Exercice 4082f

Université de Monastir Faculté des Sciences Economiques et de Gestion - Mahdia -

Économètrie Cahier d’Exercices et Tables Statistiques Auditoire : 3ème Année MG Abdellatif Elloumi 1

Année Universitaire : 2012-2013 1. E-mail : [email protected]

1

1er Semestre

Série 1 : Régression Linéaire Simple Exercice 1 : Un agronome s’intéresse à la liaison pouvant exister entre le rendement de maïs x (en quintal) d’une parcelle de terre et la quantité d’engrais y (n kilo). Il relève 10 couples de données consignés dans le tableau suivant : Rendement x

16

18

23

24

28

29

26

31

32

34

Engrais y

20

24

28

22

32

28

32

36

41

41

1. Tracer le nuage de points et le commenter. 2. Calculer le coefficient de corrélation simple et tester sa signification par rapport à 0 pour un seuil de α = 0,05.

Exercice 2 : Le tableau suivant présente le revenu moyen ainsi que la consommation moyenne par habitant entre 1995 et 2004 exprimés en dollars pour un pays : Année

Revenu Consommation

Année

Revenu Consommation

1995

8 000

7 389.99

2000

11 000

9 616.21

1996

9 000

8 169.65

2001

12 000

10 593.45

1997

9 500

8 831.71

2002

13 000

11 186.11

1998

9 500

8 652.84

2003

15 000

12 758.09

1999

9 800

8 788.08

2004

16 000

13 869.62

1. A partir des données du tableau, on demande de calculer les estimateurs a et b du modèle suivant : Ct = a + bRt + t 2. La propension marginale à consommer est elle significativement différente de 0 ? 3. Quel est l’intervalle de confiance au seuil de 95% pour la propension marginale à consommer ?

2

Exercice 3 : Disposant d’un échantillon de 20 observations, on se propose d’estimer l’équation suivante par la méthode des moindres carrés ordinaire, MCO : yi = a + bxi + i

i = 1, ..., 20

i est une variable aléatoire non corrélée, de moyenne nulle et de variance σ 2 . On donne les quantités suivantes : 20 X

xi = 186.2 ;

i=1

20 X

20 20 X X 2 yi = 21.9 ; (xi − x¯) = 215.4 ; (yi − y¯)2 = 86.9 ;

i=1

i=1

i=1

20 X (xi − x¯)(yi − y¯) = 106.4 i=1

1. Estimer les paramètres a et b. 2. Donner une estimation de la variance du coefficient estimé a ˆ. 3. Calculer le coefficient de détermination R2 , que peut-on déduire ?    H : a = 0  H : a=1 0 0 4. Tester les hypothèses suivantes : ;  H : a 6= 0  H : a 6= 1 1 1

Exercice 4 : A prix constants, la consommation C d’un bien J, est une fonction des revenus des ménages R. On obtient les observations suivantes à partir d’un échantillon de 7 ménages :

Consommation C

0.8

1.2

1.5

1.8

2.2

2.6

3.1

Revenu R

1.7

2.7

3.6

4.6

5.7

8.1

12.0

1. Représenter le nuage de points sur un graphique. Quelle relation préconisez-vous entre C et R ? 2. Estimer les trois équations suivantes par la méthode des MCO : (a) Ci = a + bRi

(b) Ci = aRib

(c) Ci =

Ri a+bRi

3. En utilisant le critère du coefficient de détermination, quel modèle retenez-vous dans la question précédente ? 3

4. A partir du modèle qui sera retenu, donnez l’expression du coefficient d’élasticité du bien J. Estimer l’élasticité revenu du bien J et déterminez la nature de ce bien ? 5. Donner une prévision ponctuelle du bien J pour un ménage qui a un revenu = 20.

4

Pratique de la Régression Linéaire Simple Exemple 1 : Afin d’estimer le modèle économétrique suivant : yi = a + bxi + i

i = 1, ..., 8.

On dispose des données suivantes : i

1

2

3

4

5

6

7

8

xi

2

4

5

3

7

6

8

10

yi

2

3

4

2

5

4

5

6

On construit le tableau de calcul suivant : (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

i

yi

xi

(yi − y¯)

(xi − x¯)

(xi − x¯)2

(yi − y¯)(xi − x¯)

1

2

2

-1.875

-3.625

13.140625

6.796875

2

3

4

-0.875

-1.625

2.640625

1.421875

3

4

5

0.125

-0.625

0.390625

-0.078125

4

2

3

-1.875

-2.625

6.890625

4.921875

5

5

7

1.125

1.375

1.890625

1.546875

6

4

6

0.125

0.375

0.140625

0.046875

7

5

8

1.125

2.375

5.640625

2.671875

8

6

10

2.125

4.375

19.140625

9.296875

Somme

31

45

0

0

49.875

26.625

Moyenne 3.875 5.625

Les résultats de l’estimation sont :

8 X (xi − x¯)(yi − y¯)

ˆb =

i=1 8 X i=1

8 X (xi − x¯)yi

= (xi − x¯)2

i=1 8 X

8 X

=

(xi − x¯)xi

i=1

xi yi − 8¯ xy¯

i=1 8 X i=1

a ˆ = y¯ − ˆb¯ x = 3.875 − 0.5338 × 5.625 = 0.8721

5

= x2 x2i − 8¯

26.625 = 0.5338 49.875

Ensuite, on peut construire les statistiques suivantes ainsi :   yˆ = a ˆ + ˆbxi i i = 1, ..., 8.  ˆ = y − yˆ i i i i

1

2

3

4

5

6

7

8

yˆi

1.939

3.007

3.541

2.473

4.609

4.075

5.162

6.21

ˆi

0.06

-0.007

0.458

-0.473

0.39

-0.075

-0.142

-0.21

Enfin, on peut calculer aussi : 1. σ ˆ2 =

SCR = 0.11 8−2

2. V\ ar(ˆb) =

σ ˆ2 8 X

=

(xi − x¯)2

0.11 = 0.0022 49.875

i=1





8 X

σ ˆ × x2i   2   1 x¯ i=1 = 3. V\ ar(ˆ a) = σ ˆ2  = 0.0833 8 + X  8 8 X   8× (xi − x¯)2 (xi − x¯)2 2

i=1

i=1





    x¯2 \ 2 ˆ  = −0.0123 4. Cov(ˆ a, b) = −ˆ σ  8  X  2 (xi − x¯) i=1

5. R2 = 1 −

SCR 0.661 =1− = 0.955 SCT 14.875

6

Exemple 2 : àfin d’estimer le modèle économétrique suivant : yt = a + bxt + t t

yt

xt

1

7 389.99

8 000

2

8 169.65

9 000

3

8 831.71

9 500

4

8 652.84

9 500

5

8 788.08

9 800

6

9 616.21

11 000

7

10 593.45

12 000

8

11 186.11

13 000

9

12 758.09

15 000

10 13 869.62

16 000

t = 1, ..., 10.

On construit le tableau de calcul suivant : (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

t

yt

xt

(yt − y¯)

(xt − x¯)

(xt − x¯)2

(yt − y¯)(xt − x¯)

1

7 389.99

8 000

-2 595.585

-3 280

10 758 400

8 513 518.8

2

8 169.65

9 000

-1 815.925

-2 280

5 198 400

4 140 309

3

8 831.71

9 500

-1 153.865

-1 780

3 168 400

2 053 879.7

4

8 652.84

9 500

-1 332.735

-1 780

3 168 400

2 372 268.3

5

8 788.08

9 800

-1 197.495

-1 480

2 190 400

1 772 292.6

6

9 616.21

11 000

-369.365

-280

78 400

103 422.2

7

10 593.45

12 000

607.875

720

518 400

437 670

8

11 186.11

13 000

1 200.535

1 720

2 958 400

2 064 920.2

9

12 758.09

15 000

2 772.515

3 720

13 838 400

10 313 756

10

13 869.62

16 000

3 884.045

4 720

22 278 400

18 332 692

Somme

99 855.75

112 800

0

0

64 156 000

50 104 729

Moyenne 9 985.575

11 280

7

Les résultats de l’estimation sont :

ˆb =

10 X (xt − x¯)(yt − y¯)

10 X (xt − x¯)yt

10 X

t=1

t=1 10 X

t=1 10 X

10 X

= (xt − x¯)2

t=1

= (xt − x¯)xt

t=1

xt yt − 10¯ xy¯ = x2t − 10¯ x2

50104729 = 0.78 64156000

t=1

a ˆ = y¯ − ˆb¯ x = 9985.575 − 0.78 × 11280 = 1176.08

Exemple 3 : Afin d’estimer le modèle économétrique suivant : yt = a + bxt + t

t = 1, ..., 30.

On dispose des données suivantes : t

xt

yt

t

xt

yt

1

57 142.8

16 28

94.6

2

10

60.5

17 16

76.1

3

12

78.8

18 19

80.4

4

6

50

19 22

81.5

5

12

74.8

20 24

99.3

6

12

74.6

21 35

98.8

7

24

94

22 39 117.6

8

21

94.7

23 41 110.6

9

19

92.6

24 28

10

8

51.3

25 37 110.3

11 10

63.4

26 30 124.4

12 13

75.3

27 58 150.9

94.1

13 52 150.9

28 12

14 32 121.5

29 34 107.2

15

30 21

5

40.1

66.1

91.9

Les résultats de l’estimation sont :

\ ln(y t ) = 3.023 + 0.481ln(xt )

yˆt = 46.955 + 1.843xt (3.236) 2

(0.113)

R = 0.9

;

(0.072) 2

(0.023)

R = 0.937

8

; (.) : écart-type

Formules utiles 1- On note par : n X   Sxx = (xi − x¯)2 = nV (x)       i=1   SCT = Syy   n   X 2 Syy = (yi − y¯) = nV (y) =⇒ SCE = ˆb2 × Sxx = SCT × R2     i=1    SCR = S − ˆb2 × S = SCT × (1 − R2 )  n  X yy xx    (xi − x¯)(yi − y¯) = nCov(x, y)  Sxy = i=1   H :r =0 rx,y 0 x,y 1− α 2 2 - Pour tester : =⇒ T C = q à comparer avec t(n−2) 1−rx,y  H : r 6= 0 1

x,y

n−2

3 - Pour tester la significativité globale du modèle :

F

C

=

SCE 1 SCR n−2

=

R2 1 1−R2 n−2

=

n−2 R2 × 1 1 − R2

4 - Notons, qu’à chaque fois on ajoute une nouvelle variable explicative, le coefficient de détermination R2 augmente mécaniquement même si la variable ajoutée n’apporte aucune explication. On fait appel au coefficient de détermination ajusté (corrigé par le degr{e de liberté) qui n’augmente que lorsque la variable ajoutée est importante pour la ¯ 2 ) = (1 − R2 ) n − 1 régression : (1 − R n−2

9

Série 2 : Régression Linéaire Multiple Exercice 1 : Soit le modèle linéaire suivant : yi = a + bxi + i

i = 1, ..., n

1. Retrouver les expressions des estimateurs des MCO ainsi que leurs variances (en utilisant l’écriture matricielle). 2. Exprimer le résidu en fonction du terme d’erreur i .

Exercice 2 : Afin d’étudier comment varie le coût de maintenance d’un véhicule utilitaire en fonction de l’âge de celui-ci, une entreprise a collecté les données ci-dessous : Âge (en Mois) 15 Coût

48

8

36

41

16

8

21

21

53

10

32

17

58

6

20

43

77

89

50

40

56

62

100

47

71

58

102

35

60

Les valeurs suivantes ont été calculées : 15 X i=1

xi = 362 ;

15 X i=1

yi = 938 ;

15 X

x2i

= 12490 ;

i=1

15 X

yi2

= 64926 ;

i=1

15 X

xi yi = 27437

i=1

On cherche à estimer les coefficients d’une régression linéaire entre les variables x et y de la forme :yi = axi + b + i avec les hypothèses habituelles sur les perturbations. 1. Rappeler les hypothèses fondamentales d’application des MCO. 2. Estimer les paramètres du modèle. 3. Calculer le coefficient de corrélation linéaire. 4. Dresser le tableau d’analyse de la variance ANOVA. 5. Calculer la variance estimée des erreurs et donner la matrice de variance-covariance. 6. Donner les intervalles de confiance au seuil α = 0.05 pour σ2 , a et b. 7. Tester la significativité des paramètres a et b au risque α = 0.05. 8. Déterminer une prévision du coût de maintenance pour un véhicule de 4 ans avec un intervalle de confiance à 95%. 10

Exercice 3 : Soit le modèle linéaire suivant : yt = β0 + β1 x1t + β2 x2t + t

t = 1, ..., 10.

On donne : 10 X t=1

x1t =

10 X

x2t =

t=1

10 X

x1t x2t = 0 ;

t=1

10 X

x21t

= 20 ;

t=1 10 X

10 X

x22t

= 40 ;

t=1

x1t yt =

t=1

10 X

10 X

yt = 10 ;

t=1

10 X

yt2 = 165 ;

t=1

x2t yt = 40

t=1

1. Calculer les estimateurs des MCO (βˆ0 , βˆ1 et βˆ2 ). 2. Estimer la variance des erreurs (ˆ σ 2 ). 3. Tester la significativité des paramètres β1 et β2 . 4. Etablir le tableau d’analyse de la variance. En déduire le test de significativité globale à 5% de risque. 5. Calculer et interpréter le coefficient de détermination R2 .

Exercice 4 : Dans le cadre de la théorie Keynésienne de la préférence pour la liquidité, la demande de la monnaie est fonction du revenu et du taux d’intérêt. Supposons que l’équation de demande de la monnaie est linéaire : Mt = β0 + β1 Yt + β2 It + Ut Avec : Mt : représente les dépôts à vue (appelé M1 par les monétaristes) en milliards Yt : représente le produit national brut en milliards It : est le taux d’intérêt en pourcentage On dispose d’observations temporelles sur la période 1960 - 1983 : 1. Quels sont les signes attendus des coefficients β2 et β3 ? 2. écrire le modèle sous sa forme matricielle : Y = Xβ + U , et définir Y , X et β ainsi que leurs dimensions.



6473.1     0 On donne : (X Y ) = 11645890   47549.15

11



0.5183332 × 10−4

0.2546949

−0.4547996 × 10−1



   −6 −4  et (X 0 X)−1 =  0.5183332 × 10−4 0.2370928 × 10 −0.6226692 × 10    −1 −4 −1 −0.4547996 × 10 −0.6226692 × 10 0.2138782 × 10 SCR = 1388.6 (a) Estimez les coefficients du modèle par la méthode des MCO. (b) Est-ce que les coefficients estimés sont de bons signes, conformément à ce qui est attendu ? (c) De combien va varier la demande de monnaie lorsque le taux d’intérêt baisse de 1% ? 3. Donnez une estimation des variances des coefficients estimés du modèle et testez si chaque coefficient est significatif. 4. Prévoir la demande de monnaie dans les deux situations suivantes : (a) Y = 1000 milliards et I = 12%

(b) Y = 2000 milliards et I = 6%

5. Déterminez les élasticités de la demande par rapport au revenu aux points définis dans la question 4. 6. Calculez le coefficient de détermination du modèle sachant que V ar(Mt ) = 12923.142.

Exercice 5 : Soit le modèle linéaire suivant : yt = β0 + β1 x1t + β2 x2t + t

t = 1, ..., 14.

L’estimation du modèle conduit aux résultats suivants : yˆt = 25.84 + 0.715x1t − 0.328x2t (0.26)

t = 1, ..., 14

(0.13)

   2   R = 0.687 5.707687 −0.16341 −0.12221       0 −1 ; (X X) =  σ ˆ = 2.538 −0.16341 0.011001 0.002542        (.) : écart-type −0.12221 0.002542 −0.002809    x  x = 3 1,15 1,16 = 6 Soit les points suivants : (a) et (b)  x  x = 24 = 38 2,15

2,16

1. Discuter les résultats de l’estimation. 2. Donner des prévisions par intervalle au seul de 95% pour les points (a) et (b). 12

Exercice 6 : Pendant 23 ans, nous avons relevé sur une parcelle de terre, les rendements de la culture du blé (y), la température moyenne (x1 ) et le niveau d’humidité (x2 ). Les résultats de l’estimation sont les suivants :  yˆt = 27.3 + 0.51x1t − 0.35x  2t  0.2 −0.3 0.02  R2 = 0.937     et (X 0 X)−1 = −0.3 0.0009 0.08   SCT = 317.46   0.02 0.08 0.0025

t = 1, ..., 23

1. Existe-t-il une influence d’au moins un des facteurs sur les rendements ? 2. L’effet de la température est-il significativement deux fois plus élevé de celui de l’humidité ?

Exercice 7 : Le gérant d’une grande marque de voiture veut estimer la vente annuelle d’une région dès le 1er Avril en matière de pièces de rechange. En se basant sur les ventes régionales, la vente totale de la firme peut être estimée, Si, par référence à l’expérience ée, l’estimation faite en Avril est raisonnablement précise pour l’estimation de la vente annuelle alors cette estimation sera utilisée pour réviser le plan de la production et maintenir l’inventaire nécessaire aux différents points de vente. Plusieurs facteurs influent sur la vente des pièces tels que le nombre d’agences dans la région, le nombre de voitures enregistrées dans la région, et le total (les revenus personnels durant le premier trimestre de l’année,...). Dans ce cadre, 5 variables sont retenues commue les plus importantes. 1ère partie : Soit le modèle linéaire suivant : yi = β0 + β1 x1i + β2 x2i + β3 x3i + β4 x4i + β5 x5i + i

i = 1, ..., 10.

1. Exprimer le modèle sous forme matricielle en précisant les dimensions. 2. Exprimer l’estimateur des MCO du modèle. 3. Donner la forme de Hx telle que yˆ = Hx × y. 4. Exprimer les perturbations estimées en fonction de Hx . 13

5. Spécifier les variables les plus corrélées avec la vente sachant la matrice des corrélation suivante : Vente

Agences

Voitures

Revenu

Agences

0.899

Voitures

0.605

0.775

Revenu

0.964

0.825

0.409

Âge

-0.323

-0.489

-0.447

-0.349

Inspecteurs

0.286

0.183

0.395

0.155

6. Identifier les variables les plus corrélées entre elles. 7. Les liaisons entre "Agences" et "Revenu" et entre "Voitures" et "Agences" sont assez fortes, évoquent-elles un problème au niveau de l’identification du modèle ? Si oui, (a) Préciser cette notion. (b) Expliquer la ou les conséquences. (c) Quelles sont les solutions possibles face à ce problème. 2ème partie : L’emploi des 5 variables explicatives retenues permet d’obtenir la régression suivante : V\ entei = −19.672 − 0.000629Agencesi + 1.7399V oituresi + 0.40994Revenui + (5.422)

(0.002638)

(0.553)

(0.04385)

2.0357Agei − 0.0344Inspecteursi (0.8779)

(0.188)

(.) : écart-type 1. Compléter le tableau ANOVA suivant : Source de variation

ddl

Somme des carrés Carrés moyens

Variation expliquée

...

1593.81

...

Variation résiduelle

...

9.08

...

Variation totale

...

...

...

2. Calculer le coefficient de détermination. 14

3. Effectuer le test de significativité globale du modèle avec un niveau de risque de 5%. 4. Tester la significativité de chaque variable explicative avec un niveau de risque de 5%. 5. Interpréter la pertinence de chaque variable dans l’explication de la vente. Lorsque les variables "Agences" et "Inspecteurs" sont éliminées, la nouvelle régression obtenue est la suivante : V\ entei = −18.924 + 1.6129V oituresi + 0.40031Revenui + 1.9637Agei (3.636)

(0.1979)

(0.01569)

(0.5846)

(.) : écart-type 6. Compléter le tableau ANOVA suivant : Source de variation

ddl

Somme des carrés Carrés moyens

Variation expliquée

...

1593.66

...

Variation résiduelle

...

9.23

...

Variation totale

...

...

...

(a) Calculer le coefficient de détermination. (b) Effectuer le test de significativité globale du modèle avec un niveau de risque de 5%. (c) Tester la significativité de chaque variable explicative avec un niveau de risque de 5%. (d) Interpréter la différence entre des deux modèles.

Exercice 8 : Sur n = 100 observations, nous avons les statistiques suivantes : 2 2 V (y) = 1000; ry,x = 0.75; ry,x = 0.85; rx21 ,x2 = 0.45 et y¯ = 12 1 2

1. La régression linéaire simple de y sur x1 , donne : yˆt = 10x1t − 6, le coefficient de x1 est-il significativement différent de 0 ? 15

2. La régression linéaire simple de y sur x2 , donne : yˆt = 4x2t + 8, le coefficient de x2 est-il significativement différent de 0 ? 3. Calculer les coefficients du modèle : yt = β0 + β1 x1t + β2 x2t + t . (a) Calculer le R2 de cette régression. (b) Cette régression est-elle globalement significative ? (c) Les coefficients β1 et β2 sont-ils significativement différents de 0 ?

16

Série 3 : Variations sur la Régression Linéaire Multiple Exercice 1 : Soit le modèle linéaire suivant : yt = β0 + β1 xt + β2 zt + t

t = 1, ..., T . à l’aide d’un

test approprié, et avec un risque d’erreur de 5%, nous avons constaté la présomption d’un problème de multicolinéarité. Proposer et expliquer brièvement les différentes techniques capables de résoudre ce problème.

Exercice 2 : On considère le modèle de régression simple suivant : yi = a + bxi + ui

i = 1, ..., 50.

Oú les ui sont les termes d’erreurs qui vérifient les hypothèses du théorème de Gauss Markov. Il se trouve que l’on ne dispose pas des 50 observations sur les variables du modèle, on dispose uniquement de valeurs moyennes par groupe d’individus. Les données agrégées sont présentées dans le tableau suivant : nj désigne ici le nombre d’observations x¯j

2

3

1

5

9

y¯j

4

7

3

9

17

nj

12

6

11

10

11

par groupe d’individus. Compte tenue de la disponibilité des données on va donc estimer le modèle suivant : y¯j = a + b¯ xj + u¯j

j = 1, ..., 5 (groupes).

1. Donner la forme matricielle du modèle. 2. Déterminer l’expression de la matrice des variances covariances des termes d’erreurs. Que peut-on déduire ? 3. Estimer les paramètres du modèle par la méthode des MCO et exprimer la matrice des variances covariances des estimateurs. 4. Estimer à nouveau les paramètres du modèle par la méthode des moindres carrés généralisés, MCG. 17

5. Exprimer à nouveau la matrice des variances covariances des estimateurs. 6. Comparer les variances des coefficients estimés obtenues par les deux méthodes. Expliquer ce résultat.   H :b=0 0 7. Expliquer comment tester l’hypothèse :  H : b 6= 0 1

Exercice 3 : Soit le modèle linéaire suivant : yt = β0 + β1 x1t + β2 x2t + β3 x3t + ut ut AR(1) c’est à dire : ut = ρut−1 + t

t = 1, ..., 20.

\t bb.

1. La statistique de Durbin-Watson est égale à 0,87. à partir de cette statistique, peut-on donner une approximation de ρ ? Existe-t-il une autre méthode permettant d’estimer ρ ? La décrire. 2. On propose de suivre la procédure suivante :   ∆y = y − ρy t t t−1 (a) Former  ∆x = x − ρx j = 1, 2, 3. jt jt jt−1 (b) Résoudre le modèle obtenu par la méthode adéquate. 3. Quel est l’objectif de cette démarche ?

18

Annexes : Tables Statistiques Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

0,00 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918 0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981

(Probabilité F(z) de trouver une valeur 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984

inférieure 0,06 0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772 0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315 0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279 0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750 0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931 0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985

à z) 0,07 0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808 0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340 0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756 0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932 0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985

0,08 0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844 0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365 0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306 0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761 0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934 0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986

0,09 0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879 0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389 0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319 0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767 0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936 0,9952 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986

Table pour les grandes valeurs de z z 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 F(z) 0,9986 0,9990 0,9993 0,9995 0,9996 0,9997 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 z 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 F(z) 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 Note : La table donne F(z) pour z positif. Pour z négatif, il faut prendre le complément à l’unité de la valeur lue dans la table. Exemple :F (−1, 37) = 1 − F (1, 37) = 1 − 0, 9147 = 0, 0853.

19

Table de la loi de Student v 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(Valeurs de p=0,90 0,80 0,15 0,32 0,14 0,28 0,13 0,27 0,13 0,27 0,13 0,26 0,13 0,26 0,13 0,26 0,13 0,26 0,12 0,26 0,12 0,26

T ayant la probabilité p d’être déées en valeur absolue) 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,51 0,72 1,00 1,37 1,96 3,07 6,31 12,70 31,82 63,65 0,44 0,61 0,81 1,06 1,38 1,88 2,92 4,30 6,96 9,92 0,42 0,58 0,76 0,97 1,25 1,63 2,35 3,18 4,54 5,84 0,41 0,56 0,74 0,94 1,19 1,53 2,13 2,77 3,74 4,60 0,40 0,55 0,72 0,92 1,15 1,47 2,01 2,57 3,36 4,03 0,40 0,55 0,71 0,90 1,13 1,44 1,94 2,44 3,14 3,70 0,40 0,54 0,71 0,89 1,11 1,41 1,89 2,36 2,99 3,49 0,39 0,54 0,70 0,88 1,10 1,39 1,86 2,30 2,89 3,35 0,39 0,54 0,70 0,88 1,10 1,38 1,83 2,26 2,82 3,25 0,39 0,54 0,70 0,87 1,09 1,37 1,81 2,22 2,74 3,16

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0,12 0,12 0,12 0,12 0,12 0,12 0,12 0,12 0,12 0,12

0,26 0,26 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39

0,54 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53

0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,68 0,68 0,68 0,68

0,87 0,87 0,87 0,86 0,86 0,86 0,86 0,86 0,86 0,86

1,08 1,08 1,07 1,07 1,07 1,07 1,06 1,06 1,06 1,06

1,36 1,35 1,35 1,34 1,34 1,33 1,33 1,33 1,32 1,32

1,79 1,78 1,77 1,76 1,75 1,74 1,74 1,73 1,72 1,72

2,20 2,17 2,16 2,14 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09 2,08

2,71 2,68 2,65 2,62 2,60 2,58 2,56 2,55 2,53 2,52

3,10 3,05 3,01 2,97 2,94 2,92 2,89 2,87 2,86 2,84

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

0,12 0,12 0,12 0,12 0,12 0,12 0,12 0,12 0,12 0,12

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,38 0,38 0,38 0,38

0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53

0,68 0,68 0,68 0,68 0,68 0,68 0,68 0,68 0,68 0,68

0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85

1,06 1,06 1,06 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05

1,32 1,32 1,31 1,31 1,31 1,31 1,31 1,31 1,31 1,31

1,72 1,71 1,71 1,71 1,70 1,70 1,70 1,70 1,69 1,69

2,08 2,07 2,06 2,06 2,06 2,05 2,05 2,04 2,04 2,04

2,51 2,50 2,50 2,49 2,48 2,47 2,47 2,46 2,46 2,45

2,83 2,81 2,80 2,79 2,78 2,77 2,77 2,76 2,75 2,75

∞

0,12

0,25 0,38 0,52 0,67 0,84 1,03 1,28 1,64

1,96

2,32

2,57

Note : v est le nombre de degrés de liberté. Le quantile d’ordre 1 −

α 2

se lit dans la colonne p = α.

Le quantile dordre 1 − α se lit dans la colonne p = 2α.

20

Table de la loi de Fisher : α = 0, 05 v2 \v1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ∞

1 2 3 4 5 6 7 8 9 161,45 199,5 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 2,09 2,02 1,96 3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88

Note : v1 degrés de liberté du numérateur. v2 degrés de liberté du dénominateur.

21

Table de la loi de Fisher : α = 0, 05 (Suite) v2 \v1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ∞

10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞ 241,88 243,91 245,95 248,01 249,05 250,10 251,14 252,2 253,25 254,30 19,4 19,41 19,43 19,45 19,45 19,46 19,47 19,48 19,49 19,50 8,79 8,74 8,70 8,66 8,64 8,62 8,59 8,57 8,55 8,53 5,96 5,91 5,86 5,80 5,77 5,75 5,72 5,69 5,66 5,63 4,74 4,68 4,62 4,56 4,53 4,50 4,46 4,43 4,40 4,36 4,06 4,00 3,94 3,87 3,84 3,81 3,77 3,74 3,70 3,67 3,64 3,57 3,51 3,44 3,41 3,38 3,34 3,30 3,27 3,23 3,35 3,28 3,22 3,15 3,12 3,08 3,04 3,01 2,97 2,93 3,14 3,07 3,01 2,94 2,90 2,86 2,83 2,79 2,75 2,71 2,98 2,91 2,85 2,77 2,74 2,70 2,66 2,62 2,58 2,54 2,85 2,79 2,72 2,65 2,61 2,57 2,53 2,49 2,45 2,40 2,75 2,69 2,62 2,54 2,51 2,47 2,43 2,38 2,34 2,30 2,67 2,60 2,53 2,46 2,42 2,38 2,34 2,30 2,25 2,21 2,60 2,53 2,46 2,39 2,35 2,31 2,27 2,22 2,18 2,13 2,54 2,48 2,40 2,33 2,29 2,25 2,20 2,16 2,11 2,07 2,49 2,42 2,35 2,28 2,24 2,19 2,15 2,11 2,06 2,01 2,45 2,38 2,31 2,23 2,19 2,15 2,10 2,06 2,01 1,96 2,41 2,34 2,27 2,19 2,15 2,11 2,06 2,02 1,97 1,92 2,38 2,31 2,23 2,16 2,11 2,07 2,03 1,98 1,93 1,88 2,35 2,28 2,20 2,12 2,08 2,04 1,99 1,95 1,90 1,84 2,32 2,25 2,18 2,10 2,05 2,01 1,96 1,92 1,87 1,81 2,30 2,23 2,15 2,07 2,03 1,98 1,94 1,89 1,84 1,78 2,27 2,20 2,13 2,05 2,01 1,96 1,91 1,86 1,81 1,76 2,25 2,18 2,11 2,03 1,98 1,94 1,89 1,84 1,79 1,73 2,24 2,16 2,09 2,01 1,96 1,92 1,87 1,82 1,77 1,71 2,22 2,15 2,07 1,99 1,95 1,90 1,85 1,80 1,75 1,69 2,20 2,13 2,06 1,97 1,93 1,88 1,84 1,79 1,73 1,67 2,19 2,12 2,04 1,96 1,91 1,87 1,82 1,77 1,71 1,65 2,18 2,10 2,03 1,94 1,90 1,85 1,81 1,75 1,70 1,64 2,16 2,09 2,01 1,93 1,89 1,84 1,79 1,74 1,68 1,62 2,08 2,00 1,92 1,84 1,79 1,74 1,69 1,64 1,58 1,51 1,99 1,92 1,84 1,75 1,70 1,65 1,59 1,53 1,47 1,39 1,91 1,83 1,75 1,66 1,61 1,55 1,50 1,43 1,35 1,25 1,83 1,75 1,67 1,57 1,52 1,46 1,39 1,32 1,22 1,00

Note : v1 degrés de liberté du numérateur. v2 degrés de liberté du dénominateur.

22

Table de la loi du Khi-deux v 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

(Valeurs p=0,995 0,99 0,00 0,00 0,01 0,02 0,07 0,12 0,21 0,30 0,41 0,55 0,68 0,87 0,99 1,24 1,34 1,65 1,74 2,09 2,16 2,56 2,60 3,05 3,07 3,57 3,57 4,11 4,08 4,66 4,60 5,23 5,14 5,81 5,70 6,41 6,27 7,02 6,84 7,63 7,43 8,26 8,03 8,90 8,64 9,54 9,26 10,20 9,89 10,86 10,52 11,52 11,16 12,20 11,81 12,88 12,46 13,57 13,12 14,26 13,79 14,95

de χ2 ayant la 0,975 0,95 0,00 0,00 0,05 0,10 0,22 0,35 0,48 0,71 0,83 1,15 1,24 1,64 1,69 2,17 2,18 2,73 2,70 3,33 3,25 3,94 3,82 4,58 4,40 5,23 5,01 5,89 5,63 6,57 6,26 7,26 6,91 7,96 7,56 8,67 8,23 9,39 8,91 10,12 9,59 10,85 10,28 11,59 10,98 12,34 11,69 13,09 12,40 13,85 13,12 14,61 13,84 15,38 14,57 16,15 15,31 16,93 16,05 17,71 16,79 18,49

probabilité p d’être déées) 0,90 0,10 0,05 0,025 0,01 0,02 2,71 3,84 5,02 6,64 0,21 4,61 5,99 7,38 9,21 0,58 6,25 7,82 9,35 11,35 1,06 7,78 9,49 11,14 13,28 1,61 9,24 11,07 12,83 15,09 2,20 10,65 12,59 14,45 16,81 2,83 12,02 14,07 16,01 18,48 3,49 13,36 15,51 17,54 20,09 4,17 14,68 16,92 19,02 21,67 4,87 15,99 18,31 20,48 23,21 5,58 17,28 19,68 21,92 24,73 6,30 18,55 21,03 23,34 26,22 7,04 19,81 22,36 24,74 27,69 7,79 21,06 23,69 26,12 29,14 8,55 22,31 25,00 27,49 30,58 9,31 23,54 26,30 28,85 32,00 10,09 24,77 27,59 30,19 33,41 10,87 25,99 28,87 31,53 34,81 11,65 27,20 30,14 32,85 36,19 12,44 28,41 31,41 34,17 37,57 13,24 29,62 32,67 35,48 38,93 14,04 30,81 33,92 36,78 40,29 14,85 32,01 35,17 38,08 41,64 15,66 33,20 36,42 39,36 42,98 16,47 34,38 37,65 40,65 44,31 17,29 35,56 38,89 41,92 45,64 18,11 36,74 40,11 43,20 46,96 18,94 37,92 41,34 44,46 48,28 19,77 39,09 42,56 45,72 49,59 20,60 40,26 43,77 46,98 50,89

0,005 7,88 10,60 12,84 14,86 16,75 18,55 20,28 21,96 23,59 25,19 26,76 28,30 29,82 31,32 32,80 34,27 35,72 37,16 38,58 40,00 41,40 42,80 44,18 45,56 46,93 48,29 49,65 50,99 52,34 53,67

Note : v est le nombre de degrés de liberté. Pour v > 30, on peut ettre que la quantité réduite.

23

p

2χ2 −

√

2v − 1 suit la loi normale centrée

Table de Durbin et Watson Valeurs critiques au seuil α = 0,05 pour H0 : ρ = 0 p : nombre de variables explicatives (constante exclue) p=1 n d1 d2 15 1,08 1,36 16 1,10 1,37 17 1,13 1,38 18 1,16 1,39 19 1,18 1,40 20 1,20 1,41 21 1,22 1,42 22 1,24 1,43 23 1,26 1,44 24 1,27 1,45 25 1,29 1,45 26 1,30 1,46 27 1,32 1,47 28 1,33 1,48 29 1,34 1,48 30 1,35 1,49 31 1,36 1,50 32 1,37 1,50 33 1,38 1,51 34 1,39 1,51 35 1,40 1,52 36 1,41 1,52 37 1,42 1,53 38 1,43 1,54 39 1,43 1,54 40 1,44 1,54 45 1,48 1,57 50 1,50 1,59 55 1,53 1,60 60 1,55 1,62 65 1,57 1,63 70 1,58 1,64 75 1,60 1,65 80 1,61 1,66 85 1,62 1,67 90 1,63 1,68 95 1,64 1,69 100 1,65 1,69

n : nombre d’observations p=2 p=3 p=4 d1 d2 d1 d2 d1 d2 0,95 1,54 0,82 1,75 0,69 1,97 0,98 1,54 0,86 1,73 0,74 1,93 1,02 1,54 0,90 1,71 0,78 1,90 1,05 1,53 0,93 1,69 0,82 1,87 1,08 1,53 0,97 1,68 0,86 1,85 1,10 1,54 1,00 1,68 0,90 1,83 1,13 1,54 1,03 1,67 0,93 1,81 1,15 1,54 1,05 1,66 0,96 1,80 1,17 1,54 1,08 1,66 0,99 1,79 1,19 1,55 1,10 1,66 1,01 1,78 1,21 1,55 1,12 1,66 1,04 1,77 1,22 1,55 1,14 1,65 1,06 1,76 1,24 1,56 1,16 1,65 1,08 1,76 1,26 1,56 1,18 1,65 1,10 1,75 1,27 1,56 1,20 1,65 1,12 1,74 1,28 1,57 1,21 1,65 1,14 1,74 1,30 1,57 1,23 1,65 1,16 1,74 1,31 1,57 1,24 1,65 1,18 1,73 1,32 1,58 1,26 1,65 1,19 1,73 1,33 1,58 1,27 1,65 1,21 1,73 1,34 1,58 1,28 1,65 1,22 1,73 1,35 1,59 1,29 1,65 1,24 1,73 1,36 1,59 1,31 1,66 1,25 1,72 1,37 1,59 1,32 1,66 1,26 1,72 1,38 1,60 1,33 1,66 1,27 1,72 1,39 1,60 1,34 1,66 1,29 1,72 1,43 1,62 1,38 1,67 1,34 1,72 1,46 1,63 1,42 1,67 1,38 1,72 1,49 1,64 1,45 1,68 1,41 1,72 1,51 1,65 1,48 1,69 1,44 1,73 1,54 1,66 1,50 1,70 1,47 1,73 1,55 1,67 1,52 1,70 1,49 1,74 1,57 1,68 1,54 1,71 1,51 1,74 1,59 1,69 1,56 1,72 1,53 1,74 1,60 1,70 1,57 1,72 1,55 1,75 1,61 1,70 1,59 1,73 1,57 1,75 1,62 1,71 1,60 1,73 1,58 1,75 1,63 1,72 1,61 1,74 1,59 1,76

24

p=5 d1 d2 0,56 2,21 0,62 2,15 0,67 2,10 0,71 2,06 0,75 2,02 0,79 1,99 0,83 1,96 0,86 1,94 0,90 1,92 0,93 1,90 0,95 1,89 0,98 1,88 1,01 1,86 1,03 1,85 1,05 1,84 1,07 1,83 1,09 1,83 1,11 1,82 1,13 1,81 1,15 1,81 1,16 1,80 1,18 1,80 1,19 1,80 1,21 1,79 1,22 1,79 1,23 1,79 1,29 1,78 1,34 1,77 1,38 1,77 1,41 1,77 1,44 1,77 1,46 1,77 1,49 1,77 1,51 1,77 1,52 1,77 1,54 1,78 1,56 1,78 1,57 1,78