. La tubería de succión es de 2 pulgadas Cd. 40. Las pérdidas por fricción en la tubería de succión equivalen a 1 kgm /kg. La eficiencia de la bomba es del 60 %. La densidad relativa del benceno es de 0.863 y la presión de vapor del benceno a 37 ° C es de 3.8 psig. La presión atmosférica es de 586 mm de Hg. Calcule la cabeza o carga desarrollada por la bomba, la potencia de la bomba y el NS disponible.

1.- Cabeza.

Presión de descarga Pd = 50 psig= 343537 Pa Presión de succión = 0.5 psig = 3435.37 Pa Cabeza = H =

=

2.- Potencia. Masa de benceno = M = 40

= 2.177

3.- NS disponible.

304

La tubería de succión es de 2 “Cd. 40 DI = 0.0525 m Velocidad en esa línea. M = u X ρX A = 2.177= uX 0.785 X (0.0525)2(863) Por lo tanto u1= 1.164 m /s La tubería de descarga es de 1.5 “ Presión de vapor del benceno Po= 3.8 psig= 26108 Pa=2661 kg /m2 Presión atmosférica= 586 mm de Hg = 7938 kg/m2

=

=9.198

NS =9.198+3-1Leyes de afinidad de las bombas centrífugas. Una curva característica de las bombas puede verse en la figura 13 y 14. Se observa en ellas que se han graficado varias curvas de cabeza contra capacidad, así como varias curvas de eficiencia y Hp consumidos. En la Figura 13 el diámetro del impulsor se mantiene constante y la velocidad varia, mientras que en la figura 14, la velocidad se mantiene constante y el diámetro del impulsor varía.

305

306

Las relaciones matemáticas entre las variables se conocen como leyes de afinidad de las bombas y se expresan de la siguiente manera: Con diámetro de impulsores constantes

Con velocidades constantes

307

En donde: Q1= capacidad inicial, H1= cabeza inicial, N1= revoluciones por minuto iniciales; D1= diámetro inicial. Estas relaciones se muestran gráficamente en la figura 15.

308

Cuando las gráficas tales como la de las figuras 13 y 14 están disponibles, es posible usarlas para usar los puntos intermedios por interpolación, sin embargo, hay muchos problemas reales en los cuales no se tienen estos datos a la mano y entonces se pueden usar las leyes de afinidad. Ejemplo 10. La figura 17 es una parte de la figura 13, muestra la curva de comportamiento a 2000 RPM. Si queremos encontrar por cálculo el comportamiento a 1600 RPM aplicando la primera ley tendremos: Q1 N 1600  1 Por lo tanto Q1   1700  1360 GPM 2000 Q2 N 2 H 1  N1  H 2  N 2

2

  1600   , por lo tanto: H 1     180  115.2  2000   2

3

BHP1  N1   1600   , por lo tanto: BHP1       84  43BHP BHP2  N 2   200  Nota: la semejanza entre los datos calculados y los reportados. La semejanza es buena si la eficiencia de la bomba no cambia mucho. Si se grafican 1700 RPM a 180 ft, y la capacidad original y la cabeza a 200 rpm; y la capacidad final y cabeza, 1360 GPM a 115 ft a 1600 RPM en la gráfica de comportamiento dada en la figura 13 se notará que no hay cambio apreciable en la eficiencia. Este suele ser el caso general cuando se cambia el comportamiento cambiando la velocidad para las bombas que no han sido físicamente alteradas. Note que la forma general de las líneas de iso-eficiencia en la figura 13 son parabólicas. 3

309

Por lo tanto, la curva A-B de la figura 17 pasa a través de los dos puntos, uno a 2000 RPM y otros situado en la curva de las 1600RPM. La curva A-B es también parabólica y es aproximadamente paralela a las curvas de iso-eficiencias. El uso de las leyes de afinidad para calcular el comportamiento de las bombas cuando se cambia la velocidad, pero sin cambiar el diámetro del impulsor es una buena aproximación. Si se calculan varios puntos a lo largo de la curva conocida de comportamiento, una nueva curva de comportamiento puede generarse y la cual muestra el comportamiento aproximado a la nueva velocidad. Si tenemos una bomba a 1600 RPM y calculamos su comportamiento a 2000 RPM utilizando las leyes de la afinidad, el comportamiento calculado excede al comportamiento real tal y como se muestra en la figura 17 mediante una curva segmentada. La discrepancia es pequeña pero enfatiza el hecho de que el método es sólo una buena aproximación.

310

Ejemplo 11. La figura 20 ilustra el comportamiento real y el calculado de una bomba con baja velocidad específica. La figura 18, sin embargo muestra una mayor discrepancia entre las pruebas reales y los cálculos resultantes con una bomba a alta velocidad específica cuando se cambia el impulsor de una bomba. Cuando se cambia el diámetro de una bomba, las relaciones se cambian y en realidad resulta un nuevo diseño por lo que las leyes de la afinidad 2, no dan tan buen resultado como las leyes de la afinidad 1. Cuando las leyes de la afinidad se usan para calcular aumentos en las velocidades o en los diámetros, es importante considerar el efecto en la succión para evitar la cavitación.

311

Ejemplo 12. Una bomba centrífuga con un impulsor de 0.02 m tiene los siguientes datos de comportamiento cuando bombea agua a su máxima capacidad. N= 53.3 RPS , Ca= 0.012 m3/s ,H = 70 m; NS = 18 m ; P = 12 000W Evalúe los datos de comportamiento con una bomba homóloga con el doble de diámetro del impulsor, operando a la mitad de la velocidad. 1.- Planteamiento. 1.1.- Leyes de las bombas.

Por lo tanto: Ca2=4(0,012)=0.048 m3/s. =1 por lo tanto H2 =70 m

Por lo tanto 𝒫2=48 000 W 312

=

= 18 m

3.- Resultados. El comportamiento de la bomba análoga será: Ca = 0.048 m 3/s; H = 70 m; potencia = 48 000 W; NS = 18 m Operaciones en serie y en paralelo. Cuando se tienen a mano varias bombas puede ser más deseable instalar varias bombas pequeñas en paralelo en vez de usar una sola más grande. Cuando baja la demanda se pueden parar alguna de las bombas, haciendo que las demás operan cerca de la eficiencia pico, Cuando se tiene una sola bomba al bajar la demanda la salida debe cerrase y operará a una eficiencia menor. Además, cuando se usan varias bomba, se puede dar mantenimiento a alguna de ellas sin cerrar la producción, lo cual sería indispensable si se tuviera una sola. De manera similar se pueden usar varias bombas pequeñas en serie cuando se desea aumentar la cabeza. Al planear esas instalaciones se debe antes que nada dibujar la curva de cabeza contra capacidad. La cabeza requerida por el sistema es la suma de las cabezas estáticas (diferencia en alturas o su equivalente en presiones) más la cabeza variable (pérdidas de fricción). La primera es generalmente constante para un sistema dado, mientras que la última aumenta aproximadamente con el cuadrado de la velocidad, Las curvas resultantes se representan como la línea AB en las figuras 21 y 22.

Veamos a dos bombas operando en paralelo. La curva del sistema es la línea AB mostrada en la figura 21 la que comienza con una cabeza H cuando el flujo es 313

cero y aumenta parabólicamente con el flujo. La curva CD representa la curva característica de la bomba A operando sola., una curva similar es la EF de la bomba B. La bomba B no comenzará a mandar flujo hasta que la descarga de la bomba A llegue hasta el punto E. El flujo combinado es igual a la suma de las capacidades individuales de las dos bombas a la cabeza indicada. Para una cabeza la capacidad es dividida entre las bombas como se indica con Q A y QB. La curva característica de la combinación es el resultado de esos datos. La potencia combinada puede obtenerse añadiendo los caballos al freno de la bomba A correspondientes al flujo Qa más el correspondiente al flujo QB y graficando este caballaje contra el flujo combinado. La eficiencia del sistema puede determinarse mediante la ecuación siguiente: QB  Q A H Eff  3960( BHP a Q A  BHP a Q B ) Si dos bombas operan en serie, la cabeza combinada para cualquier flujo es igual a la suma de las cabezas individuales tal como se muestra en la figura 22. La curva del caballaje combinado puede obtenerse adicionando los HP dados por las curvas para las bombas individuales. La eficiencia combinada puede hallarse por medio de la siguiente ecuación: Q( H A  H B ) Eff  3960( BHP a H A  BHP a H B )

314

Ejemplo 13. En una fábrica se tienen dos bombas. Bomba B Caudal en m3/s 0 100 200 300 400

Cabeza en m 200 180 150 100 45

Bomba C Caudal en m3/s 0 100 200

Cabeza en m 155 130 105 315

300 400

72 22

¿Cuál sería el comportamiento del sistema si se acoplaran las bombas B y C en paralelo o en serie? 1.-Traducción.

2.1.- Sistema de bombas en serie Caudales CC = CB Cargas o cabezas. Htotal= HB + HC 2.2.- Sistema de bombas en paralelo. Caudal total CT=CB + CC Carga HB=HC 3.- Cálculos. 3.1. - Sistema en serie Caudal en m3/s 0 100 200 300 400 3.2. - Sistema en paralelo. Caudal en m3/s 0 100 0+183 200+20 100+240 200+ 290 215+300

Carga en m 355 310 255 172 67 Carga o cabeza H en m 200 180 155 150 130 105 100 316

350+300 354+400

72 45

4.- Resultado. Grafica de la bomba C sola.

Gráfica de la bomba B sola.

317

Grafica correspondiente al sistema en paralelo.

Grafica correspondiente al sistema en serie

Punto de operación de una bomba

318

El punto de operación real, entre la bomba y el sistema tendrá lugar en el punto en donde se interceptan la curva característica de la bomba (generalmente proporcionada por el fabricante) y la curva generada por el sistema de flujo. BEP.

Ejemplo 14. Se utiliza una bomba centrífuga para bombear agua a 20 ° C a través de un sistema que dispone de 15 m de tubo de 3 pulgadas Cd. 40 en la succión y 75 m de tubo de 2 pulgadas Cd. 40 a la descarga. Las válvulas están abiertas. Determine el caudal a que operará la bomba, la cabeza, la eficiencia y la potencia de la bomba. Datos del fabricante de la bomba. Caudal en m3/h Cabeza en m Eficiencia 0 40 0 3 36 13 5 35 25 10 33 38 15 30 42 17 25 40 20 20 35

319

1.- Planteamiento. Para resolver el problema debe colocarse la curva de la bomba junto con la del sistema. 1.1.- Ecuación del sistema. + En este caso Por lo tanto:

2.- Cálculos. 3.1.- Línea de succión Di = 7.366 cm; e/D = 0.006, A = 0.00425 m2. Longitud total = 15 + 1.6 (codo)+ válvula de compuerta (1.5)+ entrada (2.2) = 20.3 m. 3.2.- Línea de descarga DI = 5.25 cm, A = 0.00216 m2, e /d = 0.009. Longitud = 75+17.4 (válvula de globo9+4.2 (válvula de retención)+3 codos (3.3)+válvula de compuerta (0.4)+salida (0.7) = 101 m 3.3.- Energía potencial. =20-5=15 3.4.- Curva del sistema. Viscosidad 0 1 s, densidad = 1000 kg /m3

=H Si consideramos flujo turbulento entonces fD3= 0.016 y fD2=0.018 Entonces la ecuación del sistema queda:

320

Los datos que se obtienen a diferentes caudales son: Caudal en m3/h U3 en m/s U2 en m /s H 5 0.326 0.643 15.75 10 0.653 1.28 17.98 15 0.98 1.929 21.779 20 1.307 2.57 27.05 3.5.- Curvas Graficando la curva del sistema junto con la curva del fabricante se obtiene:

De la gráfica se obtiene que el caudal será de 17.5 m 3/h, la cabeza de25 m, la eficiencia de 39. La potencia hidráulica será: 25

=121.5

La potencia al freno será:

321

Algunos datos útiles La potencia estimada de una bomba se puede obtener por:

Una ecuación desarrollada Por GPS Engineering Data book para calcular la eficiencia de una bomba es:

En donde la eficiencia está en fracción, F es la cabeza desarrollada en pies y G es el flujo volumétrico en GPM. El rango de aplicación es de F de 50 a 300 ft y g de 100 a 1000 GPM. El NPSH se puede también calcular por: NPSH = presión de vapor en la entrada al impulsor/densidad por la constante de gravitación. Los rangos comunes van de 1.2 a 6.1 m, 4-20 ft de líquido.

Ejercicios de autoevaluación.

1.- Un tanque debe descargar 40 m3 de benceno en tres horas. El sistema de bombeo es el indicado más abajo. Se dispone de una bomba con las siguientes características: Caudal en m3/h Cabeza en m Eficiencia % 0 33 0 4.5 32 29 9 27 40 13.5 19 45 18 12.5 47 23 7 48 27 4 46.5 32 2 40 ¿Es suficiente la potencia de la bomba para el trabajo? ¿Cuánto se tardaría en hacer el trabajo? ¿Cuánto trabajo es necesario? La succión es de 3 pulgadas Cd. 40, hay diez metros de tubo y tres codos y una válvula de compuerta. La descarga es de 3 pulgadas Cd. 40 hay 35 m de tubo, 4 codos, una válvula de compuerta.

322

R.- La bomba sirve para el trabajo y descargará en 2 h, 10 minutos, se requiere una potencia de 1.5 HP. 2.- Se desea obtener la potencia requerida para bombear 150 L / min de agua con una cabeza de descarga de 60 m y una eficiencia del 60%. R.- La potencia necesaria es de 3.5 H.P. 3.- Una bomba centrífuga gira a 3450 RPM y proporciona un caudal de 36 m 3/h de agua, con una cabeza de 30 m y 5 H.P de potencia. Si la velocidad de giro desciende a 2300 RPM, determine los nuevos valores de capacidad, carga y potencia para la bomba. R.- El caudal nuevo es de 24 m3/h, la cabeza es de 13.4 m y la potencia de 1.5 H.P. 4.- Una bomba está diseñada para moverse a 600 RPM y operar a máxima eficiencia cuando manda 15 000 L /min de agua contra una carga de 20 m. Calcule la velocidad específica. R.- La velocidad específica es de 1623 si se hacen los cálculos en el sistema inglés y de 115.7 en el MKS. 5.- Una bomba centrífuga será utilizada para extraer agua de un condensador en el cual el vacío es de 63.5 cm de Hg. A la velocidad de descarga la NS debe ser de al menos 3 m. La presión de vapor es de 5 cm de Hg. Si las pérdidas en la succión son de 1.5 kgm /kg. ¿Cuál debe ser la menor altura posible del nivel del condensador sobre la entrada de la bomba? R.- El nivel del condensador debe estar a 3.5 m sobre la bomba.

323

Capítulo 12 Flujo de fluidos compresibles

Flujo de fluidos compresibles La teoría del flujo de fluidos compresibles y la derivación de las fórmulas básicas están en la mayoría de los textos relacionados con la termodinámica. 324

La fórmula general para el flujo de gas natural a través de tuberías se puede obtener por varios caminos; el método siguiente parece ser más directo: se considera un tramo de tubería entre dos secciones cualesquiera, que son normales a las paredes del tubo. El flujo entre esas dos secciones requiere cumplir dos condiciones específicas: 1. No se hace trabajo sobre el fluido por medios externos. 2. El flujo es permanente; o sea que el mismo peso de gas pasa por cada sección de la tubería durante un intervalo de tiempo. Los gases se miden usualmente en términos volumétricos, más que por peso; sin embargo, las relaciones de energía usadas en la obtención de la fórmula fundamental para el flujo de fluidos compresibles se presentan más fácilmente cuando se considera un peso dado de fluido. Posteriormente se introducen los factores de conversión de peso a volumen. Los gases y los vapores son fluidos compresibles, es decir, que bajo la influencia de la presión cambian apreciablemente su volumen. Por ello cuando un gas fluye por el interior de una tubería al cambiar la presión cambia la densidad y con ello la velocidad. Balance de materia Ecuación de la continuidad Para los gases M1 = M2 A1 u1 ρ1= A2 u2 2 Pero Si el área de flujo es contante entonces: = Balance de energía La ecuación general de Bernoulli es:

En donde se encuentran los términos de energía potencial, cinética, de presión, fricción y trabajo. En el caso de los gases y vapores (fluidos compresibles), el término de energía de presión debe evaluarse para cada caso, ya que el gas o el vapor pueden expandirse o comprimirse de forma isotérmica, adiabática o politrópica. Además durante su trayectoria la velocidad del fluido cambia y con ello la fricción y las pérdidas atribuibles a ella.

325

Flujo a presión constante y temperatura constante En el caso de que se tenga el flujo a presión constante o también en que las caídas de presión sean bajas se tiene que:

Esa ecuación es la que generalmente se aplica en los ductos de acondicionamiento de aire y cuando la diferencia de presiones entre la entrada y la salida ΔP<0.1 de P1. Este caso abarca el 95 por ciento de los casos prácticos en la industria. Ejemplo 1. Se desea mandar aire a 25 ° C y a la presión de 586 mm de Hg hasta una altura de 30 metros por medio de un ducto rectangular de 50 metros de longitud y de 15 por 10 cm, a la velocidad de 10 m /s. Si el ventilador tiene una eficiencia del 45 % ¿Cuál será la potencia necesaria? 1.- Ecuación. Para este caso:

Pero en el caso de acondicionamiento de aire , y entonces:

2.- Datos. Viscosidad del aire μ=0.019 s Densidad ρ= = En el caso de ducto no circulares se utiliza el concepto de diámetro equivalente: 326

En donde rH es el radio hidráulico.

En nuestro caso

lo tanto De =0.03 X 4 = 0.12 m

3.- Pérdidas por fricción

Para los tubos de aire acondicionado e/D =0; f D=0.02

4.- Bernoulli.

M=u (ρ) (A) = 10x0.91X0.015=0.1365 kg /s 𝒫H= 710.9 x 0.1365= 97.04 W =215 W =0.28 H.P. Para los casos restantes en los cuales ΔP>0.1 de P1, la suposición de densidad constante ya no es válida y por lo tanto se tiene que evaluar cuidadosamente el término de la presión. Para los casos en los que la variación de la presión es poca ΔP< 1 atmósfera. , se usa la densidad media. Y la ecuación del balance de energía quedaría como:

Ejemplo 2. A través de una línea horizontal de 3 pulgadas Cd.40 fluye nitrógeno a 25 ° c a razón de 0.15 kg/s. Las presiones a la entrada y a la salida de la línea son de 2 y 1.5 atm. ¿Cuáles son las pérdidas por fricción? ¿Cuál es la longitud de la línea? 1.- Ecuación empleada.

En nuestro caso ΔZ =0; -𝒫/M =0 por lo tanto

2.- Cálculos. 327

2.1.- Densidades. = =

3.2.- Velocidades DI = 0.07793 m; A = 4.7673 X 10-3 m2

3.3.- Energía cinética.

3.4.- Energía de presión.

3.5.- Pérdidas por fricción. 2583.25+18.307=3.6.- Longitud de la línea Viscosidad del nitrógeno μ=0.0175 s.

Reynolds La rugosidad relativa e/d es de 0.0006, el factor Darcy es f D=0.02

L = 803,8 m 4.- Las pérdidas por fricción son de 2601.5 kgm /kg y la longitud es de 803.8 m.

328

Ecuación general de flujo de fluidos para fluidos incompresibles Escribiendo la ecuación anterior para una tubería recta y horizontal y sin máquinas tendremos que: 1

2

(1) O también (2) El problema sigue siendo que para un fluido compresible u, ρ varían tanto con la presión como con la temperatura. Si el proceso fuera isotérmico (T = constante), entonces u, ρ serían sólo función de la presión. Es costumbre que para resolver los problemas de flujo de fluidos compresibles la ecuación anterior se ponga en forma diferencial.

+

(3)

Para evitar incluir la velocidad (u) y la densidad (ρ) se propone un término constante que las engloba, este término es la masa velocidad:

(4) En donde G/A es la masa velocidad (

) , u=0 velocidad (m/s), ρ= densidad =

kg/m3, V = volumen específico (m3/kg). Por lo tanto:

=

y por lo tanto

Colocando esto en la ecuación anterior: 329

Dividiendo por V2

Ahora bien, fD es función del Reynolds y por lo tanto de la velocidad. Si se define a un factor de fricción promedio como:

Entonces integrando (6)

La ecuación anterior (8) es la llamada ecuación general para los gases. Esa ecuación debe ajustarse para cada caso. FLUJO ISOTERMICO Este flujo se presenta en tuberías largas sin aislar en las que Q (calor) es diferente de cero.

(9) Sustituyendo en (8)

Pero

;

(11)

Sustituyendo en (10) (12) Pero como: =nRT=

(13) si m=1 (14)

También, si llamamos Vm al volumen específico medio.

Si colocamos (15) en (9) entonces:

330

(16) en (12) (17) Si la diferencia de presiones ΔP es baja, entonces:

(18) y por lo tanto:

Ejemplo 3. Calcule la caída de presión esperada cuando se transportan 100 m 3/min de metano (medido a condiciones normales) a través de una tubería de 5 pulgadas Cd. 80 y de 5000 m de longitud. El flujo es isotérmico a 25 ° C. 1.- Ecuación empleada.

2.- Datos. T = 25 ° C = 298 K DI = 0.1222 m; A = 0.01 m2 L = 5000 m Ca = 100 m3/min (a 15 ° C y 1 atm) Masa de metano =65.47 kg /min

2.1.- Pérdidas por fricción. Suponiendo un factor de Darcy a turbulencia plena f D= 0.016 Entonces:

2.2.- Ecuación de flujo isotérmico.

ln Suponiendo que:

ln

Entonces: =1.25 Si P1= 100 atm = 1033300 kg /m2 entonces P2 = 99.4 atm y por lo tanto ΔP=0.6 atm 331

4.- Resultado.- La caída de presión es aproximadamente de 0.6 atm. Ecuaciones simplificadas de flujo isotérmico. A partir de la ecuación (12)

Si despreciamos el término de energía cinética tendremos: (20) Y de allí se obtiene que: (21) O también:

=

(22)

A partir de esta ecuación se han obtenido muchas ecuaciones empíricas entre las que se encuentran las que se presentan en el siguiente apartado. A continuación se presentan algunas simplificaciones útiles para aplicar la ecuación de transporte de gases en situaciones particulares: Ecuación de Weymouth para gases a alta presión

En la fórmula anterior, conocida como de Weymouth, se da el caudal Ca, en y a 1 atm y 15 ° C de gases a altas presiones que circulan por una tubería. En esa fórmula el D está dado en pulgadas, la presión en atm, la longitud (L) en metros, la temperatura (T) en ° K y la densidad relativa (ρr) = Ecuación de Spitzglass para gases a bajas presiones

En donde ΔP es la caída de presión en mm de agua. Ca, en

y a 1 atm y 15 ° C

de gases a altas presiones que circulan por una tubería .En esa fórmula el D está dado en pulgadas, la longitud (L) en metros, y la densidad relativa (ρr) = Otra fórmula que se usa para cuando circula gas natural es la de Panhandle:

332

.

En la fórmula se usan las mismas unidades que para la fórmula de Weymouth. Ejemplo 4. A través de una tubería de 40 pulgadas de diámetro interno se bombea gas natural (metano) a una distancia de 100 km y con un gasto de 2 kg mol/s de metano. Puede suponerse que la línea es isotérmica a 15 ° C.La presión de descarga es de 1 atm absoluta. Calcule la presión de entrada a la línea. 1.- Ecuación de Panhandle.

2.- Presión de entrada con Panhandle. Caudal

=47.26 =5.067 atm= 5.235

3.- Resultado. La presión de entrada es de 5.235 kg /cm2. FLUJO ADIABATICO. Este flujo se presenta en tuberías muy bien aisladas por lo que Q (calor) =0 A partir de la ecuación (8):

Para flujo adiabático (20) en donde k es igual a:

siendo la capacidad

calorífica a presión constante del gas y Cv la capacidad calorífica del gas a volumen constante. Por lo tanto

(21)

Por lo tanto: (22)

(23)

Dividiendo y multiplicando por

333

(24) lo que queda como:

(25) Sustituyendo (25) en (8) nos da: (28) Ejemplo 5. Calcule el gasto de vapor de agua en el siguiente sistema si se abren totalmente todas las válvulas de globo indicadas.

1.- Planteamiento. 1.1.- Ecuación de flujo adiabático.

2.- Cálculos. 2.1.- Longitud equivalente L tubo = 20.5 m,+14 codos (8.4) + 4 válvulas de globo (26.8)+1 contracción (0.3 m)+ 1 expansión (0.6m) = 56.7 m 2.2.- Factor de fricción D=0.02092 m, A = 3.435 x 10-4 m2; e /D = 0.003; fD = 0.027 (a plena turbulencia) , densidad del vapor = 3.2 kg / m 3, k = 1.3 2.3 Flujo de vapor 334

= 3.729 Por lo tanto uniendo los diferentes términos tenemos que:

Resolviendo se tiene que

3.- Resultado.- El flujo de vapor es de 0.0571 kg /s. FLUJO POLITROPICO. Para flujo politrópico: (29) En donde n es el coeficiente politrópico que debe ser evaluado experimentalmente. En el caso de gases que se aparten apreciablemente del comportamiento ideal, tal y como sucede cuando se trabaja con presiones elevadas superiores a 7 atm y temperaturas por debajo del cero centígrado, deberá aplicarse alguna ecuación de estado para predecir el comportamiento de la densidad con la presión y la temperatura. Entre las ecuaciones más sencillas está la de Van der Waals, aunque en la actualidad se prefieren otras ecuaciones de estado más precisas, aunque más complicadas, cuya solución solo puede efectuarse mediante métodos computacionales. Otra ayuda para la solución de flujo de gases reales son los gráficos de P contra H o de P contra V. En esos gráficos se pueden seguir las trayectorias del gas y los cambios de presión, temperatura y entalpia del mismo con lo que puede evaluarse la parte de la ecuación de Bernoulli dada por:

Ejemplo 6. Se hace circular n-pentano a través de una conducción horizontal de acero de 1 pulgada Cd. 80 y de 400 m de longitud. La presión absoluta a la entrada es de 50 atm, mientras que a la salida es de 40 atm. Calcule el flujo de pentano que circula, suponiendo flujo isotérmico a 205 ° C. Suponga comportamiento real y utilice el diagrama P-H que se anexa. 335

1.- Planteamiento. 1.1.- Discusión. Como la presión de trabajo es elevada no puede considerarse que el gas se comporte como ideal; entonces será necesario aplicar la ecuación siguiente:

3.- Cálculos. 3.1.- Factor de fricción DI = 0.02431 m; e/D = 0.018 Suponiendo alta turbulencia fD = 0.024. 3.2 – Integración del término

336

Este término se puede obtener a partir del diagrama P-H. Patm 40 42 44 46 48 50

P 413329 433986 454652 475318 495984 516660

Integración

P psia 588 617.4 646.8 676.2 705.6 735

V

x103

V

V

0.059 0.055 0.052 0.0495 0.048 0.047

3.68 3.432 3.244 3.088 2.995 2.932

x103media

20666 20666 20666 20666 20666

3.556 3.3385 3.166 3.0415 2.9635

5811586 6191132 6527479 6794673 6973511

= 32298381

3.3.- Bernoulli Sustituyendo en la ecuación se tiene que: 32298381= De donde: =1266 kg /s m2 4.- Resultado.- El gasto másico es de 0.5873 kg /s Ecuaciones empíricas. Aparte de las ecuaciones antes presentadas, es muy común en la industria el uso de las ecuaciones empíricas. Ecuación de Müeller

La ecuación anterior puede simplificarse para tres diferentes rangos de presiones, así:

Para p<7000mb: Z=1 337

Para p>70mb:

Conocida como ecuación de Müeller para presión media. Donde: Q: m3/h p: bar L: m D: mm 1 bar=1.0 kgf/cm2 Para p<70mb:

Conocida como ecuación de Müeller para presión baja. Donde: Q: m3/h (estándar) h:  p en mb L: m D: mm 15.5ºC – 760mmHg Ecuación de Renouard El diámetro de una tubería para conducción de gas se escoge en función de la densidad del gas, la caída de presión isible y la velocidad de circulación de 338

gas. La presión del gas en el interior de una tubería por la que circula va disminuyendo por efecto de la fricción con las paredes. Para el cálculo de la pérdida de carga se emplean las llamadas fórmulas de Renouard que permiten hallar la caída de presión entre dos puntos en término de la densidad, el diámetro de la tubería, el causal y la longitud de la misma. Para presiones medias (0.05 bar < P < 5 bar) la fórmula de Renouard correspondiente es:

Donde: es la densidad corregida del gas (propano dc = 1,16, butano dc = 1,44). es la longitud de un tramo recto de conducción en [m]. Q es el caudal en [m3/h]. es el diámetro interior en [mm]. Para bajas presiones (P < 0.05 bar) la expresión usada es:

Ecuación de Unwin Una fórmula empírica para el transporte de vapor de agua saturado es la de Unwin:

En donde

es la caída de presión en 100 m de tubo dada en atm.

G es el gasto másico de vapor en kg /h, D es el diámetro de la tubería en pulgadas y ρ es la densidad del vapor en kg /m3. Ecuación de Fritzche Si el vapor estuviera sobrecalentado entonces una fórmula aplicable sería la de Fritzche:

= Se emplean las mismas unidades que en la ecuación de Unwin. Ejemplo 7. Encuentre la caída de presión en una tubería de 12 pulgadas Cd.40 por la que fluye vapor a razón de 15 kg /s y el vapor está a 15 kg /cm 2 y con 100 ° C de sobrecalentamiento. 1.- Ecuación a utilizarse. 1.1.- Ecuación de Fiitzche. 339

= 2.- Cálculos. 2.1.- Densidad. A la presión de 15 kg / cm2 absolutos, la temperatura de saturación es de 197 ° C, por lo tanto la temperatura del vapor sobrecalentado es de 297 ° C; la densidad es de 5.5 kg /m3. 2.2.- Caída de presión. Di = 11.938 pulgadas.

3.- Resultado. La caída de presión en cien metros es de presión es de 0.04545 atm

Flujo y velocidad máxima de gases en una tubería Si el gas fluye por una tubería en flujo isotérmico, el flujo máximo que pasa por la tubería está dado por: (30) Para flujo isotérmico la ecuación de flujo es: (14) Si en esa ecuación se desprecia las pérdidas por fricción entonces: (31) Si derivamos la ecuación (31) con respecto a P2 (presión final) y manteniendo a P1 (presión inicial) constante tendremos que:

340

(32)

=0 Si

(33)

entonces:

(34) Y por lo tanto: (35) Y entonces: (36) Pero:

=

(37) y entonces:

(38) En las tuberías se ha encontrado que la velocidad máxima posible es la del sonido y esa velocidad corresponde a la presión mínima que el gas puede adquirir. Por abajo de esa presión la velocidad ya no cambia. De la ecuación (14) Si

entonces P2 es el mínimo y por lo tanto:

+

(39)

Pero como:

Entonces:

+ Dividiendo entre L =0 (41)

341

(40)

Esta ecuación nos da la presión a la cual se logra el flujo máximo. Ejemplo 8. Por una tubería de acero de 3 pulgadas circula nitrógeno a 17 ° C. La presión de entrada del nitrógeno a la línea es de 50 atmosferas y la longitud equivalente de la tubería es de 300 m. Determine la presión de salida correspondiente al flujo máximo y el valor de este. 1.- Ecuación de diseño. L =0 2.- Datos. Di = 0.07366; L = 300 m; a flujo turbulento muy desarrollado (flujo tapón) con e/D = 0.0005, fd =0.017; P de entrada = 50 atm =5.05X 106 pascales. 3.- Presión mínima. =0 Si el primer término se hace despreciable entonces:

De donde Colocando este valor en la ecuación grande tendremos que:

Entonces:

4.- Flujo máximo.

Por lo tanto G/A = 2000 kg /m2 s 5.- Resultado. La presión final es de 5.8 atmósferas y el flujo máximo es de 2000 kg /s m2 Descarga adiabática de gases. A partir de la ecuación para flujo adiabático de gases: (28) El flujo máximo está dado por:

342

(30) Si en la ecuación (28) se suprime la fricción nos queda: (42) Derivando con respecto a P2:

(43) (44)

Si

entonces:

(45) De donde:

=

(46)

Para procesos adiabáticos (47) o también

=

Por lo tanto: (48) Y entonces: (49) Siendo la velocidad máxima igual a: (50) Pero de la ecuación de los gases: (51) 343

Entonces: (52) La velocidad del sonido en el aire es:

=

(53)

Se ha definido un número llamado de Mach como: (54) Si u = u máxima entonces:

=

la k para el aire es de 1.3

En las tuberías la velocidad máxima es cercana a la del sonido y corresponde a una presión mínima. Por debajo de esa presión la velocidad no cambia. Cuando un fluido compresible se descarga desde una tubería corta de sección uniforme a un área mayor, el flujo es adiabático y el flujo máximo puede obtenerse por ecuaciones empíricas que dan la presión mínima y el flujo máximo. Ecuaciones empíricas. Una de esas ecuaciones es: (55) En donde G está dado en kg/s, ΔP está en atmosferas, D en pulgadas, Y es un coeficiente de expansión que se obtiene a través de gráficos empíricos. (56)

344

345

Ejemplo 9. 346

Se desea calcular la cantidad de aire que se descargará a la atmósfera si se abre una línea de acero de 10 m de longitud y dos pulgadas de diámetro Cd. 40 la cual contiene tres codos de 90 ° estándar. La línea conecta a un recipiente que contiene aire a 10 atmosferas absolutas y que está a 15 ° C. 1.- Traducción.

2.- Planteamiento. 2.1.- Discusión La descarga a la atmósfera a través de tuberías cortas puede considerarse como adiabática y se puede calcular por la siguiente fórmula: ( 3.- Cálculos. 3.1.- Longitudes equivalentes. DI = 0.0525 m L= 10 m de tubo+entrada (0.7 m)+3 codos (4.2)+salida (1.5) =26.4 m Rugosidad relativa de la línea e/D =0.0008, fD= 0.018 para Reynolds grandes. Por lo tanto 3.2.- Factor Y De las graficas anteriores se obtiene que k = 1.4; Para ese valor y K = 9.05 se alcanza la velocidad sónica a un

de 0.774 y una Y

= 0.69 Por lo tanto si el

3.3.- Flujo.

4.- Resultado. El flujo es de 2.37 kg /s y se alcanza la velocidad sónica. Ventiladores y compresores. 347

Las máquinas para mover gases y vapores a través de quipos y ductos reciben el nombre de ventiladores, sopladores o compresores, dependiendo de la presión con que se trabaje. Para altas presiones la práctica más común es usar compresores reciprocantes, aunque cada vez son más usuales los compresores centrífugos de etapas múltiples, por ser más pequeños y baratos. Hay dos tipos de compresores: los centrífugos y los de desplazamiento positivo, perteneciendo a estos últimos los rotatorios y los reciprocantes. Los compresores centrífugos manejan grandes volúmenes y trabajan en forma continua manejando presiones de salida hasta de 55 atm. Pueden ser de una o de varias etapas. Los compresores reciprocantes son aquellos en los que el elemento compresor es un émbolo que sigue un movimiento alternativo dentro de un cilindro. Manejan altas relaciones de compresión. Los compresores rotatorios son máquinas en las cuales dos o más lóbulos acoplados giran dentro de un cilindro, empujando al gas. Ventiladores Los ventiladores son máquinas en los cuales la velocidad y la presión son dadas al gas o al aire por un impulsor giratorio. Estos aparatos manejan grandes volúmenes teniendo presiones de descarga entre 0.01 y 0.15 atm, pueden ser centrífugos o axiales. Un ventilador es esencialmente una bomba de gas; la diferencia es que los líquidos son poco compresibles y los gases muy compresibles. .Los ventiladores manejan gases cuya densidad no varía considerablemente, ya que aplican un incremento de presión menor a 0.1 atm. Los ventiladores son máquinas centrífugas que manejan grandes cantidades de aire o gas para los aires acondicionados, los secadores, hornos, quemadores, arrastre de materiales o eliminadores de humo. Trabajo y potencia de un ventilador Si se hace un Bernoulli entre los puntos 1 y 2 de la figura siguiente se tiene que:

348

349

En donde: 350

𝒫 = potencia; ρ = densidad; T = temperatura absoluta; PB= presión barométrica; P = presión; D = diámetro; Ca= caudal; N = revoluciones. Ejemplo 10. ¿Cuál es la potencia del ventilador requerida en el sistema mostrado, si la eficiencia del ventilador es del 65%?

1. Planteamiento. 1.1.- Discusión. El problema se puede resolver haciendo un Bernoulli y calculando las caídas de presión mediante la ecuación de Darcy o mediante alguna correlación empírica como la de Spitzglass. 1.2.- Bernoulli.

En este caso, como PA = PB:

3.- Cálculos. 3.1.- Número de Reynolds. Viscosidad del aire μ=0.0175 s, densidad del aire ρ=1.2279 kg / m 3 Diámetro interno de la tubería DI = 0.0525 m Velocidad del aire en la línea:

G=0.119379 kg /s

3.2.- Pérdidas por fricción. Rugosidad relativa e/D = 0.005; fD =0.0305

3.3.- Bernoulli. Despreciando el término de energía cinética.

351

3.4.- Potencia.

3.5.- Potencia usando Spitzglass.

Presión en el punto 1

=

Bernoulli

Por lo tanto la potencia será de 15.22 H.P. 4.- Resultado.- Se requiere una potencia de 15 H.P Ejemplo 11. ¿Cuál será la potencia de descarga del ventilador requerido en el sistema siguiente?

352

1.- Planteamiento. 1.1.- Discusión. El problema se puede resolver haciendo los Bernoullis correspondientes y calculando las caídas de presión y caudales por métodos simplificados como por ejemplo el de Spitzglass.

En donde ΔP es la caída de presión en mm de agua. Ca, en

y a 1 atm y 15 ° C

de gases a altas presiones que circulan por una tubería .En esa fórmula el D está dado en pulgadas, la longitud (L) en metros, y la densidad relativa (ρr) = 2.- Cálculos. 2.1.- Sección A-B Caudal = 350 m3/h ; DI =0.07793 m = 3.068 pulgadas, Densidad del aire . ;

Si

y si

es despreciable entonces:

2.2.- Sección CB D= 0.0158 m = 0.622 pulgadas. 353

.

=7.73 2.3.- Sección BD Caudal total = 350+7.73= 357.73 m3/h D= 0.10226 m = 4.025 pulgadas.

PD= 21821+302.47= 22123.47 kg /m2 = 2.21 kg /cm2. 3.- Resultado.- La presión de descarga del ventilador es de 2.21 kg /cm 2. Sopladores y compresores. Los sopladores son máquinas centrífugas de una sola etapa que pueden manejar grandes volúmenes de gas a presiones entre 0.4 y 1 atm. Los sopladores tienen aplicaciones en el enfriamiento y secado, para proporcionar aire a los hornos y quemadores, para transportar sólidos, para mover gases y comprimirlos. El principio de un soplador es el mismo que el de una bomba centrífuga, la diferencia es que se manejan gases que son compresibles. Los compresores trabajan hasta 3500 revoluciones por minuto. Cuando se requieren presiones mayores a 1 atm se usan compresores centrífugos de etapas múltiples, que reciben el nombre de turbocompresores. En los reactores, el aire para instrumentos, los gasoductos, etc. Se necesitan altas presiones para vencer la resistencia al flujo a través de las conducciones, los lechos empacados y los equipos. Por lo tanto, las máquinas para ese tipo de servicios se calculan como compresores. El trabajo de compresión de un gas varía de acuerdo a cómo se lleva a cabo el proceso, ya que este puede ser isotérmico, adiabático o politrópico. El trabajo de compresión estará dado por:

Si el trabajo es isotérmico; Pv = constante = RT para una mol y entonces:

Si el trabajo es adiabático entonces:

Si el trabajo se lleva a cabo en varias etapas entonces

354

En donde Ne es el número de etapas, lo cual está dado por:

También X es la relación de compresión que no excede a 4 Para una compresión politrópica:

En donde n es el índice politrópico. El trabajo de compresión también puede hallarse mediante los diagramas de presión contra entalpía. De manera que: En donde H2 y H1 son las entalpias iniciales y finales que se obtienen de los diagramas, de manera que:

Ejemplo 12. Se tiene una línea de gas natural con estaciones de compresión cada 150 km. La presión de salida del compresor es de 30 atm y la relación de compresión es de 1.5.¿Cuál es la capacidad de una línea de 24 pulgadas de diámetro exterior y ¼ de pulgada de grueso de pared?¿Cuál será la potencia necesaria del compresor, si la compresión es isoentrópica y si o los compresores tienen una eficiencia del 50%?Si él gas llega a la estación de compresión a 20 °C, ¿a qué temperatura saldrá del compresor?¿Cuál es el para este caso?¿Qué cantidad de calor se debería quitar en el compresor para que los gases salieran a 30 Atm y 20 ° C? Nota: El gas natural puede considerarse como esencialmente metano. 1.- Traducción.

355

2.- Planteamiento. La capacidad de la línea se puede obtener fácilmente mediante una ecuación como la de Panhandle. El proceso de compresión se puede seguir en un diagrama P-H. 2.1.- Ecuación de diseño.

En la fórmula anterior, conocida como de Panhandle, se da el caudal Ca, en y a 1 atm y 15 ° C .En esa fórmula el D está dado en pulgadas, la presión en atm, la longitud (L) en metros. 3.- Cálculos. 3.1.- Capacidad en la línea. Relación de compresión por lo tanto la presión P2 es de 20 atm. D = 23.5 pulgadas, L = 150 000 m =172 178. 5 m3/h medido a 1 atm y 15 ° C. =0.6659 Masa del metano M =172 178.5 X 0.6659 =114661.4 kg /h 2.2.-Condiciones del metano a la entrada del compresor. T= 20 °C, P= 20 atm, Densidad

; volumen específico = 0.075

Masa de metano =114661.4 kg /h=31.85 Kg/s=2 kg mol /s 2.3.- Trabajo de compresión.

K=1.3 356

=

Potencia 𝒫=

=2 055 626 W

Potencia al freno 𝒫B = 2.4.- Temperatura de salida del compresor.

T2 =321 K= 48 ° C 2.5 Caída de presión en 100 m.

2.6.- Calor Calor Q = M ΔT Capacidad calorífica del metano gaseoso a la temperatura media Tmedia= (20+48)/2 =34 ° C = 0.53 Calor Q =114661.4 kg /h X 0.53 X (48-20) =1701569 kcal /h 3.- Resultados. La capacidad de la línea es de 172 178. 5 m3/h medido a 1 atm y 15 ° C. El calor que se debe retirar es de 1701569 kcal /h La caída de presión en 100 m es de La temperatura de salida del compresor es de 48 ° C. La potencia del compresor es de

Ejercicios sugeridos de auto evaluación 1.-Un ventilador que opera a 850 rpm tiene las siguientes características: Ca= 7 m3/presión estática =0.0762 m de agua y potencia 7 HP. Si se varía la velocidad a 1150 RPM, encuentre el caudal, la presión y la potencia nueva. R.- El nuevo caudal es de 9.47 m3/s, la presión estática es de 0.139 m de agua y la potencia de 17.33 HP. 2.- Una serie de compresores de una sola etapa tienen que comprimir 7.56 X 10 3 kg mol /min de metano gaseoso que está a 25° C y 138 kilo pascales (absolutos) hasta 550 kilo pascales absolutos. Calcule la potencia requerida si la compresión es adiabática, la eficiencia del 80 % ¿Cuál será la temperatura de salida del metano? R.- La potencia requerida es de 7.75 x 105 H.P. La temperatura de salida es de 124.6 ° C. 357

3.- Determine el trabajo que desarrollará un ventilador que suministra nitrógeno con una densidad de 1.2 kg /m 3 desde un depósito a una instalación. En el depósito la presión manométrica es de 60 mm de agua y en la instalación de 74 mm. Las pérdidas en la línea de succión son de 19 mm de agua y en la descarga de 35 mm. La velocidad del gas a la descarga es de 11.2 m /s. R.- El trabajo desarrollado es de 63 kgm /kg. 4.-Por una tubería de acero de 3 pulgadas circula nitrógeno a 17 ° C. La presión de entrada del nitrógeno en la tubería es de 50 atm y su longitud equivalente es de 300m. Determine la presión de salida correspondiente al flujo máximo y el valor de este. R.- La presión crítica es de 6.05 atm. El flujo máximo es de 2165 kg /m 2s. 5.-Se hace circular propano a través de una línea horizontal de acero de 0.0265 m de diámetro interno y 300 m de longitud. La presión absoluta a la entrada es de 54.25 atm, mientras que a la salida es de 40 at. Calcule el gasto másico de propano que circula, suponiendo un flujo isotérmico a 104 °C. R.- El gasto másico es de 0.88 kg /s.

358

Capítulo 13

Fluidos no newtonianos.

359

Fluidos no newtonianos. Muchos líquidos y mezclas de líquidos y sólidos no obedecen a la ley de Newton a esos fluidos se les llama no- newtonianos.

Figura.- Diferentes fluidos y su clasificación. La ley de Newton establece que:

En donde μ es la viscosidad absoluta; es el esfuerzo cortante en la pared y es la velocidad de corte. En un fluido que sigue la ley de Newton se observa que: 

- du / dy Es decir que la viscosidad es constante a cualquier velocidad.

Todos los gases y un buen número de fluidos siguen la ley de Newton. Existen sin 360

embargo, muchos fluidos que no siguen ese comportamiento. Entre los fluidos no newtonianos que con más frecuencia se encuentran en la industria alimentaria están: Fluidos Bingha. Son aquellos que necesitan de un cierto esfuerzo para comenzar a fluir. Como ejemplo tenemos muchas de las pastas. Margarina, mezclas de chocolates, grasas, jabones, etc.



0

- du / dy Figura 1.- Reograma de un fluido Bingham Como se ve estos fluidos presentan la característica de que para que fluyan se necesita aplicar un esfuerzo inicial sobre el material, llamado esfuerzo de cedencia, τ0. La ecuación que representa el comportamiento de estos fluidos es: du  0  dr Fluidos seudoplásticos. Son aquellos en lo que la viscosidad decrece al aumentar la velocidad de corte. Como ejemplos tenemos las soluciones poliméricas de alto peso molecular, la pulpa de papel, la mayonesa, las pinturas y gran número de fluidos que se procesan en la industria alimentaria. La mayoría de los fluidos relacionados con la industria alimentaria presentan este comportamiento, ya sea simple o ligado con el Bingham. La forma en que se comportan estos fluidos puede representarse mediante la ecuación siguiente, llamada ecuación de las potencias.

361

 du    dr 

  a 

 du  a  K   dr  n 1

n 1

Siendo μa la viscosidad aparente n el índice de comportamiento del fluido K el índice de consistencia. El comportamiento de estos fluidos en un reograma se observaría de la siguiente forma:

τ

μa



du dr

Figura 2.- Reograma de un fluido pseudoplástico. Fluidos dilatantes. En ellos la viscosidad aumenta al aumentar el gradiente de velocidad

τ

μa



du dr

Figura 3.- Reograma de un fluido dilatante

362

 du    dr 

  a 

 du  a  K   dr  n 1

n 1

A estos fluidos se les puede aplicar la ley de las potencias, pero en ellos n es siempre mayor de 1. La mayoría de los fluidos no-newtonianos que se encuentran en la industria alimentaria son pseudoplásticos. Fluidos Herschel-Bulkley. Estos fluidos son una mezcla de los fluidos Bingham y los pseudoplásticos. Es decir requieren de un esfuerzo para comenzar a fluir, pero una vez que lo hacen su comportamiento se asemeja más a l de un fluido pseudoplático.

El modelo de Herschel-Bullkley contiene tres parámetros empíricos; m, n y , que se obtienen ajustando los datos experimentales que definen el reograma de la 363

sustancia. Fluidos Casson. El modelo de Casson es del tipo semiempírico, aunque su fundamento es teórico su extensión y aplicación se han empleado diversos tipos de suspensiones. La ecuación de Casson es del tipo visco plástico, es decir, tiene un esfuerzo límite τ C y presenta la forma matemática siguiente:

La ecuación anterior tiene dos parámetros constantes, cuyos valores se obtienen de forma experimental. Este modelo se usa para describir el comportamiento del alimentos y materiales biológicos tales como: la sangre, el yogurt, el puré de tomate, el chocolate fundido, etc. así como el comportamiento de algunas suspensiones y líquidos de formas farmacéuticas. Fluidos dependientes del tiempo. También dentro de los no-newtonianos tenemos los fluidos reopécticos y los tixotrópicos, que a diferencia de los demás, su comportamiento depende del esfuerzo cortante aplicado con el tiempo.

Tixotrópico 

du dr

Reopéctico

Tiempo Figura 4.- Reograma de fluidos reopécticos y tixotrópicos. Los fluidos reopécticos muestran un incremento de la viscosidad aparente respecto al tiempo. Son ejemplo de ello algunos coloides, soles, arcillas, bentonitas y suspensiones de yeso. Los fluidos tixotrópicos muestran una disminución de la viscosidad aparente con el tiempo, como ejemplo tenemos a las pinturas y la salsa cátsup. En la práctica se encuentran combinaciones de varios comportamientos.

364

Viscosímetros. La viscosidad de los fluidos no newtonianos no se encuentra reportada en la literatura por lo que debe obtenerse experimentalmente mediante el empleo de aparatos llamados viscosímetros. Entre los más empleados están:

Figura 5.- Viscosímetro Brookfield.

365

Figura 6.- Reómetro de Stormer. Viscosímetro rotacional Brookfield. Los viscosímetros rotacionales son útiles en un amplio intervalo de viscosidades y particularmente son valiosos para el estudio de sistemas no newtonianos. Normalmente se emplean en el campo superior a los 50 poises. .Los viscosímetros de rotación emplean la idea de que la fuerza requerida para rotar un objeto inmerso en un fluido puede indicar la viscosidad del fluido. El más común de los viscosímetros de rotación son los del tipo Brookfield que determina la fuerza requerida para rotar un disco o cilindro en un fluido a una velocidad conocida. El viscosímetro rotacional está compuesto de: cilindro giratorio, cilindro estacionario (bob), resorte de restitución, dial de lectura directa, un sistema de engranaje y perillas para el cambio de velocidades y un vaso contenedor de muestra de fluido. Son instrumentos de medición y control de viscosidad, indispensables en el control de calidad de innumerables productos. Todos se suministran con certificado de fábrica, juego de agujas, instructivo, estuche y soporte. Todos los viscosímetros Brookfield utilizan el conocido principio de la viscosimetria rotacional; miden la viscosidad captando el par de torsión necesario para hacer girar a velocidad constante un husillo inmerso en la muestra de fluido. El par de torsión es proporcional a la resistencia viscosa sobre el eje sumergido, y en consecuencia, a la viscosidad del fluido. 366

Si el cilindro interior rota dentro del líquido a ciertas revoluciones por minuto (RPM) a este movimiento se opone una fuerza que actúa sobre las paredes del cilindro.

Y el esfuerzo cortante sobre el cilindro es: = El esfuerzo cortante o flujo de momentum está relacionado con la viscosidad por:

Caídas de presión a régimen laminar par fluido Bingham. El modelo de fluido Bingham puedes ser representado en términos de esfuerzos cortantes (τ) contra velocidad cortante. (

La viscosidad absoluta se aproxima a la viscosidad aparente conforme se va incrementando la velocidad de corte., de manera que un fluido Bigham se comporta como un fluido newtoniano a altas velocidades. Las pérdidas por fricción que causa el paso de estos fluidos por el interior de tuberías se puede calcular por: =2

L

Para encontrar el factor de fricción Bingham a régimen laminar se puede usar la expresión:

En donde Re es el número de Reynolds, NHe es el número de Hedstrom. El factor de fricción de Bingham para flujo laminar fBL está implícito y debe resolverse por iteraciones, pero como el último término de la ecuación es normalmente pequeño, el valor de fBL obtenido por omisión de este término es un buen punto para empezar la solución iterativa.

Y ReB= 4 Ca ρ/πDμa

367

Problema 1. Un fluido Bingham fluye a razón de 0.00158 m 3/s por un ducto de 0.0348 m de diámetro interno. El fluido tiene una densidad de 1250 kg/m 3 y un τo = 157, una viscosidad aparente de 0.05 P-s. ¿Cuál será la caída de presión por metro de tubo? 1.- Planteamiento. 1.1.- Caída de presión. =2

L

En donde:

ReB= 4 Ca ρ/πDμa 2.- Cálculos. 2.1.- Velocidad.

2.2.- Número de Reynolds.

2.3.- Número de Hedstrom. = 2.4.- factor de fricción Despreciando el último término.

Colocando este valor en la ecuación: = 2.5.- Pérdidas por fricción. =2

L=

368

2.6.- Caída de presión.

3.- Resultado. Se espera una caída de presión de 0.25 kg / cm 2 por cada metro de tubo. Caídas de presión a régimen turbulento para fluidos Bingham. Las caídas de presión a régimen turbulento para los fluidos Bingham se calculan por medio de la ecuación:

En donde fB = es el factor de fricción de Bingham que se calcula por medio de: Siendo m =1.7+40 000/ Y ReB= 4 Ca ρ/πDμa En donde fBT es el factor de Bingham turbulento.

Y el factor NHE es el número de Hedstrom.

El factor fBL es el factor de Bingham laminar

Ejemplo 2. Una pasta se bombea a través de una línea de tubería cuyo diámetro interno es de 0.4413 m con un caudal de 400 m 3/h. El fluido se comporta como un fluido Bingham con las siguientes propiedades (a la temperatura de operación): τo = 2 N /m2; μa = 0.03 Pa-s; ρ=1500 kg /m3 ¿Cuál es el factor de fricción para este sistema y cuál es la caída de presión esperada por metro de tubo? 1.- Traducción.

2.- Planteamiento. 2.1.- Caída de presión. Para flujo turbulento y fluido Bingham.

369

Siendo m =1.7+40 000/ 3.- Cálculos. 3.1.- Reynolds.

3.2.- Número de Hedstrom.

3.3.- Factor laminar. Sustituyendo los valores en la ecuación del factor laminar de Bingham y resolviendo por tanteos encontramos que:

3.4.- Factor turbulento. Factor

=-1.378

3.5.- Factor de fricción total.

m =1.7+40 000/ =4.2 =

=0.00805


=

4.- Resultado. La caída de presión esperada es de 28.9 Pascales por cada metro de tubería.

370

Fluidos que siguen la ley de las potencias. Debido a la alta viscosidad de los fluidos no-newtonianos, la mayoría del transporte por tuberías se hace a flujo laminar. A flujo laminar se puede emplear la ecuación de Hagen y Poiseuille. R P1 P2 L Si por un ducto de longitud L y diámetro R fluye un fluido a régimen laminar entonces: Y por lo tanto: Y entonces resulta que: A flujo laminar la velocidad media está dada por: (2) Hagen-Poiseuille . Pero de (1):

Sustituyendo (3) en (2) (4) Y entonces: (5) Comparando esto con la ecuación de Newton.

Se observa que la rapidez de corte es :

(6)

Entonces la ecuación de Newton se puede reescribir como: (7) Para los fluidos no –newtonianos esa ecuación se puede reescribir como:

371

En donde es la viscosidad aparente o sea la que presenta el fluido a una velocidad determinada. Para los fluidos no-newtonianos que siguen la ley de las potencias, la ecuación de Newton se puede reescribir como:

PD  8u   K  4L D

n

Siendo

 8u  a  K   D

n 1

u = velocidad promedio D = diámetro de la tubería ΔP = caída de presión L = longitud μa= viscosidad aparente

Ejemplo 3. En un aparato parecido al mostrado se obtuvieron los siguientes datos para un fluido no newtoniano que tiene una densidad de 1015 kg / m 3.

Caudal /min 0.3911 1.57 1.87 2.035 2.16 2.33

en

galones Caída de presión en libras sobre pulgada cuadrada 1.35 2.59 3.09 3.2 3.3 3.55

Obtenga los valores de n y K para el fluido. 2.- Planteamiento. 372

2.1.- Ecuación de flujo. Para un fluido que sigue el modelo de las potencias

PD  8u   K  4L D

n

3.- Cálculos. 3.1.- Caudales y velocidades. A = 1.266 x 10-4 m2

DI = 0.0127 m

3 gal 3.785 l m3 min 5 m Ca  0.3911     2.467  10 min gal 1000 l 60 s s

u

Ca m  0.1948 A s

Procediendo de la misma manera con los demás datos se obtiene la siguiente tabla: Ca en 2.467 9.9 11.79 12.83 13.62 14.69

U en m/s m3  105 s 0.1948 0.7819 0.9312 1.0134 1.0758 1.1603

3.2.- Caídas de presión

  l b 0.454k g 9.81N in 2 N P  1.35 2      9319.46 2 2 2 lb kg in (0.0254) m m Procediendo de la misma forma con las demás presiones se puede obtener la siguiente tabla: P

ΔP en psi

N m2

9319.46 17879.5 21331.29 22090.5 22780.98 24506.82

1.35 2.59 3.09 3.2 3.3 3.55

373

PD 8u y de 4L D

3.3.- Datos de

PD 9319.46  0.0127 N   29.58 2 4L 4 1 m 8u 8  0.1948 1   122.7 D 0.0127 s PD 4L

8u D

29.58 122.7 56.76 492.5 67.72 586.5 8 70.13 638.3 6 72.32 677.6 6 77.8 730.8 9 3.3.- Obtención de los parámetros de flujo. De la ecuación:

PD  8u   K  4L D log

n

Se obtiene que:

PD 8u  log K  n log 4L D

Esto indica que si los datos se grafican en papel logarítmico se debe obtener una línea recta con pendiente n y ordenada al origen K.

374

De la gráfica se obtiene que: n

log 50  log 40  0.5606 log 335  log 225

log 50 =log K + 0.5606 log 335 K = 1.92035

N n s m2

4.- Resultados. El valor de n es de 0.5606 y el de K de 1.92035

N n s m2

Reynolds generalizado. Para un fluido que se mueve a régimen laminar

K 4 L  8u  P    D D

n

Para asegurarse de que flujo es laminar debe obtenerse el número de Reynolds generalizado definido por:

N Re generalidazo

D n u 2 n   n 1 8 K

375

Ejemplo 4. Un fluido sigue la ley exponencial y tiene una densidad de 1041 kg / m 3. El fluido se mueve a través de 14.9 m de una tubería de 0.0524 m de diámetro interior a una velocidad media de 0.0728 m /s. Las propiedades reológicas del fluido son K = 15.23 N sn / m2 y n = 0.4. Calcule la caída de presión y las pérdidas de presión. 1.- Diagrama de flujo.

L = 14.9 m ; D =0.0524 m; u =0.0728 m /s ; ΔP=? 2.- Planteamiento. 2.1.- Caída de presión si el flujo es laminar.

K 4 L  8u  P    D D

n

2.2.- Reynolds generalizado.

N Re generalidazo 

D n u 2 n  8 n 1 K

3.- Cálculos. 3.1.- Reynolds generalizado.

N Re generalidazo

D n u 2 n  (0.0524) 0.4 (0.0728)1.6 (1041)  1.106  n 1 = (8) 0.6 (15.23) 8 K

El flujo es laminar. 3.2.- Caída de presión. n

K 4 L  8u  (15.23)(4)(14.9)  8  0.0728  P    =   0.0524 D D  0.0524  ΔP=45390Pa=0.449 atm =0.4642 kg / cm2

0.4

 45390

N m2

4.- Resultado. La caída de presión es de 0.4642 kg / cm2. Flujo turbulento en fluidos no newtonianos que siguen la ley de las potencias. En el caso de fluidos no newtonianos que se mueven en régimen turbulento se utiliza la ecuación siguiente para obtener las caídas de presión por fricción: Lu 2  P  4 f D2 gc

376

Donde f es el factor de fricción de Fanning, que es función del Reynolds generalizado y de n. El valor de f puede obtenerse mediante la gráfica:


D n u 2 n  8 n 1 K

Figura 7.- Gráfica del Reynolds generalizado contra el factor de fricción. Esa grafica se utiliza para tubos lisos. Cuando se tienen tuberías comerciales rugosas se puede utilizar la gráfica de Moody, siempre y cuando se emplee el Reynolds generalizado para obtener el factor de fricción. 377

Ejemplo 5. Un puré se bombea isotérmicamente a través del sistema mostrado. ¿Cuáles serán las pérdidas por fricción? La temperatura es constante e igual a 15 ° C. ¿Cuál es el trabajo de la bomba si la eficiencia de esta es del 70%? El gasto másico es de 2000 kg / h. Datos del fluidos: densidad 1100 kg / m 3, K = 0.18 N s / m2, n = 0.645. La presión en el tanque inicial es la atmosférica. La presión final de descarga es de 20 psig 1.- Diagrama de flujo.

1m 1

3

2m

5m

1“

3/4 “

1m 2

P2= 20 psig

2.- Planteamiento. 2.1.- Bernoulli

P





u 2 z g  F     2 gc gc M

Para fluidos no newtonianos


D n u 2 n  8 n 1 K

2.- Cálculos. 2.1.- Velocidades En la línea de 1 “ A  (1 0.0254) 2

 4

 5.065 10  4 m 2

378

3 1h kg m3 4 m   5.0510 Caudal = Ca  2000  h 1100kg 3600s s

u

5.0510 4 m  1 s 5.06510  4

En la línea de ¾ de pulgada A  (0.75  0.0254) 2

u

 4

 2.849 10  4 m 2

5.0510 4 m  1.77 4 s 2.84910

3.2.- Reynolds en las líneas En la línea de una pulgada


D n u 2 n  (0.0254) 0.645 (1) 20.645 (1100)   1198 8 n 1 K 0.18(8) 0.6451

En la línea de tres cuartos.


D n u 2 n  (0.01905) 0.645 (1.77)1.355 (1100)  =2169 8 n 1 K 0.18 (8) 0.6451

3.3.- Factores de fricción Del diagrama Para la línea de 1 pulgada Para la línea de 3/ 4

ff =0.0133, fD =0.0532

ff =0.00737; fD = 0.0245

3.4.- Pérdidas por fricción En la línea de 1 pulgada

 (1) 2 (2) k gm F  0.0532  0.2135 M 2(9.81)(0.0254) kg En la línea de tres cuartos  (1.77) 2 (6) k gm F  0.0245  1.232 M 2(9.81)(0.01905) kg 379

Pérdidas totales por fricción

 k gm F  1.445 M kg

3.5.- Energía de presión

   1 atm 10333k g k gm lb m3  20 2    12.78   lb 1 atm m 2 1100kg  kg in 14.7 2 in 3.5.- Energía cinética P

 2 2 u 2  u1 (1.77) 2 k gm Ec    0.1596 2 gc 2(9.81) kg 3.6.- Energía potencial  k gm Ep  3 kg

3.7.- Bernoulli  3  0.1596  12.78  1.445 

Po M

-Po / M = 11.38 kgm / kg 3.8.- Potencia

  1h k gm kg k gm Po  11.38  2000   6.324 kg h 3600s s

6.32  0.12HP 75(0.7) 4.- Resultado. Las pérdidas por fricción son de 1.445 kgm / kg. La potencia requerida es de 0.12 HP. Po 

Perdidas por fricción por rios y válvulas en flujos no newtonianos. Un fluido que se desplaza a través de una tubería, presenta pérdidas por fricción que se originan por la fricción contra las paredes, por los cambios de dirección, por rios tales como válvulas, codos, expansiones, etc. Para el manejo de fluidos no newtonianos que con valores de números de Reynolds mayores a 500, la caída de presión por rios se calcularía como: =K 380

En donde K se obtiene de tablas. Para fluidos no newtonianos que circulan a factores K se calculan mediante la expresión:

Reynolds

menores de 500, los

Problema 6. En el sistema de flujo mostrado, el diámetro de la línea de hierro forjado es de 0.0348 m. El fluido no newtoniano se desplaza a 1.66 m/s y tiene una densidad de 1250 kg /m3, una K de 5.2Pa sn y n=0.45. Calcular la potencia de la bomba si su eficiencia es del 80%. El filtro presente en el sistema presenta una caída de presión de 100 kPa.

381

1.- Planteamiento. Para obtener la potencia de la bomba se debe efectuar un Bernoulli. 1.1.- Ec. De Bernoulli

Para el caso propuesto ΔU =0 y ΔP=0 Por lo tanto:

2.- Cálculos. 2.1.- Número de Reynolds generalizado.

Por lo tanto ff = 16 /Re = 0.0494. 2.2.- Pérdidas por rios. Dado que el fluido se desplaza a régimen laminar a través de las tuberías, para determinar el factor K y así evaluar las pérdidas por rios se aplica la ecuación:

382

2.3.- Pérdidas por fricción. Por tubo =4.785 Por rios:

2.4.- Pérdidas en el filtro.

2.4.- Bernoulli.

2.5.- Potencia de la bomba. Masa de fluido = 1.66X 1250 X 0.785 X (0.0348)2=1.97 kg /s

3.- Resultado. Se necesita una bomba de ¾ de caballo.

Cálculo de pérdidas de presión en Fluidos Bingham pseudopláticos. Estos fluidos también llamados de Herschel-Bulkley tienen un comportamiento en los reoagramas parecidos al siguiente:

383

La ecuación que define a estos fluidos se puede poner como:

La caída de presión para estos fluidos se puede obtener por: En donde: factor de fricción de Herschel El número de Reynolds para estos fluidos está definido por:

También se suele utilizar el número de Reynolds como:

En donde He es el número de Hedstrom generalizado.

Φ=

Para obtener el factor de Herschel-Bulkley se debe estimar ξ iteraciones.

mediante

Problema 7. Un fluido Herschel-Bulkley fleye a razón de 0.00158 m 37s por un ducto de 0.0348 m de diámetro interno. El fluido tiene una densidad de 1250 kg/m 3 , un τo = 157 , n = 0.45 , K = 5.2 Pa-s. ¿Cuál será la caída de presión que experimentará el flujo de ese fluido por metro de tubo? 1.- Traducción.

2.- Planteamiento. 2.1.- Caída de presión.

384

En donde: factor de fricción de Herschel 3.- Cálculos. 3.1.- Velocidad.

3.2.- Reynolds.

3.3.- Número de Hedstrom.

3.4.- Factores ξ y Ψ Para obtener estos factores se deben hacer tanteos. Si ξ =0.75 , Ψ =0.1602 y ξ calculada = 0.29958 Si ξ = 0.585

Por lo tanto 323.81 = 2 X 36430 Despejando ξ =0.599 Por lo tanto :


4.- Resultado. La caída de presión es de 30 881 Pa. Manejo de suspensiones y emulsiones. Cuando se bombean a través de una tubería horizontal las emulsiones y las suspensiones de sólidos con líquidos hay una tendencia a la separación o al asentamiento a menos que la velocidad de flujo se mantenga por arriba de un valor mínimo. En el caso de las emulsiones la separación de las fases se puede prever manteniendo la velocidad lo suficientemente alta para asegurar el flujo turbulento (Re >> 4000). En el caso de las suspensiones sólido-líquido hay dos velocidades de importancia. La velocidad mínima, que es aquella por debajo de la cual los sólidos se asientan 385

y la velocidad a la cual los sólidos se mantienen dispersos o velocidad estándar. Para partículas no floculantes con diámetros medios entre 0.05 y 0.5 mm se tiene que:

    V   K g Dp S   

0.816

 D m   m

  

0.633

K=74.5 x 10-3 para la velocidad estándar. K= 25.3 x 10-3 para la velocidad mínima.  m  Densidad media de la suspensión.

 m  xV  S  (1  xV )  En donde xV= fracción volumétrica de los sólidos en suspensión. μm = viscosidad de la suspensión (generalmente se toma la del líquido). ρ S = densidad del sólido.  = densidad del líquido. V= velocidad. Dp = diámetro medio de las partículas. D = diámetro del tubo, g = aceleración de la gravedad. La caída de presión en estos casos se puede obtener mediante: 1.5 2  u min P'P  g D  S      121 xV    g Dp    P V2    S 

0.75

ΔP= caída de presión como si pasara agua pura a la velocidad V. ΔP’=caída de presión de la suspensión que se mueve a la velocidad V. Umin = velocidad mínima. Problemas sugeridos de autoevaluación 1.- Un fluido con una velocidad de 0.3 m/s fluye a través de una tubería de 1.5 pulgadas de diámetro interno. En la tubería hay 30 m de tubo liso, una válvula de globo, 3 codos rectos y una descarga. ¿Cuál será la caída de presión en la línea? Datos: n=0.7, K=0.3 N sn/m2; densidad = 1200 kg /m3. R.-La caída de presión es de 2683 kg/m2. 2.- ¿Cuál será la caída de presión en 150 m de tubo de 1.5 pulgadas de acero inoxidable y liso por el que circula un fluido no –newtoniano con los siguientes parámetros: n= 0.85; K = 0.015 lbsn/ft2 y una densidad de 963 kg /m3, si el caudal es de 275 litros /minuto? R.- La caída de presión es de 274572 kg /m2. 3.- En un viscosímetro de cilindros concéntricos se investigó el comportamiento reológico a 20°C de una solución acuosa de un fluido obteniéndose los siguientes resultados: Τ N/m2 3.36 4.36 5.94 7.59 9.48 14.56 19.24 23.67 du/dr 7.33 9.67 13.94 18.72 24.63 43.55 69.93 84.5 -1 s 386

¿De qué tipo de fluido se trata? Deduzca una expresión para su viscosidad aparente. R.- Se trata de un fluido no newtoniano seudoplástico. La viscosidad aparente está dada por: 4.- Se va a bombear polietileno fundido a través de una tubería de acero de una pulgada cédula 40 a razón de 0.95 L /min. Calcule la caída de presión por unidad de longitud. Datos: n=0.49; densidad 939 kg /m3, K =329 N sn/m2. R.- la caída de presión es de 1.5 kg /cm2 por metro de tubo. 5.- Por una tubería lisa se transporta un fluido no-newtoniano con un Reynolds generalizado de 20 000 ¿Cuál será el valor del factor de fricción si K = 0.418 lb s n /ft2 y n = 0.575? R.- El factor de fricción es de 0.0045. 6.- Se desea transportar jugo de manzanas a través del sistema mostrado. El flujo del jugo es de 0.65 kg /s y la temperatura de 15 ° C. Determine las pérdidas por fricción producidas y la potencia de la bomba si esta tiene una eficiencia del 70%. Datos del jugo: K =5 dinas/cm2 sn , densidad = 1.1 g /cm3, n = 0.645.

R.- La pérdidas por fricción son de 402 kgm /kg .Se requiere una bomba de 6 HP. 7.-Un fluido que obedece la ley exponencial y que tiene una densidad de 1041 kg / m3 fluye a través de 14.9 m de una tubería de 0.0524 m de diámetro interno a una velocidad promedio de 0.0726 m /s. Las propiedades reológicas del fluido son: K = 15.23 N sn/m2 y n = 0.4. Calcule la caída de presión y las pérdidas por fricción. R.- la caída de presión es de 45 490 Pa, las pérdidas por fricción son de 43.6 J /kg. 387

8.- Un fluido pseudoplástico con 961 kg /m3 de densidad se desplaza a través de un tubo liso cuyo diámetro interno es de 0.0508 m a la velocidad de 6.1 m /s. Las propiedades del fluidos son: n =0.3; K = 2.744 N sn/m2. Calcule las pérdidas por fricción en un tubo de 30.5 m de largo. R.- La caída de presión es de 1.4 kg /cm2. 9.- ¿Cuál será la caída de presión en 100 m de tubo para un caudal de 100 L /min de CMC al 0.65% en agua que se transporta a través de una tubería de una pulgada de diámetro? Datos: n = 0.716; K = 0.00634 lb sn/ft2; densidad = 1000 kg /m3. 10.- ¿Cuál será la potencia de la bomba requerida para llevar puré de plátano desde un tanque a través de una tubería de media pulgada de diámetro interno y de 10 m de longitud equivalente? El nivel del puré en el tanque está a 6 m por arriba de la descarga del tanque. El flujo del puré es de 0.125 Kg /s. La descarga es a la atmósfera. Las propiedades del puré son: K= 60 (dinas/cm2) sn; densidad 977 kg /m3; n = 0.454. R.- La potencia teórica requerida es de 3.88 kgm /s.

11.-Una mezcla de chocolate fundido a 38 ° C se mueve por una tubería de 4 pulgadas a una velocidad de 0.7 m /s. El chocolate se comporta como un fluido Bingham con las propiedades siguientes: τ0 = 20 N / m2, μœ = 2 Pa.s; densidad = 1100 Kg /m3. ¿Cuál es el factor de fricción esperado para este sistema? R.- El factor de fricción es de 0.852.

388

Capítulo 14 Flujo de fluidos sobre objetos sumergidos.

389

Flujo de fluidos sobre objetos sumergidos. En los capítulos anteriores se ha analizado el caso en que los fluidos viajan por el interior de ductos. Existen, sin embargo, muchos casos en los que los fluidos o viajan por el exterior de los tubos o tienen que desplazarse por ductos o equipos que están obstruidos por retenes , mamparas, empaques , tuberías, tal como sucede en los cambiadores de calor, las torres empacadas, las torres de platos, etc. Un caso muy común en el que los objetos sumergidos fluyen entre un fluido son los barcos, aviones, submarinos, cohetes, etc. En esos casos, los objetos que se interponen al paso de los fluidos provocan pérdidas de fricción y se comportan como objetos sumergidos dentro de un fluido.

Ley de Stokes La Ley de Stokes se refiere a la fuerza de fricción experimentada por objetos esféricos moviéndose en el seno de un fluido viscoso en un régimen laminar de bajos números de Reynolds. Fue derivada en 1851 por George Gabriel Stokes5 tras resolver un caso particular de las ecuaciones de Navier-Stokes. En general la ley de Stokes es válida en el movimiento de partículas esféricas pequeñas moviéndose a velocidades bajas. Supongamos que dejamos caer una esfera de acero dentro de un recipiente que contiene aceite. La esfera comenzará a caer, pero será frenada en su caída por las fuerzas de fricción y flotación. Fuerza de flotación+Fuerza fricción = Fuerza gravitacional. FD=fuerza de fricción, FB = fuerza de flotación, Fg = fuerza de la gravedad. 5

Sir George Gabriel Stokes, primer Baronet (13 de agosto de 1819-1 de febrero de 1903) fue un matemático y físico irlandés que realizó contribuciones importantes a la dinámica de fluidos (incluyendo las ecuaciones de Navier-Stokes), la óptica y la física matemática (incluyendo el teorema de Stokes). Fue secretario y luego presidente de la Royal Society de Inglaterra

390

Las fuerzas de flotación son fuerzas hacia arriba, ascendentes FB = fuerza de flotación =

en donde Pef es el peso específico del

fluido. Las fuerza gravitacional está dirigida hacia abajo y es igual a Fg = fuerza de la gravedad=

, en donde PeS es el peso específico

de la esfera sólida. Las fuerzas de fricción se ejercen empujando el sólido hacia arriba ;

, pero

FD=fuerza de fricción=

por lo tanto , en donde CD es un coeficiente de

fricción similar al que se utiliza en el flujo a través de tuberías. Por lo tanto:

Pero Vf =Vs o sea el volumen de la esfera=

=

A es el área proyectada de la esfera donde se ejerce la fuerza de fricción. A= Entonces:

= = Al caer la esfera su velocidad aumenta hasta que las fuerzas de aceleración y de retardo sean iguales. Cuando se alcanza ese punto la velocidad de la esfera permanecerá constante durante el resto de la caída. Esta velocidad recibe el nombre de velocidad terminal.

Experimentalmente se ha observado que si Re < 0.3 entonces

por lo que:

391

Conocida como la ecuación de Stokes. De ella se ve que: Esta ecuación sirve para obtener la viscosidad mediante cierto tipo de viscosímetros. Ejemplo 1. ¿Cuál será la viscosidad de un fluido que tiene una densidad de 1100 kg /m 3 si se deja caer una esfera de acero de 1 cm de diámetro cuya densidad es de 7800 kg /m3.? La velocidad terminar que se midió fue de 8 cm /s. 1.- Planteamiento. 1.1.- Ley de Stokes. 2.- Cálculos. 2.1. Número de Reynolds. = Si el Re <0.3 se puede emplear la ley de Stokes. 2.2.- Viscosidad suponiendo Re bajo. 2.3.- Comprobación del Reynolds. = Este Reynolds es menor de 0.3 por lo tanto el resultado de la viscosidad es correcto. 3.-R.- La viscosidad es de 4560 s. FACTORES DE FRICCION ALREDEDOR DE OBJETOS SUMERGIDOS. Cuando un fluido fluye alrededor de un objeto, para evaluar la fuerza cinética F es K

necesario (al igual que en el flujo a través de tuberías) definir un coeficiente de transferencia de cantidad de movimiento o factor de fricción "f" según: En general para este tipo de sistemas el área característica se toma como la proyección del sólido sumergido sobre un plano perpendicular a la velocidad del fluido. Así, para una esfera

392

La energía cinética característica por unidad de volumen se toma como donde u es la velocidad con que se aproxima el fluido al objeto, ∞

medida lejos de éste de manera que su presencia no altere su valor. Nuevamente "f" deberá ser evaluado experimentalmente. ARRASTRE SOBRE UNA ESFERA SUMERGIDA. Suponiendo que un fluido newtoniano de ρ y μ constantes fluye alrededor de una esfera lisa acercándose con una velocidad u , ∞

La definición de F quedará: K

Esta ecuación define al factor de fricción o de arrastre para esferas sumergidas "f ".= CD D

Nuevamente con el propósito de evaluar experimentalmente "f " se hace D

necesario saber de qué parámetros depende. Al igual que para flujo en conductos esta información se obtiene de los balances microscópicos adimensionales que gobiernan al sistema. Como "f " es adimensional dependerá de las distribuciones *

*

D

adimensionales de u y p :

Donde ρDu∞/μ=Re La rugosidad relativa no aparece pues se supone que la esfera es lisa. En la figura se muestra la correlación experimental de "f " vs Re: D

Para la zona de flujo reptante (Re<1) se observa una dependencia lineal de "f " o D

C D (coeficiente de arrastre, drag coefficient) con el Re y la ecuación correspondiente es:

393

Si se reemplaza esta ecuación en la definición de "f " se obtendrá la ecuación de D

Stokes. Para Re >1 comienza a producirse el fenómeno de la separación de la capa límite detrás de la esfera, desplazándose el punto de separación tanto más hacia delante cuanto mayor sea el Re. A medida que esto sucede la fuerza que actúa sobre la esfera se vuelve aproximadamente proporcional al cuadrado de u entonces "f " tiende a ser ∞

D

constante (de acuerdo con su definición). -Esto ocurre para valores de Re:

En esta región f ≅ 0.44 y la separación de la capa límite ocurre para θ≅ π/2. En D

esta zona se dice que se cumple la ley de Newton. 5

Cuando Re>2x10 se produce una brusca disminución de "f " que se corresponde D

con la transición de capa límite laminar a turbulenta con la consiguiente disminución del arrastre. A partir de la correlación de "f " es posible calcular la velocidad límite de caída de D

una partícula o el diámetro de una partícula que cae con velocidad límite conocida. La primera evaluación es de suma importancia cuando se hacen cálculos de sedimentación, clasificación, fluidización, transporte neumático, etc. Teniendo en cuenta que si la esfera cae con velocidad límite las fuerzas que actúan sobre ella están equilibradas: Peso =Fs +Fk 394

Reemplazando y utilizando la definición de "f ": D

Despejando la velocidad terminal:

Para calcular "f , también llamado coeficiente de arrastre

es necesario usar

D

Un método iterativo pues para utilizar la correlación de "f " vs Re es necesario D

conocer la velocidad. Nótese que utilizando "f " hemos ampliado la zona de cálculo de fuerzas de D

arrastre desde Re<1 (flujo reptante) a cualquier valor de Re. Ejemplo 2. ¿Cuál es la fuerza que ejercería el aire sobre una esfera de 10 m de diámetro si se desplaza a una velocidad de 30 m /s a 30 ° C y 1 atm? 1.- Traducción.

2.- Planteamiento. 2.1.- Fuerza.

3.- Cálculos. 3.1.- Propiedades del aire. Viscosidad = 0.018 s, densidad = 1.167 kg /m3 3.2.- Reynolds del aire.

Del gráfico fD o CD= 0.2 3.3.-Fuerza. 4.- Resultado. La fuerza ejercida es de 840 kg.

395

ARRASTRE SOBRE PARTICULAS NO-ESFERICAS SUMERGIDAS. Es posible extender la metodología anterior a partículas no esféricas utilizando un "diámetro equivalente" que se define como el diámetro de una esfera de igual volumen que la partícula en cuestión. Así, si V es el volumen de la partícula, el diámetro equivalente D queda definido p

e

como:

Como ya sabemos que el arrastre no sólo depende del área de o fluidosólido, sino que también es función de la forma del sólido, esta deberá ser contemplada de alguna manera. Para ello se define un "coeficiente de forma" o "esfericidad" ψ:

-Dado que a igual volumen la superficie de una esfera es la mínima, ψ será menor que 1 y cuanto más esférica sea la partícula se aproximará más a la unidad. Utilizando la definición de diámetro equivalente la superficie de una esfera de igual volumen que la partícula será igual a . Luego llamando A a la superficie de la P

partícula:

-No siempre se cuenta con los valores de área y volumen de las partículas, por lo que es común asimilar la forma de la partícula problema a una geometría simple para efectuar los cálculos. En la figura se representa la correlación de "f " vs Re para partículas esféricas y D

no esféricas. Es necesario ser muy cuidadoso con la elección de la forma de las partículas ya que no debe olvidarse la fuerte dependencia del arrastre con ella. Ejemplo 3. Obtenga la esfericidad de un cilindro de altura 1cm y 1 cm de diámetro. 1.- Cálculos. 1.1.- Volumen del cilindro.

396

1.2.- Área del cilindro. 1.3.- Área de una esfera con superficie igual a la del cilindro. 0.785= Área de la esfera = 1.4.- Esfericidad. Ψ= 2.- Resultado. La esfericidad es de 0.871. Ejemplo 4. El agua de un río fluye alrededor de los pilotes cilíndricos de un puente. Los pilotes miden 0.4 m de diámetro y están sumergidos 3 m en el agua. Calcule la fuerza que ejerce la corriente sobre cada pilote cuando fluye a la velocidad de 3 m/s y a 15 °C. 1.- Traducción.

2.- Planteamiento. 2.1.- Fuerza.

3.- Cálculos. 3.1. Reynolds. A 15 ° C la densidad del agua es de aproximadamente 1000 kg / m3 Y la viscosidad de 1x 10-3 kg / m s. Por lo tanto el Reynols es Re= 1.2 x 106. 3.2.- Coeficiente de arrastre. De la gráfica para cilindro el CD es de 0.33 3.3.- Fuerza. S = 3X0.4 = 1.2 m2. = 397

4.- Resultado. Se ejerce una fuerza de 181.65 kilogramos fuerza sobre cada pilote. Otra fuente de error que puede aparecer en cálculos de sedimentación es que rara vez una partícula sedimenta sola, en la mayoría de los casos existen numerosas partículas que conducen a interferencia mutua en sus movimientos. Por ello, es necesario introducir factores de corrección que no serán discutidos en este curso.

La gráfica tiene el problema de que si no se sabe el valor de la velocidad (u) se debe hacer tanteos. Por ello, se suelen emplear otras gráficas que eviten eso. Uno de los métodos aconsejables es el empleo de gráficas que utilizan los números de Arquímedes, Reynolds y Lyaschenko. Número de Arquímedes.

Número de Reynolds.

Número de Lyaschenko.

Grafica

398

Ejemplo 5. Un tanque esférico de 6 m de diámetro está colocado en una fábrica. Si la temperatura, la presión y la velocidad del aire son de 20°C, 1 atm y 150 km/h, respectivamente. ¿Cuál será la fuerza total que el viento ejerce sobre la esfera? 1.- Traducción.

399

2.- Planteamiento. 2.1 Fuerza

3. Cálculos. 3.1 Reynolds A 20 °C , μ=0.0185 s; ρ= 1.207 kg / m3

3.2 Coeficiente de arrastre De la gráfica para cilindros (apéndice XLVIII): CD = 0.33 3.3 Fuerza

4.- Resultado. La fuerza que se ejercerá sobre la esfera es de 452.7 kilogramos fuerza.

Ejemplo 6. Se tienen partículas de arena de 2mm de diámetro y una densidad de 2200 kg /m3. Si se sopla aire sobre ellas a 20 ° C y una atmósfera ¿Cuál será la velocidad a la cual se empezarán a arrastrar las partículas? 1.- Discusión. Este problema se resuelve a base de tanteos usando las gráficas del Reynols contra el factor de arrastre. También puede resolverse a través de las gráficas de Arquímedes contra Reynolds. 2.- Cálculos. 2.1.- Datos de las propiedades del aire Viscosidad = 0.018 s, densidad = 1.207 kg /m3 400

2.2.-Número de Arquímedes.

2.3.-Número de Reynolds. De la gráfica Re =1000

3.- Resultado. Las partículas de arena comenzaran a moverse cuando la velocidad del aire supere los 7.45 m/s.

Ejercicios sugeridos de autoevaluación 1.- Calcule la velocidad terminal de unas partículas esféricas de café de 400 micras de diámetro, que caen a través de aire a 150 °C. La densidad de las partículas es de 1030 kg /m3. R.-la velocidad terminal será de 1.32 m /s. 2.-Calcule la fuerza ejercida por el viento sobre una columna de destilación de 50 pies de alto y 8 pies de diámetro cuando la velocidad del viento es de 40 mph. La temperatura del aire es de 20 ° C y está a la presión de una atmósfera. R.- La fuerza ejercida es de 141.7 kg fuerza. 3.- Una chimenea de 30 m de alto y 1.5 m de diámetro está sometida a un viento de 100 km /h. Calcule la fuerza que ejerce el viento sobre la chimenea si la temperatura es de 20 ° C y la presión barométrica de 750 mm de Hg. R.- El aire ejerce una fuerza de 695.55 kg sobre la chimenea. 4.- Se dejan caer esferas de vidrio con una densidad de 2.62 g /cm 3 a través de tetracloruro de carbono con las siguientes propiedades: densidad 1590 kg /m 3, viscosidad de 0.958 cups. ¿Qué diámetro deberían tener las esferas para obtener una velocidad terminal de 0.65 m /s.? R.- Las esferas deberían tener un diámetro de 0.022 m. 5.- Un cable eléctrico de alta tensión de 2.5 cm de diámetro está sometido a la acción del viento, cuya velocidad llega a ser de hasta 80 km/h a 20 ° C. Determine la fuerza que se ejercería sobre 200 m de cable. R.- la fuerza sería de 182 kg.

401

Capítulo 15

Flujo en canales.

402

Historia El conocimiento empírico del funcionamiento de los canales se remonta a varios milenios. En la antigua Mesopotamia se usaban canales de riego, en la Roma Imperial se abastecían de agua a través de canales construidos sobre inmensos acueductos, y los habitantes del antiguo Perú construyeron en algunos lugares de los Andes canales que aún funcionan. El conocimiento y estudio sistemático de los canales se remonta al siglo XVIII, con Chézy, Bazin y otros. Los egipcios fueron sin duda también los primeros pueblos que se sirvieron de canales para fertilizar los campos con las aguas del Nilo y cuando las tierras se hallaban demasiado altas empleaban máquinas para elevar el agua a la altura necesaria. La mayoría de estas se dice las inventó Arquímedes en su viaje a Egipto. Algunos suponen que la mayor parte de las bocas del Nilo fueron canales abiertos por la mano del hombre. Sesostris I y sus sucesores intentaron poner en comunicación el Nilo con el mar Rojo, en cuya empresa perecieron durante el reinado de Neco unos ciento veinte mil hombres. Este proyecto se abandonó por la predicción de un oráculo que manifestó que por este medio se abriría quizá un pasaje a los bárbaros. Más adelante continuó Darío este mismo canal, que según Herodoto tenía ya cuatro días de navegación. Había en Egipto otros canales, pero estos servían más para el riego que para la navegación. El mayor de todos fue el que Moeris hizo construir para conducir las aguas del Nilo al gran lago que había mandado hacer. Se asegura que este canal tenía ochenta estadios de largo y trescientos pies de ancho, cuya entrada podía abrirse y cerrarse según convenía. El canal que el califa Omar hizo construir para trasportar a Medina los granos de Alejandría, creen algunos que fue siguiendo las huellas del antiguo. Los célebres ríos de Asia el Éufrates y el Tigris estaban en comunicación por medio de un canal que algunos creen obra de Nabucodonosor y otro canal que unía el Tigris con el Euleo sirvió bastante a Alejandro en sus conquistas. Los griegos y romanos proyectaron abrir un canal cortando el istmo de Corinto que une Acaya con Morea, a fin de poder pasar del mar Jónico al Archipiélago. Este istmo apenas tiene más de dos leguas y cortándolo ahorraba a las embarcaciones una vuelta de ciento sesenta leguas alrededor del Peloponeso y el doblar un cabo muy peligroso por sus muchos escollos. Periandrio fue el primero que formó este proyecto 5 ó 6 años antes de la era cristiana. Demetrio Poliorcetas rey de Macedonia tres siglos después ensayó hacer una isla del Peloponeso, empresa que abandonó más adelante. Julio César, Cayo Calígula, Nerón y en fin Herodes Ático procuraron entorpecer o frustrar esta tentativa. Tantas dificultades, muchas de ellas insuperables, dieron lugar a este proverbio latino: Isthmum fodere.

403

Los romanos, no menos que los egipcios y los pueblos del Asia, sin embargo promovieron la construcción de sus principales canales los que fueron obra de su genio guerrero para facilitar los trasportes y hacer las marchas con más prontitud, pero no descuidaron por esto los canales de riego tan importantes para un pueblo agricultor. Así es que Catón y la mayoría de los escritores antiguos consideran como la más rica de las posesiones un campo que se pueda regar, solum irrigunm. Cicerón considera con razón el riego de los campos como la causa principal de su fertilidad y le recomienda muy particularmente: acide ductus aquarum, derivationes fluminum, agrorum irrigationes. Vitrubio habla de la construcción de estos canales con mucha extensión, etc. Los chinos aventajaron a los griegos, a los romanos y en una palabra, a todos los pueblos en la construcción de canales. Según todas las noticias que tenemos de este pueblo, se ocuparon ya desde la más remota antigüedad en la conducción y distribución de las aguas. El más célebre canal de China es el Yun-leang o canal real que emprendió en el año 1289 el emperador Chi-tsou jefe de la dinastía Fuen, el primero de los emperadores tártaros-mogoles que reinaron en la China. Corre el espacio de unas 140 leguas. En América los mayas y los aztecas construyeron canales para regar sus tierras y acueductos para llevar el vital líquido a sus poblaciones. Durante la colonia al expandirse el territorio ocupado por ciudades se requirió la construcción de acueductos de los que quedan como testigos los construidos en la ciudad de México, en Querétaro y en Morelia. Generalidades sobre canales. El flujo de agua en un conducto puede ser flujo en canal abierto o flujo en tubería. Estas dos clases de flujos son similares en diferentes en muchos aspectos, pero estos se diferencian en un aspecto importante. El flujo en canal abierto debe tener una superficie libre, en tanto que el flujo en tubería no la tiene, debido a que en este caso el agua debe llenar completamente el conducto. Las condiciones de flujo en canales abiertos se complican por el hecho de que la composición de la superficie libre puede cambiar con el tiempo y con el espacio, y también por el hecho de que la profundidad de flujo el caudal y las pendientes del fondo del canal y la superficie libre son interdependientes.

404

En estas la sección transversal del flujo, es fija debida a que está completamente definida por la geometría del conducto. La sección transversal de una tubería por lo general es circular, en tanto que la de un canal abierto puede ser de cualquier forma desde circular hasta las formas irregulares en ríos. Además, la rugosidad en un canal abierto varia con la posición de una superficie libre. Por consiguiente la selección de los coeficientes de fricción implica una mayor incertidumbre para el caso de canales abiertos que para del de tuberías, en general, el tratamiento del flujo en canales abiertos es más que el correspondiente a flujo en tuberías. El flujo en un conducto cerrado no es necesariamente flujo en tuberías si tiene una superficie libre, puede clasificarse como flujo en canal abierto. Canales abiertos y sus propiedades. Clases de canales abiertos. Un canal abierto es un conducto en el cual el agua, fluye con una superficie libre. De acuerdo con su origen un canal puede ser natural o artificial. Los canales naturales incluyen todos los tipos de corrientes de agua que existen de manera natural en la tierra, lo cuales varían en tamaño desde pequeños arroyuelos en zonas montañosas hasta quebradas, arroyos, ríos pequeños y grandes, y estuarios de mareas. Las corrientes subterráneas que transportan agua con una superficie libre también son consideradas como canales abiertos naturales. Las propiedades hidráulicas de un canal natural por lo general son muy irregulares. En algunos casos pueden hacerse suposiciones empíricas razonablemente consistentes en las observaciones y experiencias reales, de tal modo que las condiciones de flujo en estos canales se vuelvan manejables mediante tratamiento analítico de la hidráulica teórica. Los canales artificiales son aquellos construidos o desarrollados mediante el esfuerzo humano: canales de navegación, canales de centrales hidroeléctricas, canales y canaletas de irrigación, cunetas de drenaje, vertederos, canales de desborde, canaletas de madera, cunetas a lo largo de carreteras etc..., así como canales de modelos de laboratorio con propósitos experimentales las propiedades hidráulicas de estos canales pueden ser controladas hasta un nivel deseado o diseñadas para cumplir unos requisitos determinados. La aplicación de las teorías hidráulicas a canales artificiales producirán, por tanto, resultados bastantes similares a las condiciones reales y, por consiguiente, son razonablemente exactos para propósitos prácticos de diseños. La canaleta es un canal de madera, de metal, de concreto de mampostería, a menudo soportado en o sobre la superficie del terreno para conducir el agua a través de un de una depresión. La alcantarilla que fluye parcialmente llena, es un canal cubierto con una longitud corta instalado para drenar el agua a través de terraplenes de carreteras o de vías férreas. El túnel con flujo a superficie libre es un canal largo, utilizado para conducir el agua a través de una colina o a cualquier obstrucción del terreno.

405

El flujo de canales abiertos tiene lugar cuando los líquidos fluyen por la acción de la gravedad y solo están parcialmente envueltos por un contorno sólido. En el flujo de canales abiertos, el líquido que fluye tiene superficie libre y sobre él no actúa otra presión que la debida a su propio peso y a la presión atmosférica. El flujo en canales abiertos también tiene lugar en la naturaleza, como en ríos, arroyos, etc., si bien en general, con secciones rectas del cauce irregulares. De forma artificial, creadas por el hombre, tiene lugar en los canales, acequias, y canales de desagüe. En la mayoría de los casos los canales tienen secciones rectas regulares y suelen ser rectangulares, triangulares o trapezoidales. También tienen lugar el flujo de canales abiertos en el caso de conductos cerrados, como tuberías de sección recta circular cuando el flujo no es a conducto lleno. En los sistemas de alcantarillado no tiene lugar, por lo general, el flujo a conducto lleno, y su diseño se realiza como canal abierto . ESTADO DE FLUJO. El estado o comportamiento del flujo en canales abiertos está gobernado básicamente por los efectos de viscosidad y gravedad con relación con las fuerzas inerciales del flujo. EFECTO DE VISCOSIDAD. El flujo puede ser laminar, turbulento o transaccional según el efecto de la viscosidad en relación de la inercia. EL FLUJO ES LAMINAR: Si las fuerzas viscosas son muy fuertes en relación con las fuerzas inerciales, de tal manera que la viscosidad juega con un papel muy importante en determinar el comportamiento del flujo. En el flujo laminar, las partículas de agua se mueven en trayectorias suaves definidas o en líneas de corriente, y las capas de fluido con espesor infinitesimal parecen deslizarse sobre capas adyacentes. EFECTO DE LA GRAVEDAD: El efecto de la gravedad sobre el estado del flujo representa por relación por las fuerzas inerciales y las fuerzas gravitacionales. GEOMETRIA DEL CANAL: Un canal con una sección transversal invariable y una pendiente de fondo constante se conoce como canal prismático. De otra manera, el canal es no prismático; un ejemplo es un vertedero de ancho variable y alineamiento curvo. Al menos que se indique específicamente los canales descritos son prismáticos. El trapecio es la forma más común para canales con bancas en tierra sin recubrimiento, debido a que proveen las pendientes necesarias para la estabilidad. El rectángulo y el triángulo son casos especiales del trapecio. Debido a que el rectángulo tiene lados verticales, por lo general se utiliza para canales construidos para materiales estables, como mampostería, roca, metal o madera. La sección transversal solo se utiliza para pequeñas asqueas, cunetas o a lo largo de carreteras y trabajos de laboratorio. El círculo es la sección más común para alcantarillados y alcantarillas de tamaño pequeño y mediano.

406

Ecuaciones de flujo. Si se aplica la ecuación de Bernoulli para los puntos 1 y 2 de un canal se tiene que: (1) En un canal la presión en el punto 1 atmosférica), por lo tanto .

y el punto 2 es la misma (Presión

Si no cambia la sección del canal, la velocidad en el punto 1 y en el 2 es la misma, por lo tanto Si en el canal no hay bomba o molino o turbina entonces Por lo tanto la ecuación queda reducida a: (2) O sea, que en un canal uniforme la disminución de la energía potencial es consumida totalmente por las pérdidas de fricción. El término de pérdidas de fricción se puede calcular mediante la ecuación de Darcy: (3) En un canal el término de diámetro se sustituye por el del diámetro equivalente =4

(4)

En donde: (5)

En un canal la superficie de o con la atmósfera prácticamente no sufre de pérdidas por rozamiento, por lo que el radio hidráulico en un canal será la superficie transversal ocupada por el flujo (llamada área hidráulica) y dividida por el perímetro mojado. En el cálculo de los canales es costumbre definida como: (6) Sustituyendo 4 ,6 y 3 en 2 nos queda:

407

hablar de la pendiente hidráulica

Despejando la velocidad: (8) La ecuación anterior recibe el nombre de ecuación de Chezy. En esa ecuación: (9) Es el coeficiente de la ecuación de Chezy 6es difícil de calcular, por lo que se usan otras ecuaciones para obtener ese coeficiente. Una de las más usadas es la de Bazin. (10) en donde

es un factor de rugosidad de Bazin7 que se obtiene

a partir de tablas. Otro coeficiente muy empleado es el Manning8 (11) en donde

n es un factor de rugosidad de Manning que se

obtiene a partir de tablas. Empleando el factor de Manning la ecuación de Chezy queda: (12)

6

Antoine de Chézy, (1 de septiembre de 1718, Châlons-en-Champagne - 4 de octubre de 1798, París), fue un ingeniero francés, conocido internacionalmente por su contribución a la hidráulica de los canales abiertos, en particular por la llamada ecuación o fórmula de Chézy. 7

Henri-Émile Bazin, nacido el 20 de octubre de 1829 en Nancy (Francia), muerto el 7 de febrero (otras fuentes indican el día 14 de febrero de 1917 en Chenôve, fue un hidráulico francés conocido, en particular, por: La fórmula de Bazin, aplicada frecuentemente y en especial para las redes de alcantarillado, y por su cálculo del coeficiente de Chézy; 8

Robert Manning (1816-1897) fue un ingeniero Irlandés, conocido por la creación de la fórmula de Manning.

408

Antoine

Manning

Chezy

Robert

Henri Emile Bazin

Ejemplo 1. Un canal rectangular de ancho igual a 2m y una tirante de 1.5 m tiene una pendiente de 0.0007 M/m. Determine la velocidad y el caudal de agua que pasan si el canal es de tierra recto y bien conservado. 1.- Traducción.

2.- Planteamiento. 2.1.- Ecuación para canales. 409

2.2.- Coeficiente de Bazin. De acuerdo con el enunciado, el coeficiente más cercano es el Bazin.

3.- Cálculos. 3.1.- Radio hidráulico.

3.2.- Coeficiente de Bazin

De la tabla el valor γ es de 1.5

3.3.-Velocidad y caudal.

Caudal =u X A=

410

4.- Resultado. La velocidad es de 0.6 m/s, el caudal de 1.8 m3/s. Ejemplo 2. Un canal de sección trapezoidal tiene una pendiente de 0.0007 m/m, el fondo del canal tiene una anchura de 2.2 m. El tirante es de 1.5 m. El talud del canal es de 45°. Determine la velocidad media y el caudal que pasan si el canal está formado por mampostería de piedras rectangulares. Talud= Inclinación de las paredes del canal. Tirante= Profundidad del agua en el canal. 1.- Traducción.

2.- Planteamiento. 2.1.- Ecuación de diseño. 2.2.- Coeficiente de Manning.

3.-Cálculos. 3.1.- Radio hidráulico. Por tratarse de un trapecio.

Del dibujo se tiene que: Base menor = 2.2 m; altura = 1.5 m Base mayor = 2.2+ 2(1.5) = 5.2

411

= Perímetro mojado = 2.2+ 2(2.12)=6.44 m Radio hidráulico = 5.55 /6.44 = 0.86 m 3.2.- Coeficiente de Manning

De las tablas n = 0.017

= 3.3.- Velocidad y caudal. =1.4 m /s Caudal Caudal =u X A= 4.- Resultados. La velocidad media es de 1.4 m /s y el caudal de 7.728 m 3/s Otra forma de resolver estos problemas es mediante el nomograma que se presenta a continuación.

FIGURA 25 - Nomograma para resolver la fórmula de Manning. Si se conocen tres variables, es posible encontrar la cuarta 412

Ejemplo 3. Dado R = 0,3 m, n= 0,03, pendiente = 2% o 0,02 m por m, encontrar la velocidad V. Solución: Únase R = 0,3 y n = 0,03 y proyéctese la línea de referencia. Únase el punto situado en la línea de referencia con la pendiente = 0,02. La intersección de la escala de velocidad da V =2,0 m/s. Límites de velocidad. Tanto en canales como en las tuberías de drenaje la velocidad media del agua normalmente no se aleja de una gama de valores impuesta por las buenas condiciones de funcionamiento y mantenimiento. La siguiente tabla muestra los valores de diseño más comunes. Tipo de conducción

Velocidades recomendadas

Canales de navegación

Hasta 0.5 m /s 413

Canales industriales sin revestimiento

0.4 a 0.8 m /s

Canales industriales con revestimiento

0.6 a 1.4 m /s

Acueductos para agua potable

0.6 a 1.3 m /s

Alcantarillas

0.6 a 1.5 m /s

Elementos geométricos de la sección del canal Los elementos geométricos son propiedades de una sección del canal que puede ser definida enteramente por la geometría de la sección y la profundidad del flujo. Estos elementos son muy importantes para los cálculos del escurrimiento. 

Profundidad del flujo, calado o tirante: la profundidad del flujo (h) es la distancia vertical del punto más bajo de la sección del canal a la superficie libre.



Ancho superior: el ancho superior (T) es el ancho de la sección del canal en la superficie libre.



Área mojada: el área mojada (A) es el área de la sección transversal del flujo normal a la dirección del flujo.



Perímetro mojado: el perímetro mojado (P) es la longitud de la línea de la intersección de la superficie mojada del canal con la sección transversal normal a la dirección del flujo.



Radio hidráulico: el radio hidráulico (R) es la relación entre el área mojada y el perímetro mojado, se expresa como: R = A / P



Profundidad hidráulica: la profundidad hidráulica (D) es la relación del área mojada con el ancho superior, se expresa como: D = A / T

El perfil más difundido para canales es el trapezoidal

EFICIENCIA EN CANALES ABIERTOS. Se conoce que los sistemas de canales abiertos se diseñan con el fin de trasportar líquidos desde un lugar determinado hasta otro con una altura de cota menor a la inicial, manteniendo un caudal o una razón de flujo constante bajo la influencia de 414

la gravedad al menor precio posible. Debido a que no es necesario la aplicación de energía al sistema el costo de construcción se traduce al valor inicial una vez comenzados los trabajos, traduciéndose en el tamaño físico de la obra, por tal razón para una longitud establecida el perímetro de la sección representara también el costo del sistema; por lo cual debe mantenerse al mínimo para no incrementar los costos y los tamaños de la sección. Debido a lo anteriormente mencionado, la eficiencia de un canal tiene relación con encontrar un área de paso (A) mínima para transportar un caudal (Ca) dado, con una pendiente del canal (m) y coeficiente de Manning (n) dados. Por lo cual, escribiendo el radio hidráulico como rH = A/P la ecuación de caudal se puede reescribir de la siguiente forma: (14) Despejando el área (A) (15)

Donde la cantidad entre paréntesis es constante. La ecuación anterior indica que un área de paso mínima está asociada a un perímetro mojado mínimo y por lo tanto las necesidades de excavación como de material, para cubrir las superficies del canal, son mínimas, influyendo directamente en los costos de construcción como se mencionó anteriormente. La forma con el perímetro mínimo por unidad de área es el círculo, por lo tanto tomando en cuenta la mínima resistencia del flujo en esta sección, la mejor sección transversal para un canal abierto es el semicírculo. Sin embargo en el campo de la construcción resulta más económico construir un canal con lados rectos como las secciones trapezoidales o rectangulares en vez de un semicírculo, lo que lleva a analizar cuál de las diferentes secciones a utilizar es la más conveniente para el sistema. Secciones Rectangulares

Criterio para mejor sección transversal hidráulica (para canal rectangular):

415

Ejemplo 4. Determine la sección óptima que deberá tener un canal de tierra para transportar 12 m3/s a una velocidad máxima de 0.9 m/s. ¿Cuál deberá ser la pendiente? 1. Traducción.

2.-Planteamiento. 2.1.- Caudal.

2.2.- Sección óptima. Del examen de las ecuaciones anteriores se desprende que el caudal será el máximo si el radio hidráulico es el máximo. El radio hidráulico será el máximo cuando el perímetro mojado sea el mínimo.

416

Área: A =bXy

; perímetro = Pm= 2y+b

Por lo tanto Pm= 2y+ A/y Derivando Pm con respecto a y:

Igualando a cero:

Por lo tanto: Pero by =2y2 por lo tanto y=b/2 Así pues, la profundidad es la mitad de la anchura y por lo tanto el radio hidráulico óptimo será: = El radio hidráulico óptimo es la mitad de la profundidad o tirante. 3.- Cálculos. 3.1.- Sección

;

b=5.163 m

3.2.- Pendiente. Para este caso n =0.025; rH= 1.29 m,

4.- Resultados. La pendiente es de 3.605 X 10-4 m/m. El área de flujo es de 13.33 m2, la anchura es de 5.163m y la profundidad de 2.58 m. Canales Trapezoidales. Para canales trapezoidales se toman los mismos criterios para la sección hidráulica más eficiente:

417

Como conclusión se puede decir que la mejor sección transversal hidráulica para un canal abierto es la que tiene el máximo radio hidráulico o, proporcionalmente, la que tiene menor perímetro mojado para una sección transversal especifica.

ENERGIA EN CANALES ABIERTOS. En hidráulica se sabe que la energía total del agua en metros-kilogramos por kilogramos de cualquier línea de corriente que pasa a través de una sección de canal puede expresarse como la altura total en pies de agua, que es igual a la suma de la elevación por encima del nivel de referencia, la altura de presión y la altura de velocidad. Energía de un flujo gradualmente variado en canales abiertos.

Por ejemplo, con respecto al plano de referencia, la altura H de una sección 0 que contiene el punto A en una línea de corriente del fluido de un canal de pendiente alta, puede escribirse como:

418

De acuerdo con el principio de conservación de energía, la altura de energía total en la sección 1 localizada aguas arriba debe de ser igual a la altura de energía total en la sección 2 localizada aguas abajo más la pérdida de energía hf entre las dos secciones, ver figura.

Esta ecuación es aplicable a flujos paralelos o gradualmente variados. Para un canal de pendiente pequeña, esta se convierte en

ENERGIA ESPECÍFICA. La energía específica en una sección de canal se define como la energía de agua en cualquier sección de un canal medida con respecto al fondo de este.

O, para un canal de pendiente pequeña y =1, la ecuación se convierte en

La cual indica que la energía específica es igual a la suma de la profundidad del agua más la altura de velocidad. Para propósitos de simplicidad, el siguiente análisis se basará en un canal de pendiente pequeña. Como u=Ca/A, puede escribirse como:

Puede verse que, para una sección de canal y caudal Ca determinados, la energía específica en una sección de canal sólo es función de la profundidad de flujo. Cuando la profundidad de flujo se gráfica contra la energía para una sección de canal y un caudal determinados, se obtiene una curva de energía específica, como se muestra en la siguiente figura. Esta curva tiene dos ramas, AC y BC. La rama 419

AC se aproxima asintóticamente al eje horizontal hacia la derecha. La rama BC se aproxima a la línea OD a medida que se extiende hacia arriba y hacia la derecha. La línea OD es una línea que pasa a través del origen y tiene un ángulo de inclinación. Para un canal de pendiente alta, el ángulo de inclinación de la línea OD será diferente de 45°. En cualquier punto P de esta curva, la ordenada representa la profundidad y la abscisa representa la energía específica, que es igual a la suma de la altura de presión "y" y la altura de velocidad Curva de energía especifica

La curva muestra que, para una energía específica determinada, existen dos posibles profundidades, la profundidad baja y1 y la profundidad alta y2. La profundidad baja es al profundidad alterna de la profundidad alta, y viceversa. En el punto C, la energía específica es mínima. Por consiguiente, en el estado crítico es claro que las dos profundidades alternas se convierten en una, la cual es conocida como profundidad crítica yc. Cuando la profundidad de flujo es mayor que la profundidad crítica, la velocidad de flujo es menor que la velocidad crítica para un caudal determinado y, por consiguiente, el flujo es subcrítico. Cuando la profundidad de flujo es menor que la profundidad crítica, el flujo es subcrítico. Por tanto, y1 es la profundidad de un flujo supercrítico y y2 es la profundidad de un flujo supercrítico. Si para un flujo dado la profundidad es mayor a la crítica, el flujo es tranquilo y para profundidades menores que la crítica el flujo es rápido Para canales rectangulares el tirante crítico está definido por aquel que produzca la energía mínima, es decir:

Para un canal rectangular A = b x y Por lo tanto:

420

Por lo tanto:

Igualando la derivada a cero y re arreglando queda:

De donde:

En donde b es el ancho del canal. Ejemplo 5. Un canal rectangular de 9 metros de ancho transporta 10 m 3/s de agua con un tirante de 1 m. ¿Cuál es la energía específica? ¿Qué tipo de flujo se presenta? 1.- Planteamiento. 1.1.- Energía específica.

1.2.- Tirante crítico.

2.- Cálculos. 2.1.- Energía específica.


3.- Resultado. La energía específica es de 1.06 kgm /kg, el tirante crítico es de 0.501 m, por lo tanto el flujo es rápido. Ejemplo 6. Una alcantarilla formada por tubos de acero tiene un diámetro de 1 metro. La alcantarilla está llena de agua hasta una altura de 0.7 m, si la pendiente es de 0.007 m/m, encuentre el caudal que lleva la alcantarilla. ¿Cuál será la energía específica? Determine también el tipo de flujo que se presenta. 1.- Planteamiento. 1.1.- Velocidad y caudal. 421

1.2.- Energía específica.


2.- Cálculos. 2.1.- radio hidráulico. La obtención del radio hidráulico requiere del área de flujo y del perímetro mojado. Ambas se pueden obtener por trigonometría. La práctica más común es la de consultar tablas como la que se presenta a continuación.

De la tabla se obtiene que dado que y = 0.7 d, el radio hidráulico es 0.2962 d= 0.2962 m y el área de flujo es de 0.5872 d2 =0.5872 m2. 2.1.- Coeficiente de Manning. De la tablas: n= 0.011 = 2.3.-Velocidad y caudal. =3.37 m

422

=3.37 2.4.- Velocidad específica.

2.5.-Tirante crítico. Si se supone un canal cuadrado, entonces. A =0.5872 m 2 y el lado o sea la base sería = 0.7662 m Entonces:}

3.- Resultados. El caudal será de 1.984 m3/s, la energía específica de 1.28 y de acuerdo con el tirante crítico estimado el flujo será tranquila. Interpretación de fenómenos locales. En los canales abiertos es muy común apreciar cambios en el estado del flujo, (de supercrítico a subcrítico, o viceversa, tales cambios se dan con un correspondiente cambio en la profundidad del flujo. Si el cambio ocurre de forma rápida, a lo largo de una distancia considerablemente corta, el flujo es rápidamente variado y se conoce como Fenómeno Local. Dentro de este tipo de fenómenos encontramos la caída hidráulica y el resalto hidráulico: 1. Caída Hidráulica: un cambio rápido en la profundidad de un flujo de nivel alto a un nivel bajo, resultará en una depresión abrupta de la superficie del agua. Por lo general este fenómeno es consecuencia de un cambio brusco de pendiente o de la sección transversal del canal. En la región de transición de la caída, suele aparecer una curva invertida que conecta las superficies del agua antes y después de dicha caída. El punto de inflexión de la curva, indica la Posición aproximada de la profundidad crítica para la cual la energía es mínima y el flujo pasa de ser subcrítico a supercrítico. Cuando existe una discontinuidad en el fondo de un canal plano, ocurre una caída hidráulica especial, conocida como caída libre. A medida que la caída avanza en el aire en forma de lámina, no existirá curva invertida en la superficie del agua hasta que esta choque con algún obstáculo en la elevación más baja. Es sabido que si no se añade energía externa, la superficie del a gua buscará siempre la posición más baja posible, la cual corresponde al menor contenido de disipación de energía. Si la energía específica en una sección localizada aguas arriba es E, como se muestra en la curva, la energía continuará disipándose en el recorrido hacia aguas abajo hasta alcanzar una energía mínima Emín. La curva indica que la sección crítica (sección de energía mínima) debe ocurrir en el borde de la caída. La profundidad en el borde no puede ser menor que la profundidad crítica debido a que una disminución adicional en la

423

profundidad implicaría un incremento en la energía específica lo cual es imposible a menos que se suministre energía externa compensatoria. Interpretación de Caída libre mediante una curva de energía específica.

Por otro lado, es importante mencionar, a modo de aclaración que, si el cambio en la profundidad de flujo desde un nivel alto a un nivel bajo se da de forma gradual, este se convierte en un flujo gradualmente variado, el cual tiene una curva inversa prolongada en la superficie del agua, sin embargo este fenómeno no es considerado local. 2. Resalto Hidráulico: este fenómeno ocurre cuando el cambio de profundidad del flujo es desde un nivel bajo a un nivel alto. Si el cambio de profundidad es pequeño, se denominará resalto ondulatorio, puesto que el agua no subirá de manera abrupta y obvia, sino que pasara de un nivel a otro, a través de una serie de ondulaciones que van disminuyendo gradualmente de tamaño. Si por el contrario el cambio de profundidad es grande, se conoce como resalto directo. Este involucra una pérdida de energía relativamente grande mediante la disipación en el cuerpo turbulento de agua dentro del resalto. En consecuencia el contenido de energía en el flujo después del resalto es considerablemente menor que el contenido antes del mismo.

Interpretación de Resalto Hidráulico mediante la curva de energía específica.

424

RESALTO HIDRAULICO O SALTO HIDRAULICO. El resalto hidráulico es el ascenso brusco del nivel del agua que se presenta en un canal abierto a consecuencia del retardo que sufre una corriente de agua que fluye a elevada velocidad. Este fenómeno presenta un estado de fuerzas en equilibrio, en el que tiene lugar un cambio violento del régimen de flujo, de supercrítico a subcrítico. Este involucra una pérdida de energía relativamente grande mediante disipación en el cuerpo turbulento de agua dentro del resalto. En consecuencia, el contenido de energía en el flujo después del resalto es apreciablemente menor que el de antes del mismo.

La profundidad antes del resalto es siempre menor que la profundidad después del resalto. La profundidad antes del resalto se conoce como profundidad inicial y1, y después del resalto se conoce como profundidad final y2. Para flujo supercrítico en un canal horizontal, la energía de flujo se disipa a través de la resistencia a la fuerza de fricción a lo largo del canal, dando como resultado un descenso en la velocidad y un incremento en la profundidad en la dirección del flujo. El resalto hidráulico se formará en el canal si el número de Froude F1 del flujo, la Profundidad de flujo y1 y la profundidad y2 aguas abajo satisfacen la ecuación de razón de profundidades: 425

El número de Froude siempre es mayor que la unidad antes del resalto y menor que la unidad después de él.

Si F1 > 1 Flujo Supercrítico.

Ejemplo 7. Un canal rectangular de 6 m de ancho transporta 11 m3/s de agua y descarga en un canal de 6 m de ancho, de pendiente nula a la velocidad de 6 m/s. ¿Cuál es la altura del resalto hidráulico? ¿Cuáles son las pérdidas de energía? 1.- Traducción.

2.- Planteamiento. 2.1.- Resalto hidráulico.

2.2.-Pérdidas. = 3.- Cálculos. 3.1.- Altura en la posición (1)

426

3.2.- Altura en la posición (2) =1.355 m Altura del resalto 1.355-0.306 = 1.0494 m 3.3.- Pérdidas por fricción.

4.- Resultados. La altura aguas abajo es de 1.355m. La altura del resalto es de 1.0494 m. Las pérdidas son de 0.6916 kgm /kg.

Medidores de flujo en canales. Vertederos. Fundamento teórico. Se llama vertedero a la estructura hidráulica sobre la cual se efectúa una descarga a superficie libre. El vertedero puede tener diversas formas según las finalidades a las que se destine. Si la descarga se efectúa sobre una placa con perfil de cualquier forma pero de arista aguda, el vertedero se llama de pared delgada; cuando la descarga se realiza sobre una superficie, el vertedero se denomina de pared gruesa. Ambos tipos pueden utilizarse como dispositivos de aforo en el laboratorio o en canales de pequeñas dimensiones. El vertedero de pared gruesa se emplea además como obra de control o de excedencias en una presa y como aforador en grandes canales. Los vertederos de paredes delgadas son vertederos hidráulicos, generalmente usados para medir caudales. Para obtener resultados fiables en la medición con el vertedero de pared delgada es importante que:   

tenga la pared de aguas arriba vertical, esté colocado perpendicularmente a la dirección de la corriente, y, la cresta del vertedero sea horizontal o, en el caso de que esta sea triangular, la bisectriz del ángulo esté vertical.

Además, debe cuidarse de mantener la presión atmosférica debajo de la lámina vertida; el canal aguas arriba debe ser recto y estar desobstruido. La carga h, 427

sobre la cresta del vertedero debe ser medida a una distancia suficiente, aguas arriba, para no tener influencia de la curvatura de la superficie líquida en la proximidad del vertedero. Para mantener la presión del aire, y evitar que este se vea succionado, acercando la lámina de agua al aliviadero, se instalan sistemas e aireación (generalmente tubos a los lados por donde entra el aire).

Vertedero rectangular. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre el punto 1 y el 2.

De donde:

Si el ancho del vertedero es b, Z2 es variable. dCa=b u dZ2 Y por lo tanto:

Si

Entonces: dH=-dZ2 Y

dH

Para un canal rectangular el ancho del canal b es constante, por lo que la ecuación puede integrarse. Los límites escogidos son: Z2=0

; Z 2 = Z1 428

Ca=

Despreciando u1 o sea la velocidad de acercamiento y si no existe fricción

En donde generalmente Cd = 0.62 Por lo que

Fórmula de Francis

Ca es el caudal en m3/ s ; b el ancho del canal en metros Z1 = altura del líquido en metros. Esta altura de ser medida aguas arriba del vertedero a una distancia comprendida entre 5 Z1 y 10 Z1. 

.

Ejemplo 8. Un vertedero rectangular sin contracciones da una altura de agua sobre el vertedero (carga) de 20 cm. Si el ancho del vertedero o longitud de cresta es de 1m. ¿Cuál será el flujo volumétrico?

429

1.- Traducción.

2.- Planteamiento. 2.1.- Ecuación para el vertedero. Rectangular sin contracciones.

3.- Cálculos. 3.1.- Caudal.

4.- Resultado. El caudal es de 164.3 L /s. Las características del tipo de flujo que afectan Cd pueden ser definidas por h y

Donde: 

Hd = altura del vertedero en m

Los valores de Cd se encuentran en la tabla siguiente Hd/h h=0.05 h=0.10 h=0.20 h=0.40 h=0.60 h=0.80 h=1.00 h=1.50 0.5

2.316 2.285 2.272 2.266 2.263 2.262 2.262 2.261

1.0

2.082 2.051 2.037 2.030 2.027 2.026 2.025 2.024

2.0

1.964 1.933 1.919 1.912 1.909 1.908 1.907 1.906

10.0 1.870 1.839 1.824 1.817 1.815 1.814 1.813 1.812 \infty 1.846 1.815 1.801 1.793 1.791 1.790 1.789 1.788 Vertedero triangular. Para medir caudales muy pequeños (menos de 6 litros por segundo), se obtiene mejor precisión utilizando aliviaderos de pared delgada de sección triangular, pues la presión varía con la altura, dándose un gran gradiente de velocidad entre la parte inferior del triángulo y la superior. El caudal sobre un aliviadero triangular es dado por la fórmula:

430

Dónde:  

β = ángulo del vértice del triángulo Cd= aproximadamente a 0.58 variando ligeramente con la carga y el ángulo de la abertura.

En general los vertederos triangulares más usados son los que forman un triángulo isósceles, siendo los más usuales los de 90 °. Para estos vertederos se aplica la fórmula de Thompson.

En donde Z es la altura del líquido en el vertedero. Ejemplo 9. El caudal a través de un vertedero triangular de 90 ° es de 0.05 m 3/s. Determine la altura de líquido sobre el vertedero.

431

1.- Traducción.

2.- Planteamiento. 2.1.- Ecuación para vertedero triangular.

3.- Cálculos. 3.1. Altura. Z=0.2637 m 4.- Resultado. La altura deberá ser de 0.2637 m. Vertederos circulares situados sobre una pared vertical. Para estos vertederos el caudal se mide como:

Ejemplo 10. ¿Cuál es el caudal que sale por el siguiente vertedero?

1.- Planteamiento. 1.1.- Ecuación para el vertedero circular.

2.- Cálculos. 2.1.- Caudal.

3.- Resultado. El caudal es de 3.363 m3/s. 432

Apéndice Consumo de agua en litros Bebida, cocina, limpieza, etc. Por persona por día Lavado de ropa, por persona, día Excusados por cada descarga, de 8 L, por persona día Una ducha por persona Lavado de dientes, manos, persona , día Lavado de un coche Riego de patios, jardines y aceras, por metro cuadrado, cada vez Consumo medio por habitante aproximadamente

20-30 10-15 20-30 40-80 8-10 20 2 200 L

Ejercicios sugeridos de autoevaluación. 1.- ¿Cuál será la velocidad a la cual se desplaza el agua en un canal de concreto u hormigón de 1 m de ancho y con una pendiente de 0.01m/m si la altura en el canal es de 0.5 m? R.-La velocidad es de 3.5 m/s. 2.-Determine el ancho que debe tener un canal rectangular de tierra cuando el caudal es de 132 L/s, la altura del líquido es de 0.3 m y la pendiente de 0.1. R.- El ancho del canal debe ser de 62.53 cm 3.-Obtenga el radio hidráulico, el área de flujo y el perímetro mojado de un canal trapezoidal semejante al ilustrado. ¿Cuál será la velocidad y el caudal si la pendiente es de 0.0005?

R.- El área es de 192m2, el perímetro de 46.8 m y el rH de 4.1 m la velocidad es de 3.209 m /s y el caudal de 616.25 m3/s. 5.- Una alcantarilla para desagüe de lluvias deberá dar paso a un caudal de 500 L/s. La pendiente es de 0.005. Determine el diámetro requerido si ese caudal funciona con la sección totalmente llena. 433

R.- El diámetro es de dos pies. 6.- Determine el gasto y la velocidad en un tubo redondo de alcantarillado de 0.6 m de diámetro si está lleno hasta una altura igual al 75 % del diámetro y la pendiente es de 0.005. R.-La velocidad será de 1.55 m/s y el caudal de 0.354 m 3/s. 7.- Una canal rectangular de 10 m de ancho transporta un caudal de 7 m 3/s con una profundidad de i m. Calcule la energía específica y la tirante crítica. ¿Qué tipo de flujo se tiene? R.- La energía específica es de 1.025 kgm /kg, la tirante crítica es de 0.368 m. El flujo es tranquilo. 8.- El caudal a través de un vertedero triangular de 90 ° es de 0.05 metros cúbicos sobre segundo. Determine la altura sobre el vertedero. R.-La altura es de 0.26 m. 9.- En un canal de sección rectangular de 2.5 m de ancho con un caudal de 0.25 m3/s se forma un resalto hidráulico. Si el tirante aguas arriba es de 0.9 m ¿Cuál es la altura del resalto? R.- La altura del resalto es de 0.47 m 10.- Un canal de sección trapezoidal de tierra tiene una pendiente de 0.0004. El ancho del fondo es de 2m, el tirante es de 1.2 m y el ancho superior de 4 m. Determine la velocidad media en el canal, el caudal y la posibilidad de que el canal se deteriore debido a la velocidad. R.-La velocidad es de 0.636 m /s. La velocidad en los canales sin revestimiento oscila entre 0.4 y 0.8 m/s, por lo que el canal descrito no presentará ni arrastre ni enfangamiento.

434

Capítulo 16

Agitación.

435

Agitación. La agitación se refiere a forzar un fluido por medios mecánicos para que adquiera un movimiento circulatorio en el interior de un recipiente. Los objetivos de la agitación pueden ser:  Mezcla de dos líquidos miscibles (ej.: alcohol y agua)  Disolución de sólidos en líquido (ej.: azúcar y agua)  Mejorar la transferencia de calor (en calentamiento o enfriamiento)  Dispersión de un gas en un líquido (oxígeno en caldo de fermentación)  Dispersión de partículas finas en un líquido  Dispersión de dos fases no miscibles (grasa en la leche) Generalmente el equipo consiste en un recipiente cilíndrico (cerrado o abierto), y un agitador mecánico, montado en un eje y accionado por un motor eléctrico. Las proporciones del tanque varían ampliamente, dependiendo de la naturaleza del problema de agitación. El fondo del tanque debe ser redondeado, con el fin de eliminar los bordes rectos o regiones en las cuales no penetrarían las corrientes del fluido. La altura del líquido, es aproximadamente igual al diámetro del tanque. Sobre un eje suspendido desde la parte superior, va montado un agitador. El eje está accionado por un motor, conectado a veces, directamente al mismo, pero con mayor frecuencia, a través de una caja de engranajes reductores. El agitador crea un cierto tipo de flujo dentro del sistema, dando lugar a que el líquido circule por todo el recipiente y vuelva de vez en cuando al agitador. Mezcladores de corrientes. En este tipo de mezclador, se introducen los materiales casi siempre por medio de una bomba y la mezcla se produce por interferencia de sus flujos corrientes. Solo se emplean en los sistemas continuos o circulantes para la mezcla completa de fluidos miscibles. Rara vez se usan para mezclar dos fases, cuando se desea una gran intimidad.

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AGITADORES PARA TANQUES CERRADOS Y TANQUES ABIERTOS DE MONTAJE FIJO. Estos tipos de agitadores son recomendados para su aplicación, y todo depende de los requisitos de su proceso. Los hay de acoplados directo, estos están diseñados para aplicaciones de baja viscosidad, o volúmenes pequeños, o aplicaciones en que se requiere trituramiento del producto. Los agitadores de acoplado de engranaje (caja reductora), son eficientemente usados en productos con más alta viscosidad o aplicaciones con un volumen más elevado.

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Estos agitadores varían desde 1/4 a 5 caballos de fuerza (HP), y son disponibles con siete diferentes velocidades, y con una variedad de hélices. Estos agitadores son disponibles ya sea con motor eléctrico, o motores de aire, así como también pueden ser equipados con variador de velocidades. Beneficios claves: Fabricados para operación continua Agitadores de este tipo son equipados con ANSI cobertura, con selladores de empaquetaduras o mecánicos, para uso con tanques cerrados. También son disponibles con base cuadrada para ser montados en tanques abiertos donde selladores no son necesarios, esta montadura también las hay en ángulo para dar una mayor eficiencia a la aplicación. Engranaje helicoidales, con un alto factor de servicio, y lubricación de por vida.

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TIPOS DE AGITADORES: Los agitadores se dividen en dos clases: los que generan corrientes paralelas al eje del agitador y los que dan origen a corrientes en dirección tangencial o radial. Los primeros se llaman agitadores de flujo axial y los segundos agitadores de flujo radial. Los tres tipos principales de agitadores son, de hélice, de paletas, y de turbina. Cada uno de estos tipos comprende muchas variaciones y subtipos que no consideraremos aquí. En algunos casos también son útiles agitadores especiales, pero con los tres tipos antes citados se resuelven, quizás, el 95% de los problemas de agitación de líquidos.

Agitadores De Hélice

Un agitador de hélice, es un agitador de flujo axial, que opera con velocidad elevada y se emplea para líquidos pocos viscosos. Los agitadores de hélice más 439

pequeños, giran a toda la velocidad del motor, unas 1.150 ó 1.750 rpm; los mayores giran de 400 a 800 rpm. Las corrientes de flujo, que parten del agitador, se mueven a través del líquido en una dirección determinada hasta que son desviadas por el fondo o las paredes del tanque. La columna de remolinos de líquido de elevada turbulencia, que parte del agitador, arrastra en su movimiento al líquido estancado, generando un efecto considerablemente mayor que el que se obtendría mediante una columna equivalente creada por una boquilla estacionaria. Las palas de la hélice cortan o friccionan vigorosamente el líquido. Debido a la persistencia de las corrientes de flujo, los agitadores de hélice son eficaces para tanques de gran tamaño. Para tanques extraordinariamente grandes, del orden de 1500m3 se han utilizado agitadores múltiples, con entradas laterales al tanque. El diámetro de los agitadores de hélice, raramente es mayor de 45 cm, independientemente del tamaño del tanque. En tanques de gran altura, pueden disponerse dos o más hélices sobre el mismo eje, moviendo el líquido generalmente en la misma dirección. A veces dos agitadores operan en sentido opuesto creando una zona de elevada turbulencia en el espacio comprendido entre ellos.

Agitadores De Paletas. Para problemas sencillos, un agitador eficaz está formado por una paleta plana, que gira sobre un eje vertical. Son corrientes los agitadores formados por dos y 3 paletas. Las paletas giran a velocidades bajas o moderadas en el centro del tanque, impulsando al líquido radial y tangencialmente, sin que exista movimiento vertical respecto del agitador, a menos que las paletas estén inclinadas. Las corrientes de líquido que se originan se dirigen hacia la pared del tanque y después siguen hacia arriba o hacia abajo. Las paletas también pueden adaptarse a la forma del fondo del tanque, de tal manera que en su movimiento rascan la superficie o pasan sobre ella con una holgura muy pequeña. Un agitador de este tipo se conoce como agitador de ancla. Estos agitadores son útiles cuando se desea evitar el depósito de sólidos sobre una superficie de transmisión de calor, como ocurre en un tanque enchaquetado, pero no son buenos mezcladores. Generalmente trabajan conjuntamente con un agitador de paletas de otro tipo, que se mueve con velocidad elevada y que gira normalmente en sentido opuesto.

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Los agitadores industriales de paletas giran a una velocidad comprendida entre 20 y 150 rpm. La longitud del rodete de un agitador de paletas es del orden de 50 al 80% del diámetro interior del tanque. La anchura de la paleta es de un sexto a un décimo de su longitud. A velocidades muy bajas, un agitador de paletas produce una agitación suave, en un tanque sin placas deflectoras o cortacorrientes, las cuales son necesarias para velocidades elevadas. De lo contrario el líquido se mueve como un remolino que gira alrededor del tanque, con velocidad elevada pero con poco efecto de mezcla. Agitadores De Turbina. La mayor parte de ellos se asemejan a agitadores de múltiples y cortas paletas, que giran con velocidades elevadas sobre un eje que va montado centralmente dentro del tanque. Las paletas pueden ser rectas o curvas, inclinadas o verticales. El rodete puede ser abierto, semicerrado o cerrado. El diámetro del rodete es menor que en el caso de agitadores de paletas, siendo del orden del 30 al 50% del diámetro del tanque. Los agitadores de turbina son eficaces para un amplio intervalo de viscosidades; en líquidos poco viscosos, producen corrientes intensas, que se extienden por todo el tanque y destruyen las masas de líquido estancado. En las proximidades del rodete existe una zona de corrientes rápidas, de alta turbulencia e intensos esfuerzos cortantes. Las corrientes principales son radiales y tangenciales. Las componentes tangenciales dan lugar a vórtices y torbellinos, que se deben evitar por medio de placas deflectoras o un anillo difusor, con el fin de que el rodete sea más eficaz.

441

El agitador de turbina semiabierto, conocido como agitador de disco con aletas, se emplea para dispersar o disolver un gas en un líquido. El gas entra por la parte inferior del eje del rodete; las aletas lanzan las burbujas grandes y las rompen en muchas pequeñas, con lo cual se aumenta grandemente el área interfacial entre el gas y el líquido. Tipos de Flujo en Tanques Agitados. El tipo de flujo que se produce en un tanque agitado, depende del tipo de rodete, de las características del fluido y del tamaño y proporciones del tanque, placas deflectoras y agitador. La velocidad del fluido en un punto del tanque tiene tres componentes y el tipo de flujo global en el mismo, depende de las variaciones de estas tres componentes de la velocidad, de un punto a otro. La primera componente de velocidad es radial y actúa en dirección perpendicular al eje del rodete. La segunda es longitudinal y actúa en dirección paralela al eje. La tercera es tangencial o rotacional, y actúa en dirección tangencial a la trayectoria circular descrita por el rodete. Para el caso corriente de un eje vertical, las componentes radial y tangencial están en un plano horizontal y la componente longitudinal es vertical. Las componentes 442

radial y longitudinal son útiles porque dan lugar al flujo necesario para que se produzca la mezcla. Cuando el eje es vertical y está dispuesto en el centro del tanque, la componente tangencial de velocidad es generalmente perjudicial para la mezcla. El flujo tangencial sigue una trayectoria circular alrededor del eje y crea un vórtice en la superficie del líquido que debido a la circulación en flujo laminar, da lugar a una estratificación permanente en diferentes niveles, de substancias sin mezclar, sin que exista flujo longitudinal de un nivel a otro. Si están presentes partículas sólidas, las corrientes circulatorias tienden a lanzar las partículas contra la pared del tanque, debido a la fuerza centrífuga, desde donde caen acumulándose en la parte central del fondo del tanque. Por consiguiente en vez de mezcla, se produce la acción contraria. En un tanque sin placas deflectoras, el flujo circulatorio es inducido por todos los tipos de rodete, tanto si el flujo es axial como radial. Si los remolinos son intensos, el tipo de flujo dentro del tanque es esencialmente el mismo, independientemente del diseño del rodete. Para velocidades de giro del rodete elevadas, la profundidad del vórtice puede ser tan grande que llegue al rodete mismo, dando lugar a que en el líquido se introduzca el gas que está encima de él, lo cual normalmente debe evitarse. Formas de evitar remolinos:  Colocando el agitador fuera del eje central del tanque. En tanques pequeños se debe colocar el rodete separado del centro del tanque, de tal manera que el eje del agitador no coincida con el eje central del tanque. En tanques mayores el agitador puede montarse en forma lateral, con el eje en un plano horizontal, pero no en la dirección del radio.  Instalando placas deflectoras. Estas son placas verticales perpendiculares a la pared del tanque. En tanques pequeños son suficientes 4 placas deflectoras, para evitar remolinos y formación de vórtice. El ancho de las placas no debe ser mayor que un doceavo del diámetro del tanque. Cuando se usan agitadores de hélice, el ancho de la placa puede ser de un octavo del diámetro del tanque. Si el eje del agitador está desplazado del centro o inclinado, no se necesitan placas deflectoras. Cuando no se presentan remolinos, el tipo de flujo específico depende del tipo de rodete: 



Los agitadores de hélice impulsan el líquido hacia el fondo del tanque, desde donde la corriente se extiende subiendo por las paredes y retornando hacia la hélice. Se emplean cuando se desean intensas corrientes verticales, por ejemplo para mantener en suspensión partículas sólidas pesadas. No se emplean cuando la viscosidad del líquido es superior a los 5.000 centipoises. Los agitadores de paletas producen un flujo radial intenso en el plano próximo a las palas, pero prácticamente no dan lugar a corrientes verticales. Estos agitadores no son eficaces para mantener sólidos en suspensión.

443



Los agitadores de turbina impulsan al líquido radialmente contra las paredes laterales del tanque, desde donde la corriente se divide, una parte fluye hacia arriba y otra parte hacia el fondo, retornando ambas al rodete. Por lo que producen dos corrientes de circulación separadas. Dan excelentes resultados en la mezcla de líquidos que tienen aproximadamente la misma densidad relativa.

Consumo de Potencia. Las variables que pueden ser controladas y que influyen en la Potencia consumida por el agitador son: 

 

Dimensiones principales del tanque y del rodete: Diámetro del tanque (D t), Diámetro del rodete (Da), altura del líquido (H), ancho de la placa deflectora (J), distancia del fondo del tanque hasta el rodete (E), y dimensiones de las paletas. Viscosidad () y densidad () del fluido. Velocidad de giro del agitador (N).

El cálculo de la potencia consumida se hace a través de números adimensionales, relacionando por medio de gráficos el número de Reynolds y el Número de Potencia. Estas gráficas dependerán de las características geométricas del agitador y de si están presentes o no, las placas deflectoras.

Da 2 N Re   Número de Reynolds = esfuerzo de inercia / esfuerzo cortante Número de Potencia = esfuerzo de frotamiento / esfuerzo de inercia

N po 

P N 3 D a 5

Número de Froude = esfuerzo de inercia / esfuerzo gravitacional

N Fr

N 2Da  g

Para bajos números de Reynolds (Re <10) el flujo es laminar, la densidad deja de ser un factor importante y la potencia puede encontrarse como:

P  K L N 2 D a 2 444

En tanques con placas deflectoras y para números de Reynolds superiores a 10.000, la función de potencia es independiente del número de Reynolds y la viscosidad deja de ser un factor. Las variaciones del Número de Froude tampoco influyen.

Representación del Reynolds contra el número de potencia.

La agitación puede llevarse a cabo en tanques con deflectores de mamparas o sin éstas. Si el tanque no tiene mamparas se presenta el vórtice. 445

Cuando se presenta el vórtice se requiere del número adimensional de Froude. Son muchas las correlaciones empíricas para estimar los requerimientos de la potencia requerida. Una forma simple de presentar estas correlaciones es agruparlas en gráficas de Potencia contra Reynolds tal como la mostrada. En estas correlaciones se requiere saber además la posición del agitador, la relación del agitador al diámetro del tanque, etc. Para ello se deben usar las tablas que indican las condiciones en que trabaja cada correlación. Si no se encuentra el diseño requerido, se puede corregir la potencia leída en la gráfica mediante:

Cuando hay deflectores en la gráfica se lee:

Si hay vórtices en la gráfica se debe obtener el número:

Ejemplo 1. Calcule la potencia requerida para un agitador de tres palas con paso de hélice = 2Da y con 40 cm de diámetro y que gira a 300 RPM dentro de una solución de sosa caústica al 30 %. La solución está a 20 ° C. El tanque tiene un diámetro de 1.5 m y está provisto con 4 deflectores de 15 cm. La hélice está colocada a 0.5 m del fondo y el tanque está lleno de solución hasta 1.5 m de altura.

446

1. Traducción.

2.- Cálculos. 2.1.- Datos. Densidad de la solución de sosa caústica al 30% 0 1297 kg /m 3; viscosidad de la solución 13 s. 2.2.- Relaciones.

=1.25

2.3.- Número de Reynolds. 2.4.- Potencia. En la gráfica el problema corresponde al caso número 15. De la gráfica se obtiene que:

De donde 𝒫= 143.38 kgm/s 2.5.- Corrección por condiciones deseadas. 447

=143.8 2.6.- Potencia del agitador. Suponiendo una eficiencia del motor del 70%, la potencia al freno sería de 230 kgm/s, o sea alrededor de 3 HP. 3.- Resultados. Se requiere una potencia de 3 H.P. Ejemplo 2. Si en el problema anterior el tanque no tuviera deflectores ¿Cuál sería la potencia necesaria? 1.- Planteamiento. EL tanque y las condiciones de operación permanecen iguales, por lo tanto el Reynolds es el mismo y las relaciones son semejantes. 1.3.- Froude.

1.2.- Potencia. El tanque sin mamparas se asemeja ahora al caso de la curva 21 en donde: a = 1.7 y b= 18 A partir del Reynolds y la curva 21 se obtiene:

𝒫=118.6 kgm/s 1.3.- Corrección. =118.6 1.4.- Potencia del agitador. Suponiendo una eficiencia del 70 % la potencia será de 180 kgm/s = 2.5 HP. 2.- Resultado.- La potencia será de alrededor de 2.5 H.P.

448

449

450

451

Consumo de potencia en los agitadores cuando están sumergidos en fluidos no-newtonianos. El tipo de flujo en un sistema no newtoniano dependerá del tipo de fluido. Se espera que para un fluido pseudoplástico casi todo el mezclado se dé en una pequeña región cercana al impulsor debido a que el esfuerzo cortante decrece al aumentar la distancia desde el impulsor, por lo que la viscosidad aumentará y el flujo decrecerá. Para los fluidos dilatantes habrá una tendencia del fluido cercano al impulsor a solidificarse, así que el efecto de mezclado será equivalente a si se hubiera aumentado el tamaño del impulsor. Para los materiales viscoelásticos la turbulencia se suprime por la naturaleza elástica del fluido. Por lo anterior la predicción del consumo de potencia para un fluido no newtoniano es más compleja que para un fluido simple. Forestei y Lui presentaron una correlación que es aplicable a los fluidos seudoplásticos en la región laminar (Re<10) para varios tipos de impulsores que incluyen a las turbinas, anclas y hélices. Los datos de estos autores ecuación:

se correlacionan adecuadamente mediante la

En donde A es una constante empírica = 50., H es la profundidad del líquido y C la altura del impulsor sobre el fondo del tanque.

Calderbank y Moo Young extendieron esa correlación en un rango mayor, empleando un número de r Reynolds generalizado modificado. El Reynolds utilizado por estos autores fue:

El número de potencia modificado (Npo’) está dado por:

En donde ΔW es el factor de proximidad del recipiente. Cuando DT/Da>1.3 entonces ΔW = 3.33

452

Para agitadores de ancla

B y E son los números de hojas del agitador y el número efectivo de ejes de las hojas, E tiene un valor de 2 para las anclas y de 1 para los demás impulsores. El factor:

Se basa en la longitud periférica efectiva. Las fórmulas para calcular ese factor son:

Le y De se evalúan a partir de las siguientes figuras:

453

: k’ es una constante empírica. a) Para todos los impulsores, excepto los de anclas si n>1, Dt/Da >1.5, nb =4; J/DT =0.1, k’=11; J =ancho de las mamparas. Si n>1, DT/Da >3, nb =4; J /DT =0.1

b) Para agitadores de ancla n<1, DT/Da <1.4

c)

454

Ejemplo 3. Determine la potencia requerida para la agitación, con una turbina de seis hojas planas, de un líquido no newtoniano que tiene las características siguientes: n= 0.7; K = 5.94 Pa sn y densidad igual a 963 kg /m3. La turbina es de 2 pies de diámetro con una altura de las hojas de 6 pulgadas y opera a 150 RPM dentro de un tanque cilíndrico. El diámetro del recipiente es de 6 pies y la altura del líquido en el tanque es de 6 pies. El impulsor está situado a 2 pies por arriba del fondo del tanque. El tanque cuenta con 4 mamparas de seis pies de alto por 7 pulgadas de ancho.

1.- Traducción.

455

2.- Planteamiento. 2.1.- Método de M.B. Moo-Young. Para n<1 DT/Da >1.5 y k’ =11

3.- Cálculos.

3.2.- Número de potencia. De la figura de Moo-Young. N’po = 0.42

456

E =1; Le = L = 0.5; De = D =2 Por lo tanto: ΔW =3.33 B =6

𝒫=

=8.54 H.P

4.- Resultado. La potencia es de 8.54 H.P.

457

Ejercicios propuestos de autoevaluación. 1.- Calcule la potencia requerida por un agitador de hélice de tres palas y paso igual a su diámetro el cual tiene 40 cm de diámetro y gira a 300 RPM dentro de una solución de sosa caústica al 30 % en peso y 20 ° C dentro de un tanque sin deflectores de 3 m de diámetro. La profundidad del líquido es de 2.4 m. R.-Se requieren 414 W. 2.- En el tanque que se muestra a continuación se instaló un agitador de turbina de aspas planas. El diámetro del tanque Dt es de 1.83 m, el diámetro de la turbina Da es de 0.61 m y el ancho de las aspas A de 0.122m. El tanque tiene 4 deflectores, todos ellos con un ancho W de 0.025 m. La turbina opera a 90 RPM y el líquido en el tanque tiene una viscosidad de 10 s y una densidad de 929 kg /m3. Calcule los kW requeridos por el mezclador.

R.- La potencia teórica es de 1.324 kW. 3.- En un tanque de 1.2 m de diámetro y 1.5 m de altura sin deflectores se agita una mezcla de 1600 kg /m3 de densidad y 20 s de viscosidad. El líquido ocupa el 75% del volumen en el tanque. Se desea agitar a 3 RPM con un agitador de propela marina de 3 aspas, con espaciamiento de dos diámetros entre cada aspa. El diámetro de la propela es de 36 cm. ¿Cuál es la potencia requerida? R.- La potencia es de 259 W. 4.-Calcule la potencia requerida para la agitación si se usa un impulsor de tipo hélice de 3 hojas de 60 cm de diámetro y espaciamiento de 60 cm operando a 100 RPM, en un tanque sin mamparas que contiene agua a 20° C. El diámetro del tanque es de 1.8 m con un nivel de líquido hasta 1.8 m y el impulsor está colocado a 60 cm del fondo del tanque. 458

R.- Se requiere una potencia de 120 W. 5.-En un tanque se instala un agitador de turbina de seis paletas. El tanque tiene 2 m de diámetro, el diámetro de la turbina es de 60 cm. El tanque está lleno con una solución de sosa caústica al 50% hasta una altura de 2m. La solución está a 20 ° C. La turbina opera a 90 RPM. Calcule la potencia requerida si el tanque tiene 4 deflectores de 20 cm de ancho. R.- La potencia es de 2.5 kW

459

Capítulo XVII

Flujo a dos fases sistema gas-líquido.

460

INTRODUCCIÓN. El conocimiento del flujo en corriente paralela de gases y líquidos es esencial para el diseño y la operación de tuberías donde se presenta este fenómeno, así como en el diseño y operación de muchos equipos empleados en el procesamiento de materiales. Los reactores químicos, los re hervidores, condensadores parciales y aparatos de o de masa son ejemplos típicos de equipos en los cuales el gas y el líquido fluyen en corrientes paralelas. El diseño de estos equipos de proceso también requiere del conocimiento de las caídas de presión, pero a su vez se necesita predecir los coeficientes de transferencia de calor y de masa para su adecuado desempeño. En el diseño de tuberías con flujo a dos fases, el ingeniero se preocupa principalmente por el cálculo de la caída de presión, la cual puede estimarse con bastante precisión. Desde hace años se reconoció que para mejorar la predicción de los diferentes parámetros constituyentes de este fenómeno, los cuales son la fracción volumétrica de cada fase (holdup), la caída de presión, la transferencia de calor y masa, así como otros parámetros hidráulicos, era necesario considerar la estructura detallada de la configuración del flujo. A estas configuraciones, las cuales están relacionadas con la distribución de las fases dentro de la tubería, se les denomina patrones o regiones de flujo. Se han efectuado muchos trabajos experimentales y teóricos para predecir la caída de presión y el tipo de patrón de flujo producido en las tuberías, pero hasta ahora no se ha encontrado una correlación general, similar a las gráficas del factor de fricción vs. El número de Reynolds, muy útiles para calcular la caída de presión para el flujo a una fase. Esto se debe a la existencia de un cierto número de complicaciones que dificultan el uso de una sola correlación. La mayor de ellas en el flujo a dos fases es la variedad de patrones de flujo que pueden presentarse. El tipo de patrón de flujo encontrado depende de las propiedades de los fluidos, los gastos y la geometría del equipo. Aunque no se ha encontrado una correlación general aplicable a todos los tipos de flujo, se han desarrollado correlaciones para patrones de flujo específicos. Uno de los primeros en hacer una clasificación visual de los patrones de flujo fue Alves1. Los patrones de flujo son correlacionados empíricamente en función de los gastos y de las propiedades de los fluidos. El mecanismo de la transferencia de moméntum varía con el patrón de flujo, pero falta por esclarecerse si la descripción visual del patrón es suficiente para identificar las regiones en donde estos mecanismos cambian. Los límites o fronteras entre los patrones no son precisos pues existe un cambio gradual y, en muchos casos, estas fronteras dependen de las interpretaciones particulares de los diferentes investigadores. La predicción de la caída de presión se efectúa mediante correlaciones de diferente índole. Los primeros en proponer una de ellas fueron Lockhart y Martinelli27, la cual depende del tipo de flujo. Actualmente se cuenta con 461

correlaciones semiempíricas independientes del patrón de flujo presente en la tubería, lo cual nos acerca al desarrollo de un modelo general del flujo bifásico gas-líquido en un futuro quizá no lejano. PATRONES DE FLUJO EN TUBERÍAS HORIZONTALES. Existen básicamente siete tipos generales de patrones de flujo en las tuberías horizontales (figura 1). Estos patrones, arreglados en orden creciente de flujo de gas a un flujo de líquido constante, son los siguientes: Flujo Burbuja (Bubble flow): Este flujo se caracteriza por burbujas de gas dispersas en el líquido, las cuales se mueven en la parte superior de la tubería a aproximadamente la misma velocidad del líquido. Se presenta con velocidades superficiales de gas de 0.3 a 3 m/s y velocidades superficiales de líquido entre 1.5 y 5 m/s. Si la velocidad del líquido es alta, las burbujas se dispersan a través de todo el tubo, conociéndose a este patrón como flujo espuma (froth flow) o flujo burbuja dispersa. Flujo Tapón (Plug flow: Se presentan tapones o pistones alternados de líquido y de gas. El gas se mueve en la parte superior de la tubería debido a la fuerza de gravedad. Se da a velocidades superficiales de gas menores a 0.9 m/s y velocidades superficiales de líquido inferiores a 0.6 m/s. También se le suele llamar flujo de burbuja alargada (elongated bubble flow) o flujo pistón. Flujo Estratificado (Stratified flow): En este caso el líquido fluye en la parte inferior de la tubería y el gas en la parte superior, produciéndose una interface gas-líquido suave y uniforme. Se da cuando la velocidad superficial del líquido es menor a 0.15 m/s y la del gas fluctúa entre los 0.6 y 3 m/s. También se le conoce como flujo estratificado suave (stratified smooth flow). Flujo Onda (Wave flow): Es similar al estratificado, sólo que en este caso hay ondas u olas viajando en la dirección del flujo. Se presenta cuando la velocidad superficial del líquido es menor a 0.3 m/s y la del gas superior a 5 m/s. También se le suele llamar flujo estratificado ondulado (stratified wavy flow). Flujo Ariete (Slug flow): Al aumentar aún más la velocidad del gas, la altura de las olas aumenta hasta el punto en que tocan la superficie interna superior del tubo y forman un ariete espumoso. La velocidad de estos arietes es mayor que la velocidad promedio del líquido. Los arietes de líquido causan severas vibraciones en el equipo usado debido al impacto del líquido a alta velocidad contra las conexiones y retornos. También causa erosión en las paredes internas del sistema por donde fluye. Por ello debe evitarse este tipo de flujo. Se presenta en un amplio rango de velocidades superficiales tanto del gas como del líquido. Se le conoce también como flujo picos, flujo pulsante o flujo con golpeteo.

462

Flujo Anular (Annular flow): El líquido fluye formando una película alrededor de la pared interna del tubo, con el gas en el centro. Una parte del líquido es arrastrada en forma de pequeñas gotas por el centro gaseoso. Ocurre a velocidades superficiales de gas mayores a 6 m/s. Se le conoce también como flujo película (film flow). Flujo Disperso (Dispersed flow): En este patrón de flujo prácticamente todo el líquido es arrastrado en forma de gotitas en el gas. Se produce a velocidades superficiales de gas superiores a 60 m/s. También se le suele denominar flujo neblina (mist flow o fog flow) o flujo rocío (spray flow). Cuando algunas porciones de la pared interna del tubo están cubiertas por una fina película de líquido, se le conoce como flujo anular-neblina.

Flujo Burbuja

Flujo Tapón

Flujo Estratificado

Flujo Onda

Flujo Ariete

Flujo Anular

Flujo Disperso Figura 1.- Patrones de flujo a dos fases sistema gas-líquido en tuberías horizontales.

A estos patrones de flujo se les clasifica en grupos de acuerdo a la distribución de las fases: Flujo Segregado: cada fase fluye en forma de capa o lámina: flujos estratificados, onda y anular. 463

Flujo Intermitente: cada fase fluye de manera alternada y periódica: flujos tapón y ariete. Flujo Distribuido: una fase se encuentra dispersa en la otra, la cual fluye de manera continua: flujos burbuja y disperso. PREDICCIÓN DE HORIZONTALES.

LOS

PATRONES

DE

FLUJO

EN

TUBERÍAS

El cálculo de la caída de presión en el flujo a dos fases depende del patrón de flujo, por ello la primera etapa del cálculo requiere de la predicción de ese patrón. La identificación de los patrones de flujo es quizá una de las áreas de flujo de fluidos en dos fases que ha causado más controversia, debido a la dependencia en la técnica utilizada en la experimentación (éstas pueden variar desde visuales, pasando por fotografía de alta velocidad, video de alta resolución, hasta detectores de fluctuaciones de presión). Se han preparado numerosas cartas para predecir aproximadamente el patrón a partir de las condiciones del flujo, las propiedades de los fluidos y la geometría del tubo. A partir de esas cartas, también llamadas mapas de patrones de flujo, el ingeniero puede predecir con un cierto grado de aproximación qué tipo de flujo se presenta en un problema determinado. Baker3 presentó uno de esos mapas para el flujo horizontal elaborado a partir de los datos proporcionados por varios autores (figura 2). Los bordes, fronteras o límites entre los patrones de flujo presentes en este mapa, son mostrados como funciones de la masa velocidad de la fase gaseosa y del cociente de flujos másicos de ambas fases. Estas fronteras no son en realidad líneas sino zonas de transición entre los diferentes patrones de flujo. Al utilizarlo, el diseñador debe tener en cuenta que el mapa proporciona una idea aproximada del patrón de flujo más probable de obtenerse. El mapa de la figura 2 fue elaborado a partir de datos de aire y agua a presión atmosférica y a temperatura ambiente. Con la finalidad de emplearlo para cualquier otro sistema, Baker utilizó factores de corrección que ajustaran las propiedades físicas del agua y del aire a las de otros fluidos y a otras condiciones de presión y temperatura. Los datos usados por Baker corresponden a experimentos efectuados en tuberías cuyo diámetro va de 1 pulgada hasta 4 pulgadas. Las regiones de los diferentes patrones de flujo no cambian significativamente para diámetros de tubería mayores a 4 pulgadas, pero para diámetros menores a 1 pulgada, la región del flujo onda tiende a desaparecer, modificando las áreas correspondientes a los flujos estratificado y anular.

464

100000 DISPERSO

ONDA

ANULAR

BURBUJA

By

10000

ARIETE ESTRATIFICADO 1000

TAPÓN 100 0.1

1

10

100

1000

10000

Bx

Figura 2.- Mapa de patrones de Baker para flujo horizontal en sistemas gas-líquido. (1954)

Para determinar el patrón de flujo empleando el mapa de Baker, se deben calcular primero los parámetros de Baker (Bx y By), con los cuales se determina en la gráfica el tipo de flujo esperado: 1

1

W  2 3 Bx  0.0341 L G 1L WG   6 L L By  7.092

WG A  G L

 13     lb   2  h ft 

(1)

(2)

En donde: Bx y By = abscisa y ordenada del mapa de Baker. L = densidad del líquido en kg/m3. G = densidad del gas en kg/m3. L = viscosidad del líquido en centipoise. L = tensión superficial del líquido en kgf/m. A = área transversal de flujo del tubo en m2. WL = flujo másico del líquido en kg/h. WG = flujo másico del gas en kg/h. Nótense las unidades de cada una de las coordenadas y las unidades de las variables ahí presentes. Para transformar dina/cm a kgf/m, multiplicar por 1.02x10-4.

465

Ejemplo 1. ¿Cuál será el patrón de flujo esperado en una tubería horizontal de 6 pulgadas cédula 40 por la cual fluyen 2800 kg/h de líquido con una densidad de 834 kg/m3, viscosidad de 0.1 s y tensión superficial de 6.25 dinas/cm? Por la tubería fluyen además 9800 kg/h de vapor con 30.75 kg/m3 de densidad y una viscosidad de 0.01 . 1.-Traducción. WL = 2800 kg/h

GAS – LÍQUIDO

WG = 9800 kg/h

6” Ced. 40

2.-Planteamiento. 2.1.-Discusión Se deberá encontrar el tipo de flujo presente mediante el empleo de los parámetros y el mapa de Baker. 2.2.-Parámetros de Baker 1

1

W  2 3 Bx  0.0341 L G 1L WG   6 L L

 13   

By  7.092

WG A  G L

 lb   2  h ft 

3.-Cálculos. 3.1.-Parámetros de Baker Para una tubería de 6” de diámetro nominal cédula 40, su diámetro interno es: D = 6.065 in = 0.154 m  A = D2 = 0.018639 m2 4 9800

By  7.092 0.018639 m

2

kg h

kg  kg  30 .75 3  834 3  m  m 

 23284

 L = 6.25 dina/cm = 6.37x10-4 kgf/m 1

kg   30 .75 kg  2 0.1 13   2800  m3  h   Bx  0.0341  12 .83 1 kg   6 kg   4 kgf   9800  h  6.37  10 m  834 3   m  

466

3.2.-Determinación del tipo de flujo Con los valores de Bx y By, se localiza en el mapa de Baker el patrón de flujo correspondiente a la intersección de estos valores. Se puede observar que la intersección se presenta en la región de flujo anular. 4.-Rresultado. El flujo obtenido es anular.

Las fronteras entre los patrones de flujo se pueden aproximar mediante ecuaciones10 obtenidas con una regresión por el método de mínimos cuadrados, las cuales se usan como base para determinar el régimen prevaleciente para cualquier flujo dado y para cualesquier propiedades físicas del líquido y del gas. Las ecuaciones matemáticas que representan las fronteras de los distintos regímenes de flujo son: C1: C2: C3: C4: C5: C6:

ln By = 8.67694 – 0.1901(ln Bx) ln By = 9.774459 – 0.6548(ln Bx) ln By = 11.3976 – 0.6084(ln Bx) + 0.0779(ln Bx) 2 ln By = 10.7448 – 1.6265(ln Bx) + 0.2839(ln Bx) 2 ln By = 14.569802 – 1.0173(ln Bx) ln By = 7.8206 – 0.2189(ln Bx)

(3) (4) (5) (6) (7) (8)

En donde C1, C2, C3, C4, C5, C6 corresponden a las líneas representadas en el gráfico siguiente: 100000 C3

DISPERSO

C2 ONDA

ANULAR

BURBUJA

10000 C4

By

C1 ARIETE

C5

ESTRATIFICADO 1000

C6

TAPÓN

100 0.1

1

10

100

1000

10000

Bx

Figura 3.- Numeración de las fronteras entre patrones de flujo en el mapa de Baker.

Como las fronteras de los distintos patrones de flujo no están muy bien delimitadas, en la práctica han aparecido algunas versiones modificadas del mapa

467

de Baker, entre ellas una debida a Scott34 en la que se muestran las fronteras de incertidumbre:

Figura 4.- Mapa de patrones de Scott para flujo horizontal en sistemas gas-líquido. (1963)

En donde: L  Bx G

(9)

G  By          G  L   0.075  62 .3 

(10)

1 2

2  73   62.3   L        L   L  

1 3

L = masa velocidad de la fase líquida en lb/ (h ft2). G = masa velocidad de la fase gaseosa en lb/ (h ft2). L = densidad del líquido en lb/ft3. G = densidad del gas en lb/ft3. L = viscosidad del líquido en centipoise. L = tensión superficial del líquido en dina/cm. 468

(11)

(12)

En los últimos años se han utilizado con mayor frecuencia las gráficas de velocidades superficiales, en las cuales se presentan con mejor precisión las fronteras de los diferentes regímenes de flujo. Entre esas gráficas están las de Govier20, Mandhane28 y Taitel35, en las que se grafica la velocidad superficial del gas contra la del líquido. Una modificación de esas cartas o mapas es la presentada por González Ortiz19 (figura 5), la cual fue elaborada a partir de experimentos realizados con sistemas aire-agua. 10

BURBUJA DISPERSA

TAPÓN ARIETE 1

vSL (m/s)

ANULARNEBLINA

ESTRATIFICADO 0.1

ONDA

0.01 0.01

0.1

1

10

100

vSG (m/s) Figura 5.- Mapa de patrones de González Ortiz para flujo horizontal en sistemas gas-líquido. (1995)

Este tipo de mapas surgieron al observar que los factores de corrección de propiedades respecto al aire y al agua tienen generalmente un valor unitario. De esta manera, los mapas de velocidades superficiales son aplicables para cualquier sistema diferente al aire-agua. La velocidad superficial 12 en flujo a dos fases es aquella que tendría el fluido si estuviera fluyendo solo por la tubería, por lo tanto es igual al flujo volumétrico o caudal dividido entre el área transversal de la tubería: vS 

Q W  3600 A 3600  A

En donde: vS = velocidad superficial del fluido en m/s. 469

(13)

Q = flujo volumétrico del fluido en m3/h. A = área transversal de la tubería en m2. W = flujo másico del fluido en kg/h.  = densidad del fluido en kg/m3. Ejemplo 2. Una mezcla de líquido y vapor fluye por una tubería horizontal de 3 pulgadas de diámetro cédula 40. Si el flujo de vapor es de 1350 kg/h y el de líquido de 500 kg/h, evalúe el tipo de flujo que se presenta si las propiedades de los fluidos son: densidad del vapor = 1.25 kg/m3; densidad del líquido = 1000 kg/m3; viscosidad del líquido = 1 s; tensión superficial del líquido = 15 dinas/cm. 1.-Traducción. GAS – LÍQUIDO

WL = 500 kg/h

3” Ced. 40

WG = 1350 kg/h

2.-Planteamiento. 2.1.-Discusión Para obtener el patrón de flujo se emplearán los mapas de Baker y de González Ortiz. 2.2.-Parámetros de Baker 1

1

W  2 3 Bx  0.0341 L G 1L WG   6 L L

 13   

By  7.092

WG A  G L

2.3.-Velocidad superficial v SG 

WG 3600  G A

m  s  

v SL 

WL 3600 L A

3.-Cálculos. 3.1.-Obtención del patrón de flujo mediante el mapa de Baker D = 3.068 in = 0.0779 m A = 0.004769 m2 L = 15 dina/cm = 1.53x10-3 kgf/m Bx = 2.918

470

m  s  

 lb   2  h ft 

By = 56777 En el mapa de Baker, las coordenadas Bx y By indican flujo disperso, pero el punto se encuentra casi sobre el borde limitante con el flujo anular. 3.2.-Obtención del patrón de flujo con el mapa de González Ortiz kg m h vSG =  62 .91 s kg  s 3600 1.25 3  0.004769 m 2 h m  1350





kg m h vSL =  0.0291 s kg  s 3600 1000 3  0.004769 m 2 h m  500





En el mapa de González Ortiz, el flujo resultante es anular-neblina, pero la intersección de las coordenadas se encuentra cerca de la frontera con el flujo onda. 4.-Resultado. El patrón de flujo más probable es el disperso, debido a la coincidencia de este flujo en ambos mapas, mas no se descarta la posibilidad del desarrollo de los flujos anular u onda dentro de la tubería.

La distribución de los patrones de flujo del mapa de González Ortiz puede representarse mediante las ecuaciones siguientes: C1: C2: C3: C4: C5:

vSL = 0.1174 vSG2 – 0.7499 vSG + 5.881 vSL = 0.746 vSG3 – 3.3173 vSG2 + 1.7162 vSG + 4.865 vSL = -0.003 vSG3 + 0.0297 vSG2 – 0.4343 vSG + 1.7838 vSL = -4x10-5 vSG3 + 0.0041 vSG2 + 0.0633 vSG – 0.5537 vSL = 6x10-6 vSG3 – 0.0007 vSG2 + 0.015 vSG + 0.203

( 14 ) (15) (16) (17) (18)

En donde C1, C2, C3, C4, C5 son las fronteras entre los patrones de flujo en la siguiente gráfica:

471

10

C1

BURBUJA DISPERSA

TAPÓN

C2

C4

ARIETE

C3 1

vSL (m/s)

ANULARNEBLINA

C5

ESTRATIFICADO 0.1

ONDA

0.01 0.01

0.1

1

10

100

vSG (m/s) Figura 6.- Numeración de las fronteras entre patrones de flujo en el mapa de González Ortiz para flujo horizontal.

Los mapas de Baker y de González Ortiz, entre muchos otros, han sido elaborados para determinar los diferentes patrones de flujo para sistemas gaslíquido newtoniano. De esta misma manera, Chhabra y Richardson realizaron un mapa (figura 7), basándose en el de Mandhane 28, para poder incluir al flujo de sistemas gas-líquido no newtoniano. Este mapa es una gráfica de velocidades superficiales, como la de González Ortiz, y aplica para líquidos pseudoplásticos y dilatantes (líquidos cuyo comportamiento está dado por la ley de la potencia), y para los líquidos viscoelásticos (soluciones poliméricas), es decir, aplica para líquidos cuya viscosidad no depende del tiempo. Como los líquidos newtonianos se comportan de acuerdo a la ley de la potencia (con exponente igual a 1), entonces este mapa también aplica para los sistemas gas-líquido newtoniano. Para mayores detalles respecto a los líquidos no newtonianos y su reología, se recomienda al lector consultar las obras de Valiente Barderas, de Schetz y Fuhs, y de Chhabra y Richardson. Las fronteras entre los patrones de flujo en el mapa de la figura 7 tampoco son líneas sino regiones de transición. El flujo intermitente en este mapa abarca a los flujos tapón y ariete. Para diseñar sistemas donde fluyan mezclas gas-líquido no newtoniano, empleando este mapa, es recomendable evitar esta región de flujo 472

debido a su inestabilidad y al posible daño a la tubería ocasionado por los tapones o los arietes. Esto se logra seleccionando adecuadamente las velocidades superficiales de ambas fases, las cuales son función de los flujos másicos del líquido y del gas. 10

BURBUJA DISPERSA

1

INTERMITENTE

vSL (m/s)

ANULARNEBLINA 0.1

ONDA

ESTRATIFICADO 0.01

0.001 0.01

0.1

1

10

100

vSG (m/s) Figura 7.- Mapa de patrones de Chhabra-Richardson para flujo horizontal en sistemas gas-líquido. (1984)

Para obtener información sobre otros mapas de patrones de flujo horizontal a dos fases para sistemas gas-líquido, es recomendable consultar las obras de Núñez Alba y de los hermanos Varela Juárez. PREDICCIÓN DE LA CAÍDA DE PRESIÓN EN TUBERÍAS HORIZONTALES. La caída de presión, en general, recibe contribuciones de tres efectos diferentes: fricción, aceleración y elevación. En el caso del flujo horizontal, este último efecto no interviene en la caída de presión. El cálculo más simple de la caída de presión en flujo a dos fases líquido-gas está basado en los trabajos de Lockhart y Martinelli. Ellos encontraron que la ecuación general para el cálculo de las pérdidas de presión por fricción en el flujo a dos fases estaba dada por: (19) P2F   2 P1F En donde: 473

P2F = caída de presión en flujo a dos fases. P1F = caída de presión en una de las fases. = función que depende del módulo de Lockhart-Martinelli (X):  P  X   L   PG 

1 2

(20)

Donde: X = módulo de Lockhart-Martinelli para flujo a dos fases líquido-gas. PL = caída de presión en la fase líquida. Posteriormente otros investigadores se dieron a la tarea de desarrollar modelos teóricos más detallados y complejos, los cuales brindan al ingeniero una mayor precisión en el cálculo de caídas de presión en flujo a dos fases. Correlación de Lockhart-Martinelli. La idea básica de esta correlación es, que la caída de presión en el flujo concurrente a dos fases puede ser calculada empleando las ecuaciones y gráficas comúnmente utilizadas para el cálculo de la caída de presión en el flujo a una sola fase fluida, una vez conocidas las velocidades individuales de cada fase. Mediante la suposición de que las dos fases están circulando por la línea totalmente separadas entre sí, es posible definir sus respectivas velocidades en términos de un diámetro denominado hidráulico y de un factor de forma. En su artículo, ellos publican en detalle el análisis del fenómeno y el desarrollo de esta correlación. Lockhart y Martinelli lanzaron para su análisis dos postulados básicos: 1.- La caída de presión estática para la fase líquida es siempre equivalente a la de la fase gaseosa sin importar el patrón de flujo adoptado por la mezcla en movimiento, asimismo no existe una diferencia de presión estática radial apreciable. 2.- El volumen ocupado por la fase líquida más el volumen ocupado por la fase gaseosa en cualquier instante y posición, debe ser igual al volumen total de la tubería. Estos postulados sugieren la no existencia de un cambio en el modelo de flujo a lo largo de la tubería. De esta manera, los flujos tapón y ariete quedan eliminados en esta consideración. En base a sus observaciones experimentales, Lockhart y Martinelli graficaron  vs. X de forma semejante a la mostrada en la figura 8. Estos investigadores en realidad obtuvieron cuatro curvas de  para cada fase, pues definieron los siguientes regímenes de flujo: 1.- Ambas fases líquido y gas en régimen turbulento (tt). 2.- Flujo turbulento en la fase líquida y flujo viscoso en la fase gas (tv). 474

3.- Flujo viscoso en el líquido y turbulento en la fase gas (vt). 4.- Ambas fases en régimen viscoso (vv). Las gráficas se hicieron en escala logarítmica con objeto de angostar los datos esparcidos alrededor de una sola curva de correlación. 100

Lvt Ltt

Ltv

Gtv Gtt

10

Gvt

Lvv Gvv

Ltv

R,

Gvt Gtv

1

Lvt

RG

0.1

RL

0.01 0.01

0.1

1

10

100

X Figura 8.- Gráfica de Lockhart-Martinelli para  y R en función de X. (1949)

En esta gráfica, R es la fracción del volumen total de la tubería ocupada por una de las fases, conocida en inglés como holdup. Calculando el valor de X, se puede obtener el valor de R para cada fase a partir de la gráfica de la figura 8. Las ecuaciones de  correspondientes a la fase gaseosa presentadas en la figura anterior son: log Gtt = 0.00176 (log X)3 + 0.1148(log X)2 + 0.4821(log X) + 0.6358

(21)

log Gtv = 0.00197(log X)6 + 0.0027(log X)5 – 0.0154(log X)4 – 0.02136(log X)3 + 0.1531(log X)2 + 0.5493(log X) + 0.5651

( 22)

475

log Gvt = -0.00807(log X)4 + 0.00158(log X)3 + 0.16(log X)2 + 0.4917(log X) + 0.5622

( 23 ) log Gvv = 0.00543(log X) + 0.00335(log X) – 0.0505(log X) – 0.0279(log X) + 0.2707(log X)2 + 0.5704(log X) + 0.425 6

5

4

3

(24)

Aunque el método de Lockhart-Martinelli sólo da soluciones aproximadas de las caídas de presión, la manera como atacan ambos investigadores al problema basándolo en un modelo físico idealizado es quizás la solución más satisfactoria disponible y a partir de la cual se han desarrollado numerosos trabajos y correlaciones. Método de Lockhart-Martinelli: 1.- Determinar el régimen de flujo de cada fase de acuerdo al criterio de LockhartMartinelli, obteniendo para ello el Reynolds superficial: Re 

DvS  

(25)

Donde: D = diámetro interno de la tubería en m. vS = velocidad superficial de la fase en m/s.  = densidad de la fase a las condiciones de operación en kg/m 3. = viscosidad de la fase en kg/ (m s). Si Re < 1000, el régimen de la fase es viscoso (v). Si Re > 2000, el régimen de la fase es turbulento (t). 2.- Calcular la caída de presión para cada fase, empleando la ecuación de Darcy: Para la fase líquida: PL 

2 fD v SL L L 2 gC D

 kgf   m2   

(26)

Donde: fD = factor de fricción de Darcy. vSL = velocidad superficial de la fase líquida en m/s. L = longitud del tramo de tubería en m. L = densidad de la fase líquida en kg/m3. gC = 9.81 m kg/(s2 kgf) = 32.2 ft lb/(s2 lbf) D = diámetro interno de la tubería en m. Para convertir kgf/m2 a kgf/cm2, dividir entre 10000, y para convertir de kgf/m 2 a lbf/in2 o psi, multiplicar por 0.0014. Para la fase gaseosa:  f  PG  6.379  10 7 L WG2  5 D   D G 

476

 kgf   m2   

(27)

Donde: L = longitud del tramo de tubería en m. WG = flujo másico del gas en kg/h. fD = factor de fricción de Darcy. D = diámetro interno de la tubería en m. G = densidad de la fase gaseosa en kg/m3. Si Re < 2100, la fase se encuentra a régimen laminar. El factor de fricción de Darcy es sólo función del número de Reynolds y se obtiene utilizando la gráfica de Moody (figuras 9 ó 10) o se calcula mediante la ecuación de Hagen-Poiseuille: fD 

64 Re

(28)

Si Re > 2100, la fase en cuestión se encuentra en régimen de transición. Si > 10000, la fase fluye a régimen turbulento. Para estos dos últimos regímenes, el factor de fricción de Darcy es entonces función de la rugosidad relativa de la tubería (/D) y del número de Reynolds, y puede obtenerse empleando la gráfica de Moody o mediante la ecuación de Chen9:   1   1.1098 5.8506  1  5.0452   2 log   log    0.8981   2.8257  D  Re Re fD  3.7065 D  

(29)

Cabe resaltar la diferencia existente entre este criterio de transición de régimen laminar a turbulento (Re = 2100), y el de Lockhart-Martinelli definido en el paso 1 del presente método. Si se emplea la figura 9, el factor de fricción obtenido es el de Fanning (f f), cuyo valor es la cuarta parte del factor de fricción de Darcy (f D). 3.- Calcular el parámetro X con la ecuación 20, ó con la siguiente ecuación, la cual aplica sólo para el flujo turbulento-turbulento (tt): W X 2  0.0084  L  WG

  

1 .8

 G   L

  L    G

  

0 .2

(30)

4.- En la gráfica de Lockhart-Martinelli (figura 8), con X se lee el parámetro G correspondiente al tipo de flujo (tt, tv, vt ó vv). Se pueden emplear las ecuaciones 21 a 24 en lugar de la figura 8. 5.- Calcular la caída de presión a dos fases con la ecuación 19, empleando la caída de presión para la fase gaseosa: P2F   G2 PG

477

(19)

Figura 9.- Gráfica de Moody del factor de fricción para cualquier tipo de tubería.

478

Figura 10.- Gráfica de Moody del factor de fricción para tuberías de acero comercial y de hierro forjado.

479

Una forma simplificada de obtener las pérdidas de presión con el flujo a dos fases es: a) Calcular primero las caídas de presión como si cada fase estuviera sola en la tubería. b) Calcular el módulo de Martinelli.

c) Calcular la caída de presión total: En donde:

Ecuaciones de Baker y colaboradores. Empleando la correlación de Lockhart y Martinelli, Baker3 elaboró una serie de ecuaciones para cada patrón de flujo, en las cuales, relaciona de manera diferente al parámetro X con el parámetro , de tal modo que su aplicación constituye un método más exacto para estimar el valor de la caída de presión a dos fases. Cabe hacer notar que la aplicación del método de Baker está limitada a un solo caso particular de flujo en dos fases: aquél en el cual ambas fases de la mezcla tienen un flujo turbulento de acuerdo con la clasificación de Lockhart-Martinelli. Por consiguiente, la modificación de Baker consiste en sustituir la curva Gtt por las ecuaciones propuestas por este investigador. El parámetro Gtt para los diferentes patrones de flujo de acuerdo con Baker está dado por las siguientes ecuaciones26: Flujo burbuja:

 Gtt 

Flujo tapón:

 Gtt 

Flujo estratificado:

 Gtt 

16 .64 X 0.75  WL     A 

0.1

35 .766 X 0.855  WL     A 

0.17

54756 X  WL     A 

0 .8

480

( 31 )

(32)

(33)

2629 X 0.815

Flujo ariete:

 Gtt 

Flujo anular:

 Gtt  4.8  12 .303 D X 0.3430.827D 

 WL     A 

(34)

0.5

(35)

D = 0.254 m para D >10 in P2F  9.074  10 12

Flujo onda:

W  fH  0.0043  L L  WG  G

fH WG2 D5 G   

psi

(36)

0.214

Flujo disperso: 2 3 Gtt  exp 1.4659  0.49138ln X  0.04887ln X  0.000349ln X



(37)



(38)

En donde: WL = flujo másico del líquido en kg/h. A = área transversal de la tubería en m2. D = diámetro interno de la tubería en m. fH = factor de fricción de Huntington para flujo onda. WG = flujo másico del gas en kg/h. G = densidad del gas en kg/m3. L = viscosidad del líquido en . G = viscosidad del gas en . Para convertir psi en kgf/m2, multiplicar por 703.07. Método de Lockhart-Martinelli modificado por Baker: 1.- Determinar el patrón de flujo con los parámetros y el mapa de Baker. 2.- Determinar el régimen de flujo para cada fase, calculando el Reynolds superficial correspondiente con la ecuación 25. 3.- Calcular la caída de presión para la fase gaseosa con la ecuación 27. 4.- Calcular el parámetro X con la ecuación 20. Si el régimen de flujo es turbulento-turbulento, se puede emplear la ecuación 30. 5.- Obtener el parámetro G correspondiente al régimen de flujo, en la gráfica de Lockhart-Martinelli (figura 8). Se pueden emplear las ecuaciones 21 a 24 en

481

lugar de la figura 8. Si el régimen es turbulento-turbulento, se pueden usar las ecuaciones de Baker (ecuaciones 31 a 38). 6.- Calcular la caída de presión a dos fases con la ecuación 19.

Ejemplo 3. ¿Cuáles son las pérdidas por fricción en una tubería horizontal 100 m de longitud y de 4 pulgadas de diámetro cédula 40, por la que pasan 26800 kg/h de un líquido con una densidad de 500 kg/m3, viscosidad de 0.11 s y 5.07 dina/cm de tensión superficial? Por la misma tubería viajan 4250 kg/h de vapores con una densidad de 27 kg/m3 y una viscosidad de 0.0105 . 1.-TRADUCCIÓN. WL = 26800 kg/h

GAS – LÍQUIDO

WG = 4250 kg/h

4” Ced. 40

2.-PLANTEAMIENTO. 2.1.-Discusión Para obtener las pérdidas por fricción se requiere determinar primeramente el tipo de patrón de flujo presente en la tubería. Esto puede lograrse usando el mapa de Baker. Las pérdidas por fricción se calculan con el método de Lockhart-Martinelli y las ecuaciones de Baker complementarias correspondientes al parámetro . 3.-CÁLCULOS. 3.1.-Patrón de flujo Para una tubería de 4” de diámetro nominal cédula 40, su diámetro interno es: D = 4.026 in = 0.10226 m A = 8.2x10-3 m2 By = 31585 L = 5.07 dina/cm = 5.17x10-4 kgf/m Bx = 367 Con estas coordenadas, del mapa de Baker se lee flujo burbuja. 3.2.-Caída de presión en la fase gaseosa

482

v SG  3600

Re SG

kg h

4250



s kg  3 2  27 3  8.2  10 m h m 



m  kg   0.10226 m  5.3322   27 3  s  m     1.4  10 6 kg    ms   0.001  0.0105     

 5.3322

m s

Régimen turbulento

De las figuras 9 y 10:  /D = 0.00045 fD = 0.0165     kg  0.0165    62968 kgf 7  PG  6.379  10  4250  100 m kg h  m2 5    0.10226m  27 3    m   2

3.3.-Caída de presión en la fase líquida 26800

v SL  3600

Re SL

kg h



s kg  3 2  500 3  8.2  10 m h m 



m  kg   0.10226 m 1.8157   500 3  s  m     8.44  10 5 kg    ms   0.001  0.11    

De las figuras 9 y 10:  /D = 0.00045 fD = 0.017

483

 1.8157

m s

Régimen turbulento

m  0.017 1.8157  s  PL   m kg 2  9.81 2 s kgf 

2

kg    500 3  100 m kgf m    1397 2  m  0.10226 m  

3.4.-Caída de presión a dos fases

 1397  X   62968 

0.5

 0.149

Para flujo turbulento-turbulento y flujo burbuja:

16 .64 0.149 

0.75

 Gtt 

kg    26800  h    8.2  10 3 m 2     

0.1

 0.89

kgf  kgf 2 P2F  0.89   62968 2   49877 2 m  m  4.-RESULTADO. Las pérdidas de presión por fricción serán de 49877 kgf/m2 por cada 100 m de longitud de tubo.

Ejemplo 4. ¿Cuál será la caída de presión esperada en una tubería horizontal de 6 pulgadas de diámetro cédula 40 y 10 m de longitud, por la cual fluyen 2800 kg/h de líquido con una densidad de 834 kg/m3, viscosidad de 0.1 s y tensión superficial de 6.25 dina/cm? Por la tubería fluyen además 9800 kg/h de vapor con 30.75 kg/m3 de densidad y una viscosidad de 0.01 . 1.-TRADUCCIÓN. WL = 2800 kg/h

GAS – LÍQUIDO

WG = 9800 kg/h

6” Ced. 40

2.-PLANTEAMIENTO. 2.1.-Discusión Para resolver el problema se debe encontrar el tipo de flujo presente con objeto de poder seleccionar la correlación de Baker apropiada para el cálculo de la caída de presión. 3.-CÁLCULOS.

484

3.1.-Patrón de flujo D = 6.065 in = 0.154 m A = 0.018639 m2 By = 23285 Bx = 12.82 Con estos valores se obtiene flujo anular en el mapa de Baker. 3.2.-Caída de presión a dos fases ReSG = 2.25x106

Régimen turbulento

De las figuras 9 y 10: /D = 0.0003 fD = 0.015 PG = 3450.22 kgf/m2 Para calcular el parámetro X, se emplea la ecuación 30:

 2800  X  0.0084   9800  2

1.8

 30.75   0.1      834   0.01

0.2

 5.15  105

X  5.15  105  0.0072 Para flujo anular:

 Gtt  4.8  12 .303 0.154 m0.0072 0.3430.8270.154m   1.0026 kgf  kgf 2 P2F  1.0026   3450 .22 2   3468 .50 2 m  m 

4.-RESULTADO. La caída de presión por fricción es de 3468.50 kgf/m2.

La correlación de Lockhart-Martinelli se debe emplear preferentemente para tuberías menores a 4 pulgadas, y las ecuaciones de Baker aplican para tuberías de hasta 10 pulgadas. Baker encontró que las pérdidas de presión por fricción en tuberías de gran diámetro son menores en hasta un orden de magnitud respecto a las predichas por el método original de Lockhart-Martinelli. Además, mediante estos métodos sólo se calcula la caída de presión por fricción, y por ende, la contribución por aceleración debe ser estimada de manera 485

independiente. La experiencia demuestra que generalmente ésta última no es significativa, y por tanto, la caída de presión por fricción es aproximadamente igual a la total, como lo propusieron Lockhart y Martinelli.

Modelos homogéneos. Así como las correlaciones anteriores, las cuales se pueden llamar semiempíricas, están basadas en los trabajos de Lockhart y Martinelli relativos a las caídas de presión mediante un modelo físico de mezcla, es también posible considerar los fenómenos de flujo de fluidos en dos fases mediante el concepto de flujo homogéneo 13. La visualización del flujo en dos fases como mezcla homogénea, supone que el gas y el líquido se pueden considerar como una sola fase uniforme y por lo tanto no existe una diferencia entre las velocidades de ambas fases. A la diferencia de velocidades mencionada, se le conoce comúnmente con el nombre de velocidad de deslizamiento (slip velocity). En el modelo homogéneo se parte del postulado esencial de que la velocidad promedio de la fase líquida es continuamente igual a la velocidad promedio de la fase gaseosa. De esta manera, no hay diferencia entre las velocidades de ambas fases, como se mencionó en el párrafo anterior, y por tanto una fase no se desliza sobre la otra por el hecho de viajar con mayor rapidez, sino más bien fluyen juntas a la misma velocidad. Basándose en este postulado, Dukler y colaboradores estudiaron este fenómeno empleando un análisis de similaridad, cuya premisa básica es: Si dos sistemas de flujo en una sola fase son dinámicamente similares, entonces los números de Reynolds y de Euler para cada sistema son iguales. El número de Euler es el doble del factor de fricción de Fanning, el cual a su vez es la cuarta parte del factor de fricción de Darcy: (39) Eu = 2ff fD  4 f f

(40)

En forma simplificada, la caída de presión de un fluido homogéneo en una tubería puede expresarse con la siguiente ecuación:  P   P   P   P      L       Total  L  aceleración  L  fricción  L  elevación

(41)

El primer término da la caída de presión por aceleración, el segundo término corresponde al de las pérdidas de presión por fricción y el tercer término es la caída de presión por elevación, el cual toma el valor de cero para tuberías horizontales.

486

Para el estudio de la caída de presión, Dukler propone cuatro casos, siendo dos los más empleados a saber:

Caso I: Sin deslizamiento y flujo homogéneo. No hay deslizamiento relativo entre las fases y se considera al flujo en dos fases como homogéneo. En este caso, las propiedades de la mezcla son obtenidas mediante relaciones sencillas entre las propiedades de ambas fases, como se observa a continuación: NS  L    G 1    (42)  NS   L    G 1   

(43) En donde: NS = densidad de la mezcla homogénea sin deslizamiento (non slip). NS = viscosidad de la mezcla homogénea sin deslizamiento (non slip). = fracción del volumen de la tubería ocupado por la fase líquida sin deslizamiento: 

v SL QL  QL  QG v SL  v SG

(44)

Q = flujo volumétrico de las fases líquida y gaseosa. El número de Reynolds puede ser expresado en términos de estas propiedades de mezcla: Re NS 

D v NS NS  NS

(45)

En donde: vNS = velocidad superficial de la mezcla homogénea sin deslizamiento: vNS = vSL + vSG

(46)

Para el cálculo del factor de fricción sin deslizamiento de fases, Dukler empleó la ecuación de Koo16 para el factor de fricción en una sola fase: fNS  0.0014 

0.125 0.32 Re NS

(47)

La caída de presión por fricción sin deslizamiento entre fases está dada por la ecuación de Fanning: 2 2 fNS v NS NS  PNS    L  gC D   fricción

487

(48)

Para obtener la caída total de presión suponiendo flujo homogéneo, Dukler propuso la siguiente ecuación:  PNS   L   PNS    fricción   L  1  AC   Total

(49)

En donde: AC = caída de presión por aceleración: AC 

16 WT WG Pav  gC D 4 P1 P2  Gav 2

(50)

WT = flujo másico total en kg/s: WT = W L + W G

(51)

WL y W G = flujos másicos del líquido y del gas, respectivamente, en kg/s. Pav = presión promedio en el tramo de tubo de longitud L, en kgf/m2. P1 = presión a la entrada del tramo de tubo en kgf/m2. P2 = presión a la salida del tramo de tubo en kgf/m2. Gav = densidad promedio del gas en el mismo tramo de tubo en kg/m 3. Para transformar atmósferas en kgf/m2, multiplíquese la presión por 10332.7. La caída de presión en este caso siempre es menor a la caída de presión real presente en una tubería, por lo tanto, la suposición de un flujo homogéneo sin deslizamiento entre fases (non slip) permite obtener la caída de presión más baja posible, proporcionando al ingeniero un caso límite en el diseño de una tubería con flujo a dos fases gas-líquido. Caso II: Deslizamiento constante. En este caso, la razón de la velocidad de las fases a la velocidad promedio es constante a través de la sección. Cuando las fases fluyen simultáneamente, en general el gas fluye más rápido que el líquido, causando un incremento en el volumen de la tubería ocupado por el líquido. A este fenómeno se le conoce como deslizamiento de las fases (slip), y a la fracción del volumen de la tubería ocupado por el líquido bajo estas condiciones se le conoce como holdup (RL). Es evidente que RL no puede ser determinada a partir de los gastos de entrada, por lo cual se utilizan correlaciones especiales resultado de mediciones experimentales. En su artículo, Dukler15 recomienda el empleo de la correlación de Hughmark24 para calcular dicha fracción volumétrica o holdup. Para este caso, Dukler definió al siguiente parámetro: 

L NS

 2  R  L

 G    NS 

488

 1   2     R G 

(52)

En donde:  = fracción volumen de líquido sin deslizamiento entre fases. R = holdup de las fases líquida y gaseosa. El número de Reynolds para flujo a dos fases puede expresarse como: Re 2F 

4 WT   D  NS

(53)

Para poder calcular la caída de presión por fricción, él definió un factor de fricción supuesto, basándose en la ecuación de Koo para el factor de fricción en una sola fase: 0.125 (54) fO  0.0014  Re 02.F32

Empleando un banco de datos cuidadosamente seleccionado por él, cuyas fuentes son los trabajos de investigadores como Lockhart y Martinelli, Baker, Bankoff, entre otros más, Dukler encontró una relación entre el factor de fricción supuesto (fO) y el real a dos fases (f), a la que llamó (), los cuales están relacionados mediante la gráfica de la figura 11. El comportamiento de la figura 11 puede ser representado por la siguiente ecuación:   

f ln   1 2 3 4 fO 1.281  0.478 ln    0.444 ln    0.094 ln    0.00843 ln  

( 55 ) Con todos los parámetros y variables bien definidos, se puede calcular la caída de presión debida a la fricción en el flujo a dos fases: 2 G 2T fO  P2F      L    fricción gC D NS

(56)

En donde: GT = masa velocidad total en kg/ (m2 s): GT 

WL  WG 3600 A

489

(57)

3

2.5



2

1.5

1

0.5 0.1

1

10

x10

100

1000

-3

Figura 11.- Gráfica de Dukler para (). (1964)

Además de la caída de presión debida exclusivamente a los efectos de la fricción, es importante considerar las pérdidas por aceleración debidas a la expansión de la fase gaseosa en la mezcla bifásica, conforme ésta avanza por la tubería horizontal. La caída de presión por aceleración dada por Dukler es:  WG2 1  P2F     L  2   aceleración gC A L  R G

 1 1  WL2         L RL  G1   G2

(58)

En donde: RG y RL = holdup de las fases gaseosa y líquida, respectivamente. G1 = densidad del gas a la entrada del tramo de tubo de longitud L. G2 = densidad del gas a la salida del mismo tramo de tubo. La caída total de presión en una tubería horizontal es igual a la suma de los efectos de fricción y aceleración:  P2F   P   P    2F    2F   L    Total  L  fricción  L  aceleración

(59)

De esta manera, el efecto de aceleración sólo es importante cuando se manejan flujos muy grandes o presiones muy bajas.

490

Método de Dukler: 1.- Calcular la fracción del volumen de la tubería ocupada por el líquido sin deslizamiento entre las fases () con la ecuación 44: 

v SL QL  QL  QG v SL  v SG

(44)

2.- Calcular la densidad sin deslizamiento entre fases con la ecuación 42: NS  L    G 1   

(42)

3.- Calcular la viscosidad sin deslizamiento entre fases con la ecuación 43:  NS   L    G 1   

(43)

4.- Calcular el holdup de líquido (RL) mediante el método de Hughmark: 4.1.- Suponer el valor de RL. Un valor inicial puede ser: RL = 

4.2.- Obtener el Reynolds en función de RL: Re 

D GT RL  L  1  RL  G

(60)

4.3.- Calcular el número de Froude: Fr 

2 v NS gD

(61)

4.4.- Calcular el parámetro Z de Hughmark: Z

Re

1 6

Fr

1 8

(62)

1 4

4.5.- Obtener el parámetro K de Hughmark29: Si Z < 10: K = -0.163673 + 0.310372 Z – 0.0352491 Z2 + 0.001366 Z3

Si Z > 10: K = 0.755454 + 0.00358499 Z – 1.43604x10-5 Z2

491

(63) (64)

4.6.- Calcular RL:

(65)

RL = 1 – (1 –) K

4.7.- Comparar el valor de RL supuesto en el paso 4.1 con el calculado en el paso 4.6. Si son iguales, continuar con el paso 4.8; y si son diferentes, regresar al paso 4.2 empleando el RL calculado en el paso 4.6. 4.8.- Calcular RG:

RG = 1 – RL

(66)

5.- Calcular  con la ecuación 52: 

L NS

 2  R  L

 G    NS 

 1   2     R G 

(52)

6.- Calcular el Reynolds con deslizamiento entre fases empleando la ecuación 53: Re 2F 

4 WT   D  NS

(53)

7.- Calcular el factor de fricción supuesto con la ecuación 54: fO  0.0014 

0.125 Re 02.F32

(54)

8.- Obtener () de la figura 11, ó con la ecuación 55:   

f fO

 1

ln 

1.281  0.478 ln    0.444 ln    0.094 ln    0.00843 ln   2

3

4

(55) 9.- Calcular la caída de presión por fricción con la ecuación 56: 2 G 2T fO  P2F      L    fricción gC D NS

(56)

10.- Obtener la caída total de presión: 10.1.- Suponer una caída de presión en el tramo de tubería de longitud L. Un valor inicial puede ser el de la caída de presión por fricción:  P2F   P    2F   L    sup uesto  L  fricción

10.2.- Calcular la presión de salida del tramo de tubo en cuestión: 492

 P  P2  P1  L  2F   L  sup uesto

(67)

10.3.- Obtener las densidades del gas a la entrada y salida del tramo de tubo. 10.4.- Obtener la caída de presión por aceleración con la ecuación 58:  WG2 1  P2F     L  2   aceleración gC A L  R G

 1 1  WL2         G2  G1  L RL 

(58)

10.5.- Calcular la caída total de presión con la ecuación 59:  P2F   P   P    2F    2F   L    Total  L  fricción  L  aceleración

(59)

Si la caída de presión total no es aproximadamente igual a la supuesta en el paso 10.1, regresar a ese paso y suponer otra presión. Puede emplearse el valor de la caída de presión total calculado en el paso 10.5, para hacer la nueva suposición. Ejemplo 5. Estime la caída de presión en 100 m de tubo de acero de cuatro pulgadas cédula 40, por el que pasan 2400 kg/h de agua y 950 kg/h de aire a 20°C. La presión inicial en la tubería es de 7 kgf/cm2. La viscosidad del líquido es de 1 s y la del gas de 0.018 . La densidad del líquido es de 1000 kg/m3. Utilice el método de Lockhart-Martinelli y el caso I de Dukler. 1.-TRADUCCIÓN. P1 = 7 kgf/cm2 WL = 2400 kg/h WG = 950 kg/h

GAS – LÍQUIDO 4” Ced. 40

2.-PLANTEAMIENTO. 2.1.-Discusión De acuerdo al enunciado del problema, se emplearán las metodologías de Lockhart-Martinelli y Dukler Caso I para estimar las caídas de presión. 3.-CÁLCULOS.

493

3.1.-Método de Lockhart-Martinelli D = 4.026 in = 0.1023 m A = 0.0082 m2 Caída de presión en la fase líquida: kg m h   0.0813 s kg  s 3600 1000 3  0.0082 m 2 h m  2400

v SL

Re SL





m  kg   0.1023 m  0.0813  1000 3  s  m     8317 kg    ms   0.001  1     

Régimen turbulento

/D = 0.00045 fD = 0.032 2

m  kg   0.032  0.0813  1000 3  100 m kgf s  m   PL   10 .54 2  m m kg   0.1023 m 2  9.81 2  s kgf   Caída de presión en la fase gaseosa:

G 

PM  RT

   atm   kg  0.9678   29 kgf    kgmol cm2   m 3 atm 20  273 .15 K 0.082 kgmol K

kgf 7 cm2

 8.173

kg m h   3.938 s kg  s 3600  8.173 3  0.0082 m 2 h m  950

v SG

  



494



kg m3

Re SG

m  kg   0.1023 m  3.938   8.173 3  s  m     1.83  10 5 kg    ms   0.001  0.018     

Régimen turbulento

/D = 0.00045 fD = 0.0185     kg  0.0185    11630.86 kgf 7  PG  6.379  10  950  100 m kg   h  m2 5   0.1023m  8.173 3   m    Parámetro X: 2

 10.54  X   11630.86 

0.5

 0.0301

Para flujo turbulento-turbulento: log Gtt = 0.00176(log 0.0301)3 + 0.1148(log 0.0301)2 + 0.4821(log 0.0301) + 0.6358 log Gtt = 0.1619 Gtt = 1.4516 Caída de presión por fricción a dos fases: kgf  kgf 2 P2F  1.4516  11630 .86 2   24507 .88 2 m  m 

3.2.-Caso I de Dukler



NS  1000

0.0813

m s

m m 0.0813  3.938 s s

 0.0202

kg 0.0202   8.173 kg3 1  0.0202   28.208 kg3 3 m m m

 NS  1 0.0202   0.018 1  0.0202   0.038

495

vNS = 0.0813

Re NS

m m m  3.938  4.019 s s s

m  kg   0.1023 m  4.019   28 .208 3  s  m     305198 kg    ms  0.038  0.001      fNS  0.0014 

0.125

305198 0.32

 0.003597

2

PNS

m  kg   2 0.003597 4.019   28.208 3  100 m kgf s m       326.61 2 m kg m 0.1023m 9.81 2 s kgf

4.-RESULTADO. Con el método de Lockhart-Martinelli se obtiene una caída de presión de 24507.88 kgf/m2 por cada 100 m de tubo, y mediante el caso I de Dukler se obtiene una caída de presión de 326.61 kgf/m2 por cada 100 m de tubo. Recordando que el caso I de Dukler proporciona la mínima caída de presión real posible, la caída de presión calculada con el método de Lockhart-Martinelli es válida, pues da un valor superior al del caso I de Dukler.

Ejemplo 6. Por una tubería lisa de 100 m de longitud y de 1 pulgada de diámetro cédula 40, fluyen 450 kg/h de agua y 7 kg/h de aire. La entrada de la tubería está a 1.4 atm y el sistema es isotérmico a 20°C. Encuentre la caída de presión por el método de Dukler. Las propiedades físicas de los fluidos son: L = 1000 kg/m3; G = 1.4 kg/m3; L = 1 ; G = 0.018 . 1.-TRADUCCIÓN. P1 = 1.4 atm WL = 450 kg/h WG = 7 kg/h

AIRE – AGUA 1” Ced. 40

L = 100 m

2.-PLANTEAMIENTO. 2.1.-Discusión Se empleará el método de Dukler para obtener la caída total de presión en el tramo de tubería.

496

3.-CÁLCULOS. 3.1.-Cálculo de las propiedades de mezcla sin deslizamiento entre fases (non slip) D = 1.049 in = 0.0266 m A = 5.576x10-4 m2 450

v SL  3600

kg h



s kg  4 2 1000 3  5.576  10 m h m 



 0.2242

m s

kg m h   2.4909 s kg  s 3600 1.4 3  5.576  10 4 m 2 h m  7

v SG





NS  1000



0.2242

m s

m m 0.2242  2.4909 s s

 0.0826

kg 0.0826   1.4 kg3 1  0.0826   83.853 kg3 3 m m m

 NS  1 0.0826   0.018 1  0.0826   0.0991

3.2.-Obtención del holdup mediante el método de Hughmark Primera iteración: RL =  kg kg 7 h h  819584 kg  GT  4 5.576  10 m 2 m2 h 450



 kg   1h   0.0266 m  819584 2   m h   3600 s   Re   8026 kg     0.75 1  1  0.75 0.018  0.001 m s      vNS = 0.2242

m m m  2.4909  2.7151 s s s

497

2

m   2.7151  s  Fr   28 .25 m 9.81 2 0.0266 m s

Z

8026 16 28.25 18 0.0826 14

 12.67  10

K = 0.755454 + 0.00358499 (12.67) – 1.43604x10-5 (12.67)2 = 0.799 RL = 1 – (1 –) (0.799) = 0.267  0.75 Segunda iteración: RL = 0.267 Re = 21583 Z = 14.94 > 10 K = 0.755454 + 0.00358499 (14.94) – 1.43604x10-5 (14.94)2 = 0.806 RL = 1 – (1 –) (0.806) = 0.26  0.267 Por lo tanto: RL = 0.26 RG = 1 – 0.26 = 0.74 3.3.-Cálculo de la caída de presión por fricción kg m3  kg 83 .853 3 m 1000

kg 1.4 3  0.0826 2  m    0.26  83 .853 kg m3

WT = 450

Re 2F

 1  0.0826 2     0.332 0.74  

kg kg kg  7  457 h h h

kg   1h    4  457   h   3600 s   0.332   20353  kg    ms   0.0266 m0.0991  0.001     

498

fO  0.0014 

  

0.125

 0.0066

20353 0.32

f fO ln 0.0826

 1

1.281  0.478 ln 0.0826   0.444 ln 0.0826   0.094 ln 0.0826   0.00843 ln 0.0826   2.451 2

3

2

 kg   1h   100 m0.0066  2  819584 2   m h   3600 s    P2F fricción  2.4510.332   2554 .24 kgf2 m kg m 0.0266 m 83 .853 kg3  9.81 2 s kgf m  

3.4.-Cálculo de la caída de presión por aceleración [P2F]supuesto = 2555 kgf/m2 P1 = 1.4 atm = 14466 kgf/m2 P2 = 14466 kgf/m2 – 5110 kgf/m2 = 9356 kgf/m2 = 0.91 atm  kg   1.4 atm  29 kgmol  kg  1   1.69 3 3 m atm m 20  273.15K 0.082 kgmolK

 kg   0.91atm  29 kgmol  kg  2   1.10 3 3 m atm m 20  273.15K 0.082 kgmolK

P2F aceleración  9.81



1

m kg 5.576  10 4 m 2 2 s kgf

2   kg    7   1 1 h      2  kg kg    3600 s  0.74  1.10 3 1.69 3 m m  h  

2

2  kg    450     h    2    s kg     3600  1000   0 . 26    h   m3 

P2F aceleración  20.23 kgf2 m

499



4

3.5.-Cálculo de la caída total de presión

P2F Total  2554 .24 kgf2 m

 20 .23

kgf kgf  2574 .47 2 2 m m

Como este valor es cercano al supuesto para obtener la caída de presión por aceleración, entonces los cálculos están correctos. 4.-RESULTADO. La caída de presión estimada por el caso II de Dukler es de 2574.47 kgf/m2 por 100 m de longitud de tubo. Mediante el caso I de Dukler, se obtiene una caída total de presión de 2404.22 kgf/m2 por 100m de tubo, la cual es menor a la obtenida mediante el caso II y por tanto es válido este ejemplo.

El método de Dukler es el mejor que existe hasta la fecha, pues predice con una mayor precisión (de ± 15% a ± 20% de error) las caídas de presión a dos fases gas-líquido en tuberías horizontales, respecto a otras metodologías. Sin embargo, el método de Lockhart-Martinelli es aún el más empleado debido a su simplicidad de cálculo, a pesar de su menor precisión (de hasta ± 50% de error). A través de los años han aparecido muchas otras correlaciones para encontrar las caídas de presión y el holdup de líquido para flujo horizontal a dos fases gaslíquido. El lector interesado puede consultar entre ellas las de Hoogendoorn23, Bertuzzi7, Baxendell5, Eaton17, Beggs6, Bankoff4, entre otras metodologías. PATRONES DE FLUJO EN TUBERÍAS VERTICALES. En las tuberías verticales se pueden presentar dos direcciones de flujo: ascendente y descendente. La serie de patrones de flujo existente en el flujo ascendente es diferente a la presente en el flujo descendente. En ambas direcciones, los patrones de flujo presentan un eje de simetría, el cual coincide con el de la tubería, pues el efecto de la fuerza de gravedad actúa sobre este eje, a diferencia del flujo horizontal, en donde esta fuerza actúa perpendicularmente al eje de simetría del tubo. Aunque presentan similitudes los patrones de flujo ascendente con su contraparte en flujo descendente, se les suele tratar de manera independiente. Patrones de flujo vertical ascendente. Nicklin y Davidson clasificaron visualmente estos patrones en cinco categorías (figura 12). Una breve descripción de cada uno de ellos es la siguiente: Flujo Burbuja (Bubble flow): El líquido fluye hacia arriba conformando a la fase continua, y el gas se encuentra disperso en el líquido en forma de burbujas individuales. Estas burbujas se hallan distribuidas en toda la sección transversal de la tubería, e incrementan su número, tamaño y velocidad al aumentar el flujo de gas. La velocidad de una burbuja difiere enormemente de la velocidad de la fase 500

líquida. Ocurre a velocidades superficiales de gas inferiores a 0.6 m/s. También se le conoce como flujo aereado (aerated flow). Flujo Bala (Plug flow o Slug flow): Al aumentar el flujo del gas, las burbujas se fusionan entre sí formando tapones alargados de gas en forma de bala, de ahí el nombre de flujo bala, cuya punta superior es parabólica. A estos tapones alargados se les denomina burbujas de Taylor, y se encuentran rodeadas por una fina película de líquido. Estos tapones están separados por tapones o pistones de líquido, en el cual generalmente hay burbujas más pequeñas en forma dispersa. Al ascender los tapones de gas, el líquido desciende por la película en torno a ellos, hasta llegar al pistón de líquido inmediatamente inferior a la burbuja de Taylor. Los tapones de líquido ascienden a una menor velocidad respecto a la del gas. Se da para velocidades superficiales de gas de entre 0.6 y 9 m/s. También se le suele llamar flujo tapón, flujo pistón o flujo ariete. Flujo Revuelto (Churn flow): Al aumentar la velocidad del gas, el líquido en descenso alrededor de los tapones de gas prácticamente se detiene, ocasionando inestabilidad en las burbujas de Taylor y su consiguiente ruptura. El líquido comienza a fluir en forma turbulenta y oscilatoria. Ambas fases fluyen en forma de una mezcla turbulenta, cuyos elementos estructurales se encuentran en un proceso continuo de colapso y reformación. Se presenta en un amplio rango de velocidades superficiales de gas. También se le conoce como flujo espuma (froth flow) o flujo transición (transition flow). Flujo Anular (Annular flow): El líquido fluye hacia arriba como una película sobre las paredes internas de la tubería, formando un anillo, por cuyo centro asciende el gas. Como la velocidad de la fase gaseosa es mayor a la de la fase líquida, el gas arrastra una porción del líquido en forma de gotitas, las cuales fluyen a la velocidad del gas. Al aumentar la velocidad del gas, el arrastre del líquido en forma de gotas aumenta y, a su vez, el grosor de la película de líquido disminuye. Se da con velocidades superficiales de gas mayores a 9 m/s y con velocidades superficiales de líquido menores a 0.6 m/s. Se le suele denominar también como flujo película (film flow) o flujo película ascendente (climbing film flow). Flujo Neblina (Mist flow): A velocidades de gas muy altas, la cantidad de líquido arrastrada por la fase gaseosa aumenta hasta desaparecer la película de líquido. Entonces la fase líquida fluye en forma de gotitas dispersas en el gas, el cual constituye la fase continua. Se presenta a velocidades superficiales de gas de 20 m/s a 30 m/s. También se le llama flujo disperso (dispersed flow), flujo niebla (fog flow), flujo rocío (spray flow) o flujo gota (droplet flow).

501

Flujo Burbuja

Flujo Bala

Flujo Revuelto

Flujo Anular

Flujo Neblina

Figura 12.- Patrones de flujo ascendente a dos fases sistema gas-líquido en tuberías verticales.

Patrones de flujo vertical descendente Oshinowo y Charles clasificaron visualmente a los patrones obteniendo seis tipos de flujo, tres de los cuales se encuentran comprendidos en una sola categoría (figura 13). De esta manera, los patrones de flujo pueden ser reagrupados como sigue: Flujo Burbuja Nucleada (Coring-bubble flow): La fase gaseosa se encuentra dispersa en la fase líquida, en forma de burbujas individuales. Estas burbujas descienden junto con el líquido, pero a diferencia del flujo burbuja ascendente, no están dispersas en la sección transversal de la tubería. Al descender, las burbujas migran hacia el eje de simetría del tubo formando un núcleo de burbujas de diferentes formas y tamaños. Flujo Bala Burbujeante (Bubbly-slug flow): La fase gaseosa desciende en tapones con forma de bala, es decir, formando burbujas de Taylor, cuyo extremo superior es redondeado y está libre de burbujas más pequeñas, y su extremo inferior forma una pequeña estela de espuma, ocasionada por el drene del líquido. De esta manera, los tapones de líquido presentan un gran número de burbujas pequeñas, concentrándose principalmente en el extremo superior del tapón de líquido. Al incrementarse la velocidad del gas, las burbujas de Taylor se distorsionan en un movimiento en espiral hacia abajo, más cercano a las paredes internas del tubo.

502

Flujo Espuma (Froth flow): Este patrón de flujo es similar al flujo revuelto ascendente, pues los tapones de gas son muy inestables y se revuelven con los de líquido. La mezcla de las fases es turbulenta, pero no se presenta tan agitada como la de su contraparte ascendente. Flujo Película Descendente (Falling film flow): Es similar al flujo anular ascendente, pues el líquido desciende por las paredes del tubo en forma de una película, y el gas desciende por el centro del tubo. La superficie del líquido es ondulada y una porción de éste es arrastrada por el gas en forma de gotitas. A velocidades muy bajas de gas y de líquido, se presentan ocasionalmente puntos secos en la pared interna del tubo. A velocidades altas de líquido, la película contiene pequeñas burbujas de gas y su grosor aumenta. Este patrón de flujo abarca al flujo película burbujeante descendente (falling bubbly-film flow) y al flujo anular (annular flow), descritos por Oshinowo y Charles. Flujo Neblina (Mist flow): Su descripción es similar al flujo neblina ascendente, ya que el líquido fluye en forma de finas gotitas dispersas en el gas, el cual constituye la fase continua. Fue descrito por Oshinowo y Charles como un caso límite del flujo película descendente, en donde el gas fluye a una velocidad suficientemente alta como para arrastrar a todo el líquido, formando una neblina o una lluvia de gotitas. Por esta razón, estos investigadores lo denominaron también flujo anularneblina (annular-mist flow).

Flujo Burbuja Nucleada

Flujo Bala Burbujeante

Flujo Espuma

Flujo Película Descendente

Flujo Neblina

Figura 13.- Patrones de flujo descendente a dos fases sistema gas-líquido en tuberías verticales.

503

Los patrones de flujo vertical también pueden ser clasificados en grupos de acuerdo a la distribución de las fases, de la misma manera que a los patrones de flujo horizontal: Flujo Segregado: cada fase fluye en forma de capa o lámina. En flujo ascendente: flujo anular. En flujo descendente: flujo película descendente. Flujo Intermitente: cada fase fluye de manera alternada y periódica. En flujo ascendente: flujos bala y revuelto. En flujo descendente: flujos bala burbujeante y espuma. Flujo Distribuido: una fase se encuentra dispersa en la otra, la cual fluye de manera continua. En flujo ascendente: flujos burbuja y neblina. En flujo descendente: flujos burbuja nucleada y neblina.

PREDICCIÓN DE LOS PATRONES DE FLUJO EN TUBERÍAS VERTICALES. Basándose en los trabajos de Griffith y Wallis, Oshinowo y Charles correlacionaron los patrones de flujo mediante grupos adimensionales, obteniendo un mapa de patrones de flujo ascendente adimensional (figura 14), el cual fue probado con los datos experimentales propios y de otros investigadores. Además, extendieron su método para obtener un mapa de patrones de flujo descendente adimensional (figura 15), al cual probaron sólo con sus propios datos experimentales, pues en la literatura no existía hasta entonces un estudio similar para flujo a dos fases descendente. Para determinar el tipo de flujo empleando los mapas de Oshinowo-Charles, primero deben ser calculados los parámetros de Oshinowo-Charles (Ox y Oy), los cuales son: Ox 

Fr2F 

Oy  R V

(68) (69)

En donde: Ox y Oy = abscisa y ordenada de los mapas de Oshinowo-Charles. Fr2F = número de Froude para flujo a dos fases: Fr2F 

v 22F gD

(70)

v2F = velocidad superficial de la mezcla en m/s: v2F = vSL + vSG

D = diámetro interno de la tubería en m. 504

(71)

 = grupo adimensional de corrección de propiedades del líquido:     L  W

  W   L

  W   L

  

3

   

1 4

(72)

L y W = viscosidades del líquido y del agua, respectivamente. L y w = densidades del líquido y del agua, respectivamente. L y W = tensiones superficiales del líquido y del agua, respectivamente. RV = relación de los volúmenes del gas y del líquido: RV 

Q G WG L  QL WL  G

(73)

QG y QL = flujos volumétricos del gas y del líquido, respectivamente. WG y W L = flujos másicos del gas y del líquido, respectivamente. El uso del número de Froude en estos mapas se debe a que éste grupo adimensional relaciona las fuerzas de inercia y de gravedad actuantes sobre los fluidos en movimiento dentro de las tuberías verticales. De esta manera, el número de Froude indica el dominio de alguna de las fuerzas mencionadas sobre la otra. Las fronteras entre los diferentes patrones de flujo vertical en ambos mapas (figuras 14 y 15) no son líneas sino bandas de transición gradual, de manera similar a las fronteras del mapa de Baker (figura 2). Por lo tanto, estos mapas proporcionan una idea aproximada del patrón de flujo probable de encontrarse en tuberías verticales por donde fluyen mezclas gas-líquido. Para construir estos mapas, Oshinowo y Charles trabajaron con sistemas aireagua y aire-glicerina acuosa, además emplearon datos correspondientes a sistemas vapor de agua-agua, aire-heptano, gas natural-petróleo crudo y nitrógeno-mercurio. En consecuencia, el intervalo de propiedades físicas para cada fase es muy amplio, radicando allí la gran aplicabilidad de estos mapas para cualquier sistema bifásico gas-líquido. A diferencia de los parámetros de Baker, cuyos factores de corrección por propiedades generalmente están muy cercanos a 1, los factores de corrección presentes en los parámetros de Oshinowo-Charles difieren significativamente de la unidad, corrigiendo realmente las propiedades físicas de los fluidos diferentes al aire y al agua. Oshinowo y Charles investigaron además los patrones de flujo presentes en las conexiones, especialmente en los codos en U. Ellos encontraron patrones de flujo similares a los anteriormente mencionados para el flujo vertical. La única diferencia entre estos patrones y los hallados en las conexiones es la influencia de las fuerzas centrífuga y gravitacional, las cuales ocasionan la aparición de zonas 505

secas en la pared de la conexión, la inversión de la película de líquido en los flujos anular ascendente y descendente, y la migración de las burbujas hacia la pared con radio de curvatura menor en los flujos burbuja ascendente y descendente. Para predecir el tipo de flujo presente en las conexiones, ellos descubrieron que el patrón de flujo en estos rios depende del patrón desarrollado en la tubería recta previa a la conexión. Por lo tanto, se les puede predecir mediante los mapas de Oshinowo-Charles de las figuras 14 y 15. La predicción de los patrones de flujo ascendente también puede hacerse a partir de mapas de velocidades superficiales, como la gráfica presentada por González Ortiz18 (figura 16), en la cual se grafica la velocidad superficial del gas contra la del líquido. Este investigador y sus colaboradores elaboraron su mapa de patrones de flujo basándose en mapas anteriores y en experimentos realizados con sistemas aire-agua. El flujo espuma descrito por ellos, es un caso particular de flujo revuelto donde el líquido fluye a casi la misma velocidad del gas. 100

ANULAR 10

BALA ESPUMOSO

Oy

BALA DISPERSO

ESPUMA

1

BALA TRANQUILO BURBUJA 0.1 0.1

1

10

100

1000

10000

Ox

Figura 14.- Mapa de patrones de Oshinowo-Charles para flujo vertical ascendente en sistemas gaslíquido. (1974)

506

100

PELÍCULA DESCENDENTE

ANULAR

10

Oy

PELÍCULA BURBUJEANTE DESCENDENTE ESPUMA BALA BURBUJEANTE

1

BURBUJA NUCLEADA 0.1 0.1

1

10

100

1000

10000

Ox

Figura 15.- Mapa de patrones de Oshinowo-Charles para flujo vertical descendente en sistemas gas-líquido. (1974)

507

10

BURBUJA DISPERSA ESPUMA

vSL (m/s)

1

0.1

BURBUJA BALA REVUELTO ANULAR

0.01

0.001 0.01

0.1

1

10

100

vSG (m/s) Figura 16.- Mapa de patrones de González Ortiz para flujo vertical ascendente en sistemas gaslíquido. (1992)

En la obra de Núñez Alba son mostrados los mapas de Oshinowo-Charles (figuras 14 y 15) en coordenadas de velocidades superficiales. Asimismo, se presentan otros mapas de patrones de flujo vertical ascendente y descendente.

PREDICCIÓN DE LA CAÍDA DE PRESIÓN EN TUBERÍAS VERTICALES. De manera similar al flujo en tuberías horizontales, en el flujo vertical existen correlaciones o modelos semiempíricos para calcular las caídas de presión, y también hay modelos teóricos con el mismo propósito. Ambas clases de modelos están basados en los trabajos de los investigadores que desarrollaron las correlaciones para el flujo horizontal. En el caso de los modelos semiempíricos, el trabajo de Lockhart y Martinelli es la base, y en los modelos teóricos, la suposición de flujo homogéneo es fundamental en el desarrollo de nuevos modelos. Correlaciones Semiempíricas. Siguiendo los planteamientos de Lockhart, Martinelli y Baker, Kern26 propone la correlación de Davis11 para encontrar las pérdidas por fricción en flujo a dos fases gas-líquido vertical. 508

En su correlación, Davis modificó al módulo de Lockhart-Martinelli de la siguiente forma: 0.185 (74) XD  0.19 X Fr En donde: XD = módulo de Lockhart-Martinelli modificado por Davis. X = módulo de Lockhart-Martinelli. Fr = número de Froude: Fr 

2 vM gD

(75)

vM = velocidad de la mezcla: WL WG  L G vM  3600 A

(76)

Método de Davis: 1.- Determinar el régimen de flujo calculando el número de Reynolds para cada fase y empleando los criterios de Lockhart-Martinelli: Si Re > 2000: Si Re < 1000:

Régimen turbulento Régimen viscoso

2.- Obtener el parámetro X de Lockhart-Martinelli con la ecuación 20. Si el régimen de flujo es turbulento-turbulento, se puede emplear la ecuación 30. 3.- Calcular la velocidad de la mezcla constituida por las fases líquida y gaseosa, con la ecuación 76. 4.- Calcular el número de Froude con la ecuación 75. 5.- Obtener el parámetro XD de Davis con la ecuación 74. 6.- Calcular el parámetroG de Lockhart-Martinelli mediante la ecuación de Davis: G = exp {1.4659 + 0.49138 (ln XD) + 0.04887 (ln XD)2 – 0.000349 (ln XD)3 }

(77) 7.- Calcular la caída de presión por fricción con la ecuación 19.

Ejemplo 7. ¿Cuál es la caída de presión por metro de tubo vertical obtenida en una tubería de 18 pulgadas cédula 40, si por ella pasan hacia arriba 275000 kg/h de líquido con una densidad de 537 kg/m3, viscosidad de 0.1 s y 5.7 dinas/cm de tensión superficial? Además, por la tubería pasan 325000 kg/h de vapores con densidad de 32 kg/m3 y viscosidad de 0.01 .

509

1.-TRADUCCIÓN.

WL = 275000 kg/h

GASLÍQUIDO

WG = 325000 kg/h

18” Ced. 40

2.-PLANTEAMIENTO. 2.1.-Patrón de flujo Se puede obtener mediante el mapa de González Ortiz o usando el de Oshinowo-Charles para flujo ascendente. 2.2.-Caída de presión Se utilizará la correlación de Davis para obtener las pérdidas de presión por fricción. 3.-CÁLCULOS. 3.1.-Patrón de flujo D = 16.876 in = 0.4287 m A = 0.1443 m2 Mapa de González Ortiz: 325000

vSG =

kg h



s kg  3600  32 3  0.1443 m 2 h m 

275000

vSL =

kg h







 19 .55

m s

 0.986

m s

s kg  2  537 3  0.1443 m h m  El flujo es espuma y se encuentra muy cerca de las fronteras con los flujos revuelto y anular. 3600

Mapa de Oshinowo-Charles:

510

v2F = 0.986

m m m  19.55  20.54 s s s 2

m   20 .54  s  Fr2F   100 .28 m 9.81 2 0.4287 m s Las propiedades del agua se obtienen de tablas, para lo cual se considera una temperatura de 20°C, por ser una temperatura ambiente promedio.  kg  997 3   0.1   m       1   537 kg  m3  Ox 

 dina   72 .75 cm  dina    5.7 cm 

     

3

     

1 4

 0.788

100 .28  112 .96 0.788

kg  kg   537 3  h  m  RV   19 .83 kg  kg  275000  32  h  m3  325000

Oy  19 .83  4.45 El flujo es bala espumosa y se encuentra cerca de la frontera con el flujo espuma. En conclusión, el patrón de flujo determinado mediante estos mapas es un flujo espumoso en la transición de los flujos bala y revuelto. 3.2.-Caída de presión El método de Davis, aplicado a continuación, no necesita del cálculo del patrón de flujo presente en la línea vertical. Sólo fue determinado el patrón de flujo con la finalidad de mostrar el uso de los mapas de patrones de flujo vertical. Caída de presión en la fase líquida:

Re SL

m  kg   0.4287 m  0.986  537 3  s  m     2.27  10 6 kg    ms   0.001  0.1    

De las figuras 9 y 10:

511

Régimen turbulento

/D = 0.00013 fD = 0.0125 2

m  kg   0.0125  0.986   537 3  1m kgf s  m   PL   0.776 2   m m kg  0.4287 m 2  9.81 2  s kgf  

Caída de presión en la fase gaseosa:

Re SG

m  kg   0.4287 m 19 .55   32 3  s  m     2.68  10 7 kg    ms   0.001  0.01    

Régimen turbulento

De las figuras 9 y 10: /D = 0.00013 fD = 0.0122     kg  0.0122    1774 kgf 7  PG  6.379  10  325000  1m kg   h  m2 5   0.4287m  32 3    m   Parámetro X: 2

 0.776  X   1774 

0.5

 0.0209

Parámetro XD: kg kg 325000 h  h kg kg 537 3 32 m h m  20 .54 2 s 3600 0.1443 m

275000

vM 





2

m   20 .54  s  Fr   100 .28 m 9.81 2 0.4287 m s

512

XD  0.19 0.0209100.28

0.185

 0.00932

Caída de presión a dos fases: G = exp{ 1.4659 + 0.49138 (ln 0.00932) + 0.04887 (ln 0.00932)2 – 0.000349 (ln 0.00932)3} G = 1.313 kgf  kgf 2 P2F  1.313  1774 2   3059 2 m  m 

4.-RESULTADO. La caída de presión por fricción es de 3059 kgf/m2 por metro de tubo.

Cabe resaltar la no dependencia de la correlación de Davis en el patrón de flujo desarrollado en la tubería, como puede ser observado en el método aplicado a este ejemplo. Modelos homogéneos. Basándose en el modelo de flujo homogéneo 14, Hughmark y Pressburg25 propusieron la siguiente ecuación de balance para evaluar las pérdidas de presión en flujo a dos fases en tuberías verticales: L WL  WG   P1  P2   P2F  0 WL WG  L G

(78)

El primer término de esta ecuación corresponde al cambio de presión debido a la energía potencial. El segundo término corresponde a la caída de presión total para flujo a dos fases vertical ascendente. El tercer término es la caída de presión debida a la fricción. Esta última es producida por dos mecanismos: 1.- La fricción ejercida por el fluido sobre las paredes del tubo. 2.- La turbulencia existente entre las dos fases, la cual es función de la velocidad de deslizamiento entre fases (slip velocity): vSLIP = vG – vL

(79)

En donde: vSLIP = velocidad de deslizamiento entre las dos fases. vG = velocidad real de la fase gaseosa. vL = velocidad real de la fase líquida. Hughmark y Pressburg definieron el siguiente parámetro para relacionar las propiedades físicas del líquido con la masa velocidad total de la mezcla:

513

1



 L0.147

(80)

 L0.194 G 0T.70

En donde: L = viscosidad del líquido en . L = tensión superficial del líquido en dina/cm. GT = masa velocidad total de la mezcla en lb/(ft2 s). (Ecuación 57) Suponiendo que el líquido fluye solo por la tubería, estos investigadores elaboraron la gráfica de la figura 17, en la cual relacionaron la caída de presión por fricción a dos fases con la velocidad de deslizamiento y el parámetro . Asimismo, Hughmark y Pressburg presentan una gráfica para calcular el holdup de líquido para el flujo a dos fases vertical ascendente (figura 18). Para elaborar esta gráfica, definieron un parámetro donde relacionan las propiedades físicas de las fases y sus flujos másicos: W x   L  WG

  

0 .9

2.75  L0.19  L0.205  0G.70  G

(81)

G0T.435 L0.72

En donde: WL y W G = flujos másicos del líquido y del gas, respectivamente, en lb/s. L y G = densidades del líquido y del gas, respectivamente, en lb/ft 3. Método de Hughmark-Pressburg: 1.- Calcular la caída de presión debida a la diferencia de energía potencial: L WL  WG  Ppotencial  WL WG  L G

 kgf   m2   m     

(82)

2.- Calcular el parámetro x de Hughmark-Pressburg con la ecuación 81. 3.- Obtener el holdup de líquido mediante la gráfica de la figura 18. 4.- Calcular la velocidad real de cada una de las fases: vL 

vG 

WL 1097 .28 R L L A

WG 1097 .28 1  R L  G A

 ft  s    ft  s  

Donde: WL y W G = flujos másicos del líquido y del gas en kg/h. L y G = densidades del líquido y del gas en kg/m3. 514

(83)

(84)

A = área transversal de la tubería en m2. 5.- Calcular la velocidad de deslizamiento entre las fases con la ecuación 79. 6.- Calcular el parámetro  de Hughmark-Pressburg con la ecuación 80. 7.- Obtener

P2F  PL mediante la gráfica de la figura 17, empleando la velocidad L

de deslizamiento entre las fases y el parámetro . Nótense las unidades de las coordenadas: la abscisa está en ft/s y la ordenada en (lbf / ft 2) / ft. 8.- Calcular la caída de presión de la fase líquida, suponiendo que ocupa todo el volumen de la tubería: PL f G2  3.182  10 3 D T L D L

 lbf 2   ft   ft   

(85)

Donde: GT = masa velocidad total de la mezcla (ecuación 57) en kg/(m2 s). D = diámetro interno de la tubería en m. L = densidad del líquido en kg/m3. 9.- Calcular la caída de presión por fricción: P2F PL  P2F  PL     L L L   lbf

Para convertir

ft 2 a ft

 lbf 2   ft   ft   

(86)

kgf m 2 , multiplicar por 16.0185. m

10.- Obtener la caída total de presión:  P  PT otal  P1  P2   Ppotencial  L  2F   L 

515

 kgf   m2   

(87)

Figura 17.- Gráfica de Hughmark-Pressburg para la caída de presión por fricción. (1961)

Figura 18.- Gráfica de Hughmark-Pressburg para el holdup de líquido. (1961)

Ejemplo 8. 516

Si el ejemplo anterior se resolviera por el método planteado por Hughmark y Pressburg, ¿cuál sería la caída de presión? 3.-CÁLCULOS. 3.1.-Holdup de líquido

GT 

kg kg  325000 h h  1155 kg  4158004 kg  236 .56 lb 2 3600 0.1443 m m2 s m2 h ft 2 s

275000





L = 537 kg/m3 = 33.5 lb/ft3 G = 32 kg/m3 = 2 lb/ft3   275000 x   325000 

kg   h  kg   h 

0 .9

0.10.19  5.7 dina  

0.205

cm 

 lb   236 .56   ft 2 s  

 lb  2 3   ft 

0.435

0.70

0.012.75

lb    33 .5 3  ft  

 3.02  10 8

0.72

En la figura 18, la gráfica de RL vs. x es asintótica a valores muy pequeños del parámetro x. Por tanto: RL = 0.05 3.2.-Velocidad de deslizamiento entre fases kg ft h vL   64 .69 kg  s  1097 .28 0.05  537 3  0.1443 m 2 m   275000





kg ft h vG   67 .52 kg  s  1097 .28 1  0.05  32 3  0.1443 m 2  m  325000





ft ft ft v SLIP  67.52  64.69  2.83 s s s 3.3.-Caída de presión por fricción 1



0.10.147  5.7 dina  

cm 

0.194

 lb   236 .56   ft 2 s  

De la figura 17:

517

0.70

 0.0218

P2F  PL  12 L

lbf

ft 2 ft

 kg  0.4287 m 1155 2  m s D GT  Re L    4.951  10 6 kg L    ms  0.1  0.001      De las figuras 9 y 10:  /D = 0.00013 fD = 0.0123 2

PL  3.182  10 3 L

 kg  0.0123 1155 2  lbf m s  ft 2  0.2268 kg  ft  0.4287 m  537 3  m  

kgf lbf lbf lbf 2 2 2 P2F ft ft ft m2  0.2268  12  12.2268  195.85 L ft ft ft m 4.-RESULTADOS. La caída de presión por fricción es de 195.85 kgf/m2 por metro de tubo, valor poco más de diez veces menor al obtenido con el método de Davis.

Nótese que la correlación de Hughmark-Pressburg no toma en cuenta el patrón de flujo presente en la tubería. Posterior a Hughmark y Pressburg, Orkiszewski31, basándose en el trabajo de Griffith y Wallis21, desarrolló una correlación para predecir la caída de presión en pozos petroleros y en tuberías con flujo a dos fases vertical ascendente. Al estudiar este fenómeno, Orkiszewski encontró una fuerte dependencia de la caída de presión en dos factores: la diferencia en las velocidades de ambas fases (la velocidad de deslizamiento entre las fases), y la geometría de las dos fases (el patrón de flujo). Los patrones de flujo ascendente considerados por Orkiszewski en su correlación son: 1.- Flujo burbuja. 2.- Flujo bala. 3,- Flujo transición. 4.- Flujo anular-neblina. Según este autor, la caída de presión total está dada por: 518

 P2F   L   

 f   2F sen 

g gC

(88)

1  AC

En donde: L = altura del tramo de tubería. f = caída de presión por fricción. 2F = densidad de la mezcla.  = ángulo de inclinación de la tubería. AC = caída de presión por aceleración: AC 

GT v SG gC Pav

(89)

GT = masa velocidad de la mezcla (ecuación 57): WL  WG 3600 A

GT 

(57)

vSG = velocidad superficial del gas. Pav = presión promedio en el tramo de tubería. El ángulo de inclinación para flujo ascendente es de 90°, y para flujo descendente es de 270° ó -90°. Para determinar el patrón de flujo, Orkiszewski definió a los siguientes parámetros adimensionales: Q Gv  G A

 L   g  L gC

Lb  1.071  0.2218

  

1 4

2 v NS  0.13 D

Ls  50  36 Gv

QL QG

 Q  Lm  75  84  Gv L  QG  

(90)

(91)

(92) 0.75

(93)

En donde: Gv = velocidad adimensional del gas. Lb = número del flujo burbuja ascendente, define a la frontera entre los flujos burbuja y bala. Ls = número del flujo bala ascendente, define a la frontera entre los flujos bala y transición. Lm = número del flujo neblina ascendente, define a la frontera entre los 519

flujos transición y neblina. QG y QL = flujo volumétrico de las fases gas y líquido en m3/h. A = área transversal de la tubería en m2. L = densidad del líquido en kg/m3. L = tensión superficial del líquido en kgf/m. g = aceleración de la gravedad = 9.81 m/s2 gC = 9.81 m kg/(s2 kgf) D = diámetro interno de la tubería en ft. vNS = velocidad de la mezcla en ft/s (ecuación 46): vNS = vSL + vSG

(46)

Los patrones de flujo fueron definidos por Orkiszewski como sigue: Flujo Burbuja:

v SG  Lb v NS

Flujo Bala:

v SG  Lb y Gv  Ls v NS

(95)

Flujo Transición:

Lm  Gv  Ls

(96)

Flujo Neblina:

Gv  Lm

(97)

(94)

A partir de trabajos anteriores y el suyo propio, este investigador pudo establecer una serie de correlaciones para calcular la caída de presión por fricción y la densidad de la mezcla, para cada uno de los patrones de flujo. Flujo burbuja: Para este régimen, la densidad de la mezcla y el holdup de líquido están dados por: (98)  2F  R L L  1  R L  G



R L  0.5  0.625 v NS  0.5  0.625 v NS   1.25 v SG 2



1 2

(99)

En donde: vNS = velocidad de la mezcla en ft/s. (Ecuación 46) vSG = velocidad superficial de la fase gaseosa en ft/s. La caída de presión por fricción está dada por la ecuación de Darcy:

520

v  f2F L  SL   RL  f  2 gC D

2

 kgf   m2   m     

(100)

El factor de fricción para flujo a dos fases es calculado mediante la ecuación de Chen (ecuación 29), o se le obtiene mediante la gráfica de Moody (figuras 9 ó 10), en donde el número de Reynolds queda definido como: ReB 

D v SL L  L RL

(101)

Flujo bala: La densidad de la mezcla a dos fases está dada en este caso por:  2F 

G T  L v r   L v NS  v r

(102)

En donde: vr = velocidad de ascenso de las burbujas de Taylor en m/s.  = coeficiente adimensional de distribución del líquido. GT = masa velocidad de la mezcla en kg/(s m2). (Ecuación 57) L = densidad de la fase líquida en kg/m3. vNS = velocidad de la mezcla en m/s. (Ecuación 46) El número de Reynolds para este flujo es: Re S 

D v NS L L

(103)

Para obtener la velocidad de ascenso de las burbujas de Taylor, DeGance y Atherton14 definieron los siguientes parámetros: 1  0.04931v NS  2    N1  0.572  10  0.35   0.1225     D 0.5     5

1  0.01849 v NS  2   N2  0.5721 10  0.546   0.2981    D0.5     5

En donde: vNS = velocidad de la mezcla en ft/s. (Ecuación 46) D = diámetro interno de la tubería en ft.

521

(104)

(105)

La velocidad de ascenso de las burbujas se obtiene entonces mediante las siguientes ecuaciones:





 ft  s  

( 106 )





 ft  s  

(107)

Si ReS > N1:

v r  1.985  4.958  10 5 Re S D 0.5

Si ReS < N2:

v r  3.097  4.958  10 5 Re S D 0.5

Si N2 < ReS < N1:

  13.59  L v r  0.5     2    L D0.5 



   

0.5

   



  1.423  4.958  10 5 Re S D 0.5

 ft  s    ft  s  

(108)

(109)

En donde: D = diámetro interno de la tubería en ft. L = viscosidad del líquido en centipoises. L = densidad del líquido en lb/ft3. El coeficiente de distribución de líquido ( ) depende del tipo de fase líquida continua, y es determinado mediante la ecuación correspondiente: Fase líquida continua vNS (m/s) Ecuación Agua <3 110 Agua >3 111 Petróleo <3 112 Petróleo >3 113 

0.013 log  L 



0.045 log  L 

 

D1.38

D

(110)

 0.709  0.162 log v NS   0.888 log D

(111)

0.0127 log L  1

0.0274 log  L  1 1.371

D 0.799

 0.681  0.232 log v NS   0.428 log D

D1.415

 0.284  0.167 log v NS   0.113 log D

(112)

 0.01log  L  1   0.161  0.569 log D  log v NS   0.397  0.63 log D 1.571 D  

(113) En donde: L = viscosidad de la fase líquida en centipoises. vNS = velocidad de la mezcla en ft/s. (Ecuación 46) D = diámetro interno de la tubería en ft. 522

Con objeto de eliminar las discontinuidades en la presión entre los regímenes de flujo, el coeficiente  está sujeto a las siguientes restricciones: Si vNS < 3 m/s:

  0.065 v NS

Si vNS > 3 m/s:



(114)

v r GT  v NS  v r  v NS v r  v NS  1

(115)

Donde: GT = masa velocidad de la mezcla en lb/(s ft2). (Ecuación 57) vNS = velocidad de la mezcla en ft/s. (Ecuación 46) La caída de presión por fricción está dada por la siguiente ecuación: f  v2  f  2F L NS 2 gC D

 v SL  v r       v NS  v r 

 kgf   m2   m     

(116)

En donde: L = densidad de la fase líquida en kg/m3. vNS = velocidad de la mezcla en m/s. gC = 9.81 m kg/(s2 kgf) vSL = velocidad superficial de la fase líquida en m/s. vr = velocidad de ascenso de las burbujas de Taylor en m/s. D = diámetro interno de la tubería en m. El factor de fricción es obtenido mediante la gráfica de Moody (figuras 9 ó 10) ó calculado con la ecuación de Chen (ecuación 29), empleando el Re S. Flujo transición: La densidad de la mezcla en este régimen es el promedio de las densidades de mezcla de los flujos bala y neblina, y se encuentra expresada como sigue:  2F 

Lm  Gv 2F bala  Gv  Ls 2F neblina Lm  Ls Lm  Ls

(117)

De la misma manera, la caída de presión por fricción es el promedio de las pérdidas por fricción de los flujos bala y neblina: f 

Lm  Gv  f bala  Gv  Ls  f neblina Lm  Ls Lm  Ls

(118)

En donde  f neblina es calculada empleando la siguiente expresión para el flujo volumétrico del gas:  L Q G  A Lm   g  L gC

523

  

1 4

(119)

Flujo neblina: El cálculo de los parámetros para este patrón de flujo es similar al del flujo burbuja, pues la densidad de mezcla y la caída de presión por fricción están dados por:  2F  R L L  1  R L  G

(98)  v f2F  G  SG  1  RL f  2 gC D

  

2

 kgf   m2   m     

(120)

Debido a la inexistencia de un deslizamiento entre las fases, el holdup de líquido es en este caso: RL 

QL QL  Q G

(121)

Para obtener el factor de fricción se emplea la gráfica de Moody o la ecuación de Chen, utilizando un número de Reynolds definido por: ReM 

D v SG G G

(122)

La rugosidad relativa es determinada a través del número de Weber: v  We   SG L   L gC

2

 G   L

(123)

Si We < 0.005:

 L gC   34 2 D  G v SG D

( 124 )

Si We > 0.005:

 g We 0.302   174 .8 L C 2 D  G v SG D

(125)

Para este patrón de flujo:

10 3 

  0.5 D

Método de Orkiszewski: 1.- Determinar el patrón de flujo presente en la tubería, calculando para ello los parámetros adimensionales con las ecuaciones 90 a 93 y empleando las definiciones 94 a 97. 2.- Calcular la caída de presión por fricción empleando las ecuaciones correspondientes al patrón de flujo determinado en el paso 1. En el caso del flujo bala, para calcular la velocidad vr se siguen estos pasos: 2.1.- Calcular el número de Reynolds con la ecuación 103. 524

2.2.- Calcular los parámetros N1 y N2 con las ecuaciones 104 y 105. 2.3.- Calcular vr con las ecuaciones 106 a 109. 3.- Obtener la caída de presión por aceleración con la ecuación 89. 4.- Calcular la caída total de presión con la ecuación 88.

Ejemplo 9. Por una tubería vertical de acero de 6 pulgadas cédula 40 asciende una mezcla de hidrocarburos a 42 atm y 13°C. La mezcla está formada por 63 kg/s de líquido y 107 kg/s de vapor. La densidad del líquido es de 806 kg/m3 y la del vapor de 36 kg/m3. La viscosidad del líquido es de 0.8148 s y la del vapor 0.0115 s; la tensión superficial del líquido es de 18 dinas/cm. Encuentre la caída de presión por metro de tubería. 1.-TRADUCCIÓN.

GASLÍQUIDO WL = 63 kg/s 6” Sed. 40 WG = 107 kg/s P = 42 atm T = 13°C

2.-PLANTEAMIENTO. 2.1.-Discusión El problema será resuelto por el método de Orkiszewski. 3.-CÁLCULOS. 3.1.-Patrón de flujo D = 6.065 in = 0.1541 m = 0.5054 ft A = 0.01864 m2 L = 18 dina/cm = 1.84x10-3 kgf/m

525

QG = 2.97 m3/s QL = 0.0782 m3/s vSL = 4.19 m/s vSG = 159.33 m/s vNS = 163.52 m/s = 536.48 ft/s  kg m  806 3 2.97  s m Gv   0.01864 m 2  m 3 kgf  9.81 s 1.84  10 m  3

    m kg        9.81 2 s kgf   

1 4

2

 1308 .75

ft    536 .48  s Lb  1.071  0.2218   126307 .7  0.13 0.5054 ft

Lb = 0.13

m3 s  1290.54 Ls  50  36 1308.75 m3 2.97 s 0.0782

 m3  0.0782 s Lm  75  84 1308.75  m3 2.97  s 

Definiciones de los patrones de flujo: m s  0.974  0.13  m 163 .52 s

159 .33

1308.75  1290.54 1269.70  1308.75  1290.54 1308 .75  1269 .70

El régimen de flujo obtenido es neblina.

526

     

0.75

 1269.70

Empleando el mapa de Oshinowo-Charles para comparar: Ox = 12332.48 Oy = 6.167 El patrón es el caso límite de flujo anular cuando el gas fluye a alta velocidad, es decir, el flujo es neblina. 3.2.-Caída de presión por fricción Para flujo neblina:

RL 

0.0782

m3 s

m3 m3 0.0782  2.97 s s

 0.0257

kg  kg  kg    2F  0.0257  806 3   1  0.0257  36 3   55 .75 3 m  m   m 

m  kg   0.1541 m 159 .33   36 3  s  m   ReM   76860792 kg    ms  0.0115  0.001      2

 kg     m ms    159 .33 0.8148  0.001  s   36 kg       m 3  2.31  0.005 We    kg kgf  m kg    806 3  9.81  1.84  10 3 m   m  s 2 kgf       

  174 .8 D

 m kg   9.81  2.310.302 2  s kgf    2.885  10 5  10 3 2 kg  m 36 3 159 .33  0.1541 m s m 

1.84  10 3

kgf m

  10 3 D f2F = 0.0195

527

2

m   159 .33  kg    s  0.0195  36 3    1  0 . 0257 m   kgf     m2 f   6209 .34 m  m kg   0.1541 m 2  9.81 2 s kgf  

3.3.-Caída total de presión. GT = 9120.17 kg/(m2 s) Pav = 42 atm = 433974 kgf/m2 kg  m 159 .33  2 s m s AC   0.341 m kg  kgf  9.81 2  433974 2  s kgf  m  9120 .17

 P2F   L   

6209 .34

 kgf kgf kg  55 .75 3 sen90 1 3 m m  kg 1  0.341

 kgf    9506 .97 m2 m

4.-RESULTADO. La caída total de presión es de 9506.97 kgf/m2 por metro de longitud de tubo, equivalente a una caída de 0.92 atm por cada metro de tubo.

Ejemplo 10. Una mezcla de hidrocarburos asciende por una tubería de acero de 5 pulgadas cédula 80. La presión es de 40 atm y la temperatura de 13°C. La masa velocidad total de la mezcla es de 17.9 kg/m2s. La velocidad superficial del líquido es de 0.0061 m/s y la del gas de 0.338 m/s, siendo la densidad del líquido de 810 kg/m3, y su viscosidad de 0.8086 . La tensión superficial de la fase líquida es de 18 dina/cm. La densidad del vapor es de 36 kg/m3 y su viscosidad de 0.0115 . La velocidad no slip o de no deslizamiento es de 0.344 m/s. Encuentre la caída esperada de presión por metro de longitud del tubo.

528

1.-TRADUCCIÓN.

GASLÍQUIDO

2

GT = 17.9 kg/(m s)

5” Ced. 80

vSL = 0.0061 m/s

P = 40 atm

vSG = 0.338 m/s

T = 13°C

2.-PLANTEAMIENTO. 2.1.-Discusión El cálculo de la caída de presión se hará mediante el método de Orkiszewski. 3.-CÁLCULOS. 3.1.-Patrón de flujo D = 4.813 in = 0.1223 m = 0.4011 ft A = 0.011738 m2 L = 18 dina/cm = 1.84x10-3 kgf/m vNS = 0.344 m/s = 1.13 ft/s  kg  810 3 m m Gv  0.338  s m 3 kgf  9.81 s 1.84  10 m 

    m kg      9 . 81  s 2 kgf    2

ft   1.13  s Lb  1.071  0.2218   0.365  0.13 0.4011 ft

m s  51 .8 Ls  50  36 2.78  m 0.338 s 0.0061

529

1 4

 2.78

m  0.0061   s  Lm  75  84  2.78 m   0.338   s  

0.75

 83 .9

Definiciones de los patrones de flujo: m s  0.983  0.365  m 0.344 s 0.338

2.78  51 .8

El régimen de flujo obtenido es bala. Utilizando a los parámetros y el mapa de Oshinowo-Charles: Ox = 0.0633 Oy = 7.44 El patrón de flujo determinado es bala disperso. Empleando el mapa de González Ortiz se determina flujo bala, lo cual coincide con el mapa de Oshinowo-Charles y las definiciones de Orkiszewski. 3.2.-Caída de presión por fricción Velocidad de ascenso de las burbujas de Taylor:

m  kg   0.1223 m  0.344   810 3  s  m   Re S   42144 kg    ms  0.8086  0.001     

1  2   ft       0.049311.13  s    5  N1  0.572  10  0.35   0.1225   6222.31 0.4011ft 0.5           

530

1    ft   2     0.018491.13   s    5  N2  0.5721 10  0.546   0.2981 0.5    1682.24   0 . 4011 ft         

ReS = 42144 > N1 = 6222.31





v r  1.985  4.958  10 5 42144 0.4011ft 

0.5

 2.58

ft m  0.787 s s

Parámetro : vNS = 0.344 m/s < 3 m/s Para la mezcla de hidrocarburos corresponde la ecuación 112 para petróleo: 

0.0127 log0.8086  1

0.1223 m

1.415

  m   0.284  0.167 log 0.344   0.113 log0.1223 m s   

m    0.4006  0.065  0.344   0.0224 s 

 = -0.0224 Gradiente de presión por fricción: De las figuras 9 y 10:  /D = 0.00035 f2F = 0.023 2

kg   m  0.023  810 3   0.344  s m   f   m kg   0.1223 m 2  9.81 2 s kgf  

m m   kgf  0.0061  0.787  s s m2    0.0224   0.624 m m   m  0.344  0.787  s s  

3.3.-Caída total de presión

17.9  2F 

kg kg  m  810 3  0.787  2 s kg  kg m s m     0.0224 810 3   561.3 3 m m m  m  0.344  0.787 s s

531

Pav = 40 atm = 413309 kgf/m2 kg  m  0.338  2 s m s AC   1.49  10 6 m kg  kgf  9.81 2  413309 2  s kgf  m  17 .9

 P2F   L   

0.624

 kgf kgf kg  561 .3 3 sen90 1 3 m m  kg 6 1  1.49  10

 kgf    561 .94 m2 m

4.-RESULTADO. La caída de presión es de 561.94 kgf/m2 por cada metro de longitud de tubería, equivalente a 0.054 atm por metro de tubo, o a 0.799 psi por metro.

La correlación de Orkiszewski es la mejor para calcular las caídas de presión en flujo a dos fases vertical ascendente, pues su precisión es del orden de ± 10%. Sin embargo, la correlación de Davis es la más empleada debido a su sencillez y a su similitud con la correlación de Lockhart-Martinelli. Además de las correlaciones aquí presentadas, en la literatura sobre el tema se pueden encontrar muchas otras; para el lector interesado se le recomienda revisar las de Hagedorn22, Aziz2, Beggs6 y Oshinowo-Charles33. CONSIDERACIONES GENERALES. Dependiendo del patrón de flujo, el líquido contenido en el tubo puede ser acelerado hasta alcanzar la velocidad de la fase gaseosa. En ciertos casos, esta velocidad es mayor de la deseable en las tuberías de proceso. Las velocidades altas producen un fenómeno conocido como erosión-corrosión, en donde la velocidad de corrosión del material del tubo es acelerada debido a la fuerza erosiva del líquido a altas velocidades. Un índice basado en las cargas o cabezas de velocidad indica si la erosióncorrosión puede ser importante a una cierta velocidad en particular, y se le utiliza para determinar el intervalo de densidad y velocidad de mezcla dentro del cual no se produce la erosión-corrosión. Este índice es10: M v M2  15000

(126)

En donde la densidad de la mezcla es: M 

WL  WG WL WG  L G

 kg   m3   

Y la velocidad de la mezcla está dada por la ecuación 46:

532

(127)

v M  v SL  v SG

m  s  

(46)

Para el caso general, la velocidad de la mezcla debe ser menor a 15 m/s, pues la experiencia ha demostrado que la erosión se presenta cuando se excede ese valor. Además de mantener el producto de velocidad-densidad dentro del intervalo aceptable, se debe también mantener el régimen de flujo apropiado en las líneas. Sobre todo se debe evitar el flujo ariete, porque causa problemas mecánicos y de proceso graves, este último debido a la intermitencia en la entrada de líquido y de gas a un equipo. El flujo disperso o neblina12 es una mezcla casi homogénea de fase líquida en fase gaseosa, y por tanto se comporta en forma similar a un fluido compresible. Sin embargo, a pesar de la bondad de este flujo para el diseño de tuberías, en los tanques flash y en las columnas de destilación causa problemas de separación, debido al arrastre de líquido. Una vez adquirido este patrón de flujo en un sistema, es prácticamente imposible separar las fases, ya que se requiere alcanzar velocidades imposibles de obtener en la gran mayoría de los sistemas de flujo. El flujo estratificado y onda se utilizan sólo para tuberías horizontales largas. Los flujos tapón y bala12 son raros a la hora del diseño, debido a su intermitencia. El anular o película es indeseable porque causa erosión en las paredes de las tuberías.

Ejercicios de autoevaluación propuestos. Problema 1. Por una línea horizontal de una pulgada cédula 40, fluyen agua y aire a razón de 990 kg/h y de 6 kg/h, respectivamente, y con unas condiciones de flujo tales que las propiedades medias del líquido y del gas son: L = 1 ; L = 1000 kg/m3; L = 73 dinas/cm; G = 1.25 kg/m3. Encuentre el patrón de flujo esperado. Resultado. En el mapa de Baker, el flujo resultante es ariete. En el mapa de González Ortiz, el flujo está cerca de la frontera entre los flujos estratificado y ariete. En el mapa de Chhabra-Richardson, el patrón esperado es el de flujo intermitente. Por lo tanto, el patrón de flujo es ariete.

Problema 2. ¿Cuál será el patrón de flujo si se manejan 0.08 m3/min de vapor de agua, con 0.5 m3/min de agua líquida, por una tubería horizontal de 2 pulgadas cédula 80 a 120°C y 2 atm? La tensión superficial del agua a estas condiciones es de 56.7 dina/cm. Resultado. En el mapa de Baker, el patrón es flujo burbuja, aunque se aproxima a la región del flujo tapón. En el mapa de González Ortiz, el patrón es flujo tapón y se encuentra próximo a los flujos ariete y burbuja dispersa. En el mapa de ChhabraRichardson, el patrón corresponde al flujo burbuja dispersa, pero está muy cerca del flujo intermitente. Por lo tanto, el patrón más probable es el de flujo burbuja.

533

Problema 3. Por una tubería horizontal fluyen 200000 kg/h de líquido y 300000 kg/h de gas. Las propiedades de los fluidos son: Para el líquido: densidad = 700 kg/m3; viscosidad = 0.1 s; tensión superficial = 5 dinas/cm. Para el gas: densidad = 30 kg/m3 y viscosidad = 0.01 . Obtener el patrón de flujo esperado en la tubería. Resultado. En el mapa de Baker, el patrón corresponde al flujo disperso. En el mapa de González Ortiz, el patrón de flujo es anular-neblina, pero por encontrarse fuera del mapa puede considerarse exclusivamente flujo neblina. En el mapa de Chhabra-Richardson, el flujo es burbuja dispersa pero se encuentra cerca del flujo anular-neblina. Se puede concluir que el patrón de flujo es neblina o disperso.

Problema 4. ¿Cuál es la caída de presión en 100 m de tubo, si se maneja a 100°C y 2 atm una mezcla de 0.06 m3/min de vapor de agua con 0.03 m3/min de agua líquida, por una tubería horizontal de 2 pulgadas cédula 40? La tensión superficial es de 59.98 dina/cm. Resultado. Empleando al método de Lockhart-Martinelli modificado por Baker, la caída de presión por fricción es de 1525.99 kgf/m2 por cada 100 m de longitud de tubo, siendo el patrón de flujo tapón.

Problema 5. Por una tubería horizontal de 5 cm de diámetro interno y una rugosidad relativa (/D) equivalente a 0.0006, circula agua a 100°C con un caudal másico de 8 kg/s. Las burbujas de vapor formadas en su seno representan un 0.01 % del caudal másico total. Si la presión a la entrada es de 3 atm, calcule la caída de presión en 50 metros de tubería. La tensión superficial del agua líquida a estas condiciones es de 59.98 dina/cm. Resultado. El Reynolds superficial del vapor es de 1509, por lo cual no entra dentro de los criterios de Lockhart-Martinelli. Considerándolo en régimen viscoso, la caída de presión por fricción obtenida con el método original de Lockhart-Martinelli es de 75263.23 kgf/m2.

Problema 6. Calcule la caída de presión por 100 metros de tubería horizontal de 2 pulgadas cédula 40, por la que fluyen 1000 kg/h de una mezcla formada en la fase líquida por 20% de tolueno y 80% de n-octano en mol. El líquido está a su temperatura de burbuja y por la tubería circula 50 % de líquido y 50 % de vapor en masa. (El vapor está en equilibrio con el líquido). La presión de operación es de 700 mm de Hg. Las ecuaciones de Antoine para ambos componentes son: Log P°n-octano = 6.845 – 1203.53/(222.86 + T) Log P°tolueno = 6.923 – 1355.13/(209.52 + T) Donde: P° está en mmHg y T está en °C. Resultado. Empleando al método de Lockhart-Martinelli modificado por Baker, para el flujo disperso la caída de presión por fricción es de 38.294 kgf/cm2 en 100 m de longitud de tubo. Con el caso I de Dukler se obtienen unas pérdidas de presión por fricción de 0.277 kgf/cm2, y mediante el caso II de Dukler, la caída de presión por fricción es de 0.428 kgf/cm2, ambos en 100 metros de tubo.

534

Problema 7. ¿Cuál es la caída de presión en una línea horizontal de 100 m de longitud y 18 pulgadas de diámetro cédula 40, en la que fluyen 275685 kg/h de líquido y 325730 kg/h de gas? Datos Líquido Gas Peso molecular 78.8 75 Densidad 535 kg/m3 32 kg/m3 Viscosidad 0.1 s 0.01 s Tensión superficial 5.81x10-4 kgf/m Resultado. La caída total de presión empleando al método de Lockhart-Martinelli modificado por Baker es de 33.69 kgf/cm2, y mediante el caso II de Dukler es de 0.488 kgf/cm2, ambos en 100 metros de tubo. El patrón determinado con el mapa de Baker es el de flujo disperso.

Problema 8. Para el problema anterior, ¿cuál sería la caída de presión esperada, si la tubería fuera vertical? Resultado. La caída total de presión empleando al método de Davis, contraparte vertical del método de Lockhart-Martinelli, es de 30.75 kgf/cm2, y mediante el método de Orkiszewski, contraparte vertical del método de Dukler, es de 8.52 kgf/cm2, ambos resultados en 100 metros de tubo. El patrón determinado con el método de Orkiszewski es el de flujo bala.

Problema 9. ¿Cuál es la caída de presión por cada 100 metros producida en una línea horizontal de 18 pulgadas cédula 40, por la cual fluyen 300000 kg/h de líquido y 400000 kg/h de gas? Datos Líquido Gas Peso molecular 78 76 Densidad 600 kg/m3 32 kg/m3 Viscosidad 0.3 s 0.02 s Tensión superficial 5.81x10-4 kgf/m Resultado. La caída total de presión obtenida con el caso II de Dukler es de 0.73 kgf/cm2 en 100 m de longitud de tubería.

Problema 10. Calcule la caída de presión para una mezcla que está a 61 atm y 13°C, la cual fluye por una línea horizontal de 1 km de longitud y de 24 pulgadas de diámetro cédula 80, a razón de 2240 kg/h de gas y 230000 kg/h de líquido. La densidad del líquido es de 802 kg/m3 y la del gas de 52 kg/m3, la viscosidad del líquido es de 0.8 s y la del gas de 0.012 . Resultado. Empleando el caso II de Dukler se obtiene una caída total de presión de 175.11 kgf/m2 por kilómetro de tubo.

Problema 11. Calcule el gradiente de presión por cada metro de longitud, producido por el flujo de una mezcla líquido-vapor de hidrocarburos, que fluye por una tubería horizontal de 24 pulgadas de diámetro cédula 40, a 38 atm y 13°C. La velocidad superficial del líquido es de 0.26 m/s, la del gas de 0.17 m/s, la densidad del líquido es de 834 kg/m3, la del gas de 32 kg/m3, la viscosidad del líquido es de 0.84 s, la del gas de 0.012 s, el gasto de líquido de 226000 kg/h y el del gas de 5850 kg/h.

535

Resultado. La caída de presión por fricción obtenida con el caso I de Dukler es de 0.156 kgf/m2 por metro de tubo, y mediante el caso II de Dukler, las pérdidas de presión por fricción son de 0.201 kgf/m2 por metro de tubo.

Problema 12. Estime la caída de presión para el ejemplo 5 empleando el método de Dukler. Resultado. Utilizando al caso I de Dukler, la caída de presión por fricción es de 11344.27 kgf/m2. Con el caso II de Dukler, las pérdidas de presión por fricción son de 11722.21 kgf/m2.

536

Capítulo XXIII

Flujo a dos fases. Sistema líquido-sólido.

537

INTRODUCCIÓN. El fenómeno del flujo concurrente de líquidos y sólidos granulares o particulados (conocido en inglés como slurry flow) no debe ser ignorado por la ingeniería química, pues su campo de aplicaciones en la industria es vasto y extenso. Al igual que en los sistemas gas-sólido, el diseño de equipos cuyo principal componente es el flujo de líquidos y sólidos en paralelo, era un arte desconocido para todo ingeniero ajeno a estos sistemas. En sus inicios en 1906, los sistemas de flujo líquido-sólido comprendían casi exclusivamente a los drenajes citadinos e industriales, los cuales eran diseñados y construidos por los ingenieros civiles. Con el diseño y construcción de los grandes ductos de transporte de carbón por agua, a principios de la década de 1950 en diversas partes del mundo, la investigación del flujo bifásico líquido-sólido se intensificó, y de esta manera la ingeniería química pudo vislumbrar un mejor futuro gracias a la conversión de esta disciplina en ciencia. Además de las tuberías para transporte hidráulico de materiales sólidos, existen otros equipos donde se presentan condiciones de flujo paralelo de líquidos y partículas sólidas, como son reactores catalíticos, filtros prensa, equipos de intercambio iónico, decantadores, mezcladores, calentadores y enfriadores, bombas para manejo de suspensiones, entre otros más. En el diseño de los sistemas líquido-sólido, la preocupación del ingeniero se centra en la determinación de la caída de presión, la cual depende del patrón de flujo, de la velocidad del líquido transportador, y de las propiedades de ambas fases. La velocidad de la fase líquida es una variable crítica pues determina la velocidad de las partículas sólidas. Una mala selección de la velocidad del líquido provoca erosión de las paredes internas de las tuberías y equipos con flujo bifásico líquido-sólido, y por consiguiente la falla de los mismos. A diferencia del flujo de mezclas gas-sólido, no existe el riesgo de explosión ni de incendio, pero el fenómeno de la erosión conlleva a la corrosión de los tubos y de los equipos. Aunque para acarrear partículas sólidas puede emplearse tanto un gas como un líquido, el comportamiento de ambos flujos bifásicos fluido-sólido tiene diferencias importantes. En el flujo gas-sólido, las interacciones entre partículas y entre las partículas y la pared del tubo dominan sobre las interacciones entre el fluido y las partículas. En el flujo líquido-sólido, las interacciones fluido-partícula y entre partículas dominan sobre las existentes entre las partículas y la pared de la tubería. Cabe resaltar también la gran similitud entre ambos fenómenos, destacándose los patrones de flujo y la serie de variables de las que depende su comportamiento. Para poder optimizar el diseño de estos sistemas y mejorar su operabilidad, es necesario conocer en mayor detalle al fenómeno del flujo líquido-sólido. A pesar de las investigaciones realizadas en este campo, aún no ha sido posible desarrollar un modelo general, pues las correlaciones existentes a la fecha dependen del patrón de flujo. No obstante, gracias a las semejanzas con el flujo gas-sólido, una gran cantidad de esas correlaciones son aplicables para ambos tipos de flujo bifásico, lo cual nos puede llevar en un futuro hacia un modelo general de flujo a dos fases. 538

CLASIFICACIÓN DE LAS PARTÍCULAS SÓLIDAS. La fluidización de lechos de partículas puede presentarse de dos modos, de manera homogénea o con la aparición de burbujas, dependiendo del tamaño de las partículas y de la densidad de las mismas. De acuerdo con estos patrones de fluidización, Gibilaro, Hossain y Foscolo clasificaron a las partículas en tres grupos (figura 31), presentándolos en una gráfica similar a la de Geldart (figura 19). 12

8

AGREGATIVA

-

3 3 |P -  L| (x10 kg/m )

10

6

4

AGREGATIVA Y

PARTICULADA

2

PARTICULADA 0 0

1

2

3

4

5

dP (mm) Figura 31.- Mapa de clasificación de partículas de Gibilaro-Hossain-Foscolo. (1986)

Este mapa fue construido basándose en datos de fluidización con agua a condiciones atmosféricas. Para otros líquidos y otras condiciones de presión y temperatura, Di Felice desarrolló un mapa de clasificación (figura 32), similar al de Grace para sistemas gas-sólido (figura 20), basándose en los criterios de clasificación propuestos por él, Gibilaro y Foscolo, y cuyas coordenadas son adimensionales. Las coordenadas del mapa de Di Felice son:      g  dP *  dP  L P 2 L  L   De 

1 3

 Ar

1 3

L P

Donde: dP* = diámetro adimensional de partícula. De = cociente de las densidades de ambas fases. dP = diámetro de partícula en m. L = densidad del líquido en kg/m3. 539

(183)

(184)

P = densidad de las partículas sólidas en kg/m3. g = aceleración de la gravedad = 9.81 m/s2. L = viscosidad del líquido en kg/ (m s). Ar = número de Arquímedes, también llamado número de Galileo (Ga): Ar 

dP3 L P  L g 3  dP *  2 L

(185)

1

PARTICULADA

De

PARTICULADA Y AGREGATIVA

AGREGATIVA 0.1 1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

Ar Figura 32.- Mapa de clasificación de partículas de Di Felice. (1995)

Al lector interesado en conocer más sobre caracterización de partículas sólidas, se le recomienda consultar las obras de Valiente Barderas, de Leva, de Kunii y Levenspiel, de Fan y Zhu, y de Shook y Roco.

PATRONES DE FLUJO EN TUBERÍAS HORIZONTALES. Existen cinco patrones de flujo bifásico líquido-sólido en tuberías horizontales (figura 33), los cuales arreglados en orden decreciente de velocidad del líquido son los siguientes:

Flujo Homogéneo (Homogeneous flow): Las partículas sólidas están completamente suspendidas en el líquido y se encuentran distribuidas uniformemente en toda el área de flujo de la tubería. La presencia de las partículas afecta la reología del líquido. Si la concentración de los sólidos es inferior al 5% en volumen, el comportamiento del flujo es de tipo newtoniano, y si la concentración 540

es mayor, el flujo se comporta como un fluido no newtoniano. Este régimen de flujo se presenta a velocidades superficiales de líquido muy altas. Por semejar una sola fase homogénea, se le suele denominar flujo pseudohomogéneo (pseudohomogeneous flow). Flujo Heterogéneo (Heterogeneous flow): Al disminuir la velocidad del líquido, las partículas más grandes y pesadas descienden para ser transportadas por la fase líquida en la porción inferior del tubo. Aún se encuentran suspendidas las partículas, por lo que no hay sedimento en el fondo de la tubería. Se le conoce también como suspensión heterogénea (heterogeneous slurry). Flujo con Dunas (Dune flow): Disminuyendo aún más la velocidad de la fase líquida, a un valor inferior a la velocidad de sedimentación, las partículas comienzan a precipitarse, con lo cual se forman sedimentos cuya transportación se efectúa en forma de dunas o montículos. La velocidad del líquido determina el tipo de dunas presente, las cuales son similares a las existentes en el flujo a dos fases gas-sólido: Flujo con Dunas Longitudinales (Longitudinal dune flow): Inmediatamente por debajo de la velocidad de sedimentación, las partículas forman dunas alargadas, paralelas a la tubería, que avanzan en la dirección del flujo. El ancho de estas dunas es de aproximadamente 0.1 veces el diámetro de la tubería, y su longitud es de 1 a 3 veces el diámetro del tubo. También se le conoce como flujo de estrías de sedimento (stria of sediment flow), flujo en bandas (ribbon flow) o flujo en saltos (saltation flow). Flujo con Dunas Transversales (Transverse dune flow): A una menor velocidad del líquido, las partículas forman dunas perpendiculares a la tubería, las cuales avanzan en el sentido del flujo. Su apariencia es la de islas o de cúmulos de partículas bien definidos. Al disminuir la velocidad de la fase líquida, la longitud de las dunas disminuye y su altura aumenta. Este patrón de flujo es el clásico flujo de dunas, también conocido como flujo estratificado (stratified flow).

Flujo Onda (Ripple flow): A velocidades de líquido más bajas, las partículas forman un lecho estacionario en la parte inferior de la tubería. En la porción media, las partículas avanzan lentamente, deslizándose sobre el lecho estacionario. En la parte superior, el líquido se encuentra fluyendo libremente a una mayor velocidad respecto al lecho estacionario, con lo cual acarrea partículas que forman olas u 541

ondas que se desplazan en el sentido del flujo a modo de dunas transversales. Se le suele llamar flujo con lecho estacionario (flow with stationary bed). Flujo con Lecho Móvil (Moving bed flow): Disminuyendo más la velocidad superficial de la fase líquida, las partículas ocupan por completo al área de flujo de la tubería, con lo cual la porción superior fluye lentamente y la porción inferior permanece estacionaria. Si la velocidad del líquido baja aún más, el movimiento de las partículas cesa ocasionando el bloqueo de la línea. Se le denomina también flujo en fase densa continua (continuous dense phase flow).

Flujo Homogéneo

Flujo Heterogéneo

Flujo con Dunas Longitudinales

Flujo con Dunas Transversales

Flujo Onda

Flujo con Lecho Móvil

Figura 33.- Patrones de flujo a dos fases sistema líquido-sólido en tuberías horizontales.

A estos patrones de flujo se les clasifica de acuerdo a la concentración de los sólidos en el área de flujo de la tubería, como sigue: Flujo en fase diluida: la concentración de las partículas es relativamente baja, pues la velocidad superficial del líquido es mayor a la de sedimentación de los sólidos, los cuales se encuentran dispersos en la fase líquida; también se le conoce como 542

transporte hidráulico en fase diluida: flujos homogéneo y heterogéneo. Flujo en fase densa: la velocidad superficial del líquido es menor a la de sedimentación de las partículas, ocasionando una acumulación de partículas en la tubería; también es conocida como transporte hidráulico en fase densa: flujos con dunas, onda y con lecho móvil.

PREDICCIÓN DE HORIZONTALES.

LOS

PATRONES

DE

FLUJO

EN

TUBERÍAS

La determinación del patrón de flujo a dos fases líquido-sólido presente en una línea de transporte es el primer paso para su dimensionamiento. De manera similar a la identificación de patrones de flujo horizontal en sistemas gas-sólido, en los sistemas líquido-sólidos esta identificación es independiente de la técnica usada por los investigadores, pues los patrones de flujo son reconocidos por el perfil de caída de presión en el cual se presentan. Uno de los primeros mapas de patrones de flujo horizontal fue desarrollado por Newitt y sus colaboradores, basándose en el trabajo de Durand y Condolios, y empleando datos de transporte de arena, grava, óxido de manganeso y carbón con agua. Posteriormente, otros mapas han aparecido en la literatura, destacando entre ellos el de Turian y Yuan, con la desventaja de ser específicos para un sistema en particular y a unas ciertas condiciones de flujo. El único mapa generalizado existente hasta la fecha es aquél desarrollado por Thomas (figura 34), el cual está basado en consideraciones teóricas y en datos experimentales. Como se vio en los sistemas gas-sólido, los datos empleados por Thomas corresponden principalmente a sistemas agua-sólido, aunque fueron usados algunos datos pertenecientes a sistemas aire-sólido. A continuación se muestra al mapa de Thomas correspondiente a los sistemas líquido-sólido, junto con su metodología para determinar el patrón de flujo horizontal. La distribución de los patrones en esta gráfica es similar a la del mapa de Thomas correspondiente a los sistemas gas-sólido. El mapa mostrado abajo fue construido para un cociente (P - L)/L de 1.65, el cual es un valor promedio frecuente en los sistemas líquido-sólido y fue utilizado originalmente por Thomas al elaborar su mapa. Para mayores detalles en cuanto a las características del mapa y de la metodología, referirse al capítulo anterior.

543

Figura 34.- Mapa de patrones de Thomas para flujo horizontal en sistemas líquido-sólido. (1964)

La fracción de huecos o holdup de líquido está dada por la siguiente ecuación: 

WL L

QL  WL WP QL  QP  L P

(186)

Donde: QL y QP = flujos volumétricos de las fases líquida y sólida en m3/h. Método de Thomas para determinar patrones de flujo horizontal: 1.- Obtener la velocidad terminal de las partículas utilizando la gráfica de la figura 23, y la ecuación 139:    g  v t  u t *   2    

1 3

2.- Calcular el Reynolds superficial de partícula:

544

m  s  

(139)

Re SP 

dP v SL L L

(187)

3.- Determinar el factor de fricción de Fanning con la ecuación 132, empleando el Reynolds superficial de partícula y el diagrama de Moody (figura 9 ó 10), o bien, utilizando las ecuaciones de Hagen-Poiseuille (ecuación 28) o la de Chen (ecuación 29) dependiendo del régimen de flujo (laminar o turbulento, respectivamente): f (132) ff  D 4 Régimen Laminar:

fD 

64 Re

(28)

Régimen Turbulento:   1   1.1098 5.8506  1  5.0452  (29)  2 log   log    0.8981   2.8257  D  Re Re fD  3.7065 D  

4.- Calcular la velocidad friccional a dilución infinita con la siguiente ecuación: v f 0  v SL

ff 2

(188)

5.- Obtener las coordenadas del mapa de Thomas con las ecuaciones siguientes, y determinar el patrón de flujo presente en la tubería: Abscisa 

dP v f 0 L L

Ordenada 

vt v f0

(189)

(130)

Ejemplo 19. Determinar el patrón de flujo presente en una línea horizontal de 4 pulgadas cédula 40 por la que fluyen 1500 kg/h de agua, a una temperatura de 25°C, transportando partículas de arena cuyo diámetro promedio es de 175 m y su densidad de 2650 kg/m3. 1.-TRADUCCIÓN.

545

AGUA – ARENA

WL = 1500 kg/h

4” Sed. 40

T = 25°C

2.-PLANTEAMIENTO. 2.1.-Discusión. Para encontrar el patrón de flujo deben conocerse los parámetros de Thomas, los cuales serán empleados en su mapa de patrones de flujo de la figura 34. 2.2.-Coordenadas de Thomas

Abscisa 

dP v f 0 L L

Ordenada 

vt v f0

3.-CÁLCULOS. 3.1.-Velocidad terminal de partícula. Las propiedades del agua a 25°C son: L = 997.08 kg/m3 L = 0.8937 = 8.937x10-4 kg/ (m s)

   997 .08 kg  2650  997 .08  kg  m3  m3 dP *  175  10 6 m   2   4 kg    8.937  10   m s   





m    9 . 81   s2       

1 3

 4.77

Con este valor del diámetro adimensional se obtiene en la gráfica de velocidad terminal de partículas en fluidos (figura 23): ut* = 0.95

 kg  m   4 kg   2650  997.08 3  9.81 2     8.937  10 ms  m  s  v t  0.95   2   kg     997 . 08   m3    

1 3

 0.023

m s

3.2.-Velocidad friccional a dilución infinita. Para una tubería de 4” de diámetro nominal cédula 40, su diámetro interno es de:

546

D = 4.026 in = 0.1023 m A=

 2 D = 0.008213 m2 4 kg m h   0.051 s kg  s 3600  997 .08 3  0.008213 m 2 h m  1500

v SL



175  10 Re SP 





m  kg   m  0.051   997 .08 3  s  m    9.96 kg 8.937  10  4 ms

6

fD 

64  6.43 9.96

ff 

6.43  1.61 4

v f 0  0.051

Régimen laminar

m 1.61 m  0.046 s 2 s

3.3.-Coordenadas de Thomas.

175  10 Abscisa 

6



m  kg   m  0.046   997 .08 3  s m     8.98  4 kg 8.937  10 ms

m s  0.50 Ordenada  m 0.046 s 0.023

Con estas coordenadas, se ubica en el mapa de Thomas (figura 34) el patrón de flujo correspondiente a la intersección de estos valores, observándose ésta última en la región de flujo con dunas longitudinales. 4.-RESULTADO. El patrón desarrollado en la tubería corresponde al flujo con dunas longitudinales.

PREDICCIÓN DE LA CAÍDA DE PRESIÓN EN TUBERÍAS HORIZONTALES. Para completar el proceso de dimensionamiento de tuberías de transporte hidráulico de partículas, es necesario determinar la caída de presión en las mismas. En la actualidad no se cuenta con un modelo general capaz de predecir 547

correctamente las pérdidas de presión en sistemas líquido-sólido. Aunque han sido desarrolladas correlaciones empíricas para poder calcular las caídas de presión, ninguna de ellas es aplicable a otros sistemas fuera del rango de datos experimentales con los cuales se construyó la correlación. Las correlaciones basadas en consideraciones de tipo teórico predicen de mejor manera las pérdidas de presión en las tuberías, entre las cuales destaca la debida a Molerus y Wellmann, quienes empleando un análisis dimensional y basándose en un amplio espectro de datos experimentales, desarrollaron el mejor modelo semiempírico existente a la fecha para las caídas de presión en tuberías horizontales. Correlación de Molerus-Wellman. En general, la caída total de presión en los sistemas líquido-sólido es la suma de las caídas de presión para cada una de las fases, y queda expresada de la siguiente manera: P2F  PL  PP (190) En donde: P2F = caída de presión total a dos fases en kgf/m2. PL = caída de presión de la fase líquida en kgf/m2. PP = caída de presión de la fase sólida en kgf/m2. El primer término de esta ecuación puede ser determinado mediante la ecuación de Darcy: PL 

2 fL L v M L 2 D gC

 kgf   m2   

(191)

En donde: fL = factor de fricción de Darcy para la fase líquida. vM = velocidad promedio de la mezcla en m/s: vM 

v SL  v SP 2

(192)

L = longitud del tramo de tubería en m. D = diámetro de la tubería en m. gC = 9.81 m kg/ (s2 kgf). vSL = velocidad superficial de la fase líquida en m/s: v SL 

WL 3600 L A

m  s  

(193)

vSP = velocidad superficial de la fase sólida en m/s: v SP 

WP 3600 P A

548

m  s  

(194)

Molerus y Wellmann desarrollaron una expresión para determinar la caída de presión para la fase sólida: PP

x *   P  L gL  v M  

2

v   t 

gC

 kgf   m2   

(195)

En donde: x* = caída de presión adimensional (parámetro de Molerus-Wellmann).  = fracción volumen de sólidos respecto al volumen total de mezcla: WP P  WL WP  L P

(196)

Para obtener el valor del parámetro x*, Molerus y Wellmann definieron tres variables, resultado de su análisis dimensional: vt

Frt 

g D S  1

FrP 

vM

g dP S  1

(197)

(198)

2

 v SLIP     v M 0 x0  v  1   SLIP   v M 0

(199)

En donde: Frt = número de Froude terminal. FrP = número de Froude de partícula. S = cociente de densidades: S

P 1  L De

(200)

x0 = caída de presión adimensional independiente de la concentración. (vSLIP / vM)0 = velocidad de deslizamiento adimensional independiente de la Concentración de los sólidos. vSLIP = velocidad de deslizamiento entre las fases (slip velocity) en m/s: v SLIP  v L  v P

vL = velocidad real del líquido en m/s. 549

m  s  

(201)

vP = velocidad real de las partículas en m/s. La velocidad de deslizamiento es, como en todos los sistemas de flujo a dos fases, el principal parámetro en el mecanismo de transporte y disipación de la energía, ya que la fuerza de arrastre ejercida por el fluido sobre la partícula (o gota en el caso de sistemas gas-líquido) depende de la velocidad relativa existente entre ambas fases. El fluido siempre avanza con mayor rapidez respecto a las partículas, ocasionándose una cierta fricción entre las fases y, por ende, una pérdida de energía cinética. Para poder determinar la velocidad slip, Molerus y Wellmann elaboraron una gráfica donde esta velocidad es función de los números de Froude terminal y de partícula, como se muestra en la figura 35. El parámetro x* depende de la fracción volumétrica  de la siguiente forma: Para 0 ≤  ≤ 0.25: Para  > 0.25:

x*  x 0

x*  x 0  0.1Frt2   0.25 

(202) (203)

Método de Molerus-Wellmann: 1.- Calcular los números de Froude terminal y de partícula con las ecuaciones 197 y 198. 2.- Determinar la velocidad de deslizamiento adimensional empleando la gráfica de la figura 35. 3.- Calcular los parámetros x0 y  con las ecuaciones 199 y 196, respectivamente. 4.- Obtener el parámetro x* con las ecuaciones 202 y 203. 5.- Calcular la caída de presión de la fase sólida con la ecuación 195. 6.- Calcular la caída de presión de la fase líquida con la ecuación 191. 7.- Determinar la caída total de presión con la ecuación 190.

550

Figura 35.- Gráfica de Molerus-Wellmann para determinar la velocidad slip adimensional. (1981)

551

Ejemplo 20. Obtener la caída total de presión en una tubería horizontal de 6 pulgadas cédula 40 que transporta partículas de carbón mineral a razón de 30000 kg/h. Estas partículas son arrastradas por 100000 kg/h de agua a 20°C, tienen un diámetro promedio de 5200 m y una densidad de 1270 kg/m3. La longitud de la tubería es de 350 m. 1.-TRADUCCIÓN.

WL = 100000 kg/h WP = 30000 kg/h

AGUA – CARBÓN MINERAL 6” Ced. 40

L = 350 m

T = 20°C 2.-PLANTEAMIENTO. 2.1.-Discusión Para obtener la caída de presión en la línea se emplea el método de Molerus-Wellmann, el cual no necesita de la determinación del patrón de flujo. 3.-CÁLCULOS. 3.1.-Velocidad de deslizamiento adimensional Las propiedades del agua a 20°C son: L = 998.23 kg/m3 L = 1.005 s = 1.005x10-3 kg/ (m s) dP* = 71.82 Con este valor del diámetro adimensional se obtiene en la gráfica de velocidad terminal de partículas en fluidos (figura 23): ut* = 13 vt = 0.181 m/s

kg m 3  1.27 S kg 998 .23 3 m 1270

Para una tubería de 6” de diámetro nominal cédula 40, su diámetro interno es de: D = 6.065 in = 0.1541 m

552

A = 0.0186388 m2 v SL 

kg h

100000

v SP 

30000





kg h

 0.35

s kg  3600 1270 3  0.0186388 m 2 h m 

vM 

FrP 

Frt 

1.49



m s

m s

m m  0.35 s s  0.92 m 2 s

0.92



 1.49



s kg  3600  998 .23 3  0.0186388 m 2 h m 

m s



m 9.81 2 5200  10 6 m 1.27  1 s m 0.181 s m 9.81 2 0.1541m1.27  1 s

 7.84

 0.283

Frt2  0.283  8  102 2

Con el Froude de partícula (FrP) y el cuadrado del Froude terminal (Frt2), de la gráfica de Molerus-Wellmann (figura 35) se obtiene:

 v SLIP     0.15  v M 0 3.2.-Caída de presión de la fase sólida

x0 

0.15 2 1  0.15

553

 0.0265

kg h kg 1270 3 m   0.191  0.25 kg kg 100000 30000 h  h kg kg 998 .23 3 1270 3 m m 30000

x* = 0.0265 2

m    0.92  kg s   12438 .5 kgf PP  0.0265 0.1911270  998 .23  3 350 m m  m m2  0.181  s  

3.3.-Caída de presión de la fase líquida.

Re SL

m  kg   0.1541 m 1.49   998 .23 3  s  m     228062 kg 1.005  10 3 ms

Régimen turbulento

De las figuras 9 y 10: /D = 0.0003 fL = fD = 0.0175 kg   m  0.0175  998 .23 3   0.92  s m   PL   kg m 2 0.1541 m 9.81 kgf s 2 

2

350 m

   

 1711 .6

kgf m2

3.4.-Caída total de presión. P2F  1711 .6

kgf kgf kgf  12438 .5 2  14150 .1 2 2 m m m

4.-RESULTADO. La caída total de presión es de 14150.1 kgf/m2.

Este método no considera al patrón de flujo presente en la línea, pues el fundamento teórico empleado por estos investigadores lleva implícita la aparición o ausencia de sedimento en el fondo de la tubería. El método de Molerus-Wellmann predice las caídas de presión a dos fases líquidosólido en tuberías horizontales con un error máximo de ± 10%, y está basado en

554

datos experimentales cuyos intervalos son los siguientes: 25 mm ≤ D ≤ 315 mm (1’’ ≤ D ≤ 12’’), 12 m ≤ dP ≤ 5200 m, 1270 kg/m3 ≤ P ≤ 5250 kg/m3. Existen otras metodologías de cálculo de caídas de presión en flujo horizontal a dos fases líquido-sólido. El lector interesado puede consultar las correlaciones de Durand-Condolios66, Newitt-Richardson-Abbott-Turtle73, Condolios-Chapus62, 54 77 Rose-Duckworth , Turian-Yuan , entre otras más. PATRONES DE FLUJO EN TUBERÍAS VERTICALES. A diferencia del flujo gas-sólido, los patrones existentes en el flujo bifásico líquidosólido vertical ascendente y descendente son prácticamente los mismos, debido a la gran influencia de la viscosidad y de la densidad del líquido sobre las interacciones fluido-partícula, las cuales dominan junto con las interacciones partícula-partícula sobre las existentes entre las partículas y la pared de la tubería, como se mencionó con anterioridad. La única diferencia entre ambos tipos de flujo es el movimiento real de las partículas, por esta razón serán expuestos a continuación los patrones de flujo ascendente de manera separada de los correspondientes al flujo descendente. Patrones de flujo vertical ascendente. Existen tres patrones de los cuales uno es de flujo a dos fases y los otros dos son de fluidización (figura 36). Estos últimos, junto con el de lecho fijo, son expuestos solamente para proporcionar una visión más amplia del fenómeno. Arreglados en orden creciente de velocidad de líquido, los patrones de flujo son: Lecho Fijo (Fixed bed): Como se vio en los sistemas gas-sólido, este régimen de flujo no es un patrón real de flujo a dos fases líquido-sólido, tampoco de fluidización, pues las partículas permanecen inmóviles mientras el líquido asciende por los huecos existentes entre las mismas. Este tipo de lecho se presenta a velocidades superficiales de líquido inferiores a la velocidad mínima de fluidización (minimum fluidization velocity). También se le denomina lecho empacado (packed bed). Fluidización Particulada (Particulate fluidization): El lecho se expande conforme la velocidad superficial del líquido se incrementa. La fase líquida fluye por los intersticios existentes entre las partículas, los cuales aumentan de tamaño uniformemente con la expansión. De esta manera, no hay inhomogeneidades en el lecho, como burbujas o balas de líquido en su interior. Se da a velocidades superficiales de líquido mayores a la mínima de fluidización y menores a la velocidad terminal de descenso de las partículas (terminal settling velocity). Fluidización Agregativa (Aggregative fluidization o Aggregate fluidization): En este patrón de fluidización aparecen inhomogeneidades en el lecho, como lo es la formación de burbujas de líquido en el seno del lecho de partículas sólidas, dando a éste un aspecto de estar hirviendo. Las burbujas de líquido son semejantes a las de su contraparte gaseosa, en la fluidización con burbujeo en sistemas gas-sólido, pues presentan una estela de partículas en su porción inmediata inferior. También puede darse la formación de balas de líquido, de manera similar al flujo bala en 555

sistemas gas-sólido, o la aparición de estrías o bandas de líquido, las cuales se desplazan ascendentemente. Este régimen de fluidización ocurre sólo con aquellas partículas pertenecientes al grupo cuya fluidización es de este tipo, y a velocidades superficiales de líquido mayor a la mínima de fluidización pero menores a la velocidad terminal de descenso de las partículas. Transporte Hidráulico (Hydraulic conveying): Este es el único patrón real de flujo bifásico observado en líneas verticales ascendentes, pues se caracteriza por el arrastre de las partículas desde la porción inferior de la tubería hacia la superior. A bajas velocidades del líquido, las partículas de sólido están dispersas de manera homogénea en toda el área de flujo de la tubería. A velocidades de líquido mayores, las partículas tienden a fluir preferentemente por el centro del tubo, ocasionando la formación de un anillo de líquido, el cual contiene una pequeña cantidad de partículas en su seno. Se presenta a velocidades superficiales de líquido mayores a la velocidad terminal de descenso de las partículas.

Lecho Fijo

Fluidización Particulada

Fluidización Agregativa

Transporte Hidráulico

Figura 36.- Patrones de flujo ascendente a dos fases sistema líquido-sólido en tuberías verticales.

Patrones de flujo vertical descendente: Este tipo de flujo es poco frecuente pero se le puede hallar en líneas provenientes de tanques de almacenamiento y en drenajes. Arreglados en orden creciente de velocidad de deslizamiento entre fases, los patrones de flujo son los siguientes (figura 37): Flujo en Lecho Empacado (Packed bed flow): El descenso de las partículas se efectúa a modo de lecho empacado, en donde el líquido fluye a través de los 556

intersticios existentes entre las partículas. Ocurre a velocidades de deslizamiento menores a la velocidad relativa mínima de fluidización. Flujo en Lecho con Fluidización Particulada (Fluidized bed flow): Este patrón de flujo se caracteriza por el descenso de las partículas sólidas a modo de lecho con fluidización particulada. Es similar a su contraparte en sistemas gas-sólido, y se presenta a velocidades de deslizamiento mayores a la velocidad relativa mínima de fluidización. Flujo en Lecho con Fluidización Agregativa (Aggregate fluidized bed flow): Se caracteriza por el flujo descendente de una masa de partículas a modo de lecho con fluidización agregativa. Es similar al flujo en lecho fluidizado con burbujeo de los sistemas gas-sólido, pero se presenta sólo con las partículas cuya fluidización es agregativa, a velocidades de deslizamiento mayores a la velocidad relativa mínima de fluidización.

Flujo en Lecho Empacado

Flujo en Lecho con Fluidización Particulada

Flujo en Lecho con Fluidización Agregativa

Flujo 37.- Patrones de flujo descendente a dos fases sistema líquido-sólido en tuberías verticales.

PREDICCIÓN DE LOS PATRONES DE FLUJO EN TUBERÍAS VERTICALES. Gracias a la enorme similitud entre los sistemas gas-sólido y líquido-sólido, el estudio y caracterización de los patrones de flujo vertical líquido-sólido es efectuado mediante el empleo del mismo tipo de variables y correlaciones usadas en el caso del flujo gas-sólido. Uno de los primeros intentos en este sentido fue llevado a cabo por Creasy64, quien propuso un mapa con coordenadas adimensionales donde hizo una distinción entre las fluidizaciones particulada y 557

agregativa. Posteriormente, Molerus71 elaboró un mapa donde se ubican los lechos fijo y con fluidización particulada, cuyas coordenadas son grupos adimensionales bien conocidos. Retomando el mapa de Molerus, Grace42 construyó el suyo propio mediante el empleo del diámetro adimensional de partícula y de la velocidad adimensional del fluido. Este mapa (figura 38) es similar al correspondiente para flujo vertical ascendente gas-sólido, y por ser el más general será mostrado a continuación.

Figura 38.- Mapa de patrones de Grace para flujo vertical ascendente en sistemas líquido-sólido. (1986)

Donde: dP* = diámetro adimensional de partícula. u* = velocidad superficial adimensional de la fase líquida:

558

  L2 u*  v SL    L P  L g 

1 3

 Ly

1 3



Re SP Ar

1 3

(204)

Ly = número de Lyaschenko, también llamado número de similaridad (M): Ly 

v 3SL L2 L P  L g

(205)

Para determinar el tipo de fluidización (particulada o agregativa), debe usarse cualquiera de los mapas de clasificación de partículas (figuras 31 y 32), dependiendo del tipo de fluido empleado en el sistema. En este mapa, a diferencia del mapa de la figura 28, las fronteras de transición entre los patrones de flujo o de fluidización no dependen de la masa velocidad de la fase sólida, tampoco del diámetro de la tubería. El criterio de transición para la frontera entre el lecho fijo y el lecho fluidizado es la velocidad mínima de fluidización, y el correspondiente a la frontera entre el lecho fluidizado y el transporte hidráulico es la velocidad terminal. A continuación se muestra un mapa generalizado de patrones de flujo vertical descendente (figura 39), basado en los criterios de transición de Grace y en los propuestos por Rhodes para sistemas fluido-sólido. La ordenada en este mapa es la diferencia de velocidades superficiales (o velocidad de deslizamiento) entre ambas fases, y queda definida por la siguiente ecuación: v SL  v SP *  v SL  v SP

  L2    L P  L g 

1 3

(206)

A semejanza con la figura 38, para distinguir los flujos en lecho con fluidización particulada y en lecho con fluidización agregativa, debe emplearse cualquiera de los mapas de clasificación de partículas mostrados en las figuras 31 y 32. Si el sistema es agua-sólido, se usa la figura 31, y si es cualquier otro sistema, se utiliza el mapa de Di Felice (figura 32). En el mapa de la figura 39, el criterio de transición entre los flujos en lecho empacado y en lecho fluidizado corresponde a la velocidad mínima de fluidización, pero cuya ordenada está dada por la ecuación 206.

559

100

FLUJO EN LECHO CON FLUIDIZACIÓN 10

PARTICULADA O AGREGATIVA

|vSL-vSP|*

1

0.1

0.01

FLUJO EN LECHO EMPACADO

0.001

0.0001 1

10

100

1000

dP*

Figura 39.- Mapa de patrones generalizado para flujo vertical descendente en sistemas líquidosólido. (2004)

Ejemplo 21. ¿Cuál será el patrón de flujo esperado en una tubería vertical de 4 pulgadas cédula 40 por la cual ascienden 1000 kg/h de agua a través de un lecho formado por granos de trigo? La temperatura del agua es de 25°C, el diámetro promedio de los granos es de 4.8 mm y la densidad de estos es de 750 kg/m3.

560

1.-TRADUCCIÓN.

WL = 1000 kg/h

AGUA – TRIGO

T = 25°C

4” Ced. 40

2.-PLANTEAMIENTO. 2.1.-Discusión El patrón de flujo es determinado empleando el mapa de Grace para sistemas líquido-sólido (figura 38). 2.2.-Coordenadas de Grace 1 3

     g  dP *  dP  L P 2 L  L  

  L2 u*  v SL    L P  L g 

1 3

3.-CÁLCULOS. 3.1.-Velocidad superficial de la fase líquida Las propiedades del agua a 25°C son: L = 997.08 kg/m3 L = 0.8937 = 8.937x10-4 kg/(m s) Para una tubería de 4” de diámetro nominal cédula 40, su diámetro interno es de: D = 4.026 in = 0.1023 m A = 0.008213 m2 kg m h   0.0339 s kg  s 3600  997 .08 3  0.008213 m 2 h m  1000

v SL



561



3.2.-Patrón de flujo

   997 .08 kg 997 .08  750  kg  9.81 m    m3 m3  s2   dP *  4.8  10 3 m   2   4 kg     8.937  10    ms    





1 3

 69 .43

2   kg      997.08 3  m  m    u*   0.0339   s  kg  kg  m    997.08  750 3  9.81 2     8.937  10 4 ms  m  s    

1 3

 2.61

En el mapa de Grace de la figura 38, estas coordenadas se intersectan en la región correspondiente a la fluidización. Para poder determinar el tipo de fluidización presente en el lecho de trigo, a continuación será empleado el mapa de Di Felice de clasificación de partículas (figura 32):

Ar  69.43  334689 3

kg m 3  1.33 De  kg 750 3 m De acuerdo con el mapa de Di Felice, la fluidización del lecho es de tipo particulada. 997 .08

4.-RESULTADO. El patrón desarrollado en el lecho es el de fluidización particulada.

Ejemplo 22. Determinar el patrón de flujo presente en una tubería vertical de 6 pulgadas cédula 40 por la cual descienden 500 kg/h de carbón mineral y 300 kg/h de agua a 25°C. Las partículas de carbón tienen un diámetro promedio de 12.7 mm y una densidad de 720 kg/m3.

562

1.-TRADUCCIÓN.

WP = 500 kg/h AGUA – CARBÓN MINERAL

WL = 300 kg/h

6” Ced. 40

T = 25°C

2.-PLANTEAMIENTO. 2.1.-Discusión Para obtener el patrón de flujo se utiliza el mapa de patrones generalizado para flujo vertical descendente (figura 39). 3.-CÁLCULOS. 3.1.-Velocidad superficial de la fase líquida Las propiedades del agua a 25°C son: L = 997.08 kg/m3 L = 0.8937 = 8.937x10-4 kg/(m s) Para una tubería de 6” de diámetro nominal cédula 40, su diámetro interno es de: D = 6.065 in = 0.1541 m A = 0.0186388 m2 kg m h   0.0045 s kg  s 3600  997 .08 3  0.0186388 m 2 h m  300

v SL



3.2.-Velocidad superficial de la fase sólida

563



500

v SP  3600

kg h



s kg  2  720 3  0.0186388 m h m 



 0.0103

m s


   997 .08 kg 997 .08  720  kg  9.81 m    m3 m3  s2   dP *  12 .7  10 3 m   2  kg     8.937  10 4    ms    



v SL



1 3

 190 .84

2   kg      997.08 3  m m m     v SP *  0.0045  0.0103  s s  kg  kg  m   997.08  720 3  9.81 2     8.937  10 4 ms  m  s    

1 3

 0.43

En el mapa generalizado para flujo vertical descendente de la figura 39, estas coordenadas se intersectan en la región correspondiente al flujo en lecho empacado. 4.-RESULTADO. El patrón es el de flujo en lecho empacado.

PREDICCIÓN DE LA CAÍDA DE PRESIÓN EN TUBERÍAS VERTICALES. La caída de presión en tuberías verticales con flujo a dos fases líquido-sólido, al igual que en el flujo gas-sólido, depende del patrón de flujo. A continuación serán expuestas las correlaciones semiempíricas más usadas en el diseño de tuberías y equipos, de acuerdo con el patrón de flujo. Transporte hidráulico. En tuberías verticales, según Kopko, Barton y McCormick, la caída total de presión está dada por la siguiente sumatoria: P2F 

 L v L2 1  P v P2  L L g sen 1   P L g sen fL v L2 L     2 gC 2 gC gC gC 2 D gC

 kgf   m2   

(207) En donde:  = fracción de huecos o holdup de líquido.  = ángulo de inclinación de la tubería.

564

Los dos primeros términos corresponden a la caída de presión por aceleración, los siguientes dos términos son caídas de presión por elevación, y el último es la pérdida de presión por fricción entre la fase líquida y las paredes de la tubería. El ángulo de inclinación para flujo ascendente es 90° y para flujo descendente es de 90° ó 270°. Cabe resaltar la ausencia de un término correspondiente a la caída de presión por fricción entre las partículas sólidas y las paredes de la tubería. Newitt y colaboradores74 estudiaron las pérdidas totales de presión por fricción y concluyeron que éstas son ligeramente superiores a las ocasionadas por la fricción entre el líquido y la pared del tubo, cuando la velocidad del líquido es baja y la velocidad terminal de las partículas se encuentra en régimen transicional o turbulento. Para velocidades de líquido muy altas, la caída de presión por fricción entre las partículas y la pared de la tubería es idéntica a la caída de presión por fricción entre el líquido y la pared. Newitt y sus colaboradores descubrieron una migración de las partículas hacia el eje de simetría de la tubería cuando la velocidad del líquido es muy alta. De esta manera, se forma un anillo de líquido el cual fluye sobre las paredes internas del tubo y, por lo tanto, evita el o directo de las partículas con la pared de la tubería. En consecuencia, las pérdidas de presión por fricción entre los sólidos y las paredes internas de la línea son despreciables respecto a la caída total de presión por fricción. Las velocidades reales de las fases líquida y sólida se calculan mediante las siguientes ecuaciones: vL 

v SL 

m  s  

(208)

vP 

v SP 1 

m  s  

(209)

La fracción de huecos o holdup de la fase líquida puede ser determinada mediante el uso de la ecuación 186: 

WL L


(186)

Donde: QL y QP = flujos volumétricos de las fases líquida y sólida en m3/h. Método de Kopko-Barton-McCormick: 1.- Determinar el patrón de flujo mediante el mapa de Grace (figura 38). Si el tipo de flujo determinado corresponde al transporte hidráulico, se debe continuar con el método. 2.- Calcular la fracción de huecos o holdup de líquido con la ecuación 186.

565

3.- Calcular las velocidades reales de ambas fases con las ecuaciones 208 y 209. 4.- Calcular el factor de fricción de Darcy del líquido empleando la gráfica de Moody (figuras 9 ó 10), o con las ecuaciones de Hagen-Poiseuille (ecuación 28) o la de Chen (ecuación 29) dependiendo del régimen de flujo (laminar o turbulento, respectivamente). 5.- Determinar la caída total de presión con la ecuación 207.

Ejemplo 23. Por una tubería vertical de 4 pulgadas cédula 40 ascienden 15000 kg/h de agua a 30°C, y 100 kg/h de partículas de dióxido de manganeso, las cuales tienen un diámetro promedio de 1.57 mm y una densidad de 4100 kg/m3. Calcular la caída total de presión si la longitud del tubo es de 25 m. 1.-TRADUCCIÓN.

WP = 100 kg/h

AGUA – DIÓXIDO DE MANGANESO

WL = 15000 kg/h

4” Ced. 40

T = 30°C

L = 25 m

2.-PLANTEAMIENTO. 2.1.-Discusión Para determinar el patrón de flujo se empleará el mapa de Grace para sistemas líquidosólido (figura 38), y para calcular la caída de presión en la línea, se empleará el método de Kopko-Barton-McCormick, siempre y cuando el patrón de flujo corresponda al transporte hidráulico. 3.-CÁLCULOS. 3.1.-Patrón de flujo Las propiedades del agua a 30°C son:  L = 995.68 kg/m3 L = 0.8007 = 8.007x10-4 kg/ (m s)

566

Para una tubería de 4” de diámetro nominal cédula 40, su diámetro interno es de: D = 4.026 in = 0.1023 m A = 0.008213 m2 vSL = 0.51 m/s dP* = 56.78 u* = 17.54 En el mapa de Grace de la figura 38, estas coordenadas indican la presencia de un transporte hidráulico en el interior de la tubería. 3.2.-Velocidad real de cada fase

kg h kg 995 .68 3 m   0.9984 kg kg 15000 100 h  h kg kg 995 .68 3 4100 3 m m 15000

m s  0.511 m vL  0.9984 s 0.51

kg m h   8.249  10 4 s kg  s 3600  4100 3  0.008213 m 2 h m  100

v SP



vP 



m s  0.516 m 1  0.9984 s

8.249  10 4

3.3.-Caída total de presión m  kg   0.1023 m  0.511   995 .68 3  s  m   Re L   65005 kg 8.007  10  4 ms

567

Régimen turbulento

De las figuras 9 y 10: /D = 0.00045 fL = fD = 0.021 2

P2F

kg   m  1  0.9984  4100 kg3   0.516 m  0.9984  995 .68 3   0.511  s s m  m        kg m  kg m    2  9.81 2  9.81 2  kgf s  kgf s 2   

2

kg  kg     0.9984  995 .68 3  25 msen90   1  0.9984  4100 3  25 msen90  m  m    2

m  kg   0.021  0.511   995 .68 3  s  m     kg m   2 0.1023 m 9.81 kgf s 2  

P2F  25032 .2

kgf m2

4.-RESULTADO. La caída total de presión es de 25032.2 kgf/m2.

Aunque los lechos fijos y con fluidización están fuera del alcance de este texto, por no constituir un flujo a dos fases verdadero, serán expuestos brevemente con la única finalidad de proporcionar mayores elementos para el diseño de sistemas líquido-sólido. Para profundizar más en el tema de los lechos de partículas, se le recomienda al lector consultar las obras de Davidson y Harrison, de Kunii y Levenspiel, de Leva, de Valiente Barderas, y las dos de Rhodes.

Fluidización. De manera similar a los sistemas gas-sólido, la caída de presión total para este régimen no tiene contribuciones por aceleración, y entonces está dada por la ecuación propuesta por Foscolo y Gibilaro: P2F 

 L  1   P g L gC

 kgf   m2   

(210)

La fracción de huecos es calculada mediante la ecuación de Richardson-Zaki, pues la correlación obtenida por estos autores sólo es aplicable para lechos fijos y fluidizados: v    SL  vi

568

  

1 n

(211)

En donde: n = exponente de Richardson-Zaki. vi = velocidad terminal ajustada en m/s: v i  v t 10



dP D

m  s  

(212)

Rowe76 desarrolló una ecuación explícita para determinar el valor de este exponente, el cual está en función del Reynolds terminal y queda dado por la ecuación:  2  0.175 Re 3 4  P t  n  2.35  3   4  1  0.175 ReP t 

(213)

Donde: (ReP)t = Reynolds terminal de partícula:

ReP t

d v   P t L L

(214)

Estas ecuaciones son aplicables a las fluidizaciones particulada y agregativa, para el flujo ascendente. Para el caso de flujo descendente, la fracción de huecos o holdup de líquido para los flujos en lecho con fluidización particulada y con fluidización agregativa, es calculado mediante la ecuación 186, pues no son en realidad lechos fluidizados en cuyo caso serían válidas las ecuaciones de Richardson-Zaki y de Rowe: 

WL L


(186)

Ejemplo 24. Determinar la caída de presión en una línea vertical de 8 pulgadas cédula 40 por la que ascienden 100 kg/h de agua a través de un lecho formado por 300 kg de dióxido de uranio. La temperatura del agua es de 25°C, la profundidad del lecho es de 2.5 m, el diámetro de las partículas es de 152 m y su densidad es de 3520 kg/m3.

569

1.-TRADUCCIÓN.

MP = 300 kg WL = 100 kg/h

AGUA – DIÓXIDO DE URANIO

T = 25°C

8” Ced. 40

L = 2.5 m

2.-PLANTEAMIENTO. 2.1.-Discusión El patrón de flujo se determina mediante la gráfica de Grace de la figura 38, y la caída de presión es obtenida empleando la ecuación 210, siempre y cuando el patrón corresponda al de lecho fluidizado. 3.-CÁLCULOS. 3.1.-Patrón de flujo Las propiedades del agua a 25°C son: L = 997.08 kg/m3 L = 0.8937 = 8.937x10-4 kg/ (m s) Para una tubería de 8” de diámetro nominal cédula 40, su diámetro interno es de: D = 7.981 in = 0.2027 m A = 0.032275 m2 vSL = 8.632x10-4 m/s dP* = 4.77 u* = 0.031 En el mapa de Grace, estas coordenadas se cruzan en la región correspondiente a la fluidización. Para poder determinar el tipo de fluidización presente en el lecho de partículas de dióxido de uranio, se debe utilizar el mapa de Di Felice de clasificación de partículas (figura 32):

570

Ar = 108.5 De = 0.28 De acuerdo con este último mapa, la fluidización del lecho es de tipo particulada. 3.2.-Caída total de presión La velocidad terminal de las partículas es obtenida empleando la figura 23, que está en el capítulo 2. Con dP* = 4.77, se observa lo siguiente: ut* = 1 vt = 0.02813 m/s

ReP t

152  10 

6



m  kg   m  0.02813   997 .08 3  s  m    4.77 kg 8.937  10  4 ms

m   v i   0.02813 10 s 

152106 m 0.2027m

 0.02808

m s

 2  0.175 4.773 4    3.85 n  2.35  3  1  0.175 4.77 4   4 m   8.632  10  s  m    0.02808  s  

1 3.85

 0.4048

 kg  kg   P2F  0.4048  997 .08 3   1  0.4048  3520 3 m  m   

kgf   2.5 m  6246 .81 2 m 

4.-RESULTADO. La caída total de presión a lo largo del lecho fluidizado es de 6246.81 kgf/m2.

Lecho fijo. Basándose en consideraciones teóricas, Gibilaro, Di Felice, Waldram y Foscolo modificaron la ecuación de Ergun (ecuación 174) para ser aplicable a sistemas líquido-sólido, quedando como sigue:

571

  v2 P  17 .3    0.336  L SL 1      4.8 L  Re SP  dP g C

 kgf   m2   m     

(215)

En donde:  = fracción de huecos. ReSP = Reynolds superficial de partícula: Re SP 

dP v SL L L

(187)

La fracción de huecos es determinada mediante las ecuaciones de RichardsonZaki (ecuaciones 211 y 212) y de Rowe (ecuación 213), para lecho fijo con flujo ascendente de gas. La ecuación de Gibilaro y colaboradores puede ser empleada para flujo descendente (flujo en lecho empacado) sustituyendo la velocidad superficial del líquido por la velocidad relativa o de deslizamiento entre fases: v rel 

v SL v SP   1 

m  s  

(216)

La fracción de huecos para flujo vertical descendente se obtiene mediante la ecuación 186, por no tratarse de un lecho fijo verdadero:



WL L


(186)

Ejemplo 25. Obtener la caída de presión en una tubería de 6 pulgadas cédula 40, en la cual se halla un lecho empacado de partículas de antracita, cuya profundidad es de 2 m. El diámetro promedio de las partículas es de 1.32 mm y su densidad es de 1400 kg/m 3. Por los intersticios del lecho ascienden 100 kg/h de agua a 20°C.

572

1.-TRADUCCIÓN.

WL = 100 kg/h

AGUA – ANTRACITA

T = 20°C

6” Ced. 40

L=2m

2.-PLANTEAMIENTO. 2.1.-Discusión Para corroborar la existencia de un lecho empacado se empleará el mapa de Grace (figura 38). La fracción de huecos será obtenida mediante las ecuaciones de RichardsonZaki y de Rowe. La caída de presión será determinada empleando la ecuación de Gibilaro-Di Felice-Waldram-Foscolo. 3.-CÁLCULOS. 3.1.-Patrón de flujo Las propiedades del agua a 20°C son: L = 998.23 kg/m3 L = 1.005 s = 1.005x10-3 kg/ (m s) Para una tubería de 6” de diámetro nominal cédula 40, su diámetro interno es de: D = 6.065 in = 0.1541 m A = 0.0186388 m2 vSL = 0.001493 m/s dP* = 20.77 u* = 0.0942 En el mapa de Grace de la figura 38, estas coordenadas comprueban la existencia del lecho fijo en el interior de la tubería. 3.2.-Fracción de huecos

573

La velocidad terminal de las partículas es obtenida empleando la figura 23 del capítulo 2. Con dP* = 20.77, se observa lo siguiente: ut* = 5.7 vt = 0.0903 m/s

ReP t

1.32  10

3





m  kg   m  0.0903   998 .23 3  s  m    118 .39 kg 1.005  10 3 ms

m   v i   0.0903 10 s 

1.32103 m 0.1541m

 0.0885

m s

 2  0.175 118.393 4    2.67 n  2.35  3  1  0.175 118.39 4  m   0.001493  s  m    0.0885  s  

1 2.67

 0.2168


1.32  10

3

Re SP 



m  kg   m  0.001493   998 .23 3  s m     1.96 3 kg 1.005  10 ms 2

kg  m  0.001493  3 17 . 3 s   m  1  0.2168 0.2168  4.8 2 m  3792 .63 kgf2 P    0.336   m  1.96  kg m   1.32  10 3 m  9.81 kgf s 2   998 .23





4.-RESULTADO. La caída total de presión a lo largo del lecho es de 3792.63 kgf/m2.

El método de Kopko-Barton-McCormick predice las caídas de presión a dos fases líquido-sólido en tuberías verticales con un error no mayor a ± 20%. La ecuación de Gibilaro y colaboradores predice con gran precisión las pérdidas de presión en lechos empacados. Existen otras correlaciones semiempíricas para el cálculo de caídas de presión, entre las cuales se recomienda revisar las de Newitt-Richardson-Gliddon, Condolios-Chapus, Aude et al, entre otras. 574

CONSIDERACIONES GENERALES. En el diseño de sistemas de flujo líquido-sólido, es importante considerar la erosión producida por la colisión incesante de las partículas sólidas contra las paredes internas de los equipos y líneas. Este fenómeno representa un gran costo anual debido a la sustitución frecuente de piezas de equipo y rios, como lo son bombas y válvulas, y de tramos de tubería dañados por el flujo de las partículas. La erosión a su vez provoca la aparición del fenómeno de la corrosión, debido al o entre el líquido y el metal expuesto por la erosión. La erosión puede ser disminuida seleccionando adecuadamente la velocidad del líquido, la cual debe ser lo suficientemente mayor a la velocidad de sedimentación de las partículas, correspondiente a la velocidad de transición entre los patrones de flujo horizontal heterogéneo y con dunas, o a la velocidad terminal para el caso de tuberías verticales. De esta manera, la corrosión en la superficie erosionada puede ser evitada. Asimismo, el patrón de flujo presente en la tubería puede seleccionarse con la finalidad de fijar la velocidad superficial de la fase líquida. Generalmente, se recomienda una velocidad de entre 1 m/s y 2 m/s (4 ft/s y 7 ft/s) por economía. La erosión ocurre a velocidades de líquido entre 2.4 m/s y 3 m/s (8 y 10 ft/s), agravándose a mayores velocidades. Para el flujo heterogéneo se sugieren velocidades superficiales de líquido mayores a 2 m/s, pero debe tenerse cuidado con la erosión. También es recomendable transportar las partículas sólidas a una concentración de entre 10% y 40% en volumen. Para el dimensionamiento de tuberías horizontales se recomiendan los flujos homogéneo y con dunas transversales, por su relativa estabilidad. Deben evitarse los flujos heterogéneo y con dunas longitudinales por su elevada tendencia a la sedimentación, y por ende, porque son patrones de flujo muy erosivos. Asimismo, no es recomendable el flujo en lecho móvil, pues tiende a bloquear las líneas. En el caso de líneas verticales, el patrón de transporte hidráulico ascendente y los tres patrones de flujo descendente no presentan mayores inconvenientes. En cuanto al sistema de flujo, deben emplearse codos de radio largo y extra-largo para minimizar la erosión producida por los cambios de dirección de las partículas. Se recomienda el empleo de válvulas de bola, las cuales deben instalarse junto con las conexiones necesarias para su drene y limpieza, evitando así la acumulación de partículas sólidas en la válvula. Las tuberías y líneas de transporte, por lo general, están hechas de acero ordinario o alguna aleación especial de acero, hierro colado, hule, plástico o de acero recubierto con hule o algún otro polímero. El material de las líneas por donde el líquido fluya a velocidades mayores a 4.5 m/s (15 ft/s) debe ser concreto o plástico, los cuales resisten mejor la erosión. Problemas propuestos. Problema 25. Determinar el patrón de flujo esperado en una línea horizontal de 4 pulgadas cédula 40, a través de la cual 300 kg/h de agua acarrean arena, cuyas partículas tienen un diámetro promedio de 70 m y una densidad de 2650 kg/m3. La temperatura del agua es de 25°C.

575

Resultado. El patrón obtenido en el mapa de Thomas es el de flujo con dunas longitudinales.

Problema 26. ¿Cuál es el patrón de flujo presente en una tubería horizontal de 4 pulgadas cédula 40, si 40000 kg/h de agua arrastran partículas de mineral de hierro? La temperatura del agua es de 20°C, el diámetro promedio de las partículas de mineral de hierro es de 32 m y su densidad es de 5250 kg/m3. Resultado. El patrón desarrollado en la tubería corresponde al flujo homogéneo.

Problema 27. Por una tubería horizontal de 4 pulgadas cédula 40 fluyen arena y agua a 20°C. Obtener el patrón de flujo si el diámetro promedio de las partículas de arena es de 558.8 m, su densidad es de 2643 y el flujo másico de agua es de 800 kg/h. Resultado. El patrón presente en la línea es el de flujo con dunas transversales.

Problema 28. Determinar la caída de presión en una tubería de 6 pulgadas de diámetro cédula 40 y 150 m de longitud, si por ella fluyen 55000 kg/h de agua a 25°C, y 900 kg/h de chícharos. Estos últimos tienen un diámetro promedio de 7.5 mm y una densidad de 1387 kg/m3. Resultado. La caída de presión en la línea es de 1120.11 kgf/m2.

Problema 29. Por una tubería horizontal de 6 pulgadas cédula 40 fluyen 50 kg/h de grava, con un diámetro promedio de partícula de 4 mm y una densidad de 2600 kg/m3. La grava es acarreada por agua, la cual fluye con una velocidad superficial de 2.5 m/s, cuya densidad es de 997.08 kg/m3 y su viscosidad de 0.8937 . Determinar el patrón de flujo presente en la línea y calcular la caída total de presión si la longitud de la línea es de 500 m. Resultado. El patrón de flujo es heterogéneo y la caída de presión es de 4338.7 kgf/m2.

Problema 30. Obtener el patrón de flujo esperado en el interior de una línea vertical de 8 pulgadas cédula 40, en el cual se encuentra un lecho de partículas de dióxido de torio, por cuyos intersticios asciende agua a razón de 5000 kg/h y a una temperatura de 20°C. Las propiedades de las partículas sólidas son: diámetro promedio = 2 m; densidad = 10000 kg/m3. Resultado. En el mapa de Grace, el patrón corresponde al de transporte hidráulico.

Problema 31. Determinar el patrón de flujo en una tubería vertical de 8 pulgadas cédula 40 que contiene un lecho de frijoles de soya, por cuyos intersticios asciende agua a razón de 0.24 m/s. La temperatura del agua es de 25°C, el diámetro promedio de los frijoles de soya es de 6.35 mm y su densidad es de 1171 kg/m3. Resultado. El patrón desarrollado en la línea es el de transporte hidráulico.

Problema 32. Obtener el patrón de flujo esperado y la caída total de presión en una tubería vertical de 6 pulgadas cédula 40 de 2 m de longitud, por la cual ascienden 25000 kg/h de un líquido a través de un lecho formado por 105 kg de partículas sólidas. Las propiedades de ambas

576

fases son: densidad de la fase líquida = 769 kg/m3; viscosidad de la fase líquida = 0.894 s; diámetro promedio de las partículas sólidas = 2.3 mm; densidad de la fase sólida = 6240 kg/m3. Resultado. El patrón de flujo esperado es el de fluidización agregativa, y la caída total de presión es de 2672.35 kgf/m2.

Problema 33. Calcular la caída de presión en una línea vertical de 6 pulgadas cédula 40 de 40 m de largo, por la cual ascienden 65000 kg/h de líquido y 250 kg/h de partículas sólidas. La densidad del líquido es de 893 kg/m3 y su viscosidad de 0.956 s; el diámetro promedio de las partículas es de 748 m y su densidad de 2410 kg/m3. Resultado. La caída total de presión es de 35866.58 kgf/m2, correspondiente al patrón de transporte hidráulico.

Problema 34. Por una tubería vertical de 6 pulgadas cédula 40 ascienden 1000 kg/h de agua a 20°C, a través de un lecho formado por 60 kg de cuentas de vidrio, cuyo diámetro promedio es de 587 m y su densidad de 2483 kg/m3. ¿Cuál es la caída total de presión y el lecho tiene una profundidad de 3 m? Resultado. La caída total de presión a lo largo del lecho con fluidización particulada es de 5157.0 kgf/m2.

Problema 35. Determinar el patrón de flujo esperado en una tubería vertical de 4 pulgadas cédula 40 por la que descienden 150 kg/h de bauxita y 500 kg/h de agua. Las propiedades de ambas fases son: densidad del agua = 995.68 kg/m3; viscosidad del agua = 0.8007 s; diámetro promedio de partícula = 105 m; densidad de las partículas de bauxita = 1440 kg/m3. Resultado. El patrón corresponde al de flujo en lecho con fluidización particulada.

Problema 36. Calcular la caída de presión en una tubería vertical de 6 pulgadas cédula 40 por la cual descienden agua y partículas de bentonita a razón de 760 kg/h y 200 kg/h, respectivamente. La temperatura del agua es de 25°C, el diámetro promedio de las partículas es de 76 m y su densidad de 1040 kg/m3. Resultado. La caída total de presión es de 1005.7 kgf/m2 por cada metro de longitud de tubería, correspondiente a un patrón de flujo en lecho con fluidización particulada.

577

Capítulo XIX Flujo a dos fases. Sistema gas-líquido.

578

INTRODUCCIÓN. Los sistemas donde entran en o gases y sólidos en partículas, granos o polvo, han sido empleados en la industria por casi un siglo. En sus comienzos en 1926, el diseño de estos sistemas era todo un arte, cuyo desconocimiento podía arruinar al equipo, en el mejor de los casos, o cobrar vidas en el peor escenario. Por estas razones, la ingeniería química se dio a la tarea de investigar el comportamiento de los sistemas gas-sólido para poder comprender su funcionamiento y diseñar equipos como reactores catalíticos, líneas de transporte neumático de sólidos, silos, tolvas, filtros prensa, ciclones, secadores continuos y por lotes, mezcladores, calentadores y enfriadores de partículas, entre otros más, y así convertir el arte del manejo de polvos y partículas de sólidos en una ciencia. Los sólidos particulados se comportan como un líquido cuando se encuentran contenidos en un recipiente, cuya forma adoptan, mas no ocupan la totalidad de su volumen. Otra similitud con los líquidos es la de mantener un nivel horizontal aunque irregular en el recipiente, además de presentar un gradiente de presión hidrostática a lo largo de una columna de partículas, la cual es proporcional a la densidad de las mismas y a la altura de la columna. Por estas semejanzas, se afirma que las partículas sólidas pueden fluir como un líquido si se les arrastra mediante una corriente de gas o de líquido. En el diseño de los sistemas gas-sólido, el ingeniero se preocupa no sólo por el cálculo de la caída de presión, sino también por la determinación de la velocidad del gas necesaria para la operabilidad de un sistema de flujo en particular. La práctica industrial ha recomendado intervalos de velocidades de operación para cada tipo de sistema, los cuales han sido representados en gráficas similares a los mapas de patrones de flujo para los sistemas gas-líquido. Para obtener un óptimo diseño de los equipos, no basta con determinar la velocidad del gas y la caída de presión, también se requiere caracterizar el tipo de sólido a manejar, de acuerdo a su comportamiento ante una corriente de gas. Asimismo, se necesitan conocer los márgenes de inflamabilidad y explosividad de las mezclas gas-sólido, pues en la industria se sabe de incendios y explosiones muy potentes cuando se manejan polvos finos, como es el caso de azúcar, harinas, productos farmacéuticos, partículas metálicas, carbón pulverizado, entre muchas más. La acumulación de cargas eléctricas en los equipos debido al rozamiento de sus paredes con las partículas, puede dar lugar a siniestros, o al menos a perturbaciones en el adecuado funcionamiento del equipo. Se han efectuado numerosas investigaciones teóricas y experimentales para predecir la caída de presión y el patrón de flujo, este último dependiente de la velocidad del gas y del tipo de sólido. Como resultado de estos trabajos se han desarrollado diversas correlaciones. Hoy en día, no se ha llegado a un modelo general aplicable a todos los sistemas de flujo, pues los desarrollados son empleados para ciertos tipos de flujo y para determinadas condiciones de operación. Diversos grupos de investigadores siguen estudiando los mecanismos de flujo de las partículas sólidas, para al menos comprender en su totalidad el funcionamiento de las diferentes operaciones de manejo de flujos bifásicos gassólido. 579

CLASIFICACIÓN DE LAS PARTÍCULAS SÓLIDAS. Tras observar los diferentes patrones de flujo presentes en los lechos de partículas, sobre los que fluye un gas, Geldart clasificó a los sólidos granulares en cuatro grupos principales, de acuerdo con el diámetro de la partícula y la diferencia de densidades existente entre el sólido y el gas. Los grupos de Geldart, en orden creciente de tamaño de partícula, son los siguientes: Grupo C: son partículas cohesivas, cuya fluidización es extremadamente difícil, pues dan lugar a la formación de canales por donde fluye el gas. En tuberías de diámetro pequeño, forman tapones que impiden el libre flujo de la fase gaseosa. La dificultad en la fluidización se debe a la gran atracción existente entre las partículas, resultado de las cargas electrostáticas, la humedad o de partículas pequeñas unidas mediante fuerzas de van der Waals. El diámetro de partícula es generalmente menor a 20 m, y como ejemplos están el almidón, azúcar, harinas y cemento.  Grupo A: son partículas aereables, cuya fluidización está libre de burbujas, por lo cual, al incrementarse la velocidad del gas, el lecho se expande considerablemente antes de la aparición de la primera burbuja. Las partículas finas actúan como lubricante, permitiendo una mejor fluidización y evitando la acumulación de gas en forma de burbujas. El intervalo típico de diámetros de partícula va de 30 a 100 m, y como ejemplo principal se tiene a los catalizadores utilizados para cracking. Grupo B: son partículas arenosas, cuya fluidización se presenta con un burbujeo continuo. Estas burbujas se unen entre sí (coalescen) al ascender, incrementando su tamaño, y explotan al llegar a la superficie del lecho. No existe un límite máximo en el tamaño de las burbujas, el cual es independiente del diámetro de partícula. En lechos poco profundos, el gas puede ser inyectado a chorro, como se verá más adelante, sin presentarse el colapso de la interfase gas-sólido. El intervalo aproximado de diámetros de partícula es de 40 a 500 m, y se tienen como ejemplos típicos la arena y la sal de mesa.  Grupo D: son partículas grandes y densas, cuya fluidización es efectuada comúnmente mediante la inyección de un chorro de gas. Estos sólidos permiten una mayor estabilidad de la interfase gas-sólido en el chorro, debido a su mayor tamaño, lo cual resulta en lechos fluidizados a chorro muy profundos. Su mayor densidad y diámetro dificulta el desarrollo de un patrón de fluidización como el presente en los grupos A y B, por tanto, si la distribución del gas hacia el lecho se realiza de forma inadecuada, puede presentarse una canalización, como en el grupo C, o un burbujeo violento y errático. De esta manera, la inyección de un chorro de gas es el mecanismo más adecuado para 580

fluidizarlas. Su diámetro de partícula es mayor a 1 mm, y como ejemplos se tienen los chícharos, granos de café, arroz, trigo, fragmentos de hulla (carbón mineral) y de minerales metálicos. Geldart propuso un diagrama o mapa (figura 19) donde graficó las fronteras de transición entre los grupos de partículas. Este mapa está basado en datos de fluidización con aire a condiciones atmosféricas. La ordenada de la figura 19 es la diferencia de densidades entre las partículas sólidas y el gas, y la abscisa es el diámetro promedio de partícula.

GRUPO D

3

(P - G) (x10 kg/m )

10

3

GRUPO B 1

GRUPO A

GRUPO C

0.1 10

100

1000

dp (x10

-6

10000

m)

Figura 19.- Mapa de clasificación de partículas de Geldart. (1973)

Geldart fue el primero en clasificar de manera práctica y objetiva a las partículas sólidas, pues diversos autores habían propuesto categorías arbitrarias o basadas exclusivamente en la aparición de burbujas en los lechos fluidizados. En cambio, el criterio de Geldart para clasificar a las partículas consiste en agruparlas de acuerdo a su tipo de fluidización. Él encontró cuatro tipos de fluidización, mientras los otros autores en realidad sólo distinguían a dos de ellos. Empleando datos de fluidización con aire, nitrógeno, dióxido de carbono, helio, argón y freón 12, a diferentes condiciones de temperatura y presión, Grace generalizó el mapa de Geldart mediante el uso de grupos adimensionales como coordenadas (figura 20).

581

100000

10000

1000

GRUPO C

GRUPO AC



GRUPO D

GRUPO B

GRUPO A 100

10 0.1

1

10

100

dp* Figura 20.- Mapa de clasificación de partículas de Grace. (1986)

Donde:  = diferencia de densidades entre la partícula sólida y el gas en kg/m 3.  = densidad del gas en kg/m3. dP* = diámetro adimensional de partícula:    g  dP *  dP  2    

1 3

(128)

dP = diámetro de partícula en m. g = aceleración de la gravedad = 9.81 m/s2.  = viscosidad del gas en kg/ (m s). Basado en el criterio de Molerus, el cual sólo toma en cuenta el efecto de las fuerzas de van der Waals sobre la cohesividad de las partículas finas, Grace propuso una región transicional entre los grupos C y A, a la cual se le suele denominar Grupo AC, pues la fluidización de esas partículas es como la del grupo A, y al interrumpirse el flujo de gas (defluidización) dan lugar a la formación de tapones como en el grupo C. Para el lector interesado en conocer más sobre clasificación y caracterización de las partículas sólidas, se le recomienda consultar las obras de Kunii y Levenspiel, de Leva, de Valiente Barderas, y de Fan y Zhu. 582

PATRONES DE FLUJO EN TUBERÍAS HORIZONTALES. Existen siete tipos generales de patrones de flujo en tuberías horizontales (figura 21). Arreglados en orden decreciente de velocidad del gas, los patrones de flujo son los siguientes: Flujo Homogéneo (Homogeneous flow): En este patrón de flujo, las partículas sólidas se encuentran suspendidas completamente en el gas y están uniformemente distribuidas en la sección transversal de la tubería. Se presenta a velocidades superficiales de gas muy altas, y a flujos de partículas muy bajos. También se le conoce como flujo en suspensión diluida (dilute suspension flow), flujo uniforme suspendido o transporte homogéneo en fase diluida (dilute phase homogeneous conveying). Flujo Heterogéneo (Heterogeneous flow): Al disminuir la velocidad del gas, las partículas sólidas más grandes y pesadas son transportadas por la fase gaseosa en la porción inferior de la tubería. No se presenta aún la sedimentación de las partículas, pues la velocidad del gas es mayor a la velocidad de sedimentación (saltation velocity), sólo existe un gradiente vertical de concentración de sólidos. Se le suele llamar también flujo en suspensión heterogénea (heterogeneous suspension flow), flujo no uniforme suspendido o transporte heterogéneo en fase diluida (dilute phase heterogeneous conveying). Flujo con Dunas (Dune flow): Al disminuir la velocidad superficial de la fase gaseosa a valores por debajo de la velocidad de sedimentación, las partículas comienzan a precipitarse dando lugar a la formación de dunas en la porción inferior de la tubería. En este tipo de flujo, las partículas se trasladan de una duna hacia otra en un movimiento periódico de aceleración y desaceleración. Dependiendo de la velocidad del gas, se presentan dos tipos de flujo de dunas, los cuales son: Flujo con Dunas Longitudinales (Longitudinal dune flow): Inmediatamente por debajo de la velocidad de sedimentación, las partículas forman dunas alargadas, paralelas a la tubería, que avanzan en la dirección del flujo. El ancho de estas dunas es de aproximadamente 0.1 veces el diámetro de la tubería, y su longitud es de 1 a 3 veces el diámetro del tubo. También se le conoce como flujo de estrías de sedimento (stria of sediment flow) o flujo en bandas (ribbon flow). Flujo con Dunas Transversales (Transverse dune flow): A una menor velocidad del gas, las partículas forman dunas perpendiculares a la tubería, las cuales avanzan en el sentido del flujo. Su apariencia es la de islas o de cúmulos de partículas bien definidos. 583

Al disminuir la velocidad de la fase gaseosa, la longitud de las dunas disminuye y su altura aumenta. Este patrón de flujo es el clásico flujo de dunas, también conocido como flujo estratificado (stratified flow). Flujo Pistón (Plug flow): Este patrón de flujo se caracteriza por la acumulación excesiva de partículas sobre las dunas, dando lugar a la formación de tapones o pistones sólidos. El flujo de ambas fases es intermitente, pues se da en forma de tapones alternos de gas y de sólido. Se presenta sólo con las partículas del grupo C, las cuales por su cohesividad, forman tapones con gran facilidad. También se le suele llamar flujo tapón. Flujo Ariete (Slug flow): Al disminuir la velocidad del gas, las partículas se acumulan en mayor cantidad en las dunas, incrementándolas de tamaño hasta ocupar la totalidad del área de flujo de la tubería. Este mecanismo produce la formación de arietes de sólidos, cuyo movimiento es en la dirección de flujo, de manera alterna con el flujo de la fase gaseosa. Se presenta con partículas de los grupos A, B y D. Flujo Onda (Ripple flow): A velocidades superficiales de gas relativamente menores, las partículas ocupan la mayor parte del espacio de la tubería, avanzando lentamente en la porción media del tubo y permaneciendo estacionarias en la parte inferior del mismo. En la parte superior, la velocidad real del gas es mayor debido a la contracción del área de flujo, por lo que arrastra partículas, las cuales forman pequeñas olas u ondas cuyo comportamiento es similar al de las dunas transversales descritas con anterioridad. Se presenta sólo con las partículas de los grupos A y B. Flujo con Lecho Móvil (Moving bed flow): Disminuyendo aún más la velocidad superficial del gas, las partículas ocupan la totalidad de la tubería, fluyendo lentamente en la fase gaseosa, mientras la porción inferior puede permanecer estacionaria dependiendo de la velocidad del gas. Se presenta con partículas de los grupos A, B y D. También se le conoce como flujo en fase densa continua (continuous dense phase flow).

Flujo Homogéneo

Flujo Heterogéneo

584

Flujo con Dunas Longitudinales

Flujo con Dunas Transversales

Flujo Pistón

Flujo Ariete

Flujo Onda

Flujo con Lecho Móvil

Lecho Empacado

Figura 21.- Patrones de flujo a dos fases sistema gas-sólido en tuberías horizontales.

Lecho Empacado (Packed bed): Este no es un patrón de flujo bifásico, pues se caracteriza por la completa inmovilidad de las partículas y el flujo exclusivo de la fase gaseosa a través de los intersticios presentes entre ellas. Este lecho estacionario se presenta a velocidades superficiales de gas inferiores a la velocidad terminal de las partículas. También es conocido como bloqueo de línea (blockage of pipe o pipe plugged), pues la finalidad del flujo a dos fases es el transporte de sólidos por una corriente de gas. A estos patrones de flujo se les clasifica de la siguiente manera de acuerdo a la concentración de los sólidos en la sección de flujo de la tubería: 585

Flujo en fase diluida: la velocidad superficial del gas es mayor a la velocidad de sedimentación, por tanto, los sólidos se encuentran “disueltos” en el gas; también se le conoce como transporte neumático en fase diluida: flujos homogéneo y heterogéneo. Flujo en fase densa: la velocidad superficial del gas es menor a la velocidad de sedimentación, por tanto, los sólidos se encuentran acumulados en una determinada porción de la tubería; también se le conoce como transporte neumático en fase densa o flujo extrusión: flujos con dunas, pistón, ariete, onda y lecho móvil. PREDICCIÓN DE HORIZONTALES.

LOS

PATRONES

DE

FLUJO

EN

TUBERÍAS

Para poder dimensionar una línea de transporte de partículas sólidas, y por ende diseñar un sistema de flujo a dos fases gas-sólido, se requiere conocer primero el patrón de flujo presente en la línea. A diferencia de la identificación de patrones de flujo horizontal en sistemas gas-líquido, en los sistemas gas-sólido esta identificación no depende de la técnica empleada en la experimentación, pues los patrones son reconocidos de acuerdo al perfil de caída de presión en el cual se presentan. Aunque diversos investigadores han realizado estudios sobre el tema, sólo han sido bien delimitados los patrones de interés industrial. Existen muchos tipos de flujo cuyas fronteras no son claras o se desconocen. En la actualidad, ingenieros y científicos continúan investigando los mecanismos por los cuales se desarrollan los diferentes patrones de flujo, mientras siguen descubriéndose nuevas aplicaciones para cada uno de ellos. El primero en desarrollar una gráfica donde son reconocidos los patrones de flujo horizontal fue Zenz, quien elaboró un esquema cualitativo relacionando la caída de presión con la velocidad superficial de la fase gaseosa. La gráfica de Zenz es totalmente experimental y es aplicable sólo a un sistema en particular, por lo cual no constituye un mapa general de patrones de flujo. Basándose en consideraciones de tipo teórico y en datos experimentales, Thomas elaboró el único mapa generalizado de patrones de flujo horizontal (figura 22). Los datos empleados corresponden principalmente a sistemas agua-sólido, pero también se incluyen datos provenientes de sistemas aire-sólido. Este mapa fue construido para un cociente (P – G)/G de 100, valor promedio frecuente en los sistemas gas-sólido, y aplica para partículas de los grupos A, B y D. Sus fronteras se presentan con gran precisión por considerar efectos friccionales para la identificación de los diferentes patrones de flujo. En el flujo con dunas transversales están incluidos los flujos ariete y onda, los cuales se presentan muy cerca de la frontera con el flujo con lecho móvil, preferentemente ubicados en la región de la ley intermedia. Las coordenadas del mapa de Thomas son las recomendadas por von Karman, siendo las siguientes: (129) 586

dP v f 0 G G v Ordenada  t v f0

Abscisa 

(130)

En donde: dP = diámetro de partícula en m. vf0 = velocidad friccional a dilución infinita en m/s: v f 0  v SG

ff 2

(131)

vSG = velocidad superficial del gas en m/s, dada por la ecuación 13: v SG 

QG WG  3600 A 3600  G A

(13)

ff = factor de fricción de Fanning, considerando sólo el flujo de gas: ff 

fD 4

(132)

fD = factor de fricción de Darcy, obtenido del diagrama de Moody. G = densidad del gas en kg/m3. G = viscosidad del gas en kg/ (m s). vt = velocidad terminal de las partículas en m/s. Para transformar centipoise a kg/ (m s), multiplicar por 0.001. Nótese el empleo de la velocidad superficial del gas en lugar de su velocidad real y la ausencia de algún parámetro dependiente de la cantidad de partículas presentes en la tubería. Debido a que los sólidos no fluyen por sí mismos en una tubería horizontal, su transporte depende exclusivamente de la cantidad de gas de arrastre, expresada en forma de velocidad superficial, la cual considera que el gas ocupa la totalidad del área de flujo de la tubería. De esta manera, el mapa de Thomas indica la velocidad superficial de gas necesaria para inducir un cierto comportamiento de las partículas y, por ende, desarrollar un determinado patrón de flujo.

587

Figura 22.- Mapa de patrones de Thomas para flujo horizontal en sistemas gas-sólido. (1964)

Las fronteras de transición lecho móvil-dunas transversales, dunas transversalesdunas longitudinales y dunas longitudinales-homogéneo, son independientes del diámetro de la tubería y de la cantidad de partículas, esta última expresada como fracción de huecos. La posición de las fronteras dunas longitudinales-heterogéneo y heterogéneo-homogéneo varía respecto al diámetro de la tubería, descendiendo en el mapa al aumentar el diámetro del tubo. También se muestra en el mapa la dependencia de la frontera dunas longitudinales-heterogéneo respecto a la fracción de huecos, la cual está dada por la siguiente ecuación: WG QG G   WG WP Q G  QP  G P

(133)

En donde: QG y QP = flujos volumétricos de las fases gaseosa y sólida en m 3/h. La velocidad terminal depende del régimen de sedimentación de las partículas, el cual es determinado mediante el número de Reynolds terminal de partícula:

ReP t



dP v t  G G

588

(134)

Si (ReP)t < 1, se cumple la ley de Stokes: vt 

g P   G dP2 18  G

m  s  

(135)

Donde: g = aceleración de la gravedad = 9.81 m/s2. P = densidad de la partícula sólida en kg/m3. Si 1 < (ReP)t < 500, se cumple la ley intermedia: 0.153 g0.71 d1P.14 P  G 

0.71

vt 

0G.29  0G.43

m  s  

(136)

Si (ReP)t > 500, se cumple la ley de Newton: v t  1.74

g dP P   G  G

m  s  

(137)

Una manera rápida de obtener esta velocidad se encuentra en el apéndice LVI del libro de Valiente Barderas y en la página 81 de la obra de Kunii y Levenspiel, la cual emplea al diámetro adimensional de partícula y a la gráfica de la figura 23, mostrada más adelante, donde sus coordenadas están dadas por:    g  dP *  dP  2    

1 3

 2  ut *  v t      g 

1 3

(128)

(138)

En donde: dP* = diámetro adimensional de partícula. ut* = velocidad terminal adimensional. dP = diámetro de partícula en m. vt = velocidad terminal en m/s.  = densidad del gas en kg/m3.  = diferencia de densidades entre ambas fases en kg/m 3.  = viscosidad del gas en kg/ (m s). g = aceleración de la gravedad = 9.81 m/s2.

Aunque la velocidad terminal depende también de la esfericidad de las partículas, si ésta es desconocida se puede suponer que las partículas son esféricas. La velocidad terminal obtenida de esta manera es la más alta posible para una partícula cayendo en el seno de un fluido, sea líquido o gas. 589

100

10

ut *

1

0.1

0.01

0.001

0.0001 0.1

1

10

100

1000

10000

dP* Figura 23.- Velocidad terminal de partículas esféricas en fluidos.

Método de Thomas para determinar patrones de flujo horizontal: 1.- Obtener la velocidad terminal de las partículas utilizando la gráfica de la figura 23:    g  v t  u t *   2    

1 3

m  s  

(139)

2.- Calcular el Reynolds superficial de partícula: Re SP 

dP v SG  G G

590

(140)

3.- Determinar el factor de fricción de Fanning con la ecuación 132, empleando el Reynolds superficial de partícula y el diagrama de Moody (figuras 9 ó 10), o bien, utilizando las ecuaciones de Hagen-Poiseuille (ecuación 28) o la de Chen (ecuación 29) dependiendo del régimen de flujo (laminar o turbulento, respectivamente): Régimen Laminar:

fD 

64 Re

(28)

Régimen Turbulento:   1   1.1098 5.8506  1  5.0452  (29)  2 log   log    0.8981   2.8257  D  Re Re fD  3.7065 D  

4.- Calcular la velocidad friccional a dilución infinita con la ecuación 131. 5.- Obtener las coordenadas de Thomas con las ecuaciones 129 y 130, y determinar el patrón de flujo presente en la tubería con el mapa de la figura 22. Las líneas punteadas inclinadas presentes en la figura 22, separan los diferentes regímenes de sedimentación de las partículas, mientras que las verticales indican los límites en el diámetro de las partículas relativo al espesor de la película con flujo laminar, definidos por von Karman mediante el siguiente parámetro: 

5 G G v f 0

(141)

En donde:  = espesor de la película laminar postulado por von Karman. Si dP < , el régimen de flujo de las partículas es laminar. En el mapa de Thomas, este régimen corresponde a: dP v f 0  G 5 G

(142)

Si  < dP < 6, el régimen de flujo de las partículas es transicional. En el mapa mencionado, este régimen se presenta entre: 5

dP v f 0  G  30 G

(143)

Si dP > 6, el régimen de flujo de las partículas es turbulento. En el mapa de Thomas, este régimen corresponde a:

591

dP v f 0 G  30 G

(144)

Ejemplo 11. ¿Cuál será el patrón de flujo esperado en una tubería horizontal de 4 pulgadas cédula 40 por la cual fluyen 20000 kg/h de aire a una presión de 1.5 atm y 25°C de temperatura? Por el tubo son transportadas partículas de hulla (carbón mineral), cuyo diámetro es de 200 m, con una densidad de 640 kg/m3. 1.-TRADUCCIÓN. WG = 20000 kg/h

AIRE – HULLA

P = 1.5 atm

4” Sed. 40

T = 25°C 2.-PLANTEAMIENTO. 2.1.-Discusión Para encontrar el patrón de flujo deben conocerse los parámetros de Thomas y posteriormente emplear su mapa de patrones de flujo (figura 22). 2.2.-Coordenadas de Thomas

Abscisa 

dP v f 0 G G

Ordenada 

vt v f0

3.-CÁLCULOS. 3.1.-Velocidad terminal de partícula G = 0.0183 = 1.83x10-5 kg/ (m s) @ 25°C, 1.5 atm  kg   1.5 atm  29 kgmol  kg  G   1.78 3 3 m atm m 25  273.15K 0.082 kgmolK

   1.78 kg  640  1.78  kg  9.81 m    m3  m3  s2   dP *  200  10 6 m    2  5 kg    1.83  10    ms    





592

1 3

 6.43

Con este valor del diámetro adimensional se obtiene en la gráfica de velocidad terminal de partículas en fluidos (figura 23): ut* = 1.5

 kg  m  5 kg   640  1.78 3  9.81 2    1.83  10 ms  m  s  v t  1.5   2   kg     1 . 78   m3    

1 3

 0.50

m s

3.2.-Velocidad friccional a dilución infinita Para una tubería de 4” de diámetro nominal cédula 40, su diámetro interno es de: D = 4.026 in = 0.1023 m A=

 2 D = 0.008213 m2 4 20000

v SG  3600

200  10

kg h



s kg  2 1.78 3  0.008213 m h m 



 380 .02



m  kg   m  380 .02  1.78 3  s  m    7393 kg 1.83  10 5 ms

6

Re SP 

/D = 0.00045 fD = 0.034

ff 

0.034  0.0085 4

v f 0  380 .02

m 0.0085 m  24 .77 s 2 s

3.3.-Coordenadas de Thomas

200  10 Abscisa 



m  kg   m  24 .77  1.78 3  s m     481 .9 5 kg 1.83  10 ms

6

m s

593

Régimen turbulento

m s  0.020 Ordenada  m 24 .77 s 0.50

Con estas coordenadas, se ubica en el mapa de Thomas de la figura 22 el patrón de flujo correspondiente a la intersección de estos valores, observándose ésta última en la región de flujo homogéneo. 4.-RESULTADO. El flujo obtenido es homogéneo en fase diluida.

PREDICCIÓN DE LA CAÍDA DE PRESIÓN EN TUBERÍAS HORIZONTALES. Para dimensionar las líneas de transporte neumático de partículas se requiere del cálculo de caída de presión a lo largo de la línea. La ingeniería ha desarrollado para ello correlaciones y metodologías aplicables a cada patrón de flujo. A la fecha, no se cuenta con un modelo teórico general capaz de predecir correctamente la caída de presión, por lo cual se exponen a continuación las correlaciones semi empíricas más empleadas en la industria por su simplicidad y precisión. Transporte neumático en fase diluida. En general, la caída de presión en tuberías horizontales recibe contribuciones por aceleración y fricción. Para los flujos homogéneo y heterogéneo en fase diluida se tiene la siguiente expresión: P2F 

 G v G2 1   P v P2   Fgw L  Fpw L 2 gC 2 gC

 kgf   m2   

(145)

En donde: P2F = caída de presión total a dos fases en kgf/m2.  = fracción de huecos o holdup de la fase gaseosa. vG = velocidad real del gas en m/s: vG 

v SG 

m  s  

(146)

vP = velocidad real de las partículas sólidas en m/s: vP 

GP P 1   

m  s  

GP = masa velocidad de la fase sólida en kg/m2s: 594

(147)

GP 

WP A

 kg   2  m s 

(148)

WP = flujo másico de partículas en kg/s. A = área de flujo de la tubería en m2. gC = 9.81 m kg/(s2 kgf) Fgw = fuerza de fricción entre el gas y la pared en kgf/m3. Fpw = fuerza de fricción entre las partículas y la pared en kgf/m 3. L = longitud de tramo de tubería en m. El primer término corresponde a la caída de presión por aceleración del gas, el segundo a la caída de presión por aceleración de las partículas, el tercero es la pérdida de presión por fricción entre el gas y la pared de la tubería, y el cuarto es la caída de presión por fricción entre las partículas y la pared del tubo. El término correspondiente a la fricción entre el gas y la pared puede ser determinado mediante la ecuación de Fanning: Fgw

2f  v2  G G G D gC

 kgf   m2   m     

(149)

En donde: fG = factor de fricción de Fanning del gas. D = diámetro de la tubería en m. Para determinar el último término de la caída de presión total, Hinkle 43 propuso la siguiente ecuación: Fpw

2 f 1   P v P2 2f G v  P  P P P D gC D gC

 kgf   m2   m     

(150)

En donde: fP = factor de fricción de las partículas sólidas:  3 fP  CD  G 8  P

 D     dP

  vG  vP       vP 

2

(151)

CD = coeficiente de arrastre de las partículas. El coeficiente de arrastre es función del Reynolds de partícula de deslizamiento entre fases y de la esfericidad de las partículas. Para obtener este coeficiente se emplea la gráfica mostrada en la figura 24, donde:

ReP slip  dP v G  v P G G

595

(152)

Figura 24.- Coeficiente de arrastre en función del Reynolds de partícula de deslizamiento.

A partir de datos experimentales, Hinkle obtuvo una correlación para predecir la velocidad real de las partículas, la cual es:



v P  v SG 1  0.0638 dP0.3 P0.5



m  s  

(153)

Empleando los datos de Hinkle, Yang58 modificó la ecuación del factor de fricción de los sólidos para obtener una mayor precisión en el cálculo de la caída de presión total para flujo homogéneo. El factor de fricción entonces queda dado por:

ReP t 1    fP  0.117 3 1    ReP slip  

vG   gD 

1.15

(154)

En donde: (ReP)t = Reynolds de partícula terminal dado por la ecuación 134. (ReP)slip = Reynolds de partícula de deslizamiento entre fases dado por la ecuación 152:

596

ReP slip  dP v G  v P G G

(152)

Método de Hinkle: 1.- Determinar el patrón de flujo mediante el mapa de Thomas (figura 22). Si el flujo es homogéneo o heterogéneo, se debe proseguir con este método. 2.- Calcular la velocidad real de las partículas con la ecuación 153. 3.- Obtener la fracción de huecos o holdup de gas con la siguiente ecuación:   1

GP P v P

(155)

4.- Calcular la velocidad real del gas con la ecuación 146, empleándola para obtener el factor de fricción del gas. 5.- Determinar la caída de presión por fricción entre el gas y la pared con la ecuación 149. 6.- Calcular el factor de fricción de los sólidos con las ecuaciones 151 ó 154. 7.- Obtener la caída de presión por fricción entre las partículas y la pared con la ecuación 150. 8.- Determinar la caída de presión total con la ecuación 145.

Ejemplo 12. ¿Cuál es la caída de presión total en una línea horizontal de 4 pulgadas cédula 40 por la que pasan 500 kg/h de aire, a una presión de 3 atm y una temperatura de 15°C? Esta tubería transporta cemento de forma diluida, el cual es alimentado al sistema mediante una tolva a una razón de 5700 kg/h, y cuyas partículas tienen un diámetro de 81 m y una densidad de 1240 kg/m3. La longitud de la tubería es de 100 m. 1.-TRADUCCIÓN.

597

Cemento

Aire 3 atm, 15°C

4” Ced. 40 L = 100 m

2.-PLANTEAMIENTO. 2.1.-Discusión Para determinar la caída de presión, es necesario identificar primero al patrón de flujo mediante el mapa de Thomas. Posteriormente, se calculan las pérdidas de presión usando el método de Hinkle. 3.-CÁLCULOS. 3.1.-Patrón de flujo Las propiedades del aire a 3 atm y 15°C son: G = 3.68 kg/m3 G = 0.0175 = 1.75x10-5 kg/ (m s) dP* = 4.26 Con el diámetro adimensional de partícula se obtiene en la gráfica de velocidad terminal (figura 23): ut* = 0.8 vt = 0.20 m/s D = 4.026 in = 0.1023 m A = 0.008213 m2 vSG = 4.60 m/s ReSP = 78

Régimen laminar

598

fD 

64  0.820 78

ff = 0.205 vf0 = 1.47 m/s Abscisa = 25.0 Ordenada = 0.136 El patrón de flujo es homogéneo. 3.2.-Fracción de huecos 0.3  m kg  v P  4.60 1  0.0638 81  10 6 m 1240 3  s  m  





5700

GP  3600



kg h

s 0.008213 m 2 h



 192 .8

0.5

 m   3.99 s 

kg m2 s

kg m2 s   1  0.961 kg  m 1240 3  3.99  s m  192 .8

3.3.-Caída de presión por fricción entre el gas y la pared

m s  4.79 m vG  0.961 s 4.60

Re G 

0.1023 m 4.79 m   3.68 kg3  

s  kg 1.75  10 5 ms

m   103044

 De las figuras 9 y 10:  /D = 0.00045 fD = 0.020

599

Régimen turbulento

fG = ff = 0.005 2

Fgw

kg   m  kgf 2 0.005  3.68 3   4.79  s m   m2   0.841 m  m kg   0.1023 m  9.81 2  s kgf  

3.4.-Caída de presión por fricción entre las partículas y la pared

ReP t

ReP slip 

81 10 

81 10

6



m  kg   m  0.20   3.68 3  s  m    3.41 5 kg 1.75  10 ms

6



m kg   3.68 3  s m   13 .6 kg ms

m 4.79  3.99  1.75  10 5

  m 4.79   1  0.961 1  0.961 3.41 s  fP  0.117  13 .6 m 0.9613  9.81 2 0.1023 m   s  

Fpw

1.15

 0.174

 kg   m kgf 2 0.174192.8 2   3.99  s m s   m2   266.8 m   0.1023m 9.81 m2 kg  s kgf  

3.5.-Caída total de presión 2

P2F

2

kg   m  1  0.9611240 kg3   3.99 m  0.961 3.68 3   4.79  kgf  s s  m  m         0.841 3  100 m   m   m kg  m kg    9.81  2  9.81 2 2 2  s kgf  s kgf    kgf  kgf    266.8 3  100 m  26807.5 2 m  m 

4.-RESULTADO. La caída total de presión en la línea de transporte neumático es de 26807.5 kgf/m2.

600

Transporte neumático en fase densa. En el caso de los patrones de flujo con dunas (transversales y longitudinales), pistón, ariete, onda y con lecho móvil, Klinzing y Mathur propusieron dos ecuaciones para la caída de presión total, dependiendo del Reynolds real de partícula: dP v G  G (156) ReP 

G

Si ReP ≤ 1, la fase gaseosa fluye alrededor de las partículas como en un medio poroso, aplicándose la ley de Darcy para este tipo de flujo: P2F  G v G  v P  fP v P2 B   L K gC D gC

 kgf   m2   m     

(157)

m 

(158)

En donde: K = permeabilidad en m2: K  3.28  10

14 

W  P  WG

  

0.48

dP0.43 D 0.73

2

WP y W G = flujos másicos de las fases sólida y gaseosa en kg/s. B = densidad de bulto de las partículas en kg/m3: B  1   P

 kg   m3   

(159)

El primer término corresponde a la caída de presión por flujo en medio poroso, y el segundo es la caída de presión por fricción. El factor de fricción recomendado es el obtenido por Yang para flujo en fase densa:

ReP t  1    fP  0.0410 3 1     ReP slip   

1.021

(160)

Si ReP > 1, Klinzing y Mathur desarrollaron una ecuación de caída de presión para flujo denso turbulento, la cual es:  kgf   m2   m     

P2F  v G  v P 2  L gC

(161)

En donde:  = parámetro de Klinzing-Mathur:   6.59  10

4

 WP   WG

601

  

3.15

D 0.36 dP0.84

(162)

Estos investigadores utilizaron la siguiente expresión para la velocidad real de las partículas en este tipo de transporte neumático:



v P  v SG 1  0.68 dP0.93 P0.5  G0.2 D 0.54



m  s  

(163)

Método de Klinzing-Mathur: 1.- Determinar el patrón de flujo mediante el mapa de Thomas (figura 22). Si el flujo es con dunas longitudinales, dunas transversales o lecho móvil, prosígase con este método. 2.- Calcular la velocidad real de partícula con la ecuación 163. 3.- Obtener la fracción de huecos con la ecuación 155. 4.- Calcular la velocidad real del gas con la ecuación 146. 5.- Calcular el Reynolds real de partícula con la ecuación 156. 6.- Determinar la caída de presión total con las ecuaciones 157 ó 161, dependiendo del Reynolds real de partícula. Ejemplo 13. Determinar la caída total de presión en una tubería horizontal de 6 pulgadas cédula 40 y 6 m de longitud, por la cual fluyen 1200 kg/h de dióxido de carbono, a una temperatura de 25°C y 5 atm de presión. Por la línea son transportados 50000 kg/h de trigo. Los granos tienen un diámetro promedio de 4.8 mm y su densidad es de 750 kg/m3. 1.-TRADUCCIÓN.

Trigo

Dióxido de carbono 6” Ced. 40 L=6m

25°C, 5 atm

2.-PLANTEAMIENTO.

602

2.1.-Discusión El patrón de flujo es determinado con el mapa de Thomas de la figura 22, y la caída de presión es calculada mediante el método de Klinzing-Mathur. 3.-CÁLCULOS. 3.1.-Patrón de flujo Las propiedades del dióxido de carbono a 5 atm y 25°C son: G = 9.00 kg/m3 G = 0.0148 s = 1.48x10-5 kg/ (m s) dP* = 321 Con el diámetro adimensional de partícula se obtiene en la gráfica de velocidad terminal (figura 23): ut* = 30 vt = 3.30 m/s D = 6.065 in = 0.1541 m A = 0.018639 m2 vSG = 1.99 m/s ReSP = 5809

Régimen turbulento

De las figuras 9 y 10: /D = 0.00030 fD = 0.036 ff = 0.009 vf0 = 0.13 m/s Abscisa = 379.5 Ordenada = 25.4 El patrón obtenido es el de flujo con lecho móvil.

3.2.-Fracción de huecos

603

v P  1.99

0.93  m kg  1  0.68 4.8  10 3 m  750 3  s  m  





0.5

kg    9.00 3  m  

0.2



0.1541 m0.54   1.53 m 

s

GP = 745.15 kg/ (m2 s) kg m2 s   1  0.35 kg  m 750 3 1.53  s m  745 .15

3.3.-Caída de presión total

m s  5.69 m vG  0.35 s 1.99

4.8  10 Re P 



m   kg   m  5.69   9 3  s  m    16609 > 1 kg 5 1.48  10 ms 3

kg    50000  h    6.59  10 4  kg    1200  h  

3.15

0.1541 m0.36

4.8  10 2

P2F

3

m



0.84

 3772 .1

3772 .1  m m   5.69  1.53  6 m  39925 .7 m kg  s s 9.81 2 s kgf

kgf m2 m

4.-RESULTADO. La caída total de presión en la línea de transporte neumático de granos de trigo es de 39925.7 kgf/m2.

Los métodos de Hinkle y de Klinzing-Mathur predicen las caídas de presión a dos fases gas-sólido en tuberías horizontales con un error de ± 20%. Ambos métodos son muy simples, comparados con otros cuyo procedimiento es iterativo y de respuesta dudosa. Existen otras correlaciones semi empíricas para encontrar las caídas de presión en flujo horizontal a dos fases gas-sólido. El lector interesado puede consultar las correlaciones de Mehta-Smith-Comings49, Vogt-White57, Rose-Duckworth54, Chari38, entre otras más.

604

PATRONES DE FLUJO EN TUBERÍAS VERTICALES. Hay diferentes patrones de flujo cuando ambas fases avanzan en sentido ascendente o descendente. Esta diferencia en el número y características de los patrones de flujo se debe a la resistencia de los sólidos a ser desplazados en sentido contrario a la gravedad, en el flujo ascendente, y a la facilidad de flujo de las partículas en el flujo descendente. Aunque presentan similitudes entre sí, con frecuencia son tratados por separado. Patrones de flujo vertical ascendente. En este tipo de flujo, existe la mayor cantidad de estudios y de aplicaciones respecto a los demás sistemas de flujo bifásico gas-sólido. Los investigadores han encontrado en el flujo ascendente de partículas un área amplia de aplicación a diversas operaciones y procesos unitarios. Como ejemplos se tienen los procesos de secado de materiales, recubrimiento de partículas, combustión, cracking catalítico, transporte neumático de sólidos, entre otros más. Existen tres patrones de flujo a dos fases y siete patrones de fluidización (figura 25). Aunque estos últimos y el de lecho fijo no son patrones reales de flujo bifásico, serán descritos con la finalidad de proporcionar una visión más amplia del fenómeno. Arreglados en orden creciente de velocidad de gas, los patrones de flujo son: Lecho Fijo (Fixed bed). Este no es un patrón de flujo a dos fases gas-sólido, pues la fase gaseosa asciende a través de los intersticios y huecos presentes entre las partículas, las cuales permanecen inmóviles. Este lecho se da a velocidades superficiales de gas inferiores a la velocidad mínima de fluidización (minimum fluidization velocity). En caso de tratarse de partículas del grupo D, si el gas penetra por un solo orificio en la parte inferior del lecho, se da a velocidades superficiales de gas inferiores a la velocidad de chorro mínima (minimum spouting velocity). También se le suele llamar lecho empacado (packed bed). Lecho con Chorro (Spouted bed o Spouting). Este patrón de fluidización ocurre cuando una corriente de gas es inyectada verticalmente a una alta velocidad a través de una pequeña abertura u orificio en la parte inferior del lecho. Este chorro de gas penetra en el lecho, arrastrando con ello algunas partículas hacia arriba, y formando así una región tubular de flujo diluido. Al llegar estas partículas arrastradas a la superficie del lecho, ascienden y luego descienden en un movimiento parabólico, conformando de esta manera una fuente de partículas, las cuales caen sobre la porción del lecho conocida como región anular, localizada entre la pared y el chorro de gas. Las partículas de la región anular se mueven hacia abajo y recirculan hacia el chorro de gas, constituyendo un patrón circular de flujo de sólidos. El mezclado de las partículas es más regular y cíclico respecto al existente en otros patrones de fluidización, debido a que es axialmente inducido por el flujo de gas a chorro. Se presenta a velocidades superficiales de gas mayores a la velocidad de chorro mínima, típicamente con partículas del grupo D, pero también puede darse con partículas del grupo B en lechos poco profundos (shallow beds). También se le conoce como fluidización a chorro. 605

Canalización (Channeling). Se caracteriza por el flujo de gas en forma de canales, los cuales van desde el distribuidor del gas, en la parte inferior del lecho, hasta la superficie del mismo. En este patrón de fluidización, la magnitud de las fuerzas de o entre partículas es mayor a la de sus fuerzas inerciales, causando la agregación de los sólidos y evitando la distribución uniforme de la fase gaseosa en la totalidad del lecho. De esta manera, las partículas no alcanzan a ser separadas lo suficiente por el gas como para ser soportadas por las fuerzas de arrastre y de empuje ascendentes de la fase gaseosa. El comportamiento de los canales es consecuencia de la densidad, tamaño y forma de las partículas. Además de la formación de canales, pueden aparecer resquebrajamientos en el lecho e incluso tapones sólidos de ascenso limitado. Se presenta sólo con partículas del grupo C, a velocidades superficiales de gas mayores a la velocidad mínima de fluidización. También puede ocurrir en lechos de partículas no cohesivas con una pobre y no uniforme distribución de gas. Fluidización Particulada (Particulate fluidization o Smooth fluidization). El gas fluye a través de los intersticios existentes entre las partículas del lecho, sin la formación de burbujas. Al incrementarse la velocidad superficial del gas, el espacio entre partículas aumenta, provocando la expansión uniforme del lecho. Se presenta sólo con partículas del grupo A, a velocidades superficiales de gas mayores a la velocidad mínima de fluidización pero menores a la velocidad mínima de burbujeo (minimum bubbling velocity). También se le suele llamar fluidización sin burbujeo (non-bubbling fluidization). Fluidización con Burbujeo (Bubbling fluidization). Este patrón de fluidización se caracteriza por la formación de burbujas de gas en el seno del lecho de partículas, por cuyos intersticios fluye la fase gaseosa a una velocidad diferente a la de las burbujas. La región del lecho que no constituye una burbuja, sino se encuentra en un estado similar a la fluidización particulada, es conocida como emulsión. En este régimen aparecen los fenómenos de ruptura y coalescencia de burbujas, favoreciéndose este último al aumentar la velocidad superficial del gas. Las burbujas son esféricas o elipsoidales, en cuya parte inferior se forma una estela de partículas más separadas entre sí respecto a la emulsión. Al llegar a la superficie del lecho, las burbujas se revientan aventando a las partículas constituyentes de su interfase superior. Si la velocidad de las burbujas es mayor a la del gas en la emulsión, la burbuja presenta una interfase similar a la estela conocida como nube o nubosidad, por la cual circula el gas saliente de la burbuja, contorneándola desde su parte superior hasta la estela para volver a alimentarla. Si la velocidad de las burbujas es menor a la superficial del gas, la burbuja carece de nube. Este patrón se presenta con partículas de los grupos A, B y D, a velocidades superficiales de gas mayores a la velocidad mínima de burbujeo, para el grupo A, o mayores a la velocidad mínima de fluidización, para los grupos B y D. En el caso de lechos de partículas del grupo D, se presenta un burbujeo muy violento si el 606

distribuidor de gas es convencional, es decir, si tiene múltiples orificios a diferencia del empleado para la fluidización a chorro. Flujo Bala (Slug flow o Slugging). Al incrementarse el tamaño de las burbujas a más de la tercera parte del diámetro del lecho, su velocidad de ascenso es controlada por las dimensiones del mismo, adquiriendo forma de bala. Se presenta sólo en lechos fluidizados de diámetro pequeño y/o de un gran cociente altura/diámetro, con partículas de los grupos A, B y D, a velocidades superficiales de gas mayores a la velocidad mínima de flujo bala (minimum slugging velocity). A velocidades de gas muy altas, las burbujas se rompen instaurándose en el lecho el régimen de fluidización turbulenta, en el caso de partículas del grupo A, o el de fluidización rápida para los otros dos grupos de sólidos. Este patrón también puede desarrollarse si no hay una buena distribución de la fase gaseosa en el lecho. Por su forma, existen tres tipos de burbuja en este patrón de fluidización: Bala de punta redonda (round-nosed slug): ocurre en sistemas de partículas relativamente finas (grupos A y B). Bala de pared (wall slug): ocurre en lechos de paredes muy rugosas, de partículas grandes (grupos B y D) de forma angular, y a altas velocidades de gas. Este tipo de burbuja se presenta en la parte superior del lecho, donde fluye sobre la pared del tubo. Su forma es similar a la de punta redonda, pero por estar sobre la pared sólo se presenta una mitad. Por esta razón, también se le conoce como media bala (half slug). Bala cuadrada (square-nosed slug): ocurre en lechos de partículas muy grandes (grupo D). El flujo de este tipo de burbujas es mejor conocido como flujo tapón (plug flow). Fluidización Turbulenta (Turbulent fluidization o Churning fluidization). Este régimen se caracteriza por la no diferenciación existente entre las burbujas y la emulsión, pues la suspensión de las partículas es prácticamente homogénea. A diferencia de la fluidización con burbujeo, la ruptura de las burbujas es favorecida al incrementarse la velocidad superficial del gas, resultando en una reducida presencia de burbujas grandes. La superficie del lecho se vuelve difusa, pues una cierta cantidad de material es proyectada constantemente. Se presenta con partículas de todos los grupos, a velocidades superficiales de gas mayores a la velocidad mínima de fluidización turbulenta (onset of turbulent fluidization). Fluidización Rápida (Fast fluidization). Se caracteriza por la presencia de una región densa en el fondo del lecho y por una diluida sobre el lecho, con una interfase de transición difusa entre ambas regiones. Existe un flujo descendente de partículas por las paredes del tubo en la región diluida. Se presenta con partículas de todos los grupos, con una masa velocidad de partículas menor a 200 kg/m2 s, y a velocidades superficiales de gas 607

mayores a la velocidad de transporte (transport velocity). Si el régimen anterior es flujo bala, la velocidad de transición entre ese patrón y la fluidización rápida es la velocidad de estrangulamiento del flujo (choking velocity). El fenómeno de estrangulamiento del flujo consiste en la precipitación súbita de todas las partículas acarreadas por la fase gaseosa, debida a la disminución de la velocidad superficial del gas. Es similar al fenómeno de sedimentación de las partículas para formar dunas en tuberías horizontales, y se presenta en la transición de fluidización rápida a flujo bala. Este régimen es un patrón incipiente de flujo, pues comienza un limitado transporte neumático de partículas muy finas, debido a su facilidad de acarreo. Por esta razón, también es conocido como flujo colapsado (collapsed flow). Transporte Denso Ascendente (Dense suspension upflow). El flujo de las partículas sólidas es ascendente, encontrándose dispersas en la corriente de gas. La interacción entre partículas es grande aún, pues la concentración de los sólidos en la sección de flujo de la tubería es alta. A diferencia de la fluidización rápida, no presenta regiones segregadas en la tubería ni un flujo descendente de partículas por las paredes del tubo. Proviene del régimen de fluidización turbulenta, al aumentar la velocidad superficial del gas. Se presenta sólo con partículas de los grupos A y B, a velocidades superficiales de gas muy altas y a una masa velocidad de partículas mayor a 200 kg/m 2 s, con una fracción de huecos superior a 0.75 e inferior a 0.90. Se le suele denominar transporte neumático en fase densa (dense phase pneumatic conveying). Flujo Anular (Core-annulus flow). Existe un flujo descendente de partículas sobre las paredes de la tubería, constituyendo una región con forma de anillo por cuyo centro asciende la fase gaseosa. Esta fase arrastra partículas sólidas, transportándolas hacia la parte superior del tubo y conformando así una región central de transporte en fase diluida. Se presenta con partículas de todos los grupos, a velocidades superficiales de gas muy altas pero inferiores a la velocidad de mínima caída de presión (minimum pressure drop velocity). El punto mínimo en una gráfica de caída de presión marca la transición hacia el transporte neumático en fase diluida. Este mínimo se da al balancearse las fuerzas de fricción y las gravitacionales actuantes sobre las partículas. A velocidades superficiales de gas inferiores a este punto, las fuerzas gravitacionales dominan sobre la fase sólida, mientras que a velocidades mayores, las fuerzas de fricción controlan el comportamiento de las partículas. Por esta razón, el anillo de sólidos fluye hacia abajo. A este patrón de flujo también se le conoce como flujo heterogéneo en fase diluida (heterogeneous dilute phase flow) o flujo transición (transition flow).

608

Lecho Fijo

Lecho con Chorro

Canalización

Fluidización Particulada

Fluidización con Burbujeo

Flujo Bala de punta redonda

Flujo Bala cuadrada

Fluidización Turbulenta

Fluidización Rápida

Transporte Denso Ascendente

609

Flujo Anular

Transporte en Fase Diluida

Figura 25.- Patrones de flujo ascendente a dos fases sistema gas-sólido en tuberías verticales.

Transporte en Fase Diluida (Dilute phase conveying). Las partículas se encuentran dispersas en la corriente de gas, de forma similar a su contraparte horizontal, es decir, al flujo homogéneo. A diferencia del transporte denso ascendente, la interacción entre partículas es prácticamente inexistente debido a la gran separación entre ellas y a su baja concentración a lo largo y ancho de la tubería. Se presenta con partículas de todos los grupos, a velocidades superficiales de gas mayores a la velocidad de mínima caída de presión, y con fracciones de huecos superiores a 0.99. Se le suele denominar flujo homogéneo en fase diluida (homogeneous dilute phase flow) o simplemente transporte neumático (pneumatic transport o pneumatic conveying). A esta serie de patrones de flujo y fluidización ascendentes se les clasifica de acuerdo a la concentración de los sólidos en la tubería, como sigue: Fluidización en fase diluida: la velocidad superficial del gas es mayor a la de estrangulamiento del flujo, por lo cual los sólidos son acarreados por el gas; se le suele llamar transporte neumático ascendente o flujo en fase diluida (dilute phase flow o lean phase flow): fluidización rápida, transporte denso ascendente, flujo anular y transporte en fase diluida.

610

Fluidización en fase densa: la velocidad superficial del gas es menor a la de estrangulamiento del flujo, por lo que las partículas sólidas permanecen en el lecho; se le designa genéricamente como lecho fluidizado: lecho con chorro, canalización, flujo bala y fluidizaciones particulada, con burbujeo y turbulenta. Al conjunto formado por el flujo bala y las fluidizaciones con burbujeo y turbulenta es también conocido como fluidización agregativa. Patrones de flujo vertical descendente. Este tipo de flujo se encuentra principalmente en los tubos de descarga de silos y tolvas, y en columnas de o gas-sólido por etapas. Existen tres patrones de flujo a dos fases (figura 26), los cuales son similares a los lechos fluidizados con flujo ascendente de la fase gaseosa. Arreglados en orden creciente de velocidad de deslizamiento entre fases, los patrones de flujo son los siguientes: Flujo en Lecho Empacado (Packed bed flow). Este patrón de flujo se caracteriza por el descenso de una masa de partículas a modo de lecho empacado, a través de cuyos intersticios fluye la fase gaseosa. Se presenta con partículas de los grupos A, B y D, a velocidades de deslizamiento absolutas menores a la velocidad relativa mínima de fluidización. También se le conoce como transporte en lecho móvil (moving bed transport). Flujo en Lecho Fluidizado sin Burbujeo (Fluidized bed flow). Se caracteriza por el flujo descendente de partículas a modo de lecho con fluidización particulada, existiendo un mayor espacio entre partículas respecto al flujo en lecho empacado. Se presenta sólo con partículas del grupo A, a velocidades de deslizamiento absolutas mayores a la velocidad relativa mínima de fluidización. También se le suele llamar transporte en suspensión (suspension transport). Flujo en Lecho Fluidizado con Burbujeo (Bubbling fluidized bed flow). Este patrón de flujo es similar al anterior, pero con la formación de burbujas a modo de lecho fluidizado con burbujeo. Si la velocidad superficial del gas es menor a la de las partículas, las burbujas ascienden, pero si es mayor, entonces las burbujas descienden por la tubería. Se presenta con partículas de los grupos A, B y D, a velocidades de deslizamiento absolutas mayores a la velocidad relativa mínima de burbujeo, si se trata de partículas del grupo A, o mayores a la velocidad relativa mínima de fluidización, en el caso de partículas de los grupos B y D.

611

Flujo en Lecho Empacado

Flujo en Lecho Fluidizado sin Burbujeo

Flujo en Lecho Fluidizado con Burbujeo

Figura 26.- Patrones de flujo descendente a dos fases sistema gas-sólido en tuberías verticales.

PREDICCIÓN DE LOS PATRONES DE FLUJO EN TUBERÍAS VERTICALES. En el transcurso del siglo XX, diversos mapas de patrones de flujo vertical ascendente fueron desarrollados, algunos cualitativos y específicos para un sistema en particular, otros cuantitativos con inclusión de rangos de aplicación industrial típicos o recomendables. Zenz fue el primero en desarrollar uno de esos mapas cualitativos, similar al suyo propio para flujo horizontal, sin realizar algún intento de generalización. El primer mapa cuantitativo generalizado fue el de Reh, en el cual se muestran zonas de condiciones de operación típicas de lechos fluidizados y de líneas de transporte neumático ascendente. Las coordenadas de este mapa son grupos adimensionales bien conocidos. Basándose en este último mapa y en datos experimentales, Grace desarrolló un mapa de patrones de flujo más amplio que el de Reh y más generalizado (figura 27), pues los gases empleados para su elaboración son aire, nitrógeno, dióxido de carbono, helio, freón 12 y tetracloruro de carbono, y los intervalos de temperatura y presión son de 20°C a 300°C y de 0.9 atm a 84 atm, respectivamente.

612

Las coordenadas del mapa de Grace también son adimensionales y fueron obtenidas mediante un análisis dimensional. Las coordenadas de Grace están dadas por las siguientes ecuaciones:      g  dP *  dP  G P 2 G  G  

   G2 u*  v SG     G P   G g 

1 3

1 3

 Ar

1 3

1 3

Re SP

 Ly



Ar

(164)

1 3

(165)

En donde: dP* = diámetro adimensional de partícula. u* = velocidad superficial adimensional de la fase gaseosa. Ar = número de Arquímedes, también llamado número de Galileo (Ga): Ar 

dP3  G P   G g  G2

(166)

Ly = número de Lyaschenko, también llamado número de similaridad (M): Ly 

v 3SG G2  G P  G g

(167)

Las áreas correspondientes al transporte neumático, fluidización rápida, lecho con burbujeo y lecho fijo fueron tomadas directamente del mapa de Reh, pues éste último graficó los puntos de operación industrial de los diferentes equipos de manejo de mezclas gas-sólido. Es decir, estas áreas son recomendaciones de operación de acuerdo a la experiencia. No son áreas determinadas teóricamente ni están basadas en criterios de transición semi empíricos. Grace presentó otras áreas adicionales a las de Reh basándose en datos experimentales, y menciona la posibilidad de extensión de todas las regiones por él mapeadas, aunque en la industria los equipos operan regularmente dentro de esas áreas enmarcadas.

613

100

TRANSPORTE NEUMÁTICO

FLUIDIZACIÓN RÁPIDA

FLUIDIZACIÓN TURBULENTA

10

1 LECHO CON CHORRO

u*

LECHO CON BURBUJEO

0.1 FLUIDIZACIÓN MÍNIMA

VELOCIDAD TERMINAL

0.01

LECHO FIJO

GRUPO C

GRUPO AC

0.001

GRUPO A

GRUPO B

GRUPO D

0.0001 0.1

1

10

100

1000

dP* Figura 27.- Mapa de patrones de Grace para flujo vertical ascendente en sistemas gas-sólido. (1986).

Basado en el mapa de Grace y en correlaciones semi empíricas para las transiciones entre patrones de flujo y regímenes de fluidización, en el presente texto se propone el siguiente mapa generalizado de patrones de flujo vertical ascendente. 614

Figura 28.- Mapa de patrones generalizado para flujo vertical ascendente en sistemas gas-sólido. (2004)

Este mapa emplea las mismas coordenadas del de Grace, pero las regiones de patrones de flujo son más amplias por estar delimitadas mediante criterios de transición semiempíricos. Debido a que algunos de estos criterios varían de acuerdo a las características particulares de cada sistema o a la definición de algunos investigadores, las fronteras entre patrones no son líneas sino regiones de transición gradual. 615

Los gases empleados para su elaboración son aire, nitrógeno y dióxido de carbono, por ser los más comunes. No se utilizaron las propiedades del freón 12 por ser una sustancia prohibida a nivel internacional por el Protocolo de Montreal. El intervalo de temperaturas va de 15°C a 100°C, y el de presiones va de 1 atm a 30 atm. Este mapa utiliza la velocidad superficial de la fase gaseosa debido a que la fluidización de las partículas dependen exclusivamente de la velocidad de flujo del gas, por lo cual no se requiere conocer la cantidad de partículas presentes en la tubería vertical. De esta manera, el mapa generalizado de patrones de flujo vertical ascendente muestra la velocidad superficial de gas necesaria para desarrollar a cada patrón de fluidización en el interior de la tubería. A diferencia de la fluidización, el transporte neumático de las partículas depende además de la masa velocidad de las mismas, lo cual se muestra en la siguiente gráfica complementaria al mapa anterior.

Figura 29.- Gráfica complementaria al mapa de patrones generalizado para flujo vertical ascendente. Las fronteras entre los patrones de transporte neumático están en función de la masa velocidad de los sólidos. (2004)

En el mapa generalizado, el patrón de fluidización a chorro se encuentra sobrepuesto a los de lecho fijo, fluidización con burbujeo, flujo bala y fluidizaciones turbulenta y rápida. Este régimen sólo se presenta en lechos cuyo distribuidor de gas tiene un solo orificio central. A condiciones de operación por fuera de la región, este tipo de lechos presentan los patrones de flujo mostrados alrededor de la región mencionada.

616

El área correspondiente al patrón de fluidización con flujo bala está encima de los de fluidización con burbujeo y fluidización turbulenta. Sólo se presenta en lechos muy profundos o cuyo diámetro es muy pequeño. Fuera de esta región, se desarrollan los patrones circunvecinos en el seno de este tipo de lechos. En el mapa de la figura 28, la región de transporte denso ascendente se encuentra sobrepuesta a la de fluidización rápida, presentándose sólo cuando la masa velocidad de los sólidos es mayor a 200 kg/m 2s, como se muestra en la gráfica de la figura 29. La curva de velocidad terminal es mostrada como referencia. Falta un mayor número de estudios experimentales sobre ciertas regiones del mapa, como la de transporte denso ascendente, y sobre flujo anular, cuya frontera de transición hacia transporte en fase diluida no ha sido estudiada por completo. En el presente mapa, este último patrón de flujo se encuentra muy cerca de la frontera entre los patrones de fluidización rápida y transporte en fase diluida. De manera similar, se presenta a continuación un mapa generalizado de patrones de flujo vertical descendente (figura 30). 10

FLUJO LECHO CON BURBUJEO

|vSG - vSP|*

1

0.1 FLUJO LECHO SIN

FLUJO LECHO EMPACADO

BURBUJEO 0.01

GRUPO A

0.001 1

GRUPO B

10

GRUPO D

100

1000

dP*

Figura 30.- Mapa de patrones generalizado para flujo vertical descendente en sistemas gas-sólido. (2004)

617

La ordenada es el valor absoluto de la diferencia de velocidades superficiales entre ambas fases, debiéndose a la posibilidad de ascenso de la fase gaseosa, lo que se interpreta en este tipo de flujo como una velocidad negativa. Esta ordenada queda definida entonces como: v SG  v SP *  v SG  v SP

   G2     G P   G g 

1 3

(168)

Los criterios de transición son los propuestos originalmente por Rhodes, y corresponden a las mismas correlaciones empleadas para el mapa de flujo ascendente pero utilizando esta última ordenada en su desarrollo. Los gases e intervalos de temperatura y presión son los mismos del mapa anterior. Ejemplo 14. Obtener el patrón de flujo presente en una tubería vertical de 6 pulgadas cédula 40 empleada para secar chícharos con aire, el cual pasa a través del único orificio central del distribuidor, localizado en la entrada al tubo. El flujo de aire es de 500 kg/h, a una presión de 1 atm y 35°C de temperatura. La densidad de los chícharos es de 1387 kg/m 3, y su diámetro individual es de 7.5 mm. 1.-TRADUCCIÓN.

WG = 500 kg/h

AIRE – CHÍCHAROS

P = 1 atm

6” Ced. 40

T = 35°C

2.-PLANTEAMIENTO. 2.1.-Discusión. Para determinar el patrón de flujo se emplea el mapa de patrones generalizado para flujo vertical ascendente (figura 28). 3.-CÁLCULOS. 3.1.-Velocidad superficial de la fase gaseosa. Las propiedades del aire a 1 atm y 35°C son: G = 1.15 kg/m3 G = 0.0185 = 1.85x10-5 kg/ (m s)

618

Las propiedades de la tubería son: D = 6.065 in = 0.1541 m A = 0.018639 m2 kg m h   6.48 s kg  s 3600 1.15 3  0.018639 m 2 h m  500

v SG






  1.15 kg 1387 kg  1.15 kg   9.81 m    m3  m3 m3   s2   dP *  7.5  10 3 m   2  5 kg    1.85  10    m s    



1 3



2   kg   1 . 15     m  m3    u*   6.48    s  kg   kg kg   m    1387 3  1.15 3   9.81 2    1.85  10 5 ms  m m  s    

 268 .1

1 3

 11.3

Se ubican estas coordenadas en el mapa de patrones generalizado para flujo ascendente de la figura 28, presentándose su intersección en el área correspondiente al patrón de fluidización rápida. 4.-RESULTADO. El patrón de flujo obtenido es el de fluidización rápida, a pesar de que el distribuidor de aire esté diseñado para operar en el régimen de fluidización a chorro. Este resultado se debe a la alta velocidad del aire.

Ejemplo 15. ¿Cuál es el patrón de flujo presente en una tubería vertical de 8 pulgadas cédula 40 por la cual descienden 10500 kg/h de arena, con un diámetro promedio de partícula de 1.5 mm y una densidad de 2643 kg/m3? Por la misma tubería ascienden 200 kg/h de aire a 1 atm y 25°C.

619

1.-TRADUCCIÓN.

WP = 10500 kg/h WG = -200 kg/h

AIRE – ARENA

P = 1 atm

8” Ced. 40

T = 25°C

2.-PLANTEAMIENTO. 2.1.-Discusión. El patrón de flujo será determinado empleando el mapa de patrones generalizado para flujo vertical descendente (figura 30). 3.-CÁLCULOS. 3.1.-Velocidad superficial de la fase gaseosa. Las propiedades del aire a 1 atm y 25°C son: G = 1.19 kg/m3 G = 0.0183 = 1.83x10-5 kg/ (m s) Las propiedades de la tubería son: D = 7.981 in = 0.2027 m A = 0.032275 m2 vSG = -1.446 m/s Nótese el signo negativo de la velocidad superficial del gas. Esta velocidad es negativa debido al ascenso del aire por el tubo, lo cual va en sentido contrario al descenso de las partículas. 3.2.-Velocidad superficial de la fase sólida.

620

10500

v SP  3600

kg h



s kg  2  2643 3  0.032275 m h m 



 0.0342

m s

3.3.-Patrón de flujo.

  1.19 kg  2643 kg  1.19 kg   9.81 m    m3  m3 m3   s2   dP *  1.5  10 3 m   2  kg    1.83  10 5    ms    



1 3



 67 .7

2   kg     1.19 3  m m m    v SG  v SP *   1.446  0.0342  s s  kg   kg kg   m    2643 3  1.19 3   9.81 2    1.83  10 5 ms  m m  s    

1 3

 2.1

En el mapa de patrones generalizado para flujo vertical descendente de la figura 30, la intersección de ambas coordenadas ocurre en la región del flujo en lecho con burbujeo. 4.-RESULTADO. El patrón obtenido es el de flujo en lecho con burbujeo.

PREDICCIÓN DE LA CAÍDA DE PRESIÓN EN TUBERÍAS VERTICALES. Existe un mayor número de estudios realizados en esta área respecto al caso horizontal, debido a su multiplicidad de aplicaciones tanto en la industria como a nivel investigación. A pesar de ello, aún no ha sido desarrollada una teoría o modelo general, por lo que a continuación se exponen las correlaciones semi empíricas más utilizadas para diseñar líneas y equipos, dependiendo del tipo de flujo. Transporte neumático. En tuberías verticales, la caída de presión total recibe contribuciones por los efectos de aceleración, fricción y elevación, como sigue: P2F 

 G v G2 1  P v P2  L  g sen P L 1  g sen   Fgw L  Fpw L  G  2 gC 2 gC gC gC

 kgf   m2   

(169) En donde:  = ángulo de inclinación de la tubería.

621

Los cuatro primeros términos son los mismos de la caída de presión para flujo horizontal (ecuación 145), el quinto corresponde a la caída de presión por elevación en el gas, y el sexto es la caída de presión por elevación en las partículas. Para flujo ascendente, el ángulo es 90°, y para flujo descendente, el ángulo es de -90° (ó de 270°). La evaluación de los tres primeros términos es similar a la realizada para flujo horizontal. Para obtener el cuarto término, Leung y Wiles48 recomendaron la expresión propuesta por Hinkle y por Konno y Saito, la cual está dada por la ecuación 150: Fpw

2 f 1   P v P2 2f G v  P  P P P D gC D gC

 kgf   m2   m     

(150)

El factor de fricción de las partículas sólidas recomendado por Leung y Wiles es el desarrollado por Yang, el cual es:

ReP t  1    fP  0.0126 3 1     ReP slip   

0.979

(170)

Este factor de fricción es aplicable para líneas operando a presiones cercanas a la atmosférica. Para líneas a presiones altas menores a 48 atm, Leung y Wiles sugieren el uso del factor de fricción propuesto por Knowlton y Bachovchin:  GP fP  0.02515   G v G

  

0.0415

 vG   vP

  

0.859

 0.03

(171)

La fracción de huecos o holdup de la fase gaseosa puede ser determinada mediante la ecuación 133: WG QG G   W W Q G  QP G  P G P

(133)

En donde: QG y QP = flujos volumétricos de las fases gaseosa y sólida en m3/h. En caso de tenerse una fracción de huecos igual a 1, la velocidad real de las partículas es idéntica a la real de la fase gaseosa.

Método de Leung-Wiles: 1.- Determinar el patrón de flujo mediante el mapa de patrones generalizado para flujo vertical ascendente (figura 28). Si el tipo de flujo determinado es fluidización rápida, transporte denso ascendente o transporte en fase diluida, es decir, algún patrón correspondiente al flujo en fase diluida, se debe continuar con el método. 622

2.- Obtener la fracción de huecos empleando la ecuación 133. El intervalo típico para cada patrón de flujo es: Fluidización rápida:

0.8 a 0.97 0.85 en la región densa 0.97 en la región diluida

Transporte denso ascendente:

0.75 a 0.9

Flujo anular:

0.97 a 0.99

Transporte en fase diluida:

0.99 a 1.0

3.- Calcular las velocidades reales de las fases gaseosa y sólida con las ecuaciones 146 y 147, respectivamente. 4.- Calcular el factor de fricción de los sólidos con las ecuaciones 170 ó 171, según la presión de operación. Si se usa la 170, la velocidad terminal puede ser obtenida del mapa de patrones de flujo (figura 28) o de la figura 23. 5.- Obtener la caída de presión por fricción entre las partículas y la pared con la ecuación 150. 6.- Calcular la caída de presión por fricción entre el gas y la pared con la ecuación 149. 7.- Determinar la caída de presión total con la ecuación 169.

Ejemplo 16. Determinar la caída de presión en una línea vertical de 4 pulgadas cédula 40 por la cual ascienden 250 kg/h de nitrógeno y 100 kg/h de cemento, a 1 atm y 30°C. Las partículas de cemento tienen un diámetro promedio de 80 m y una densidad de 1240 kg/m3. La longitud de la línea es de 30 m.

1.-TRADUCCIÓN.

623

WP = 100 kg/h

NITRÓGENO – CEMENTO

WG = 250 kg/h

4” Ced. 40

P = 1 atm L = 30 m T = 30°C

2.-PLANTEAMIENTO. 2.1.-Discusión. Para obtener el patrón de flujo presente en la línea se utilizará el mapa generalizado de la figura 28, y para calcular la caída de presión en la línea, se empleará el método de LeungWiles, siempre y cuando el patrón corresponda al flujo en fase diluida. 3.-CÁLCULOS. 3.1.-Patrón de flujo. Las propiedades del nitrógeno a 1 atm y 30°C son: G = 1.13 kg/m3 G = 0.0180 = 1.80x10-5 kg/ (m s) Las propiedades de la tubería son: D = 4.026 in = 0.1023 m A = 0.008213 m2 vSG = 7.48 m/s dP* = 2.8 u* = 13.5 GP = 3.38 kg/(m2 s) Ambas coordenadas se intersectan en el área correspondiente al transporte denso ascendente, pero como la masa velocidad de las partículas es menor a 200 kg/m 2s, el patrón presente en la línea es el de transporte en fase diluida, como se observa en la gráfica de la figura 29.

624

3.2.-Factor de fricción de sólidos.

kg 3 h  221 .2 m QG  kg h 1.13 3 m 250

kg 3 h  0.0806 m QP  kg h 1240 3 m 100



221 .2

m3 h

m3 m3 221 .2  0.0806 h h

 0.9996

m s  7.48 m vG  0.9996 s 7.48

3.38 vP  1240

kg m2 s

kg 1  0.9996  m3

 6.81

m s

La velocidad terminal es obtenida con la gráfica de la figura 23. Para dP* = 2.8: ut* = 0.4

 kg kg   m  5 kg    1240 3  1.13 3   9.81 2    1.80  10 ms  m m  s  v t  0.4   2   kg     1 . 13   m3    

ReP t

ReP slip 

80  10 

80  10

6

1 3

 0.22



m  kg   m  0.22  1.13 3  s  m    1.10 kg 1.80  10 5 ms

6



m m  kg   m  7.48  6.81  1.13 3  s s  m    3.36 kg 5 1.80  10 ms

625

m s

0.979  1  0.9996   1.10  1  0.9996  fP  0.0126  0.0319 3.36  0.9996 3 

3.3.-Caída de presión por fricción entre las partículas y la pared.

Fpw

 kg   m kgf 2 0.0319 3.38 2   6.81  s m s   m2   1.46 m  m kg   0.1023m  9.81 2  s kgf  

3.4.-Caída de presión por fricción entre el gas y la pared

Re G 

0.1023 m 7.48 m  1.13 kg3  

s  kg 1.80  10 5 ms

m   48038

Régimen turbulento

De las figuras 9 y 10: /D = 0.00045 fD = 0.0225 fG = ff = 0.0056 2

Fgw

kg   m  kgf 2 0.0056 1.13 3   7.48  s m   m2   0.706 m  m kg   0.1023 m  9.81 2  s kgf  

3.5.-Caída total de presión. 2

P2F

kg   m  1  0.9996 1240 kg3   6.81 m  0.9996 1.13 3   7.48  s s m  m        m kg  m kg    2  9.81 2 2  9.81 2  s kgf  s kgf   

2

kgf  kgf  kg       0.706 3  30 m  1.46 3  30 m  1.13 3  30 m0.9996 sen90  m  m  m     kg    1240 3  30 m1  0.9996  sen90  m  

P2F  118 .14

626

kgf m2

4.-RESULTADO. La caída de presión en la línea de transporte neumático es de 118.14 kgf/m2.

Aunque los lechos fijos y con fluidización están fuera del alcance de este texto, por no ser patrones verdaderos de flujo a dos fases, serán expuestos brevemente con la finalidad de proporcionar al lector mayores elementos para diseñar sistemas gas-sólido. Para profundizar más en el tema de los lechos de partículas, al lector se le recomienda consultar las obras de Leva, de Kunii y Levenspiel, de Valiente Barderas, de Davidson y Harrison, y las dos de Rhodes. Fluidización en fase densa. En este régimen de flujo, la caída de presión por fricción es muy pequeña comparada con la debida al peso de las partículas del lecho. Como no existe una aceleración de las partículas ni del gas en el lecho, la caída de presión total está dada por la siguiente ecuación: P2F 

P 1   gL gC

 kgf   m2   

(172)

Para determinar la caída de presión se requiere conocer la fracción de huecos del lecho fluidizado, la cual depende del patrón de flujo. Esta fracción es un valor experimental, pero puede estimarse con la ecuación 133 ó mediante la siguiente expresión:   1

MP   1 B P A L P

(173)

En donde: MP = masa total de partículas en el lecho fluidizado en kg. A = área de flujo de la tubería donde se encuentra el lecho en m2. L = profundidad del lecho en m. Los intervalos más frecuentemente encontrados de la fracción de huecos para cada patrón de flujo son los siguientes: Fluidización turbulenta:

0.65 a 0.8 0.45 a 0.6 cerca de la pared 0.75 a 0.8 en la región central de la tubería

Flujo bala:

0.6 a 0.7 0.4 a 0.55 en la emulsión

Fluidización con burbujeo:

0.4 a 0.65 0.4 a 0.55 en la emulsión

Fluidización particulada:

0.4 a 0.7

627

Fluidización a chorro:

0.45 a 0.55 en la región anular

Flujo en lecho con burbujeo:

0.4 a 0.65 0.4 a 0.55 en la emulsión

Flujo en lecho sin burbujeo:

0.4 a 0.7

Ejemplo 17. ¿Cuál es la caída de presión en una tubería vertical de 6 pulgadas cédula 40 por donde fluyen 3 kg/h de aire con una densidad de 2.4 kg/m3 y una viscosidad de 0.0183 s? En la porción inferior del tubo se encuentran 30 kg de sílica gel, cuyo diámetro promedio de partícula es de 100 m y su densidad es de 900 kg/m3. Estas partículas forman un lecho de 3 m de profundidad, el cual está soportado por un distribuidor de gas convencional. 1.-TRADUCCIÓN.

MP = 30 kg

AIRE – SÍLICA GEL

WG = 3 kg/h

6” Ced. 40

L=3m

2.-PLANTEAMIENTO. 2.1.-Discusión. Para determinar la caída de presión se empleará la ecuación 172, siempre y cuando el patrón corresponda a la fluidización en fase densa. Para conocer estas pérdidas de presión, se obtiene primero el patrón de fluidización presente en la línea utilizando el mapa de patrones generalizado para flujo vertical ascendente (figura 28). 3.-CÁLCULOS. 3.1.-Patrón de flujo. G = 0.0183 = 1.83x10-5 kg/ (m s) D = 6.065 in = 0.1541 m A = 0.018639 m2 vSG = 0.0186 m/s

628

dP* = 3.98 u* = 0.0613 El patrón de flujo es fluidización particulada. 3.2.-Caída total de presión

  1

900 P2F 

30 kg  0.404 kg 2 900 3 0.018639m 3 m m





kg 1  0.404  9.81 m2  3 m 3 kgf m s    1609 .2 2 m kg m 9.81 2 s kgf

4.-RESULTADO. La caída de presión total en el lecho fluidizado es de 1609.2 kgf/m2.

Lecho fijo. Basándose en los trabajos de Darcy, Carman, Blake, Kozeny y de Burke-Plummer, y en datos experimentales, Ergun40 desarrolló una ecuación general para la caída de presión en lechos empacados, la cual es: 2 1   2  v 1     G v SG P  150 2 3 G2 SG  1.75 L  S  dP g C  S  3 dP g C

 kgf   m2   m     

(174)

En donde: S = esfericidad de las partículas sólidas. El primer término es el componente laminar de la caída de presión, y el segundo es el componente turbulento. La esfericidad de las partículas y la fracción de huecos son obtenidas de manera experimental. Empleando la ecuación de Ergun y basándose en datos obtenidos experimentalmente por un gran número de investigadores, Chen y Pei 39 desarrollaron una serie de ecuaciones para determinar teóricamente la fracción de huecos al fluir el gas a la velocidad mínima de fluidización. Esta fracción es constante mientras las partículas permanecen inmóviles, y comienza a aumentar al expandirse el lecho con el inicio de la fluidización de los sólidos. Para correlacionar los datos experimentales, Chen y Pei definieron el siguiente parámetro adimensional: E

 S2  2 1   

629

(175)

Las ecuaciones de Chen-Pei son: Para dP* < 1.26:

E = 0.5

(176)

Para 1.26 < dP* < 27.14:

E = 0.54 (dP*) -0.33

(177)

Para dP* > 27.14:

E = 0.18

(178)

Estas ecuaciones predicen la fracción de huecos con un error de ± 14%, requiriendo como dato la esfericidad de las partículas. En la tabla 1 se pueden encontrar las esfericidades típicas de partículas de diferentes materiales y formas. La ecuación de Ergun puede ser empleada para el flujo lecho empacado descendente o para el flujo lecho móvil horizontal, sustituyendo la velocidad superficial del gas por la velocidad relativa o de deslizamiento entre fases:

1   2  G v rel  1.75 1     G v rel P  150 2 2 L  S  dP g C S  dP2 gC

2

 kgf   m2   m     

(179)

En donde: |vrel| = valor absoluto de la velocidad relativa o de deslizamiento entre fases: v rel  v G  v P 

v SG v SP   1 

m  s  

(180)

Método de Ergun: 1.- Determinar el patrón de flujo mediante el mapa de patrones generalizado para flujo vertical ascendente o descendente (figuras 28 y 30 respectivamente), según sea el caso. Si el tipo de flujo determinado es lecho fijo o flujo en lecho empacado, respectivamente, se debe continuar con el método. 2.-Si no se cuenta con el dato experimental de esfericidad de partículas, seleccionar un valor de la tabla 1. 3.- Si no se tiene el dato de fracción de huecos, emplear las ecuaciones de ChenPei (176, 177 ó 178), y luego la siguiente ecuación: 2

E  E  E  2   2   4  2  S  S   S   2

4.- Calcular la caída total de presión con las ecuaciones 174 ó 179. Tabla 1.- Esfericidad de partículas sólidas.

630

(181)

Tipo de Partícula Esfera Cubo Cilindro: h = d Cilindro: h = 5d Cilindro: h = 10d Disco: h = d/3 Disco: h = d/6 Disco: h = d/10 Anillos Raschig Arena angular Arena de Ottawa Arena de playa vieja Arena de río joven Arena redonda Astillas de pedernal Carbón activado Carbón bituminoso Carbón de antracita Carbón pulverizado Catalizador de Fischer-Tropsch Corcho Hojuelas de mica Hojuelas de pedernal Magnetita Negro de humo esférico Negro de humo agregado Óxido de hierro Polvo de tungsteno Polvo natural de carbón Sílica gel Sillas Berl Sólidos rotos Trigo Vidrio quebrado y astillado

Esfericidad (S) 1.00 0.806 0.87 0.70 0.58 0.76 0.60 0.47 0.3 0.66 – 0.73 0.95 < 0.86 > 0.53 0.83 – 0.86 0.65 0.70 – 0.90 0.63 0.63 0.73 0.58 0.69 0.28 0.43 0.58 0.89 0.55 0.71 0.89 0.65 0.70 – 0.90 0.3 0.63 0.85 0.65

Ejemplo 18. Determinar la caída de presión en una tubería vertical de 8 pulgadas cédula 40, en la cual se halla un lecho empacado de partículas de óxido de hierro, cuya profundidad es de 2 m. El diámetro promedio de las partículas es de 0.57 mm y tienen una densidad de 1520 kg/m3. Por los intersticios del lecho ascienden 36 kg/h de aire a una presión de 2.5 atm y 50°C. 1.-TRADUCCIÓN.

631

WG = 36 kg/h P = 2.5 atm

AIRE – ÓXIDO DE HIERRO

T = 50°C

8” Ced. 40

L=2m

2.-PLANTEAMIENTO. 2.1.-Discusión. Empleando el mapa de patrones generalizado para flujo vertical ascendente, se obtendrá el patrón de flujo para corroborar la existencia de un lecho empacado. La fracción de huecos será calculada mediante las ecuaciones de Chen-Pei, y para determinar la caída de presión se usará la ecuación de Ergun. 3.-CÁLCULOS. 3.1.-Patrón de flujo. G = 2.74 kg/m3 G = 0.0190 = 1.90x10-5 kg/ (m s) D = 7.981 in = 0.2027 m A = 0.032275 m2 vSG = 0.113 m/s dP* = 27.6 u* = 0.337 Estas coordenadas corresponden al lecho fijo. 3.2.-Fracción de huecos De la tabla 1, se obtiene la esfericidad de las partículas de óxido de hierro: S = 0.71 Para dP* = 27.6 > 27.14:

632

E = 0.18 2

 0.18       4  0.18     0.712  0.712  0.712      0.445 2 0.18


1  0.445  P  150 L 0.712 0.445 3 2

 kg   m 1.90  10 5   0.113  ms  s  2 m kg   0.57  10 3 m  9.81 2 s kgf  





2

1  0.445   1.75 0.710.445 3

kg   m   2.74 3   0.113  s m    m kg 0.57  10 3 m  9.81 2 s kgf 





kgf   m2 P   797 .77 m  

kgf    

 797 .77

m2 m

  kgf  2 m  1595 .54 2 m  

4.-RESULTADO. La caída de presión a lo largo del lecho estacionario es de 1595.54 kgf/m2.

El método de Leung-Wiles predice las caídas de presión a dos fases gas-sólido en tuberías verticales con un error de ± 20%. La ecuación de Ergun predice con gran exactitud la caída de presión en lechos empacados. Existen otras correlaciones semi empíricas para encontrar las caídas de presión, entre las cuales destacan las de Konno-Saito, Capes-Nakamura, Mehta-SmithComings, Rose-Duckworth, Vogt-White, entre otras metodologías, que pueden ser consultadas por el lector interesado. CONSIDERACIONES GENERALES. La dispersión de partículas sólidas en aire puede dar lugar a mezclas cuyo comportamiento ante una flama, una superficie caliente o una chispa es similar al de combustibles mezclados con aire, es decir, explotan o se inflaman (incendian). El desconocimiento de los parámetros de explosividad e inflamabilidad de una mezcla de polvos con aire puede ocasionar graves daños físicos al equipo y a la planta de procesamiento. Los parámetros más importantes en la prevención de incendios y explosiones durante el manejo de sólidos particulados son la temperatura de auto ignición de la mezcla aire-polvo, la concentración explosiva mínima, la energía mínima para la ignición, la presión máxima generada por la 633

explosión y la velocidad máxima de aumento de presión durante la explosión. En la siguiente tabla se muestran valores típicos para diversos materiales particulados. Tabla 2.- Parámetros de explosividad e inflamabilidad para polvos dispersos en aire. Velocidad Presión Energía máxima de Temperatura Concentración máxima mínima aumento de la Material de explosiva generada para la presión particulado autoignición mínima por la ignición durante la 3 (°C) (kg/m ) explosión (mJ) explosión (atm) (atm/s) Ácido adípico 550 0.035 60 7.9 354 Aluminio 610 0.040 10 12.2 1514 Aserrín fino 430 0.040 40 7.5 375 Azúcar 350 0.035 35 6.0 336 Azufre 190 0.020 15 6.7 551 Café 410 0.085 85 3.4 17 Carbón 610 0.055 55 5.8 148 mineral Corcho 460 0.035 35 9.5 737 Dextrina 410 0.050 40 8.7 387 Fécula de 380 0.040 30 10.2 737 maíz Harina de 380 0.050 50 6.3 247 trigo Magnesio 520 0.020 40 17.3 1853 Nylon 500 0.030 20 6.4 266 Poliestireno 490 0.015 15 6.1 474 Polietileno 390 0.020 10 5.3 503 Polvo de 430 0.055 55 6.5 188 cereales Zinc 600 0.480 650 3.4 118 2 Para convertir atmósferas en kgf/m , multiplicar por 10332.7.

La velocidad de aumento de la presión durante la explosión depende del volumen del recipiente donde se encuentre la mezcla aire-polvo. Para proteger a las líneas y recipientes por donde fluyan este tipo de mezclas, el diseño y/o selección de los dispositivos de relevo de presión se efectúa empleando la siguiente ecuación: K  P   St  t  1   máx V 3

 atm   s   

(182)

En donde: [P / t]máx = velocidad de aumento de la presión durante la explosión. KSt = índice de deflagración en atm m/s. V = volumen de la línea o recipiente en m3. El índice de deflagración es un valor experimental propio de cada polvo, y depende tanto de la naturaleza del sólido como del diámetro promedio de las partículas, además del gas empleado en su arrastre. Entre más seco sea el gas 634

empleado y entre menor sea la conductividad eléctrica del polvo, mayor será la probabilidad de explosión de la mezcla gas-sólido. Una manera de disminuir el riesgo de explosión e incendio es el empleo de gases inertes en las líneas de transporte neumático. Los gases más comúnmente empleados en este caso son nitrógeno y dióxido de carbono. Otra causa de explosión es la generación de electricidad estática en las líneas y equipos debida al rozamiento de las paredes con las partículas. Este fenómeno es importante cuando se manejan sólidos cuya energía mínima de ignición es menor a 25 mJ. Para prevenir desastres por electricidad estática, los equipos y las líneas deben estar conectados a tierra. Para mayores detalles sobre el tema de la seguridad en el manejo de mezclas gas-sólido, se invita al lector a consultar las obras de Cross y Farrer, de Kunii y Levenspiel, y las dos de Rhodes. Durante el transporte y fluidización de sólidos pueden presentarse los fenómenos de agrandamiento de partículas y el de degradación de las mismas. El primero de ellos se presenta al colisionar las partículas o al haber humedad entre ellas. El segundo fenómeno consiste en la disminución del tamaño de partícula y ocurre cuando chocan las partículas entre sí o con la pared del equipo. La degradación produce partículas más finas, las cuales pueden ser susceptibles de inflamarse o de hacer explosión si su diámetro de partícula es menor a 200 m, además pueden producir daños a la salud de los trabajadores si su tamaño va de 0.5 m a 5 m, pues se alojan en los pulmones causando daños irreparables a sus tejidos. Un fenómeno de particular interés en el diseño de líneas de transporte neumático es el de la erosión. Casi la totalidad de los materiales transportados son abrasivos, causando graves daños a las paredes internas de las tuberías. Este fenómeno depende fuertemente de la velocidad real de las partículas y del material de la tubería. La velocidad de erosión del material del tubo aumenta al incrementarse la velocidad real de los sólidos. Los codos y uniones en U son más vulnerables a la erosión, debido a la sedimentación de los sólidos causada por la acción de la fuerza centrífuga sobre las partículas al fluir por estos rios. Para evitar o disminuir los efectos de la erosión en este tipo de uniones, es recomendable emplear Tes ciegas en lugar de codos, pues en la rama ciega de las Tes se forma un colchón de partículas sedimentadas. De esta manera, los sólidos que fluyen por la tubería chocan contra el colchón de partículas al pasar por la te ciega, en lugar de colisionar contra la pared de un codo. Asimismo, deben evitarse las uniones entre tramos descendentes y horizontales de tubería, pues existe una gran tendencia de las partículas a sedimentarse sobre el tramo horizontal, provocando con ello la erosión de este tubo. Otro factor importante es el patrón de flujo presente en la línea. Todos los fenómenos anteriormente citados pueden evitarse o disminuir su efecto si se selecciona el patrón de flujo adecuado. En líneas horizontales, son recomendables para diseño los flujos homogéneo y con dunas transversales, debido a su relativa 635

estabilidad. Deben evitarse los flujos heterogéneo y con dunas longitudinales por su gran tendencia de precipitación de partículas, causando fluctuaciones en la presión y volviendo al flujo muy inestable. También se sugiere evitar los flujos tapón y ariete por provocar severas vibraciones en la tubería, con lo cual el sistema de transporte neumático sufre graves daños; además, tampoco deben diseñarse las líneas con los flujos onda y lecho móvil, porque son muy inestables y tienden a bloquear la línea. Generalmente, se recomienda que las líneas de transporte neumático sean de 4 pulgadas de diámetro, cédula 40 ó 60, por donde el aire fluya a una velocidad no mayor a 25 m/s, en una proporción másica sólidogas menor a 40. En líneas verticales ascendentes, son recomendables los transportes en fase diluida y denso ascendente, por su relativa homogeneidad en el flujo. En caso de tratarse de lechos fluidizados, se sugieren las fluidizaciones particulada, con burbujeo y a chorro, debido a su estabilidad y buen mezclado de las partículas. Deben evitarse el flujo anular y las fluidizaciones rápida y turbulenta, pues son patrones muy erosivos e inestables; además tampoco es recomendable el flujo bala, a causa de su intermitencia y de provocar vibraciones en la tubería. El lecho con canales puede ser evitado mediante un sistema de golpeteo sobre la pared externa de la tubería, separando de esta manera a las partículas y permitiéndoles su fluidización. En el caso de líneas verticales descendentes, dos o más patrones de flujo pueden estar presentes en la tubería, los cuales no presentan mayores inconvenientes para el diseño. En general, el transporte neumático de partículas sólidas tiene como ventajas un diseño simple, económico y automatizable, y sus líneas ocupan poco espacio. La operación de estas líneas en fase densa tiene la gran ventaja de un bajo requerimiento de flujo de gas, y por consiguiente, una menor velocidad de las partículas y una menor erosión. Como desventaja principal está el alto costo en energía eléctrica de movilización de la mezcla gas-sólido. Esta desventaja queda superada por la eliminación de los costos de combustible para el transporte de sólidos en vehículos de carga, además, la cantidad de operarios es mínima comparada con el acarreo en costales o en vehículos. Esto resulta en un mejor aprovechamiento de los recursos humanos y económicos, y en una menor degradación de los sólidos, aumentando de esta manera la producción y las utilidades de la planta procesadora. Problemas propuestos. Problema 13. ¿Cuál será el patrón de flujo esperado si fluyen 8 kg/h de aire, a 1 atm y 25°C, por una tubería horizontal de 4 pulgadas cédula 40, y en la cual son acarreadas partículas de carbón mineral, cuyo diámetro es de 210 m y con una densidad de 640 kg/m3? Resultado. En el mapa de Thomas, el flujo obtenido es dunas transversales.

636

Problema 14. Determinar el patrón de flujo presente en una tubería horizontal de 6 pulgadas cédula 40 por la cual fluye aire con una velocidad friccional de 4.3 m/s. El aire transporta partículas de dióxido de uranio, con un diámetro promedio de 150 m y una densidad de 3520 kg/m3. La densidad del aire es de 1.23 kg/m3 y su viscosidad es de 0.0175 . Resultado. El patrón de flujo presente en la línea es homogéneo.

Problema 15. Por una tubería horizontal de 3 pulgadas cédula 40 fluyen 900 kg/h de arena, con un diámetro promedio de partícula de 100 m y una densidad de 2500 kg/m3. La arena es acarreada por aire, el cual fluye con una velocidad superficial de 14.8 m/s, cuya densidad es de 1.2 kg/m3 y su viscosidad de 1.84x10-5 kg/ (m s). Determinar la caída total de presión si la longitud del tubo es de 30 m. Resultado. La caída de presión en la línea es de 4042.66 kgf/m2, correspondiente a flujo homogéneo.

Problema 16. Calcule la caída de presión en una tubería horizontal de 1.5 pulgadas de diámetro cédula 40 y 250 m de longitud, por la que fluyen 500 kg/ (m2 s) de cuentas de vidrio cuyo diámetro promedio de partícula es de 587 m y con una densidad de 2483 kg/m3. Las cuentas de vidrio son arrastradas por aire, a 5 atm y 25°C, con una velocidad superficial de 3.2 m/s. Resultado. La caída total de presión resultante es de 37103.0 kgf/m2, correspondiente a flujo con dunas longitudinales.

Problema 17. Un carro-tanque surte trigo a una industria de alimentos. Los granos son transportados neumáticamente a través de una tubería horizontal de 6 pulgadas cédula 40 a razón de 350 kg/h. El gas de arrastre es nitrógeno cuyo flujo es de 2000 kg/h, y se encuentra a 2 atm y 25°C. Determinar el patrón de flujo y la caída total de presión por cada metro de tubería si el diámetro promedio de los granos es de 4.8 mm y su densidad de 750 kg/m3. Resultado. El patrón presente en la línea es el de flujo heterogéneo, y la caída total de presión es de 25.12 kgf/m2 por cada metro de tubería.

Problema 18. Por una línea vertical asciende gas a una velocidad superficial de 0.9 m/s, a través de un lecho de partículas sólidas. La densidad del gas es de 1.5 kg/m3 y su viscosidad es de 0.02 . El diámetro promedio de las partículas es de 60 m, con una densidad de 1500 kg/m3. Determinar el patrón de flujo presente en la tubería. Resultado. El patrón de fluidización turbulenta está presente en la línea vertical.

Problema 19. Determine el patrón de flujo presente en una tubería vertical empacada con partículas sólidas, a través de cuyos intersticios asciende un gas con una velocidad superficial de 0.5 m/s. Las propiedades de ambas fases son: densidad del gas = 1 kg/m3; viscosidad del gas = 0.025 s; diámetro promedio de las partículas = 450 m; densidad de las partículas = 1500 kg/m3. Resultado. El patrón de flujo presente en la línea es el de fluidización con burbujeo. El punto donde se intersectan las coordenadas cae dentro del área de flujo bala, por lo que

637

pudiera presentarse dependiendo de lo angosto del tubo o de lo profundo del lecho de partículas.

Problema 20. Por una línea vertical descendente de 4 pulgadas cédula 40 fluyen 1.5 kg/h de nitrógeno y 250 kg/h de sulfato de sodio en polvo. El gas se encuentra a 1 atm de presión y 25°C de temperatura. Las partículas del compuesto químico tienen un diámetro promedio de 105 m y una densidad de 1320 kg/m3. ¿Cuál es el patrón de flujo presente en la tubería? Resultado. El patrón corresponde al flujo en lecho sin burbujeo.

Problema 21. Determinar la caída de presión en una línea vertical de 4 pulgadas cédula 40 por la que ascienden 500 kg/h de dióxido de carbono a 1 atm y 25°C. Este gas es empleado para acarrear 250 kg/h de cemento cuyo diámetro de partícula es de 80 m y su densidad de 1240 kg/m3. La longitud de la tubería es de 35 m. Resultado. La caída total de presión a dos fases es de 161.43 kgf/m2, correspondiente al transporte en fase diluida.

Problema 22. ¿Cuál sería la caída de presión en 10 metros de tubo vertical de 3 pulgadas cédula 40, por la que fluyen 900 kg/h de arena, acarreados por 305 kg/h de aire en ascenso? El diámetro promedio de las partículas de arena es de 100 m y su densidad es de 2500 kg/m3. La densidad del aire es de 1.2 kg/m3 y su viscosidad de 1.84x10-5 kg/ (m s). Resultado. La caída total de presión en la tubería es de 137.5 kgf/m2, correspondiente al patrón de transporte en fase diluida.

Problema 23. Calcule la caída de presión en un lecho empacado con granos de trigo, contenido en una tubería de 8 pulgadas cédula 40, y con una profundidad de 2 m. La densidad del trigo es de 750 kg/m3 y su diámetro de partícula es de 4.8 mm. A través del lecho fluyen 10 kg/h de aire a 1 atm y 25°C. Resultado. La caída de presión en el lecho empacado es de 26.20 kgf/m2.

Problema 24. Determinar la caída de presión y el patrón de flujo desarrollados en una tubería vertical descendente de 8 m de longitud y 6 pulgadas de diámetro cédula 40, por la cual fluyen 100 kg/h de cemento y 150 kg/h de dióxido de carbono. Las partículas de cemento tienen un diámetro promedio de 88 m y una densidad de 1440 kg/m3. El gas se encuentra a 1 atm y 25°C. Resultado. El patrón presente en la línea es el flujo en lecho con burbujeo, y la caída total de presión desarrollada es de 9.59 kgf/m2.

638

Capítulo XX Filtración.

639

Introducción. En los procesos industriales nos encontramos a menudo con la necesidad de la separación de los sólidos contenidos en una suspensión sólido –fluido. Para ello se utiliza con frecuencia la filtración. La filtración es una operación unitaria en la que una mezcla heterogénea de un fluido con partículas de sólidos en suspensión, tienen que separarse por un medio filtrante que permite el paso del fluido, pero que retiene las partículas de sólidos. La filtración podría considerarse como un tamizado por vía húmeda en la cual el tamiz (de pequeñísima luz de malla) se convierte en la superficie de filtración. La filtración, se diferencia de las otras formas de separación mecánica tales como la sedimentación o la centrifugación por el empleo de un medio filtrante. La filtración puede emplearse para separar sólidos suspendidos en líquidos o sólidos suspendidos en gases, siendo la primera la más frecuente y a la que nos referiremos en este capítulo. OBJETIVO

EQUIPO Filtros prensa, filtro Rotatorio, filtro de arena Filtros de hojas

Condiciones De Operación Presión, Filtro ayuda , temperatura, operación intermitente, continuo

.

LEYES DE LA NATURALEZA Flujo a través de sólidos. Caídas de presión.

La filtración se emplea preferentemente para: a. Clarificar líquido (cuando el contenido de sólidos es bajo). b. Recuperar los sólidos. c. Recuperar los líquidos. d. Recuperar ambas fases. 640

e. Para facilitar otras operaciones tales como: pre secado o lavado de materiales solubles depositados sobre los sólidos. Equipos. Una clasificación de los filtros puede ser: I.- Los filtros que operan por gravedad. II.- Los que operan impulsados por una fuerza exterior. III.- Los que actúan por medio del vacío. En cada uno de los casos el medio filtrante retiene las partículas de sólido formando con ellas una torta porosa. El criterio para la selección del filtro depende de la operación requerida, ya que si la resistencia a la filtración es pequeña, la fuerza impulsora podría ser simplemente la gravedad. En caso que la resistencia sea grande, se adiciona a la fuerza de gravedad el vacío y si aún no es suficiente, se le aplica la presión. Existen diversos tipos de filtros, entre los más comunes tenemos:  Filtros rotatorios (generalmente operados al vacío y continuos).  Filtros de hojas.  Filtros de arena (filtros intermitentes utilizados para purificar agua).  Filtros de marcos y placas (filtros prensa, intermitentes). Un ejemplo típico de filtros por gravedad es el filtro de arena abierto empleado para purificar agua. Este tipo de filtros son de los más sencillos y antiguos pero de empleo actual muy extendido. Especialmente en el tratamiento de agua, en donde se requiere la manipulación de grandes volúmenes con pequeña proporción de materias en suspensión puesto que normalmente se ha verificado con anterioridad una sedimentación cuando menos. Consisten en depósitos de varias formas, tamaños y disposiciones: rectangulares o cilíndricos, de eje vertical u horizontal, abiertos o cerrados que se construyen en diferentes materiales: mampostería, cemento, madera y chapa de acero. La masa filtrante es soportada por un fondo falso que permite la salida del filtrado. La granulometría de la arena desempeña el papel principal y debe determinarse en función de la naturaleza del líquido, la velocidad de filtración y la pérdida de presión isible. Las piedras gruesas, grava y arena se colocan en ese orden, de abajo a arriba. La capa de arena retiene entre los poros las impurezas, lo cual hace disminuir el espacio libre para el flujo del líquido. A medida que progresa la operación, la velocidad de filtración disminuye y la perdida de presión aumenta hasta que llega un momento en que es preciso detener la operación y proceder al lavado del filtro regenerando la masa filtrante.

641

Figura 6.1. Esquema de un filtro abierto de arena. Dentro de los filtros a presión los más importantes son los filtros de placas, de hojas y de placas y marcos o filtros prensa. Un filtro prensa consiste en dos barras horizontales que sirven de soporte a las placas y los marcos. Entre cada placa y marco se coloca el medio filtrante que servirá para retener los sólidos. El número de placas y marcos varía de acuerdo con la capacidad del filtro. El espesor del marco determina a su vez el espesor de la torta. La suspensión es alimentada al filtro por medio de una bomba que la introduce a través de los orificios de los marcos. El fluido filtrado pasa a través del medio filtrante (lonas de telas o de algún material polimérico) y deposita los sólidos dentro del marco. El filtro prensa es un ejemplo de filtro intermitente.

Figura 6.2. Sección de un filtro prensa de marcos y placas. De los diversos filtros, el filtro prensa de placas y marcos es probablemente el más barato por unidad de superficie filtrante y es el que requiere un mínimo de terreno para su instalación. Otras ventajas son: 1.- Bajo costo inicial. 2.- Mayor área de filtración por metro cuadrado de terreno. 3.- Operación con menor número de operarios. 642

4.- Eficiente lavado de la torta. 5.-.Se puede operar aún con exceso de sólidos. 6.- Trabaja a diferentes condiciones, en caliente, en frío y a alta y baja presión.

Figura 6.3.- Filtro prensa de placas y marcos. El filtro prensa está formado por una base de hierro cuya forma permite que se acomoden alternativamente marcos y placas, adaptando lonas de filtración sobre los lados de cada placa. Dichas placas son de dos clases, placas lavadoras y placas de filtrado. El conjunto se mantiene acoplado por aplicación del esfuerzo mecánico de un tornillo o también por medio de una prensa hidráulica. El lavado de la torta suele hacerse sobre el mismo filtro, haciendo pasar el líquido de lavado a través de la torta obtenida. Si es necesario secar la torta se puede meter aire a presión para que expulse el líquido retenido en la torta.

Figura 6.4. Esquema de un filtro prensa.

643

Entre los filtros al vacío el tipo más simple consiste en un tanque de fondo falso muy parecido al Buckner usado en el laboratorio instrumental. A pesar de que este filtro es relativamente barato y fácil de operar, su capacidad es muy baja.

Figura 6.5. Esquema de un filtro al vacío.

Para manejar grandes cantidades de suspensión, el filtro de hojas o el filtro de tambor rotatorio son los más usados.

Figura 6.6. Filtro de hojas de tanque vertical. Los filtros de hojas están constituidos por un depósito que contiene las bolsas u hojas filtrantes sumergidas en el líquido a filtrar, el cual pasa a través de estas bolsas por la acción de la presión reinante en el interior del depósito o por un vacío producido en el interior de las bolsas. Entre los filtros que operan a presión tenemos el Sweetland, Kelly, Vallez y Shriver principalmente y entre los de vacío el Moore. 644

Las bolsas u hojas están constituidas por un cuadro o marco de madera o metálico que soporta un entramado o tela metálica para impedir que el tejido filtrante que lo envuelve se colapse. El tejido puede montarse de forma que quede una superficie lisa (hoja) o bien formando pliegues (bolsa). En este último caso la superficie filtrante aumenta de forma notable lo que permite recoger grandes cantidades de sólido suspendido. De todas formas, se produce ya en el depósito una importante separación de sólidos por simple decantación y por la caída de la torta adherida a la tela filtrante lo que permite aumentar el rendimiento del filtro. El filtro de tambor rotatorio de compartimiento múltiple, como su nombre lo indica, está dividido en diferentes compartimientos, cada uno separado por ductos especiales y conectados individualmente a la válvula múltiple que controla el ciclo de operación. El tambor se encuentra suspendido en el interior del tanque de suspensión a un nivel controlado. La filtración real ocurre en la sección sumergida del tambor; los sólidos se depositan sobre el medio filtrante y el filtrado se descarga por líneas especiales a un tanque recolector. El filtro de tambor rotatorio es un ejemplo de filtración continua.

Figura 6.7. Esquema del funcionamiento de un filtro de tambor rotatorio de alimentación exterior. Medios filtrantes. Las características de un medio filtrante dependen de las propiedades del material empleado en su confección. La selección del medio filtrante se hace tomando en cuenta el tamaño de las partículas que se desean retener, la resistencia a la acción de los productos químicos, la facilidad de limpieza y la resistencia al uso. Entre los medios filtrantes más empleados están, las telas metálicas, las telas naturales y sintéticas, las placas de celulosa, las hojas de papel, etc. Con frecuencia en la filtración se emplean los llamados filtro ayuda o coadyuvantes de la filtración, que son materiales inertes finamente divididos, que no se compactan ni comprimen por la presión .Se emplean cuando el precipitado es de naturaleza coloidal o gelatinosa y dificulta o llega a imposibilitar la filtración. 645

Para evitar este inconveniente este tipo de material se agrega a las suspensiones que presentan problemas de compresibilidad en la filtración. Generalidades. La filtración es una operación que podría considerarse como un caso especial del flujo de fluidos a través de lechos empacados estáticos, En la inmensa mayoría de los procesos, el tamaño de las partículas sólidas es suspensión es muy pequeña y el flujo del fluido que pasa a través de la torta filtrante suele ser laminar. Por ello se puede emplear la ecuación de Ergun para calcular la caída de presión:

P (1  e) 2   150 us L e 3 D 2 gc Esa ecuación relaciona la pérdida de presión a través del lecho poroso, con su espesor L, la velocidad del fluido referida al área de la sección normal del lecho u s, la densidad y la viscosidad del fluido ρ, μ, la fracción hueca del lecho e y el diámetro equivalente de las partículas que forman el lecho D.

Teniendo en cuenta que el diámetro equivalente D de la partícula es: D

6 So

En donde So es la superficie específica de la partícula la ecuación anterior puede ponerse como: P So 2 (1  e) 2   4.17 us L gc e3 Como la fracción de huecos y la superficie específica del lecho puede variar dentro del mismo, se puede dar una mayor generalización a la ecuación anterior escribiéndola como: P So 2 (1  e) 2  k us L gc e3

Despejando us se tiene que:

us 

gc e 3 P L kSo2  (1  e) 2

Pero como, la velocidad us está definida como: caudal 1 dV us   sec ción A d 646

Igualando queda:

gc e P caudal 1 dV = us   2 sec ción A d L kSo  (1  e) 2 3

us 

Puede ponerse en la forma: us 

En donde K =

Pgc caudal 1 dV =K  sec ción A d L

e3 kSo2 (1  e) 2

De acuerdo con esta ecuación, la velocidad referida al área de sección normal al flujo es directamente proporcional a la diferencia de presiones entre la parte superior e inferior del lecho, e inversamente proporcional al espesor del lecho y a la viscosidad del fluido. La aplicación de esas ecuaciones se limita a fluidos que fluyen a través de lechos porosos y que presentan una resistencia constante al flujo y en donde el caudal de fluido es siempre constante para una temperatura y diferencia de presiones dada. Cuando el fluido que circula a través del lecho lleva partículas sólidas en suspensión, las que son retenidas por el lecho, la resistencia ofrecida al flujo irá aumentando progresivamente, a medida que van acumulándose las partículas sólidas sobre el lecho, con lo cual irá disminuyendo el caudal del fluido, aunque la temperatura y la diferencia de presiones se mantengan constantes. Para poder aplicar las ecuaciones anteriores a la filtración es necesario modificarlas. L En la ecuación el término que representa la resistencia constante al flujo a K través del medio poroso se sustituye por dos términos, uno que corresponde a la resistencia ofrecida por el medio filtrante y otro que corresponde a la resistencia ofrecida por la torta que se va formando sobre el filtro. La ecuación se transforma en: us 

Ptotal gc caudal 1 dV Ptorta gc Pmedio gc =    sec ción A d rtorta rmedio rtorta  rmedio

La diferencia de presiones entre la parte superior e inferior de la torta ΔP torta, o la del medio filtrante ΔPmedio no puede medirse directamente; la única diferencia de presiones medible, es la existente entre la presión de entrada al sistema de filtración y la presión de salida o de descarga. La resistencia del medio filtrante (tela, papel, porcelana porosa, etc.) se considera que es constante y se representa por: Rmedio= μRm 647

En general esta resistencia es una fracción muy pequeña de la resistencia total. La resistencia de la torta depende del espesor y de la naturaleza de la torta y aumenta con el transcurso de la filtración por ir aumentando el espesor. L rtorta   RT   torta K El espesor de la torta Ltorta es una variable que no puede determinarse con exactitud en la práctica de la filtración, pero como es proporcional al volumen filtrado, puede expresarse en función de este. La masa del sólido depositada sobre el filtro será igual a la masa del sólido que estaba contenida en el volumen V de filtrado, más la masa de sólido contenida en el volumen de suspensión retenida por la torta; es decir: M  V

s s s (m  1) s  eLtorta A  V  M 1 s 1 s 1 s 1 s

También: M 

s V  wV 1  ms

Dónde: ρ= densidad del fluido  kg sólido   s= fracción másica del sólido en la suspensión  kg suspensión   torta húmeda m= torta sec a w = masa de sólido referida al volumen de filtrado.

La masa de sólido depositada sobre el filtro vendrá dada por: M = Ltorta A (1 –e) ρs

siendo ρs la densidad del sólido.

Por lo tanto: M = Ltorta A (1 –e) ρs= M  Despejando Ltorta

L

s V  wV 1  ms

s 1 1 V wV A(1  e)  s 1  m s A1  e s

e3 Como K = kSo2 (1  e) 2 Por lo tanto

RT 

L wV kSo2 (1  e) 2  K A(1  e)  s e3

648

Las propiedades que dependen de las características de la torta se pueden incluir en un factor. kSo2 (1  e) 1   3 K s (1  e) s e Denominado resistencia específica de la torta (de dimensiones L / M) y que representa la resistencia ofrecida por unidad de masa de la torta seca depositada sobre la unidad de área de sección normal al flujo a través de la torta.  wV  M Por lo tanto RT  siendo las unidades de RT las de 1 / L.  A A Entonces: Ptotal gc 1 dV  A d  w V    Rm   A  La resistencia del medio filtrante Rm se puede poner en función de la resistencia ofrecida por una capa hipotética de torta que corresponde al volumen V e de filtrado necesario para formar esa torta hipotética; es decir:   sVe  w Ve  M e Rm    A(1  ms) A A Siendo Me la masa de sólido depositada por el volumen Ve. Sustituyendo queda:

Ptotal gc Ptotal gc 1 dV   A d   w V  Ve    ( M  M e ) A A Tortas compresibles e incompresibles. En general, el valor de α (resistencia específica de la torta) no permanece constante a lo largo del proceso de filtración, ya que tanto So como e dependen de la presión aplicada sobre las partículas que forman la torta y del grado de floculación de la suspensión. Esto indica que el valor de α empleado en los cálculos debe ser el valor medio correspondiente. En los lechos de partículas rígidas, So y e no están afectados por la compresión y por ello α permanece constante, si este es el caso la torta se denomina incompresible, si α depende de la presión de filtración la torta se denomina compresible. El efecto de la presión sobre la resistencia específica de la torta está dado por:

   o P n

649

Siendo αo la resistencia específica a la presión cero, o la resistencia específica de la torta si fuera totalmente incompresible, y n es el factor de compresibilidad el cual hay que determinar experimentalmente. Para determinar el efecto del cambio de presión, es necesario correr varias pruebas bajo diferentes presiones y calcular α. Al graficar log α frente al log ΔΡ obtendremos una recta de pendiente n y ordenada al origen αo.

log α n

log ΔΡ Filtración a presión constante. En la práctica la filtración puede efectuarse controlando la diferencia de presiones de modo que esta permanezca constante durante todo el proceso. Al mantener la presión constante la velocidad de filtración disminuye al ir aumentando el espesor de la torta y con ello la resistencia a la filtración. Para el estudio de la filtración en estas condiciones podemos partir de la ecuación siguiente: Ptotal gc 1 dV  A d  w V    Rm   A  Que puede expresarse en la forma:

 w  Rm d  V 2 dV PgcA PgcA Para tortas incompresibles y filtración a presión constante resulta: d  k1V  k 2 dV

Siendo

k1 

  s Rtorta   w   2 2 PgcA PgcA (1  ms) PgcV A

Y

650

k2 

 Rm PgcA



 w PgcA 2

Ve  k1Ve

El cálculo de estas constantes puede efectuarse a partir de los datos experimentales realizados a presión constante, midiendo el volumen filtrado en función del tiempo. d Si representamos en ordenadas frente al volumen de filtrado en las abscisas, dV obtendremos una recta de pendiente k1 y ordenada al origen k2.

d dV

k1

k2 V

Ejemplo 1. En una experiencia de laboratorio efectuada al filtrar una suspensión de Ca CO 3 en agua a 25 ° C y con una diferencia de presiones de 4 atm, un área de filtración de 0.0439 m2, y una concentración de 23.47 kg /m 3 se obtuvieron los siguientes resultados: Tiempo en Volumen filtrado en segundos litros 4.4 0.5 9.5 1 16.3 1.5 24.6 2 34.7 2.5 46.1 3 59 3.5 73.6 4 89.4 4.5 107.3 5

651

Utilizando los datos experimentales calcule α y Rm. 1.- Traducción.

CaCO3 en agua ΔP= 4 atm. A = 0.0439 m2

2.- Planteamiento. 2.1.- Constantes de filtración.

d dV

k1

k2 V 2.2.- Resistencia específica de la torta.

  k1

gcA2 Ptotal w

2.3.- Rm k2 

 Rm PgcA

3.- Cálculos. 3.1.- Constantes de filtración. Los datos experimentales se deben recalcular en forma de Tiempo segundos

en Volumen x 10-3 en Δθ m3

d dV

ΔV x 10-3

 en V

s/m3 0 4.4 9.5 16.3

0 0.5 1 1.5

4.4 5.1 6.8 652

0.5 0.5 0.5

8830 10160 13570

24.6 34.7 46.1 59 73.6 89.4 107.3

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

8.3 10.1 11.4 12.9 14.6 15.8 17.9

0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5

16630 20280 22620 25590 29320 31730 35310

A partir de estos datos se puede construir la gráfica siguiente:

A 25 °C la viscosidad del agua es de 0.8937 s =8.937 x 10-4 kg / m s. 3.2.- Resistencia específica de la torta. De la gráfica Kp = k1= 6.28 x 106

gcA2 Ptotal    k1 w

6.28  106  9.81 0.04392  4  10333  2.31 1011 m /kg 23.47  8.937  104

3.2.- Rm de la gráfica B=5475 = k2 = k1Ve k2 

por lo tanto Rm= 5475

 Rm PgcA

4  10333 9.81 0,0439  1.08  1011 m 1 4 8.937  10

653

4.- Resultados. El valor de la resistencia del medio filtrante Rm es de 1.08 x 10 -1 m-1. El valor de la resistencia específica de la torta α es de 2.31 x 1011 m /kg.

Ejemplo 2. A partir de experimentos efectuados a 20 ° C, con un filtro de 0.03 m 2 de área, con una suspensión acuosa que contiene 8 % en peso de sólidos y operando a diferentes presiones se obtuvieron los siguientes datos: ΔP , Diferencia de presiones en K1 kg/cm2 0.5 60 1.5 30 3.0 20 A partir de los datos anteriores calcule α en función de ΔP. 2.- Planteamiento. 2.1.- Resistencia específica de la torta.

k1 gcA2 P  w 2.2.- Relación entre α y ΔP.

   0 P n Por lo que:

log   log  0  n log P

3.-Cálculos. 3.1.- Resistencia específica de la torta. 60  9.81 (0.03) 2 m  0.5  104  3.31 106 3 kg 1  10  0.08 2 30  9.81 (0.03) m 2   1.5  104  4.96  106 3 kg 1  10  0.08 2 20  9.81 (0.03) m 3   3.0  10 4  6.6  106 3 kg 1  10  0.08

1 

3.2.- Relación con la presión. Si se grafican los valores de log α frente a los de log ΔP se obtiene una recta de pendiente n = 0.375 y una ordenada al origen log α 0 =6.64, por lo que α0 = 4.37 x 106 m / kg De manera que:   4.37  10 6  P 0.375

654

4.-Resultado. La relación entre α y ΔP es:   4.37  10 6  P 0.375

Ejemplo 3. Al efectuar unas pruebas de filtración en el laboratorio a la presión constante de 2 atm con unos lodos que contienen 200 g de sólidos por litro de suspensión, se encontró que el la torta se comporta como incompresible, que tiene una fracción de hueco del 30%, una resistencia específica de 4 x 1010 m /kg y una resistencia del medio filtrante equivalente a 3 mm de espesor de la torta. Calcule el área requerida para obtener 100 kg /h de torta seca, filtrando una suspensión de características similares a las empleadas en las pruebas, si la densidad de los sólidos es de 5000 kg /m3 y si se emplea una diferencia de presiones de 2 atm. 1.- Traducción. A=?

100 kg 2.- Planteamiento. 2.1.- Filtración a presión constante.

 w  Rm d  V 2 dV PgcA PgcA Para tortas incompresibles y filtración a presión constante resulta: d  k1V  k 2 dV

Siendo

k1 

 w PgcA

y

k2 

2



  s PgcA (1  ms)

 Rm PgcA

2



 w PgcA 2

3.- Cálculos.

655



Rtorta  PgcV A

Ve  k1Ve

3.1.- Valor de k1. Como el líquido es agua. Ρ= 1000 kg /m3 ; μ=10-3 kg /m s =3.6 kg /h m

s

ms  m ms  1000   s  s 

m

  



kg de sólido 200  0.1724 200  1000  40 kg de suspensión

(1  e)  s  e 0.7  0.5  0.3  1 kg de torta húmeda   1.085 (1  e)  s 0.7  0.5 kg de torta sec a

w

s 1 m s



kg de sólido 1000 0.1724  0.212 1  1.085  0.1724 litro de filtrado

m kg kg  3.6  212 3 11.62 h kg mh m   k1  kgm kg A2 m 6 127 106  2  A2 (m 4 )  2 10333 2 kg h m 4 1010

3.2.-Masa contenida en el espesor equivalente de 3 mm de torta.

(1  e)  s ALe Esta masa ha de ser igual a la que deposita un volumen equivalente de filtrado más la masa que contiene el líquido retenido por la torta de ese espesor:

s  Ve  wVe 1 m s Por lo tanto Ve (1  e)  s Le 0.7  500  3  10 3    0.0542m A w 212

3.3..-Volumen de filtrado que depositan 100 kg de torta seca:

V

1  m s M 100    0.472m 3 s w 212

3.4.-Area requerida.

656

A partir de:

d  k1V  k 2 dV

Para calcular el volumen total de filtrado se ha de integrar la ecuación anterior. Si consideramos que empezamos a contar el tiempo en el instante en que se ha formado una torta de espesor tal que la resistencia ofrecida a la filtración sea igual a la del medio filtrante, o sea cuando el volumen de filtrado sea Ve. El tiempo necesario para recoger ese volumen Ve será e y sea V el volumen de filtrado recogido en el instante de tiempo comprendido entre 0 y . Si se prescinde del volumen de líquido retenido por la torta, entonces: 

V Ve

 d  

0

e

k1 (V  Ve )dV

k1 (V  Ve ) 2 2

 e  Como para  = 0, V = 0 resulta que:



k1Ve 2

2

Y entonces:



k1 2 V  k1VVe 2

Sustituyendo en la ecuación: 5.41 11.62  0.472  0.0542 1  2  0.4722  A A 2 A  1.336 m 4.- Resultado. Se requieren 1.336 m2. Filtración a velocidad constante. La filtración a velocidad o caudal constante de alimentación al filtro se puede realizar haciendo que la alimentación se realice por medio de una bomba de desplazamiento positivo hasta que la presión en la alimentación alcance un valor límite. La filtración a velocidad constante se inicia a presión baja, la cual va elevándose a medida que transcurre el proceso (por aumentar el espesor de la torta y con ello la resistencia a la filtración) para mantener constante la velocidad de filtración. Este régimen de filtración presenta la desventaja de que al principio, cuando la resistencia es pequeña y se podrían obtener grandes volúmenes de filtrado operando a presiones altas, se trabaja a presiones bajas y con ello se disminuye el rendimiento global del filtro. Para el estudio de la filtración en estas condiciones podemos partir de la ecuación:

657

Ptotal gc Ptotal gc 1 dV   A d   w V  Ve    ( M  M e ) A A Que se puede poner como:   w dV P  (V  Ve ) gcA2 d Si la velocidad de filtración permanece constante (

dV  cte. ) d

Y la torta es incompresible, la ecuación anterior puede escribirse como:

P  k 3V  k 4 Siendo: k3 

  w  dV    gcA 2  d  cte

 Rm dV   w  dV   k 3Ve  Ve  2  gcA d gcA  d  cte El cálculo de las constantes de filtración de la ecuación anterior puede efectuarse a partir de los datos experimentales realizados a velocidad de filtración constante, si se conoce como varía la presión de filtración con el volumen de filtrado. Una vez determinadas las constantes k3 y k4, puede calcularse el volumen de filtración en función de la presión aplicando directamente la ecuación: P V  Ve k3 La relación entre el volumen de filtrado y el tiempo de filtración es: k4 

 dV  V     d  cte  dV  V  Ve    (   e )  d  cte

De la ecuación

Ptotal gc Ptotal gc 1 dV   A d   w V  Ve    ( M  M e ) A A Se obtendrá que:

  w  dV  P       e  gcA 2  d  Si la torta es incompresible y la velocidad de filtración es constante. 2

658

P  k 5  k 6 Siendo:

k5 

  w  dV    gcA 2  d 

2

  w  dV     e  k 5 e gcA 2  d  2

k6 

Al representar P frente a  se obtiene una pendiente k5 y ordenada en el origen k6. Ejemplo 4. En un filtro de hojas se estudian las características de una suspensión efectuando una corrida en el laboratorio a velocidad de filtración constante de 1 litro / min. Los resultados de la corrida son: Tiempo, 2 4 6 8 10 12 14 min 0.75 1.1. 1.38 1.9 2.2 2.65 3.0 P, atm Una vez conocidas las características de la suspensión y del filtro, el ciclo de filtración se realiza de la forma siguiente: a) Se comienza filtrando a la velocidad constante de 2.5 litros por minutos, hasta que la diferencia de presiones sea de 2.5 atm. b) Se continúa después la filtración a la presión constante de 2.5 atm, hasta que el volumen filtrado sea de 80 litros. Calcule el tiempo necesario para forma una torta cuya resistencia sea igual a la ofrecida por el medio filtrante. El volumen de filtrado a velocidad constante y el tiempo de filtración a presión constante. 1.- Traducción. P= 2.5 atm V=2.5 li /min

V=80 litros

659

2.-Planteamiento. 2.1.- Ecuación de filtración a velocidad constante. P = k5  + k6 2.2.- Tiempo de filtración en el período de presión constante. d  k1V  k 2  k1V  k1Ve dV

Integrando entre las condiciones iniciales y finales: k  f   i  1 (V f2  Vi 2 )  k1 (Ve )(V f  Vi ) 2 En donde:  w k1  P gcA2 3.- Cálculos. 3.1.- Volumen equivalente. De acuerdo con la ecuación aplicable a la filtración de tortas incompresibles a velocidad constante. Si se representa P frente a  obtendremos:

Al representar ΔP frente a θ se obtiene que: 660

e 

k 6 0.375   2 min utos k 5 0.187

El volumen equivalente será: Ve = 1 x 2 = 2 litros. Para el período de filtración a la velocidad constante de 2.5 litros / minutos el valor de: w Debe ser el mismo que el calculado en las experiencias de laboratorio: gcA2 atm min  0.187 atm  min = 2 2 gcA litro2 2  litros  1    min 

w

0.1871

Lo que:

atm  min atm  litro  k 5  0.187  (2.5) 2    1.1694 2 min litro  min  2

k6 = k5 θe=1.1.694 θe 3.2.- Para la filtración a velocidad constante de 2.5 litros por minutos. El volumen equivalente ha de ser el mismo que en el caso de los experimentos, pero al hacerse 2.5 veces mayor la velocidad de filtración, el valor de θe se hace 2.5 veces más pequeño. Por ello: 2 e   0.8 min 2 .5 k6 = 1.1694 (0.8) = 0.935 atm. 3.3.- Volumen de filtración a presión constante. ΔP = k5 θ + k6 ΔP = 1.1694 θ + 0.935 atm. El tiempo de filtración para alcanzar la presión de 2.5 atm será:



2.5  0.9355  1.3 min 1.1694

El volumen de filtrado a velocidad constante es: V = 2.5 litros / min (1.3 min) = 3.25 litros 661

k1 

 w P gcA2

=0.1871/2.5=0.075

θf = 0.075 ( 802-3.252)+0.075(2)(80-3.25)+1.3=251.9 min. 4.-Resultado. El tiempo es de 251.9 min.

Lavado de la torta El lavado de las tortas suele hacerse en el mismo filtro, haciendo pasar el líquido de lavado a través de la torta obtenida durante la filtración. El lavado se realiza a presión constante pero el líquido puede pasar a través de la torta siguiendo el mismo camino que ha seguido el líquido filtrado o siguiendo un camino diferente. En los filtros de hojas, de gravedad o de vacío el líquido de lavado sigue el mismo camino, mientras que en los filtros prensa de placas y marcos no sigue la misma trayectoria, ya que atraviesa toda la torta, mientras que el filtrado solo ha atravesado la mitad de la misma. En este tipo de filtros el, el área a través de la cual fluye el líquido de lavado es la mitad de la utilizada en filtración, y la velocidad de lavado es la cuarta parte de la velocidad final de filtración. Por ello el tiempo de lavado para los filtros en los que el líquido de lavado sigue el mismo camino que el filtrado:

 lavaio  Vlavado k1 (V  Ve )

Para los filtros de placas y marcos:

 lavado  Vlavado 4k1 (V  Ve ) Capacidad de filtración La capacidad de filtración está dada por:

C

V

 ciclo

En donde V es el volumen que se debe filtrar y θ ciclo es el tiempo total del ciclo de filtrado que es igual a la suma del tiempo de filtrado más el tiempo de lavado, más el requerido para carga, descarga y limpieza del filtro. Ejemplo 5. La velocidad inicial de filtración en un filtro de hojas que trabaja a presión constante es de 50 litros / minuto y para separar 500 litros de filtrado el tiempo de filtración es de una hora. Calcule la capacidad de filtración si la torta se lava a la misma presión con 75 litros de agua y si para la carga, descarga y limpieza del filtro se emplean 15 minutos. 662

1.- Traducción.

ΔV/Δθ =50 Vlav = 75 litros C=¿

V= 500 litros 2.- Planteamiento. 2.1.- Velocidad inicial de filtración. d  k1V  k 2 dV

2.2.- Tiempo de filtración



k1 2 V  k1VVe 2

2.3.- Tiempo de lavado.

 lav  Vlav k1 (V  Ve )  Vlav (k1V final  k 2 ) 2.4.- Capacidad C= Volumen/ tiempo total del ciclo

3.- Cálculos. 3.1.- Velocidad inicial de filtración. Para V=0 1  k 2  k1Ve 50

3.2.-Tiempo de filtración.

60 

k1 1 (500) 2  500 2 50 k1=0.0004

3.3.- Velocidad final de filtración. 663

Cuando el volumen filtrado es de 500 litros

d 1  0.0004(500)   0.22 dV 50 dV litros  4.54 d min 3.4.-Tiempo de lavado.

 lav  75(500  0.0004  0.02)  16.5 min 3.5.- Capacidad. C

500 litros  5.18 60  16.5  20 min uto

Rangos típicos de operación de los filtros prensa.       

Los filtros prensa son capaces de manejas sólidos finos a diferentes capacidades. Los límites que pueden considerarse son: Para más del 30% de sólidos los flujos llegan hasta 4 litros por minuto. Con concentraciones de sólidos hasta el 10% los flujos pueden llegar a 40 litros por minuto. Si las concentraciones de sólidos sólo llegan al 1% los flujos pueden ser hasta de 400 litros por minuto. Si la concentración de sólidos sólo llega hasta 100 ppm de sólidos entonces los flujos pueden llegar hasta 2000 litros por minuto. La siguiente gráfica puede ayudar a entender esto, así como los rangos de operación de otros tipos de métodos de filtrado. Las presiones de operación de 7 atm (100 psi) son comunes, pero se pueden alcanzar presiones de hasta 70 atm en algunos casos.

664

Grafica 1.- Rangos típicos de filtración

Problemas propuestos. Problema 1.- En un filtro prensa de placas y marcos se trabaja a la presión constante de 1.8 kg / cm2 para procesar 10 ton / h de una suspensión acuosa que contiene 3 % en peso de sólidos y que está a 20 ° C. La torta es incompresible y la resistencia específica de la torta es de 2.5 x 1010 m /kg. La relación de torta húmeda a torta seca es de 1.5 y la densidad de la torta húmeda es de 1200 kg / m3. Si se considera despreciable la resistencia ofrecida por el medio frente a la ofrecida por la torta, calcule: a) El número necesario de marcos si sus dimensiones son de 50 x 50 cm. b) El espesor de los marcos si están completamente llenos al cabo de 2 horas de filtración. Problema 2.- Una suspensión acuosa se filtra a presión constante en un filtro prensa a la temperatura de 20 ° C. Los marcos tardan en llenarse 2.5 horas y separan 1500 litros de filtrado por metro cuadrado de área de filtración. La torta formada es incompresible. Si los marcos se sustituyen por otros de la mitad del espesor, pero si se ponen el doble de marcos, ¿Cuál será la nueva capacidad de filtración, expresada en litros de filtrado / h m 2 suponiendo las mismas condiciones de filtración? Problema 3.- Los ensayos de laboratorio para una filtración de CaCO 3 en agua a presión constante de 2.5 kg / cm2 han dado los siguientes resultados: Volumen filtrado V Tiempo en segundos 0.2 2 0.4 4.6 665

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8

8.2 12.4 16.9 22.5 29.3 33.7 45.0 53 63.4 74 85 97.5

Los ensayos se hicieron en un filtro prensa con un solo marco de área igual a 0.03 metros cuadrados y 30 mm de espesor. La suspensión contenía 8% en peso de Ca CO3 y la relación de torta húmeda a torta seca fue de 2. Si se tratara la misma suspensión en un filtro prensa de 20 marcos con dimensiones de 60x60x3 cm efectuándose la filtración a 30 ° C y a una diferencia de presiones de 2.5 kg / cm2 calcule: La cantidad de suspensión que puede manejarse hasta llenar los marcos y el tiempo de filtración.

Problema 4.- Una suspensión con 7 % en peso de carbonato de calcio en agua a 20 ° C se filtra manteniendo la presión constante e igual a 2.5 atm. El filtro tiene un área de 200 cm2, la densidad de la torta seca es de 1600 kg / m 3 y la del carbonato de calcio sólido es de 2930 kg / m 3. A partir de los resultados experimentales que se presentan a continuación calcule: La fracción de huecos de la torta, el volumen Ve, la resistencia específica de la torta, la superficie específica de la torta.  V en litros Θ ΔV Δθ segundos V 0 0 0.2 2.3 0.2 2.3 11.5 0.4 5.5 0.2 3.2 16.0 0.6 9.8 0.2 4.3 21.5 0.8 14.6 0.2 4.8 24.0 1.0 20.0 0.2 5.4 27.0 1.2 26.7 0.2 6.7 33.5 1.4 34.7 0.2 8.0 40.0 1.6 43.2 0.2 8.5 42.5 1.8 53.3 0.2 10.1 50.5 2.0 63.4 0.2 10.1 50.5 2.2 75.0 0.2 11.6 58.0 666

2.4 2.6

87.4 100.5

0.2 0.2

12.4 62.0 13.1 65.5

Resultados.- La superficie específica de la torta es de 4.14 x 10 6 m2/m3. La resistencia específica de la torta es de 3.62 x 1010 m /kg. La fracción de huecos es de 0.454. El volumen de filtrado equivalente a la resistencia ofrecida por el medio filtrante es de 0.338 litros. Problema 5.- Al final del ciclo de filtrado del ejemplo 1 se recolecta un volumen total de filtrado de 3370 litros en un tiempo total de 271.8 segundos. La torta se lava en el filtro prensa de marcos y placas usando un volumen de agua igual al 10 % del volumen filtrado. Calcule el tiempo de lavado y el tiempo del ciclo total de filtración suponiendo que el tiempo de carga, descarga y limpieza toma 20 minutos. R.- El tiempo total del ciclo es de 28 minutos. Problema 6.- Al filtrarse una solución con una concentración de 23.47 kg de sólidos / m3 de Ca CO3 en agua a 25 ° C y a la presión de 0.45 kg / cm 2 absolutos en un filtro con 0.0439 m2 de área se obtuvieron los siguientes resultados en un filtro prensa de marcos y placas: Volumen en litros Tiempo en segundos 500 17.3 1000 41.3 1500 72 2000 108.3 2500 152 3000 201.7 Calcule las constantes Rm y α R.-α = 1.095 x 1011 m /kg , Rm = 6.46 x 1010 m-1. Problema 7.- Al efectuar la filtración con un filtro prensa se obtuvieron los datos siguientes: Tiempo en ΔP en kg / Filtrado en kg minutos cm2 0 1 0.422 4.54 3 0.562 13.63 5 0.703 22.7 6 0.773 27.25 10 1.05 45.4 20 1.76 90.8 30 2.46 136.3

667

Si el aparato debiera funcionar con una diferencia de presiones de 0.7 kg / cm 2 y si el tiempo necesario para la limpieza y lavado entre ciclo y ciclo es de 20 minutos ¿Cuál sería la duración del ciclo? (Suma de los tiempos de filtración, lavado y de limpieza). Problema 8.- Los resultados experimentales durante la filtración de Ca CO 3 en agua a 19 ° C fueron los siguientes: Volumen filtrado en Tiempo en litros segundos 0.2 1.8 0.4 4.2 0.6 7.5 0.8 11.2 1.0 15.4 1.2 20.5 1.4 26.7 1.6 33.4 1.8 41 2 48.8 2.2 57.7 2.4 67.8 2.6 77.3 2.8 88.7 Para los experimentos se empleó un filtro prensa con un área de 0.0264m 2 y un grueso de 3 cm, la suspensión tenía 7.23 5 en peso de carbonato. La densidad de la torta seca fue de 1600 kg /m3 mientras que la densidad del carbonato es de 2930 kg / m3 .La presión de operación fue de 2.72 atm Calcule el volumen equivalente Ve la resistencia específica de la torta  , la superficie específica de la torta y la porosidad de la torta. R.- La porosidad es de 0.453 ,  =1.61x1011 m/kg. Problema 9.- Se han obtenido los siguientes resultados al efectuar la filtración con diferencia de presión de 2.5 kg / cm2 en un filtro de 1 m2

Volumen de filtrado en m3 12 20 25 32 38 Calcule: 668

Tiempo en minutos 10 20 30 45 60

El volumen equivalente, El tiempo necesario para lavar la torta formada después de 1hora de filtración, si la cantidad de agua de lavado es de 3 m 3 a la misma diferencia de presión de 2.5 kg / cm2. Si el tiempo que se destina a descargar la torta y en volver a dejar el filtro dispuesto para continuar el trabajo es de 1 hora ¿Cuál es el tiempo en horas del ciclo completo de filtración? Bibliografía Perry, John -Chemical engineer’s handbook- Mc Graw Hill- 1963 Ocon y Tojo – Problemas de ingeniería química- Aguilar – 1905.

669

Apéndice I Capa límite

Capa límite. Aproximadamente hasta antes de 1860, el interés de la ingeniería por la mecánica de fluidos se limitaba casi exclusivamente al flujo del agua. La complejidad de los flujos viscosos, y en particular de los flujos turbulentos, restringió en gran medida los avances en la dinámica de fluidos hasta que el ingeniero alemán Ludwig Prandtl observó en 1904 que muchos flujos pueden separarse en dos regiones principales. La región próxima a la superficie está formada por una delgada capa límite donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el modelo matemático. Fuera de esta capa límite, se pueden despreciar los efectos de la viscosidad, y pueden emplearse las ecuaciones matemáticas más sencillas para flujos no viscosos. La teoría de la capa límite ha hecho posible gran parte del desarrollo de las alas de los aviones modernos y del diseño de turbinas de gas y compresores. El modelo de la capa límite no sólo permitió una formulación mucho más simplificada de las ecuaciones de Navier-Stokes en la región próxima a la superficie del cuerpo, sino que llevó a nuevos avances en la teoría del flujo de fluidos no viscosos, que pueden aplicarse fuera de la capa límite. Gran parte del desarrollo 670

moderno de la mecánica de fluidos, posibilitado por el concepto de capa límite, se ha debido a investigadores como el ingeniero aeronáutico estadounidense de origen húngaro Theodore von Kármán, el matemático alemán Richard von Mises y el físico y meteorólogo británico Geoffrey Ingram Taylor. En los antecedentes históricos esta datado que a partir de 1860, aproximadamente, se comenzó el trabajo con otros fluidos, debido al desarrollo de la industria y el surgimiento de nuevas necesidades en los procesos; lo cual conlleva al conocimiento del comportamiento de dichos fluidos que comparados con el agua o el aire son más viscosos. Sin embargo ofrecen gran resistencia a un objeto que se mueva en su seno.

Ejemplo de capa límite laminar. Un flujo laminar horizontal es frenado al pasar sobre una superficie sólida (línea gruesa). El perfil de velocidad (u) del fluido dentro de la capa límite (área sombreada) depende de la distancia a la superficie (y). Debido al rozamiento, la velocidad del fluido en o con la placa es nula. Fuera de la capa límite, el fluido se desplaza prácticamente la misma velocidad que en las condiciones iniciales (u0). En mecánica de fluidos, la capa límite o capa fronteriza de un fluido es la zona donde el movimiento de éste es perturbado por la presencia de un sólido con el que está en o. La capa límite se entiende como aquella en la que la velocidad del fluido respecto al sólido en movimiento varía desde cero hasta el 99% de la velocidad de la corriente no perturbada. La capa límite puede ser laminar o turbulenta; aunque también pueden coexistir en ella zonas de flujo laminar y de flujo turbulento. En ocasiones es de utilidad que la capa límite sea turbulenta. En aeronáutica aplicada a la aviación comercial, se suele optar por perfiles alares que generan una capa límite turbulenta, ya que ésta permanece adherida al perfil a mayores ángulos de ataque que la capa límite laminar, evitando así que el perfil entre en pérdida, es decir, deje de generar sustentación aerodinámica de manera brusca por el desprendimiento de la capa límite. El espesor de la capa límite en la zona del borde de ataque o de llegada es pequeño, pero aumenta a lo largo de la superficie. Todas estas características 671

varían en función de la forma del objeto (menor espesor de capa límite cuanta menor resistencia aerodinámica presente la superficie: ej. forma fusiforme de un perfil alar). La capa límite se estudia para analizar la variación de velocidades en la zona de o entre un fluido y un obstáculo que se encuentra en su seno o por el que se desplaza. La presencia de esta capa es debida principalmente a la existencia de la viscosidad, propiedad inherente de cualquier fluido. Ésta es la causante de que el obstáculo produzca una variación en el movimiento de las líneas de corriente más próximas a él. La variación de velocidades, como indica el principio de Bernoulli, conlleva una variación de presiones en el fluido, que pueden dar lugar a efectos como las fuerzas de sustentación y de resistencia aerodinámica. Teoría de la capa límite. En 1904 Ludwig Prandlt indicó que los efectos de la fricción que ejerce un fluido a altos Reynolds están limitados a una capa delgada cerca del cuerpo sobre el que se desliza un fluido. Además indicó que no hay cambios significativos de presión en la capa de separación lo que significa que la presión en esta capa es la misma que en el fluido que está arriba de la capa. La capa de separación sobre una placa delgada se muestra en la figura siguiente. El grueso de esa capa  es tomada arbitrariamente como la distancia desde la superficie de la placa en la cual la velocidad alcanza el 99% de la velocidad de fluido libre. En el caso de la transferencia de calor esa capa es igual a la distancia en donde T =0.99 T0 , siendo la temperatura del fluido T0. En la siguiente figura se ilustra como aumenta el grueso de la capa al aumentar la distancia x desde el eje de entrada. A relativamente valores pequeños de x el flujo dentro de la capa de separación es laminar, y esto se designa como la región de la capa de separación laminar. A valores mayores de x aparece una región de transición. Finalmente a un cierto valor de x la capa será turbulenta. En la región en donde la capa de separación es turbulenta , también existe , como se muestra, una capa muy delgada de fluido que se mueve a régimen laminar y que se llama sub capa laminar.

Los criterios para este tipo de capas es la magnitud del número de Reynolds, 672

(Rex )conocido como Reynolds local y que está basado en la distancia desde el eje de entrada. El número de Reynolds local es: xv  Re x  Para el flujo sobre placas planas los datos experimentales indican que: (a) Re x  2  105 la capa es laminar; (b) 2  105  Re x  3  106 la capa de separación puede ser o laminar o turbulenta. ( c ) 3  106  Re x la capa de separación es turbulenta. Para determinar el espesor de la capa y el coeficiente de fricción para flujo incompresible sobre una superficie plana se deben satisfacer simultáneamente las ecuaciones de continuidad, de cantidad de movimiento y de energía.

La deducción de la ecuación de transferencia de energía dentro de la capa límite se efectuó en el capítulo anterior. De lo anterior se obtiene que las ecuaciones que rigen dentro de la capa límite son: u x u y   0 ecuación de continuidad (1) x y

ux ux  2ux ux  uy   2 la ecuación de cantidad de movimiento (2) x y y 9 Blausius utilizó las ecuaciones (1) y ( 2 ) para resolver el caso del flujo en la capa límite laminar. Las condiciones límites son: 9

Richard Heinrich Blasius (1883-1970) ingeniero y catedrático alemán . Su principal área de interés fue el estudio de las resistencias, en relación al flujo de fluidos.

673

ux u y  0 a u u ux 1 a u

y0

y

ux 1 x  0 u la semejanza entre las ecuaciones (1 ) y (2) es notoria Blausius empleó la solución si :    en donde    viscosidad cinemática y  Al graficarse u x como función función de si se divide y por el grueso de la capa hidrodinámica  y u x se divide entre u se obtiene la siguiente curva:

matemáticamente esto es: ux  y  f  u   Con esto la ecuación de momento se reduce a una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden mediante una transformación de variables que combinan a las variables para formar otra. 1

  u  2  . y  x 

674

La solución del problema para flujo laminar sobre una placa plana con u x , u y como funciones de x, y las obtuvo Blausius por primera vez reduciendo las ecuaciones (1) y (2) a una sola ecuación diferencial no lineal la cual resolvió como una serie . Los detalles de la deducción están fuera de la aplicación de este libro. Antes de presentar la solución se debe notar que la nueva variable 1

  u  2  puede manipularse para introducir el Reynolds local definido por:   y  x  u x multiplicando y dividiendo por x la variable nos da: Re x  x  1

1

1  u   2 x y   ux x  2 y   Re x 2   y x    x  x x x  

La ux u

figura siguiente muestra la solución presentando la relación funcional entre 1  y ,   Re x 2 en forma tabular y gráfica: x

675

El perfil de velocidades mostrado en la figura puede utilizarse para determinar cómo crece la capa de separación hidrodinámica con la distancia de entrada. 1 u  y Se observa que x es igual a 0.99 cuando   Re x 2 es igual a 5. u  x Y puesto que y   cuando u x  0.99u se concluye que:



5x x 5 u Re x

El retardo que sufre el fluido al pasar sobre la placa se debe solamente a la fricción superficial y esta se calcula en función del esfuerzo cortante sobre la superficie cuando y  0 para cualquier valor de x  u 

La información de la figura se puede usar para determinar el  0    x   y  y  0 esfuerzo cortante en la pared. De la figura se observa que la pendiente de la u función X en la superficie es: u

u   x   u  /  0.332 1 y 0  y   Re x 2 x entonces: 1 u x u  / y  0  0.332   Re x 2 (5) y  x  de allí que 676

 0  0.332 u

 u x

Sin embargo a mayor distancia del objeto la turbulencia aumenta debido a que dentro de la capa límite se incrementa la velocidad, lo cual se ve reflejado en el espesor (Distancia del seno o superficie hasta el punto donde la velocidad del fluido difiere de una velocidad constante o media) de ésta que también crece, que es explicado por la desaceleración que sufre el fluido a causa del esfuerzo cortante o sea la viscosidad. Es este fenómeno el que despertó el interés por el estudio en la manifestación de la capa límite. Para mayor claridad se pueden analizar los siguientes objetos.

ESPESOR DE LA CAPA LÍMITE. Ya con estos ejemplos y comentarios es posible entender el por qué este fenómeno es más complejo que el comportamiento de cualquier otro tipo de flujo; sin embargo hasta este punto no hemos tocado para nada la parte cuantitativa o práctica del fenómeno. Definiendo como capa límite la elevación por encima de la frontera que cubre una región del flujo donde existe un gradiente de velocidad alto y, en consecuencia, efectos viscosos que se tienen en cuenta; esta es difícilmente delimitable dentro de los perfiles que presentan los flujos. Sin embargo existen varias "definiciones" de la capa límite que son bastante útiles, como: 677

-Considerar que el espesor es la distancia desde la pared hasta donde la velocidad del fluido es igual al 99% de la velocidad de la corriente libre. -El trabajo realizado por Blassius para calcular el espesor de la capa límite laminar se basó en las ecuaciones de Navier–Stokes y las ecuaciones de continuidad donde después de una solución analítica encontró:

Haciendo una recopilación de conceptos sobre la capa límite tenemos: 

Tiene un espesor muy pequeño del orden de micras.



Se sienten intensamente los efectos de la viscosidad y rozamiento aunque sea pequeña, ya que el gradiente de velocidades es grande. La resistencia a la deformación debida a la viscosidad tiene lugar, en todo el seno del fluido real; pero la viscosidad es pequeña, solo tiene importancia en una película fina, es decir, se tiene un rozamiento de superficie.



Fuera de esta película, un líquido poco viscoso, como el aire o el agua, se comportan como un fluido ideal.



Fuera de la capa límite se pueden aplicar todos los métodos matemáticos y experimentales que permitan trazar las líneas de corriente alrededor del contorno y obtener la distribución de presiones en las cercanías de las paredes sólidas del cuerpo.



Utilizando la distribución de velocidades y de presiones por la teoría del fluido ideal en las vecindades de la pared, se puede determinar la evolución del fluido en la capa límite y los esfuerzos ejercidos sobre la pared; ya que la presión se transmite a través de ésta sin cambiar de dirección.

Por último se puede concluir que en la capa límite tienen lugar exclusivamente los fenómenos de viscosidad en los fluidos poco viscosos, tales como el aire y el agua.

678

Ejemplo 1. Se tiene una placa delgada y plana paralela al flujo de aire. La velocidad del aire es de 2m/s y está a300 K y 1 atm. Calcule el grueso de la capa hidrodinámica de flujo. 1.- Traducción.

2.- Discusión. Si se supone el flujo sobre la superficie se puede obtener el grueso de la capa si se obtiene el Reynolds. 2.1.- Grueso de la capa

3.-Cálculos. 3.1.- Reynolds.

3.2.- Grueso de la capa.

4.-Resultado. El grueso de la capa de separación es de 5.4 mm. Esto es pequeño comparado con la longitud de la capa (menos del 4%). Los fluidos al pasar sobre los sólidos ejercen una fuerza sobre ellos llamada fuerza de arrastre. Por ejemplo la fuerza de arrastre sobre una placa sería: En donde L es la longitud y W el ancho de la placa. El Reynolds que se aplica es:

679

El coeficiente de arrastre CD está definido como:

En donde el coeficiente de arrastre es: Ejemplo 2. ¿Cuál es la fuerza que ejerce el aire sobre una placa de 70 mm de ancho por 150 mm de profundidad? El aire fluye a 2 m /s a 300 K y 1 atm. 1.- Traducción.

2.- Discusión. La fuerza de arrastre se ejerce sobre las dos caras. 2.3.- Fuerza. 3.- Cálculos. 3.1.- Coeficiente =1.328

=1.328(19000)-0.5=0.0096

3.2.- Fuerza por una cara. 3.3.- Fuerza por las dos caras. F = 4.74 x 10-4 N

Ejercicios de autoevaluación. 1.- ¿Qué velocidad se requiere para tener un grueso de capa de 2mm en la longitud de la placa de 0.15 m? Hágalo para agua a 15 ° C y 1 atm. 2.-Si fluye agua a la velocidad de 2 m /s sobre una placa de 15 cm de longitud a 15 ° C y 1 atm. ¿Cuál será el espesor de la capa de separación?

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